gdz.top
Номер 6, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы
Авторы: Пак О. В., Ардакулы Д., Ескендирова Е. В.
Тип: Учебник
Издательство: Алматыкітап баспасы
Год издания: 2019 - 2026
Часть: 1
ISBN: 978-601-01-3958-9
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 1. Функции, её свойства и график. Параграф 6. Построение графиков и исследование функций. Задачи - номер 6, страница 68.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119670 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "68" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik/1-6zad-6" "field_display_title" => "6" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119328 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Часть" "field_creative_case" => "Частью" "field_dative_case" => "Части" "field_genitive_case" => "Части" "field_nominative_case" => "Часть" "field_prepositional_case" => "Части" ] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #original: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Часть" "field_creative_case" => "Частью" "field_dative_case" => "Части" "field_genitive_case" => "Части" "field_nominative_case" => "Часть" "field_prepositional_case" => "Части" ] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 4295 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] …17 } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1049 …30} 1 => App\Models\Term {#1050 …30} 2 => App\Models\Term {#1051 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для учащихся 10 класса общеобразовательной школы общественно-гуманитарного направления" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1063" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/algebra_10/baspasy-u19/" "field_isbn" => "978-601-01-3958-9" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 4295 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для учащихся 10 класса общеобразовательной школы общественно-гуманитарного направления" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1063" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/algebra_10/baspasy-u19/" "field_isbn" => "978-601-01-3958-9" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119328 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1116 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119328 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1117 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Часть" "field_creative_case" => "Частью" "field_dative_case" => "Части" "field_genitive_case" => "Части" "field_nominative_case" => "Часть" "field_prepositional_case" => "Части" ] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #original: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Часть" "field_creative_case" => "Частью" "field_dative_case" => "Части" "field_genitive_case" => "Части" "field_nominative_case" => "Часть" "field_prepositional_case" => "Части" ] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 4295 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1118 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1123 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1125 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматыкітап баспасы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almatykitap baspasy" ] #original: array:6 [ "id" => 7006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматыкітап баспасы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almatykitap baspasy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1127 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 7007 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Пак" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Олег" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 7007 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Пак" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Олег" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1128 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 7008 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ардакулы" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дархан" "field_patronymic" => null "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 7008 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ардакулы" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дархан" "field_patronymic" => null "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1129 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 7009 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ескендирова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Елена" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 7009 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ескендирова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Елена" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1132 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1134 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "kazakhstan" ] #original: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "kazakhstan" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1136 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almaty" ] #original: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almaty" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для учащихся 10 класса общеобразовательной школы общественно-гуманитарного направления" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1063" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/algebra_10/baspasy-u19/" "field_isbn" => "978-601-01-3958-9" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 4295 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для учащихся 10 класса общеобразовательной школы общественно-гуманитарного направления" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1063" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/algebra_10/baspasy-u19/" "field_isbn" => "978-601-01-3958-9" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119328 