gdz.top
Номер 558, страница 261 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 558, страница 261.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104389 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/558" "field_display_title" => "558" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103776 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Показательная и логарифмическая функции" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "207" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #original: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1073 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "зелёный" "field_creative_case" => "зелёным" "field_dative_case" => "зелёному" "field_genitive_case" => "зелёного" "field_nominative_case" => "зелёный" "field_prepositional_case" => "зелёном" ] "field_translit" => "zelyonyy" ] #original: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "зелёный" "field_creative_case" => "зелёным" "field_dative_case" => "зелёному" "field_genitive_case" => "зелёного" "field_nominative_case" => "зелёный" "field_prepositional_case" => "зелёном" ] "field_translit" => "zelyonyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "chyornyy" ] #original: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "chyornyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103776 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Показательная и логарифмическая функции" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "207" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103776 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Показательная и логарифмическая функции" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "207" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103776 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Показательная и логарифмическая функции" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_page_start" => "207" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1127 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103779 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная показательной и логарифмической функций" "field_branch_order" => "11" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1128 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "251" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103779 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная показательной и логарифмической функций" "field_branch_order" => "11" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "field_page_start" => "251" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1089 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1103 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1104 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "text" => "<p>Постройте график функции $f$ и найдите ее производную (558–559).</p><p><strong>558. а)</strong> $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$; </p><p><strong>б)</strong> $f(x) = x^{\sqrt{3}}$; </p><p><strong>в)</strong> $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$; </p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.jpg" "alt" => null "width" => "1400" "height" => 362 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/558-1.webp?ts=1733865092" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095} "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "text" => "<p>Постройте график функции $f$ и найдите ее производную (558–559).</p><p><strong>558. а)</strong> $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$; </p><p><strong>б)</strong> $f(x) = x^{\sqrt{3}}$; </p><p><strong>в)</strong> $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$; </p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.jpg" "alt" => null "width" => "1400" "height" => 362 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/558-1.webp?ts=1733865092" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1097 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157778 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1098 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1096 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1071 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/558-1.webp?ts=1733865402" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157778 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.png" "alt" => null "width" => "752" "height" => 1071 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/558-1.webp?ts=1733865402" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1091 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 158493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1087 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.jpg" "alt" => null "width" => "1062" "height" => 434 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/558-1.webp?ts=1733996063" ] 1 => array:5 [ "name" => "558-2.jpg" "alt" => null "width" => "1062" "height" => 1041 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/558-2.webp?ts=1733996063" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 158493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "558-1.jpg" "alt" => null "width" => "1062" "height" => 434 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/558-1.webp?ts=1733996063" ] 1 => array:5 [ "name" => "558-2.jpg" "alt" => null "width" => "1062" "height" => 1041 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/558-2.webp?ts=1733996063" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1041 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1342212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1034 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1114 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] …13 } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>a)</strong> $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Для нахождения производной степенной функции $f(x) = x^n$ используется формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.<br>В данном случае $n = -\frac{3}{2}$.<br>$f'(x) = (x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$.<br>Производную можно также записать в виде $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Так как показатель степени является дробью с четным знаменателем ($-\frac{3}{2}$), основание $x$ должно быть неотрицательным. Кроме того, показатель степени отрицательный, поэтому основание не может быть равно нулю. Таким образом, область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x > 0$ значение $\sqrt{x^3}$ всегда положительно, следовательно, $f(x)$ также всегда положительна. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$ отрицательна для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция монотонно убывает на всем промежутке $(0, +\infty)$.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(1) = 1^{-\frac{3}{2}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Он представляет собой выпуклую вниз кривую, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.