gdz.top
Номер 310, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 310, страница 158.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104125 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "158" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/310" "field_display_title" => "310" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1074 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1075 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1079 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1112 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1114 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1116 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1149 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1216 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156359 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1217 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 …2} …1 ] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>310.</strong>— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на данном промежутке:</p><p><strong>а)</strong> $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$, $[1; 4]$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$, $[-5; -2,5]$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 514 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/310-1.webp?ts=1733864894" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156359 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225} "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>310.</strong>— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на данном промежутке:</p><p><strong>а)</strong> $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$, $[1; 4]$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$, $[-5; -2,5]$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 514 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/310-1.webp?ts=1733864894" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1223 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156989 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1224 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1318 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-1.webp?ts=1733865054" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1485 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-2.webp?ts=1733865054" ] 2 => array:5 [ "name" => "310-3.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 705 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-3.webp?ts=1733865054" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156989 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233} "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1318 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-1.webp?ts=1733865054" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1485 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-2.webp?ts=1733865054" ] 2 => array:5 [ "name" => "310-3.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 705 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/310-3.webp?ts=1733865054" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1231 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157649 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1232 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1279 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-1.webp?ts=1733995781" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 145 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-2.webp?ts=1733995781" ] 2 => array:5 [ "name" => "310-3.jpg" "alt" => null "width" => "1279" "height" => 529 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-3.webp?ts=1733995781" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157649 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1279 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-1.webp?ts=1733995781" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 145 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-2.webp?ts=1733995781" ] 2 => array:5 [ "name" => "310-3.jpg" "alt" => null "width" => "1279" "height" => 529 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/310-3.webp?ts=1733995781" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1239 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168470 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1240 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1279 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/310-1.webp?ts=1733995753" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 145 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/310-2.webp?ts=1733995753" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168470 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249} "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "310-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1279 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/310-1.webp?ts=1733995753" ] 1 => array:5 [ "name" => "310-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 145 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/310-2.webp?ts=1733995753" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1247 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1341662 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1248 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong></p><p>Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$ на промежутке $[0; 2\pi]$, мы воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.</p><p>1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы упростить выражение, но для нахождения производной это не обязательно. $f'(x) = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x$.</p><p>2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. $2 \cos x - 2 \sin 2x = 0$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем: $2 \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0$ $2 \cos x (1 - 2 \sin x) = 0$. Это равенство выполняется, если $\cos x = 0$ или $1 - 2 \sin x = 0$.</p><p>3. Решим полученные уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$: Из $\cos x = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Из $1 - 2 \sin x = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, получаем $x_3 = \frac{\pi}{6}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{6}$. Все найденные критические точки принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.