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/covers/cover1.webp?ts=1752152865" "alt" => "" "width" => "1940" "height" => "2895" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1148 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции, её свойства и график" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1150 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции, её свойства и график" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153} "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1154 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Построение графиков и исследование функций" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1155 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "60" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1165 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции, её свойства и график" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1150} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1168 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции, её свойства и график" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167} "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1168} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Построение графиков и исследование функций" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158} "field_page_start" => "60" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Branch {#1159 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119357 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "67" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1174 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Построение графиков и исследование функций" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1155} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "60" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1178 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1165} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Построение графиков и исследование функций" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176} "field_page_start" => "60" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1178} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119357 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156} "field_page_start" => "67" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1097 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1300355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 4962 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1095 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 4962 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1119670" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>6.</strong> Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y = f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$, $D(f)=[-4;2]$.</p><p><strong>а)</strong> $y = \frac{1}{3}f(x)$;</p><p><strong>б)</strong> $y = f(2x)$;</p><p><strong>в)</strong> $y = -f(x)$;</p><p><strong>г)</strong> $y = f(-x)$;</p><p><strong>д)</strong> $y = f(|x|)$;</p><p><strong>е)</strong> $y = |f(x)|$;</p><p><strong>ж)</strong> $y = f(x)-3$;</p><p><strong>з)</strong> (2) $y = f(2x-4)$;</p><p><strong>и)</strong> (3) $y = \left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;</p><p><strong>к)</strong> (3) $y = |f(|x|)|$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "6-1.jpg" "alt" => null "width" => "1669" "height" => 714 "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/0-1-6zad/6-1.webp?ts=1753534528" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1300355 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "task" => array:2 [ "refs" => "1119670" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>6.</strong> Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y = f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$, $D(f)=[-4;2]$.</p><p><strong>а)</strong> $y = \frac{1}{3}f(x)$;</p><p><strong>б)</strong> $y = f(2x)$;</p><p><strong>в)</strong> $y = -f(x)$;</p><p><strong>г)</strong> $y = f(-x)$;</p><p><strong>д)</strong> $y = f(|x|)$;</p><p><strong>е)</strong> $y = |f(x)|$;</p><p><strong>ж)</strong> $y = f(x)-3$;</p><p><strong>з)</strong> (2) $y = f(2x-4)$;</p><p><strong>и)</strong> (3) $y = \left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;</p><p><strong>к)</strong> (3) $y = |f(|x|)|$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "6-1.jpg" "alt" => null "width" => "1669" "height" => 714 "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/0-1-6zad/6-1.webp?ts=1753534528" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1089 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1551391 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5659 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2 (rus)" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1088 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5659 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2 (rus)" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1119670" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для решения задачи сначала проанализируем исходную функцию $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на области определения $D(f)=[-4; 2]$.</p><p>Это парабола, ветви которой направлены вверх. Для удобства построения графиков найдем ее ключевые точки.<br>1. <strong>Вершина параболы:</strong> $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.Вершина находится в точке $(-1, -4)$.<br>2. <strong>Точки пересечения с осью Ox (нули функции):</strong> $f(x) = 0 \implies x^2+2x-3=0$.По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.<br>3. <strong>Точка пересечения с осью Oy:</strong> $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.