</p><p>Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$.</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем ту же формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{2}{3}$.<br>$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.<br>Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.<br>- <b>Область определения:</b> Кубический корень определен для всех действительных чисел, поэтому область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.<br>- <b>Четность:</b> $f(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.<br>- <b>Область значений:</b> Так как $f(x) = (\sqrt[3]{x})^2$, значения функции всегда неотрицательны. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.<br>При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.<br>При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.<br>В точке $x=0$ производная не существует (знаменатель равен нулю), что указывает на наличие каспа (точки возврата) в этой точке. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(-1)=1$, $f(8)=4$, $f(-8)=4$.<br>- <b>Описание графика:</b> График симметричен относительно оси $Oy$ и расположен в верхней полуплоскости. Он убывает из $+\infty$ при $x \to -\infty$ до точки $(0, 0)$, где образует острый "клюв" (касп), касательная в этой точке вертикальна. Затем график возрастает вправо от точки $(0, 0)$ до $+\infty$ при $x \to +\infty$.</p><p>Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = x^{\sqrt{3}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \sqrt{3}$.<br>$f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3} - 1}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{\sqrt{3}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Так как показатель степени $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, функция определена для $x \ge 0$. Область определения: $D(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x \ge 0$, $f(x) \ge 0$. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>$f(0) = 0$. График начинается в точке $(0, 0)$.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3}-1 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$. Функция монотонно возрастает на всей области определения.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(0)=0$, $f(1)=1$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Он начинается в начале координат, проходит через точку $(1, 1)$ и продолжает возрастать. Так как показатель степени $\sqrt{3} > 1$, график в точке $(0,0)$ касается оси $Ox$ и является выпуклым вниз.</p><p>Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$.</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = -\sqrt{5}$.<br>$f'(x) = (x^{-\sqrt{5}})' = -\sqrt{5} \cdot x^{-\sqrt{5} - 1}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{-\sqrt{5}} = \frac{1}{x^{\sqrt{5}}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Показатель степени $-\sqrt{5}$ иррациональный и отрицательный, поэтому функция определена для $x > 0$. Область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x > 0$, $x^{\sqrt{5}} > 0$, следовательно, $f(x) > 0$. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1} = -\frac{\sqrt{5}}{x^{\sqrt{5}+1}}$. Для $x>0$ производная всегда отрицательна. Следовательно, функция монотонно убывает на всей области определения.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(1) = 1^{-\sqrt{5}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Это выпуклая вниз кривая, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.</p><p>Ответ: $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1}$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1342212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "task" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>a)</strong> $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Для нахождения производной степенной функции $f(x) = x^n$ используется формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.<br>В данном случае $n = -\frac{3}{2}$.<br>$f'(x) = (x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$.<br>Производную можно также записать в виде $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Так как показатель степени является дробью с четным знаменателем ($-\frac{3}{2}$), основание $x$ должно быть неотрицательным. Кроме того, показатель степени отрицательный, поэтому основание не может быть равно нулю. Таким образом, область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x > 0$ значение $\sqrt{x^3}$ всегда положительно, следовательно, $f(x)$ также всегда положительна. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$ отрицательна для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция монотонно убывает на всем промежутке $(0, +\infty)$.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(1) = 1^{-\frac{3}{2}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Он представляет собой выпуклую вниз кривую, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.</p><p>Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$.</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем ту же формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{2}{3}$.<br>$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.<br>Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.<br>- <b>Область определения:</b> Кубический корень определен для всех действительных чисел, поэтому область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.<br>- <b>Четность:</b> $f(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.<br>- <b>Область значений:</b> Так как $f(x) = (\sqrt[3]{x})^2$, значения функции всегда неотрицательны. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.<br>При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.<br>При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.<br>В точке $x=0$ производная не существует (знаменатель равен нулю), что указывает на наличие каспа (точки возврата) в этой точке. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(-1)=1$, $f(8)=4$, $f(-8)=4$.<br>- <b>Описание графика:</b> График симметричен относительно оси $Oy$ и расположен в верхней полуплоскости. Он убывает из $+\infty$ при $x \to -\infty$ до точки $(0, 0)$, где образует острый "клюв" (касп), касательная в этой точке вертикальна. Затем график возрастает вправо от точки $(0, 0)$ до $+\infty$ при $x \to +\infty$.</p><p>Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = x^{\sqrt{3}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \sqrt{3}$.<br>$f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3} - 1}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{\sqrt{3}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Так как показатель степени $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, функция определена для $x \ge 0$. Область определения: $D(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x \ge 0$, $f(x) \ge 0$. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>$f(0) = 0$. График начинается в точке $(0, 0)$.