</p><p>4. Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка: $f(0) = 2 \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$. $f(2\pi) = 2 \sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 0 + 1 = 1$. $f(\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) + (-1) = -2 - 1 = -3$.</p><p>5. Сравнивая вычисленные значения $\{1; 1,5; 1; -3\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $1,5$, а наименьшее равно $-3$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $1,5$; наименьшее значение: $-3$.</p><p><strong>б)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$ на промежутке $[1; 4]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (1,5x^2 + 81x^{-1})' = 1,5 \cdot 2x - 81x^{-2} = 3x - \frac{81}{x^2}$.</p><p>2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x - \frac{81}{x^2} = 0$. $3x = \frac{81}{x^2}$. $3x^3 = 81$. $x^3 = 27$. $x = 3$. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в заданный промежуток $[1; 4]$.</p><p>3. Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.</p><p>4. Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$: $f(1) = 1,5(1)^2 + \frac{81}{1} = 1,5 + 81 = 82,5$. $f(3) = 1,5(3)^2 + \frac{81}{3} = 1,5 \cdot 9 + 27 = 13,5 + 27 = 40,5$. $f(4) = 1,5(4)^2 + \frac{81}{4} = 1,5 \cdot 16 + 20,25 = 24 + 20,25 = 44,25$.</p><p>5. Сравнивая значения $\{82,5; 40,5; 44,25\}$, видим, что наибольшее значение функции равно $82,5$, а наименьшее равно $40,5$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $82,5$; наименьшее значение: $40,5$.</p><p><strong>в)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2 \sin x + \sin 2x)' = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.</p><p>2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $2 \cos x + 2 \cos 2x = 0$. $\cos x + \cos 2x = 0$. Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$. $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Сделаем замену $y = \cos x$, получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.</p><p>3. Вернемся к переменной $x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ решениями являются: Из $\cos x = \frac{1}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. Из $\cos x = -1$ получаем $x = \pi$.</p><p>4. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$: $f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2$. $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.</p><p>5. Сравнивая значения $\{0; -2; \frac{3\sqrt{3}}{2}\}$, ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598$), находим, что наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$; наименьшее значение: $-2$.</p><p><strong>г)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$ на промежутке $[-5; -2,5]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (x + (x+2)^{-1})' = 1 - (x+2)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}$.</p><p>2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $1 - \frac{1}{(x+2)^2} = 0$. $\frac{1}{(x+2)^2} = 1$. $(x+2)^2 = 1$. $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$. $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.</p><p>3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[-5; -2,5]$: $x_1 = -1$ не принадлежит отрезку. $x_2 = -3$ принадлежит отрезку.</p><p>4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=-2,5$: $f(-5) = -5 + \frac{1}{-5+2} = -5 + \frac{1}{-3} = -5 - \frac{1}{3} = -\frac{16}{3}$. $f(-3) = -3 + \frac{1}{-3+2} = -3 + \frac{1}{-1} = -3 - 1 = -4$. $f(-2,5) = -2,5 + \frac{1}{-2,5+2} = -2,5 + \frac{1}{-0,5} = -2,5 - 2 = -4,5 = -\frac{9}{2}$.</p><p>5. Сравним полученные значения: $\{-\frac{16}{3}; -4; -4,5\}$. Так как $-\frac{16}{3} = -5,333...$, то $-\frac{16}{3} < -4,5 < -4$. Наибольшее значение функции равно $-4$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $-4$; наименьшее значение: $-\frac{16}{3}$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1341662 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257} "task" => array:2 [ "refs" => "104125" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong></p><p>Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$ на промежутке $[0; 2\pi]$, мы воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.</p><p>1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы упростить выражение, но для нахождения производной это не обязательно. $f'(x) = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x$.</p><p>2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. $2 \cos x - 2 \sin 2x = 0$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем: $2 \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0$ $2 \cos x (1 - 2 \sin x) = 0$. Это равенство выполняется, если $\cos x = 0$ или $1 - 2 \sin x = 0$.</p><p>3. Решим полученные уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$: Из $\cos x = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Из $1 - 2 \sin x = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, получаем $x_3 = \frac{\pi}{6}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{6}$. Все найденные критические точки принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.</p><p>4. Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка: $f(0) = 2 \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$. $f(2\pi) = 2 \sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 0 + 1 = 1$. $f(\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) + (-1) = -2 - 1 = -3$.</p><p>5. Сравнивая вычисленные значения $\{1; 1,5; 1; -3\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $1,5$, а наименьшее равно $-3$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $1,5$; наименьшее значение: $-3$.</p><p><strong>б)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$ на промежутке $[1; 4]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (1,5x^2 + 81x^{-1})' = 1,5 \cdot 2x - 81x^{-2} = 3x - \frac{81}{x^2}$.</p><p>2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x - \frac{81}{x^2} = 0$. $3x = \frac{81}{x^2}$. $3x^3 = 81$. $x^3 = 27$. $x = 3$. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в заданный промежуток $[1; 4]$.</p><p>3. Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.</p><p>4. Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$: $f(1) = 1,5(1)^2 + \frac{81}{1} = 1,5 + 81 = 82,5$. $f(3) = 1,5(3)^2 + \frac{81}{3} = 1,5 \cdot 9 + 27 = 13,5 + 27 = 40,5$. $f(4) = 1,5(4)^2 + \frac{81}{4} = 1,5 \cdot 16 + 20,25 = 24 + 20,25 = 44,25$.