<br>4. <strong>Значения на концах области определения:</strong>$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.$f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.<br>Таким образом, исходный график — это часть параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. Область значений функции $E(f) = [-4; 5]$.</p><p>Теперь составим план и опишем построение для каждой из заданных функций.</p><p><strong>а) $y=\frac{1}{3}f(x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем вертикального сжатия к оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (координата y) точки исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сжимается в 3 раза: $E(y) = [-\frac{4}{3}; \frac{5}{3}]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, \frac{5}{3})$ и $(2, \frac{5}{3})$, вершина $(-1, -\frac{4}{3})$. Нули функции остаются прежними: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.</p><p><strong>б) $y=f(2x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем горизонтального сжатия к оси Oy в 2 раза. Каждая абсцисса (координата x) точки исходного графика делится на 2.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения сжимается в 2 раза. Так как $-4 \le 2x \le 2$, то $-2 \le x \le 1$. $D(y) = [-2; 1]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(1, 5)$, вершина $(-\frac{1}{2}, -4)$, нули $(-\frac{3}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.</p><p><strong>в) $y=-f(x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений отражается: $E(y) = [-5; 4]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, -5)$ и $(2, -5)$, вершина $(-1, 4)$. Нули функции остаются прежними.</p><p><strong>г) $y=f(-x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения отражается. Так как $-4 \le -x \le 2$, то $-2 \le x \le 4$. $D(y) = [-2; 4]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(4, 5)$, вершина $(1, -4)$, нули $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.</p><p><strong>д) $y=f(|x|)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>1. Сохраняем часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$.2. Удаляем часть графика, где $x < 0$.3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения становится симметричной. Так как $|x|$ должно принадлежать исходному отрезку $[-4, 2]$, а $|x| \ge 0$, то $0 \le |x| \le 2$, откуда $-2 \le x \le 2$. $D(y) = [-2; 2]$. График симметричен относительно оси Oy. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, локальные минимумы в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$, точка пересечения с осью Oy $(0,-3)$. Область значений $E(y) = [-3; 5]$.</p><p><strong>е) $y=|f(x)|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Все отрицательные значения функции становятся положительными, поэтому область значений $E(y) = [0; 5]$. Часть параболы между корнями $x=-3$ и $x=1$ (включая вершину) отражается вверх. Новые ключевые точки: концы $(-4, 5)$ и $(2, 5)$ остаются, бывшая вершина $(-1, -4)$ переходит в точку локального максимума $(-1, 4)$.</p><p><strong>ж) $y=f(x)-3$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сдвигается на 3 вниз: $E(y) = [-7; 2]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, 2)$ и $(2, 2)$, вершина $(-1, -7)$.</p><p><strong>з)(2) $y=f(2x-4)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>Преобразуем выражение: $y=f(2(x-2))$. График строится из графика $y=f(x)$ в два этапа:1. Горизонтальное сжатие к оси Oy в 2 раза (получаем график $y=f(2x)$).2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Найдем новую область определения: $-4 \le 2x-4 \le 2 \implies 0 \le 2x \le 6 \implies 0 \le x \le 3$. $D(y) = [0; 3]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(0,5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(1.5, -4)$; точка $(2,5)$ переходит в $(3,5)$.</p><p><strong>и)(3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График строится последовательным применением четырех преобразований к графику $y=f(x)$:1. Отражение относительно оси Oy ($y=f(-x)$).2. Вертикальное сжатие к оси Ox в 2 раза ($y=\frac{1}{2}f(-x)$).3. Сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси Oy ($y=\frac{1}{2}f(-x)-3$).4. Отражение частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.</p><p><strong>Ответ:</strong>После шагов 1-3 промежуточная функция $g(x)=\frac{1}{2}f(-x)-3$ будет определена на отрезке $D(g) = [-2; 4]$ и иметь область значений $E(g) = [-5; -0.5]$. Так как вся эта область лежит ниже оси Ox, шаг 4 означает отражение всего графика $g(x)$ относительно оси Ox. Итоговая область определения $D(y) = [-2; 4]$. Область значений $E(y) = [0.5; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(-(-4), |0.5 \cdot 5 - 3|) = (4, |-0.5|) = (4, 0.5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(-(-1), |0.5 \cdot (-4) - 3|) = (1, |-5|) = (1, 5)$; точка $(2,5)$ переходит в $(-2, |0.5 \cdot 5 - 3|) = (-2, 0.5)$.</p><p><strong>к)(3) $y=|f(|x|)|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>Это комбинация двух преобразований, рассмотренных ранее (д и е):1. Строим график $y=f(|x|)$ (см. пункт д).2. Для полученного графика применяем преобразование модуля: части графика ниже оси Ox отражаем симметрично относительно этой оси (см. пункт е).</p><p><strong>Ответ:</strong>На первом шаге получаем график $y=f(|x|)$ на области определения $D=[-2; 2]$ с областью значений $E=[-3; 5]$. Часть этого графика от $x=-1$ до $x=1$ лежит ниже оси Ox (с минимумом в $(0, -3)$). На втором шаге эта часть отражается вверх. Итоговый график определен на $D(y) = [-2; 2]$, его область значений $E(y)=[0; 5]$. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, нули в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а бывший минимум $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1551391 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "task" => array:2 [ "refs" => "1119670" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для решения задачи сначала проанализируем исходную функцию $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на области определения $D(f)=[-4; 2]$.