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3}-1 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$. Функция монотонно возрастает на всей области определения.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(0)=0$, $f(1)=1$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Он начинается в начале координат, проходит через точку $(1, 1)$ и продолжает возрастать. Так как показатель степени $\sqrt{3} > 1$, график в точке $(0,0)$ касается оси $Ox$ и является выпуклым вниз.</p><p>Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$.</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$</p><p><u>1. Нахождение производной.</u><br>Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = -\sqrt{5}$.<br>$f'(x) = (x^{-\sqrt{5}})' = -\sqrt{5} \cdot x^{-\sqrt{5} - 1}$.</p><p><u>2. Построение графика.</u><br>Функция $f(x) = x^{-\sqrt{5}} = \frac{1}{x^{\sqrt{5}}}$.<br>- <b>Область определения:</b> Показатель степени $-\sqrt{5}$ иррациональный и отрицательный, поэтому функция определена для $x > 0$. Область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Область значений:</b> Для $x > 0$, $x^{\sqrt{5}} > 0$, следовательно, $f(x) > 0$. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.<br>- <b>Поведение функции:</b><br>При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.<br>При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.<br>- <b>Монотонность:</b> Производная $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1} = -\frac{\sqrt{5}}{x^{\sqrt{5}+1}}$. Для $x>0$ производная всегда отрицательна. Следовательно, функция монотонно убывает на всей области определения.<br>- <b>Ключевые точки:</b> $f(1) = 1^{-\sqrt{5}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.<br>- <b>Описание графика:</b> График функции расположен в первой координатной четверти. Это выпуклая вниз кривая, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.</p><p>Ответ: $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1}$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104390" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104388" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1109 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863620 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-261" "field_display_title" => "261" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "261" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1140 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1037798 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "261-1.jpg" "alt" => null "width" => "1514" "height" => 2441 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-1/261-1.webp?ts=1744132643" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1037798 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} "book_page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "261-1.jpg" "alt" => null "width" => "1514" "height" => 2441 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-1/261-1.webp?ts=1744132643" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863621" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863619" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Task {#1232 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104389 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/558" "field_display_title" => "558" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1089} 1 => App\Models\Element {#1097} 2 => App\Models\Element {#1091} 3 => App\Models\Element {#1041} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104390" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104388" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 104389 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/558" "field_display_title" => "558" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237} "next" => array:2 [ "refs" => "104390" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104388" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1239 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104390 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/559" "field_display_title" => "559" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1243 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1256 …30} 1 => App\Models\Element {#1258 …30} 2 => App\Models\Element {#1260 …30} 3 => App\Models\Element {#1262 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104391" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 104390 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/559" "field_display_title" => "559" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1243} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245} "next" => array:2 [ "refs" => "104391" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104389" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254} "page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863620 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-261" "field_display_title" => "261" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "261" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "next" => array:2 [ "refs" => "863621" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863619" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104389 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "261" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/558" "field_display_title" => "558" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "next" => array:2 [ "refs" => "104390" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104388" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106} "page" => array:2 [ "refs" => "863620" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№558 (с. 261)
Условие. №558 (с. 261)
скриншот условия
Постройте график функции $f$ и найдите ее производную (558–559).
558. а) $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$;
б) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;
в) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$;
г) $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$.
Решение 1. №558 (с. 261)
Решение 2. №558 (с. 261)
Решение 5. №558 (с. 261)
a) $f(x) = x^{-\frac{3}{2}}$
1. Нахождение производной.
Для нахождения производной степенной функции $f(x) = x^n$ используется формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае $n = -\frac{3}{2}$.
$f'(x) = (x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2} - 1} = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$.
Производную можно также записать в виде $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}}$.
2. Построение графика.
Функция $f(x) = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$.
- Область определения: Так как показатель степени является дробью с четным знаменателем ($-\frac{3}{2}$), основание $x$ должно быть неотрицательным. Кроме того, показатель степени отрицательный, поэтому основание не может быть равно нулю. Таким образом, область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.
