gdz.top
Номер 46, страница 86 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн
Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2026
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Олимпиадные задачи - номер 46, страница 86.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319515 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_page_end" => "87" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-46" "field_display_title" => "46" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 5400 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Физика" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "физику" "field_creative_case" => "физикой" "field_dative_case" => "физике" "field_genitive_case" => "физики" "field_nominative_case" => "физика" "field_prepositional_case" => "физике" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "fizika" ] #original: array:10 [ "id" => 6493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Физика" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "физику" "field_creative_case" => "физикой" "field_dative_case" => "физике" "field_genitive_case" => "физики" "field_nominative_case" => "физика" "field_prepositional_case" => "физике" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "fizika" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1055 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #original: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Гельфгат" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Илья" "field_patronymic" => "Маркович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Гельфгат" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Илья" "field_patronymic" => "Маркович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4104 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Генденштейн" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лев" "field_patronymic" => "Элевич" "field_surname_rp" => "Генденштейна" ] #original: array:12 [ "id" => 4104 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Генденштейн" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лев" "field_patronymic" => "Элевич" "field_surname_rp" => "Генденштейна" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кирик" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Леонид" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кирик" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Леонид" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1062 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Задачник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "задачник" "field_creative_case" => "задачником" "field_dative_case" => "задачнику" "field_genitive_case" => "задачника" "field_nominative_case" => "задачник" "field_prepositional_case" => "задачнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "zadachnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Задачник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "задачник" "field_creative_case" => "задачником" "field_dative_case" => "задачнику" "field_genitive_case" => "задачника" "field_nominative_case" => "задачник" "field_prepositional_case" => "задачнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "zadachnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 40 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "профильный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "профильный" "field_creative_case" => "профильным" "field_dative_case" => "профильному" "field_genitive_case" => "профильного" "field_nominative_case" => "профильный" "field_prepositional_case" => "профильном" ] "field_translit" => "profilnyy" ] #original: array:6 [ "id" => 40 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "профильный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "профильный" "field_creative_case" => "профильным" "field_dative_case" => "профильному" "field_genitive_case" => "профильного" "field_nominative_case" => "профильный" "field_prepositional_case" => "профильном" ] "field_translit" => "profilnyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "лупа, парень едет на велосипеде" "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное издание" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "459" "field_priority" => null "field_default_folder" => "/fizika_10/gelfgat-z/" "field_isbn" => "978-5-89237-252-7" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" "alt" => "" "width" => "1566" "height" => "2412" ] ] "field_popular_book" => "0" "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1078 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 46 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "красный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "красный" "field_creative_case" => "красным" "field_dative_case" => "красному" "field_genitive_case" => "красного" "field_nominative_case" => "красный" "field_prepositional_case" => "красном" ] "field_translit" => "krasnyy" ] #original: array:6 [ "id" => 46 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "красный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "красный" "field_creative_case" => "красным" "field_dative_case" => "красному" "field_genitive_case" => "красного" "field_nominative_case" => "красный" "field_prepositional_case" => "красном" ] "field_translit" => "krasnyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 556 "class_subject" => 494 ] ] #original: array:50 [ "id" => 5400 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "лупа, парень едет на велосипеде" "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное издание" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "459" "field_priority" => null "field_default_folder" => "/fizika_10/gelfgat-z/" "field_isbn" => "978-5-89237-252-7" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" "alt" => "" "width" => "1566" "height" => "2412" ] ] "field_popular_book" => "0" "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 556 "class_subject" => 494 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1121 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1125 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319296 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Законы сохранения в механике" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "73" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319296 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Законы сохранения в механике" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} "field_page_start" => "73" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1129 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "77" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1139 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319296 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Законы сохранения в механике" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "73" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319296 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Законы сохранения в механике" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "field_page_start" => "73" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "field_page_start" => "77" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Branch {#1133 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319302 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Олимпиадные задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "83" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1148 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "77" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1139} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150} "field_page_start" => "77" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319302 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Олимпиадные задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "field_page_start" => "83" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1102 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1494024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1101 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5430 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1100 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #original: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5430 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-46.