</p><p>Это парабола, ветви которой направлены вверх. Для удобства построения графиков найдем ее ключевые точки.<br>1. <strong>Вершина параболы:</strong> $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.Вершина находится в точке $(-1, -4)$.<br>2. <strong>Точки пересечения с осью Ox (нули функции):</strong> $f(x) = 0 \implies x^2+2x-3=0$.По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.<br>3. <strong>Точка пересечения с осью Oy:</strong> $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.<br>4. <strong>Значения на концах области определения:</strong>$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.$f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.<br>Таким образом, исходный график — это часть параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. Область значений функции $E(f) = [-4; 5]$.</p><p>Теперь составим план и опишем построение для каждой из заданных функций.</p><p><strong>а) $y=\frac{1}{3}f(x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем вертикального сжатия к оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (координата y) точки исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сжимается в 3 раза: $E(y) = [-\frac{4}{3}; \frac{5}{3}]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, \frac{5}{3})$ и $(2, \frac{5}{3})$, вершина $(-1, -\frac{4}{3})$. Нули функции остаются прежними: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.</p><p><strong>б) $y=f(2x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем горизонтального сжатия к оси Oy в 2 раза. Каждая абсцисса (координата x) точки исходного графика делится на 2.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения сжимается в 2 раза. Так как $-4 \le 2x \le 2$, то $-2 \le x \le 1$. $D(y) = [-2; 1]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(1, 5)$, вершина $(-\frac{1}{2}, -4)$, нули $(-\frac{3}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.</p><p><strong>в) $y=-f(x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений отражается: $E(y) = [-5; 4]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, -5)$ и $(2, -5)$, вершина $(-1, 4)$. Нули функции остаются прежними.</p><p><strong>г) $y=f(-x)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения отражается. Так как $-4 \le -x \le 2$, то $-2 \le x \le 4$. $D(y) = [-2; 4]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(4, 5)$, вершина $(1, -4)$, нули $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.</p><p><strong>д) $y=f(|x|)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>1. Сохраняем часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$.2. Удаляем часть графика, где $x < 0$.3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения становится симметричной. Так как $|x|$ должно принадлежать исходному отрезку $[-4, 2]$, а $|x| \ge 0$, то $0 \le |x| \le 2$, откуда $-2 \le x \le 2$. $D(y) = [-2; 2]$. График симметричен относительно оси Oy. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, локальные минимумы в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$, точка пересечения с осью Oy $(0,-3)$. Область значений $E(y) = [-3; 5]$.</p><p><strong>е) $y=|f(x)|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Все отрицательные значения функции становятся положительными, поэтому область значений $E(y) = [0; 5]$. Часть параболы между корнями $x=-3$ и $x=1$ (включая вершину) отражается вверх. Новые ключевые точки: концы $(-4, 5)$ и $(2, 5)$ остаются, бывшая вершина $(-1, -4)$ переходит в точку локального максимума $(-1, 4)$.</p><p><strong>ж) $y=f(x)-3$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.</p><p><strong>Ответ:</strong>Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сдвигается на 3 вниз: $E(y) = [-7; 2]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, 2)$ и $(2, 2)$, вершина $(-1, -7)$.</p><p><strong>з)(2) $y=f(2x-4)$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>Преобразуем выражение: $y=f(2(x-2))$. График строится из графика $y=f(x)$ в два этапа:1. Горизонтальное сжатие к оси Oy в 2 раза (получаем график $y=f(2x)$).2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.</p><p><strong>Ответ:</strong>Найдем новую область определения: $-4 \le 2x-4 \le 2 \implies 0 \le 2x \le 6 \implies 0 \le x \le 3$. $D(y) = [0; 3]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(0,5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(1.5, -4)$; точка $(2,5)$ переходит в $(3,5)$.</p><p><strong>и)(3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>График строится последовательным применением четырех преобразований к графику $y=f(x)$:1. Отражение относительно оси Oy ($y=f(-x)$).2. Вертикальное сжатие к оси Ox в 2 раза ($y=\frac{1}{2}f(-x)$).3. Сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси Oy ($y=\frac{1}{2}f(-x)-3$).4. Отражение частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.</p><p><strong>Ответ:</strong>После шагов 1-3 промежуточная функция $g(x)=\frac{1}{2}f(-x)-3$ будет определена на отрезке $D(g) = [-2; 4]$ и иметь область значений $E(g) = [-5; -0.5]$. Так как вся эта область лежит ниже оси Ox, шаг 4 означает отражение всего графика $g(x)$ относительно оси Ox. Итоговая область определения $D(y) = [-2; 4]$. Область значений $E(y) = [0.5; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(-(-4), |0.5 \cdot 5 - 3|) = (4, |-0.5|) = (4, 0.5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(-(-1), |0.5 \cdot (-4) - 3|) = (1, |-5|) = (1, 5)$; точка $(2,5)$ переходит в $(-2, |0.5 \cdot 5 - 3|) = (-2, 0.5)$.