- Область значений: Для $x > 0$ значение $\sqrt{x^3}$ всегда положительно, следовательно, $f(x)$ также всегда положительна. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.
- Поведение функции:
При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.
- Монотонность: Производная $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$ отрицательна для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция монотонно убывает на всем промежутке $(0, +\infty)$.
- Ключевые точки: $f(1) = 1^{-\frac{3}{2}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
- Описание графика: График функции расположен в первой координатной четверти. Он представляет собой выпуклую вниз кривую, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$.
б) $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$
1. Нахождение производной.
Используем ту же формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{2}{3}$.
$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}}$.
Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
2. Построение графика.
Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$.
- Область определения: Кубический корень определен для всех действительных чисел, поэтому область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
- Четность: $f(-x) = (-x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
- Область значений: Так как $f(x) = (\sqrt[3]{x})^2$, значения функции всегда неотрицательны. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.
- Монотонность: Производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная не существует (знаменатель равен нулю), что указывает на наличие каспа (точки возврата) в этой точке. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.
- Ключевые точки: $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(-1)=1$, $f(8)=4$, $f(-8)=4$.
- Описание графика: График симметричен относительно оси $Oy$ и расположен в верхней полуплоскости. Он убывает из $+\infty$ при $x \to -\infty$ до точки $(0, 0)$, где образует острый "клюв" (касп), касательная в этой точке вертикальна. Затем график возрастает вправо от точки $(0, 0)$ до $+\infty$ при $x \to +\infty$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
в) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$
1. Нахождение производной.
Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \sqrt{3}$.
$f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3} - 1}$.
2. Построение графика.
Функция $f(x) = x^{\sqrt{3}}$.
- Область определения: Так как показатель степени $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, функция определена для $x \ge 0$. Область определения: $D(f) = [0, +\infty)$.
- Область значений: Для $x \ge 0$, $f(x) \ge 0$. Область значений: $E(f) = [0, +\infty)$.
- Поведение функции:
$f(0) = 0$. График начинается в точке $(0, 0)$.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.
- Монотонность: Производная $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3}-1 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$. Функция монотонно возрастает на всей области определения.
- Ключевые точки: $f(0)=0$, $f(1)=1$.
- Описание графика: График функции расположен в первой координатной четверти. Он начинается в начале координат, проходит через точку $(1, 1)$ и продолжает возрастать. Так как показатель степени $\sqrt{3} > 1$, график в точке $(0,0)$ касается оси $Ox$ и является выпуклым вниз.
Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$.
г) $f(x) = x^{-\sqrt{5}}$
1. Нахождение производной.
Используем формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = -\sqrt{5}$.
$f'(x) = (x^{-\sqrt{5}})' = -\sqrt{5} \cdot x^{-\sqrt{5} - 1}$.
2. Построение графика.
Функция $f(x) = x^{-\sqrt{5}} = \frac{1}{x^{\sqrt{5}}}$.
- Область определения: Показатель степени $-\sqrt{5}$ иррациональный и отрицательный, поэтому функция определена для $x > 0$. Область определения: $D(f) = (0, +\infty)$.
- Область значений: Для $x > 0$, $x^{\sqrt{5}} > 0$, следовательно, $f(x) > 0$. Область значений: $E(f) = (0, +\infty)$.
- Поведение функции:
При $x \to 0^+$ (справа), $f(x) \to +\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.
При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.
- Монотонность: Производная $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1} = -\frac{\sqrt{5}}{x^{\sqrt{5}+1}}$. Для $x>0$ производная всегда отрицательна. Следовательно, функция монотонно убывает на всей области определения.
- Ключевые точки: $f(1) = 1^{-\sqrt{5}} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
- Описание графика: График функции расположен в первой координатной четверти. Это выпуклая вниз кривая, которая начинается от $+\infty$ вблизи оси $Oy$, проходит через точку $(1, 1)$ и, убывая, асимптотически приближается к оси $Ox$.
Ответ: $f'(x) = -\sqrt{5}x^{-\sqrt{5}-1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 558 расположенного на странице 261 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №558 (с. 261), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.