</p><p>5. Сравнивая значения $\{82,5; 40,5; 44,25\}$, видим, что наибольшее значение функции равно $82,5$, а наименьшее равно $40,5$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $82,5$; наименьшее значение: $40,5$.</p><p><strong>в)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2 \sin x + \sin 2x)' = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.</p><p>2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $2 \cos x + 2 \cos 2x = 0$. $\cos x + \cos 2x = 0$. Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$. $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Сделаем замену $y = \cos x$, получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.</p><p>3. Вернемся к переменной $x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ решениями являются: Из $\cos x = \frac{1}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. Из $\cos x = -1$ получаем $x = \pi$.</p><p>4. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$: $f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2$. $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.</p><p>5. Сравнивая значения $\{0; -2; \frac{3\sqrt{3}}{2}\}$, ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598$), находим, что наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$; наименьшее значение: $-2$.</p><p><strong>г)</strong></p><p>Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$ на промежутке $[-5; -2,5]$.</p><p>1. Найдем производную функции: $f'(x) = (x + (x+2)^{-1})' = 1 - (x+2)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}$.</p><p>2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $1 - \frac{1}{(x+2)^2} = 0$. $\frac{1}{(x+2)^2} = 1$. $(x+2)^2 = 1$. $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$. $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.</p><p>3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[-5; -2,5]$: $x_1 = -1$ не принадлежит отрезку. $x_2 = -3$ принадлежит отрезку.</p><p>4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=-2,5$: $f(-5) = -5 + \frac{1}{-5+2} = -5 + \frac{1}{-3} = -5 - \frac{1}{3} = -\frac{16}{3}$. $f(-3) = -3 + \frac{1}{-3+2} = -3 + \frac{1}{-1} = -3 - 1 = -4$. $f(-2,5) = -2,5 + \frac{1}{-2,5+2} = -2,5 + \frac{1}{-0,5} = -2,5 - 2 = -4,5 = -\frac{9}{2}$.</p><p>5. Сравним полученные значения: $\{-\frac{16}{3}; -4; -4,5\}$. Так как $-\frac{16}{3} = -5,333...$, то $-\frac{16}{3} < -4,5 < -4$. Наибольшее значение функции равно $-4$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.</p><p>Ответ: наибольшее значение: $-4$; наименьшее значение: $-\frac{16}{3}$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104126" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104124" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1214 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1195 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1202 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1201 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1198 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1188 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1189 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1187 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1192 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1191 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1203 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1206 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1188} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1255 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1259 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1260 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1255} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1268 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1267 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863517 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "158" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-158" "field_display_title" => "158" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "158" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1214} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1280 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863518" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863516" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1506 #items: array:8 [ 0 => App\Models\Task {#1520 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1533 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1530 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1526 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1536 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1542 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1594 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1628 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863517 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "158" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-158" "field_display_title" => "158" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "158" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281} "next" => array:2 [ "refs" => "863518" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863516" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1506} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104125 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "158" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/310" "field_display_title" => "310" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "next" => array:2 [ "refs" => "104126" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104124" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263} "page" => array:2 [ "refs" => "863517" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№310 (с. 158)
Условие. №310 (с. 158)
скриншот условия
310.— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на данном промежутке:
а) $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$;
б) $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$, $[1; 4]$;
в) $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$;
г) $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$, $[-5; -2,5]$.
Решение 1. №310 (с. 158)
Решение 2. №310 (с. 158)
Решение 3. №310 (с. 158)
Решение 5. №310 (с. 158)
а)
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$ на промежутке $[0; 2\pi]$, мы воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.