</p><p><strong>к)(3) $y=|f(|x|)|$</strong></p><p><strong>План построения:</strong>Это комбинация двух преобразований, рассмотренных ранее (д и е):1. Строим график $y=f(|x|)$ (см. пункт д).2. Для полученного графика применяем преобразование модуля: части графика ниже оси Ox отражаем симметрично относительно этой оси (см. пункт е).</p><p><strong>Ответ:</strong>На первом шаге получаем график $y=f(|x|)$ на области определения $D=[-2; 2]$ с областью значений $E=[-3; 5]$. Часть этого графика от $x=-1$ до $x=1$ лежит ниже оси Ox (с минимумом в $(0, -3)$). На втором шаге эта часть отражается вверх. Итоговый график определен на $D(y) = [-2; 2]$, его область значений $E(y)=[0; 5]$. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, нули в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а бывший минимум $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1119671" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1119669" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1101 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1099221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "68" "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik/page-2-68" "field_display_title" => "68" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "68" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1083 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1119426 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1076 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119426 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1200 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1262646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "1099221" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "68-1.jpg" "alt" => null "width" => "2125" "height" => 3034 "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/0-2/68-1.webp?ts=1752153876" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1262646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "book_page" => array:2 [ "refs" => "1099221" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "68-1.jpg" "alt" => null "width" => "2125" "height" => 3034 "path" => "/media/algebra_10/baspasy-u19/0-2/68-1.webp?ts=1752153876" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1099222" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1099220" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1099221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "68" "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik/page-2-68" "field_display_title" => "68" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "68" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "next" => array:2 [ "refs" => "1099222" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1099220" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1119670 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "68" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/baspasy-pak-uchebnik/1-6zad-6" "field_display_title" => "6" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "next" => array:2 [ "refs" => "1119671" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1119669" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "page" => array:2 [ "refs" => "1099221" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№6 (с. 68)
Условие. №6 (с. 68)
скриншот условия
6. Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y = f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$, $D(f)=[-4;2]$.
а) $y = \frac{1}{3}f(x)$;
б) $y = f(2x)$;
в) $y = -f(x)$;
г) $y = f(-x)$;
д) $y = f(|x|)$;
е) $y = |f(x)|$;
ж) $y = f(x)-3$;
з) (2) $y = f(2x-4)$;
и) (3) $y = \left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;
к) (3) $y = |f(|x|)|$.
Решение 2 (rus). №6 (с. 68)
Для решения задачи сначала проанализируем исходную функцию $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на области определения $D(f)=[-4; 2]$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Для удобства построения графиков найдем ее ключевые точки.
1. Вершина параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $f(x) = 0 \implies x^2+2x-3=0$.По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
3. Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
4. Значения на концах области определения:$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.$f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
Таким образом, исходный график — это часть параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. Область значений функции $E(f) = [-4; 5]$.
Теперь составим план и опишем построение для каждой из заданных функций.
а) $y=\frac{1}{3}f(x)$
План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем вертикального сжатия к оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (координата y) точки исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$.
Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сжимается в 3 раза: $E(y) = [-\frac{4}{3}; \frac{5}{3}]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, \frac{5}{3})$ и $(2, \frac{5}{3})$, вершина $(-1, -\frac{4}{3})$. Нули функции остаются прежними: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
б) $y=f(2x)$
План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем горизонтального сжатия к оси Oy в 2 раза. Каждая абсцисса (координата x) точки исходного графика делится на 2.
Ответ:Область определения сжимается в 2 раза. Так как $-4 \le 2x \le 2$, то $-2 \le x \le 1$. $D(y) = [-2; 1]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(1, 5)$, вершина $(-\frac{1}{2}, -4)$, нули $(-\frac{3}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
в) $y=-f(x)$
План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.
Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений отражается: $E(y) = [-5; 4]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, -5)$ и $(2, -5)$, вершина $(-1, 4)$. Нули функции остаются прежними.
г) $y=f(-x)$
План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.
Ответ:Область определения отражается. Так как $-4 \le -x \le 2$, то $-2 \le x \le 4$. $D(y) = [-2; 4]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(4, 5)$, вершина $(1, -4)$, нули $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.
д) $y=f(|x|)$
План построения:1. Сохраняем часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$.2. Удаляем часть графика, где $x < 0$.3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.
Ответ:Область определения становится симметричной. Так как $|x|$ должно принадлежать исходному отрезку $[-4, 2]$, а $|x| \ge 0$, то $0 \le |x| \le 2$, откуда $-2 \le x \le 2$. $D(y) = [-2; 2]$. График симметричен относительно оси Oy. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, локальные минимумы в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$, точка пересечения с осью Oy $(0,-3)$. Область значений $E(y) = [-3; 5]$.
е) $y=|f(x)|$
План построения:1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.
Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Все отрицательные значения функции становятся положительными, поэтому область значений $E(y) = [0; 5]$. Часть параболы между корнями $x=-3$ и $x=1$ (включая вершину) отражается вверх. Новые ключевые точки: концы $(-4, 5)$ и $(2, 5)$ остаются, бывшая вершина $(-1, -4)$ переходит в точку локального максимума $(-1, 4)$.
ж) $y=f(x)-3$
План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сдвигается на 3 вниз: $E(y) = [-7; 2]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, 2)$ и $(2, 2)$, вершина $(-1, -7)$.
з)(2) $y=f(2x-4)$
План построения:Преобразуем выражение: $y=f(2(x-2))$. График строится из графика $y=f(x)$ в два этапа:1. Горизонтальное сжатие к оси Oy в 2 раза (получаем график $y=f(2x)$).2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
Ответ:Найдем новую область определения: $-4 \le 2x-4 \le 2 \implies 0 \le 2x \le 6 \implies 0 \le x \le 3$. $D(y) = [0; 3]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(0,5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(1.5, -4)$; точка $(2,5)$ переходит в $(3,5)$.
и)(3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$
План построения:График строится последовательным применением четырех преобразований к графику $y=f(x)$:1. Отражение относительно оси Oy ($y=f(-x)$).2. Вертикальное сжатие к оси Ox в 2 раза ($y=\frac{1}{2}f(-x)$).3. Сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси Oy ($y=\frac{1}{2}f(-x)-3$).4. Отражение частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
Ответ:После шагов 1-3 промежуточная функция $g(x)=\frac{1}{2}f(-x)-3$ будет определена на отрезке $D(g) = [-2; 4]$ и иметь область значений $E(g) = [-5; -0.5]$. Так как вся эта область лежит ниже оси Ox, шаг 4 означает отражение всего графика $g(x)$ относительно оси Ox. Итоговая область определения $D(y) = [-2; 4]$. Область значений $E(y) = [0.5; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(-(-4), |0.5 \cdot 5 - 3|) = (4, |-0.5|) = (4, 0.5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(-(-1), |0.5 \cdot (-4) - 3|) = (1, |-5|) = (1, 5)$; точка $(2,5)$ переходит в $(-2, |0.5 \cdot 5 - 3|) = (-2, 0.5)$.
к)(3) $y=|f(|x|)|$
План построения:Это комбинация двух преобразований, рассмотренных ранее (д и е):1. Строим график $y=f(|x|)$ (см. пункт д).2. Для полученного графика применяем преобразование модуля: части графика ниже оси Ox отражаем симметрично относительно этой оси (см. пункт е).
Ответ:На первом шаге получаем график $y=f(|x|)$ на области определения $D=[-2; 2]$ с областью значений $E=[-3; 5]$. Часть этого графика от $x=-1$ до $x=1$ лежит ниже оси Ox (с минимумом в $(0, -3)$). На втором шаге эта часть отражается вверх. Итоговый график определен на $D(y) = [-2; 2]$, его область значений $E(y)=[0; 5]$. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, нули в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а бывший минимум $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 68 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 68), авторов: Пак (Олег Владимирович), Ардакулы (Дархан ), Ескендирова (Елена Викторовна), 1-й части учебного пособия издательства Алматыкітап баспасы.