1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы упростить выражение, но для нахождения производной это не обязательно. $f'(x) = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. $2 \cos x - 2 \sin 2x = 0$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем: $2 \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0$ $2 \cos x (1 - 2 \sin x) = 0$. Это равенство выполняется, если $\cos x = 0$ или $1 - 2 \sin x = 0$.
3. Решим полученные уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$: Из $\cos x = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Из $1 - 2 \sin x = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, получаем $x_3 = \frac{\pi}{6}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{6}$. Все найденные критические точки принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.
4. Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка: $f(0) = 2 \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$. $f(2\pi) = 2 \sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 0 + 1 = 1$. $f(\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) + (-1) = -2 - 1 = -3$.
5. Сравнивая вычисленные значения $\{1; 1,5; 1; -3\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $1,5$, а наименьшее равно $-3$.
Ответ: наибольшее значение: $1,5$; наименьшее значение: $-3$.
б)
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$ на промежутке $[1; 4]$.
1. Найдем производную функции: $f'(x) = (1,5x^2 + 81x^{-1})' = 1,5 \cdot 2x - 81x^{-2} = 3x - \frac{81}{x^2}$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x - \frac{81}{x^2} = 0$. $3x = \frac{81}{x^2}$. $3x^3 = 81$. $x^3 = 27$. $x = 3$. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в заданный промежуток $[1; 4]$.
3. Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.
4. Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$: $f(1) = 1,5(1)^2 + \frac{81}{1} = 1,5 + 81 = 82,5$. $f(3) = 1,5(3)^2 + \frac{81}{3} = 1,5 \cdot 9 + 27 = 13,5 + 27 = 40,5$. $f(4) = 1,5(4)^2 + \frac{81}{4} = 1,5 \cdot 16 + 20,25 = 24 + 20,25 = 44,25$.
5. Сравнивая значения $\{82,5; 40,5; 44,25\}$, видим, что наибольшее значение функции равно $82,5$, а наименьшее равно $40,5$.
Ответ: наибольшее значение: $82,5$; наименьшее значение: $40,5$.
в)
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2 \sin x + \sin 2x)' = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $2 \cos x + 2 \cos 2x = 0$. $\cos x + \cos 2x = 0$. Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$. $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Сделаем замену $y = \cos x$, получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
3. Вернемся к переменной $x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ решениями являются: Из $\cos x = \frac{1}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. Из $\cos x = -1$ получаем $x = \pi$.
4. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$: $f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2$. $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.
5. Сравнивая значения $\{0; -2; \frac{3\sqrt{3}}{2}\}$, ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598$), находим, что наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$.
Ответ: наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$; наименьшее значение: $-2$.
г)
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$ на промежутке $[-5; -2,5]$.
1. Найдем производную функции: $f'(x) = (x + (x+2)^{-1})' = 1 - (x+2)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}$.
2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $1 - \frac{1}{(x+2)^2} = 0$. $\frac{1}{(x+2)^2} = 1$. $(x+2)^2 = 1$. $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$. $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.
3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[-5; -2,5]$: $x_1 = -1$ не принадлежит отрезку. $x_2 = -3$ принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=-2,5$: $f(-5) = -5 + \frac{1}{-5+2} = -5 + \frac{1}{-3} = -5 - \frac{1}{3} = -\frac{16}{3}$. $f(-3) = -3 + \frac{1}{-3+2} = -3 + \frac{1}{-1} = -3 - 1 = -4$. $f(-2,5) = -2,5 + \frac{1}{-2,5+2} = -2,5 + \frac{1}{-0,5} = -2,5 - 2 = -4,5 = -\frac{9}{2}$.
5. Сравним полученные значения: $\{-\frac{16}{3}; -4; -4,5\}$. Так как $-\frac{16}{3} = -5,333...$, то $-\frac{16}{3} < -4,5 < -4$. Наибольшее значение функции равно $-4$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.
Ответ: наибольшее значение: $-4$; наименьшее значение: $-\frac{16}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 310 расположенного на странице 158 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №310 (с. 158), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.