</strong> Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек имеет вид $E_{\text{П}} = C/r$, где $\text{r}$ — расстояние между точками. Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой $\text{F}$, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением?</p><p><strong>Решение.</strong> При изменении расстояния между материальными точками на $\Delta r \ll r$ потенциальная энергия изменится на величину $\Delta E_{\text{П}} = \frac{C}{r+\Delta r} - \frac{C}{r} = -\frac{C \cdot \Delta r}{r(r+\Delta r)} \approx -\frac{C \cdot \Delta r}{r^2}$.</p><p>Поскольку эта величина связана с работой силы соотношением $\Delta E_{\text{П}} = -A = -F \cdot \Delta r$, получаем $F = \frac{C}{r^2}$. Если $C > 0$, при сближении тел $E_{\text{П}}$ увеличивается. Это означает, что для сближения тел необходимо совершать работу, т. е. случай $C > 0$ соответствует отталкиванию. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что случай $C < 0$ соответствует притяжению. Заметим, что сила всемирного тяготения $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ принадлежит как раз к рассматриваемому виду сил; потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или сферически симметричных тел) $E_{\text{П}} = -G \frac{m_1 m_2}{r}$. При подъеме тела массой $\text{m}$ на небольшую высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли потенциальная энергия увеличивается на величину $\Delta E_{\text{П}} = -G \frac{mM}{R+h} + G \frac{mM}{R} = G \frac{mMh}{R(R+h)} \approx G \frac{mM}{R^2} h$.</p><p>Здесь $\text{R}$ и $\text{M}$ — радиус и масса Земли. Учитывая, что $G \frac{mM}{R^2} = mg$, получаем $\Delta E_{\text{П}} = mgh$ (чего и следовало ожидать).</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "46-1.jpg" "alt" => null "width" => "1396" "height" => 1662 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/46-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "46-2.jpg" "alt" => null "width" => "1299" "height" => 322 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/46-2.webp?ts=1756251198" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1494024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "task" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-46.</strong> Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек имеет вид $E_{\text{П}} = C/r$, где $\text{r}$ — расстояние между точками. Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой $\text{F}$, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением?</p><p><strong>Решение.</strong> При изменении расстояния между материальными точками на $\Delta r \ll r$ потенциальная энергия изменится на величину $\Delta E_{\text{П}} = \frac{C}{r+\Delta r} - \frac{C}{r} = -\frac{C \cdot \Delta r}{r(r+\Delta r)} \approx -\frac{C \cdot \Delta r}{r^2}$.</p><p>Поскольку эта величина связана с работой силы соотношением $\Delta E_{\text{П}} = -A = -F \cdot \Delta r$, получаем $F = \frac{C}{r^2}$. Если $C > 0$, при сближении тел $E_{\text{П}}$ увеличивается. Это означает, что для сближения тел необходимо совершать работу, т. е. случай $C > 0$ соответствует отталкиванию. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что случай $C < 0$ соответствует притяжению. Заметим, что сила всемирного тяготения $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ принадлежит как раз к рассматриваемому виду сил; потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или сферически симметричных тел) $E_{\text{П}} = -G \frac{m_1 m_2}{r}$. При подъеме тела массой $\text{m}$ на небольшую высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли потенциальная энергия увеличивается на величину $\Delta E_{\text{П}} = -G \frac{mM}{R+h} + G \frac{mM}{R} = G \frac{mMh}{R(R+h)} \approx G \frac{mM}{R^2} h$.</p><p>Здесь $\text{R}$ и $\text{M}$ — радиус и масса Земли. Учитывая, что $G \frac{mM}{R^2} = mg$, получаем $\Delta E_{\text{П}} = mgh$ (чего и следовало ожидать).</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "46-1.jpg" "alt" => null "width" => "1396" "height" => 1662 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/46-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "46-2.jpg" "alt" => null "width" => "1299" "height" => 322 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/46-2.webp?ts=1756251198" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1094 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1691581 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1095 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 6138 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1093 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 6138 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек: $E_П = \frac{C}{r}$, где $r$ - расстояние между точками, $C$ - константа.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p><strong>1.</strong> Доказать, что сила взаимодействия $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$.</p><p><strong>2.</strong> Определить, при каких значениях $C$ взаимодействие является притяжением.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p><strong>Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой F, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.</strong></p><p>Сила, действующая в консервативном поле, связана с потенциальной энергией этого поля. Для взаимодействия, зависящего только от расстояния, сила $F$ является производной от потенциальной энергии $E_П$ по расстоянию $r$, взятой с обратным знаком:</p><p>$F = - \frac{dE_П}{dr}$</p><p>Здесь $F$ — это проекция силы на направление, соединяющее точки. Положительное значение $F$ соответствует отталкиванию (сила направлена в сторону увеличения $r$), а отрицательное — притяжению (сила направлена в сторону уменьшения $r$).</p><p>Найдем производную от заданной потенциальной энергии $E_П = C/r$ по расстоянию $r$:</p><p>$\frac{dE_П}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{C}{r}\right) = \frac{d}{dr} (C \cdot r^{-1}) = C \cdot (-1) \cdot r^{-1-1} = -C \cdot r^{-2} = -\frac{C}{r^2}$</p><p>Теперь подставим полученное выражение в формулу для силы:</p><p>$F = - \left(-\frac{C}{r^2}\right) = \frac{C}{r^2}$</p><p>Из полученной формулы видно, что модуль силы взаимодействия $|F| = \frac{|C|}{r^2}$ обратно пропорционален квадрату расстояния $r^2$ между точками, что и требовалось доказать.</p><p><strong>Ответ:</strong> Сила взаимодействия выражается формулой $F = \frac{C}{r^2}$, следовательно, она обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками.</p><p><strong>При каких значениях C взаимодействие является притяжением?</strong></p><p>Взаимодействие является притяжением, когда сила направлена на сближение точек. В нашей системе координат это соответствует отрицательному значению проекции силы на радиальное направление, то есть $F < 0$.</p><p>Используем полученное ранее выражение для силы:</p><p>$F = \frac{C}{r^2}$</p><p>Чтобы выполнялось условие притяжения ($F < 0$), необходимо, чтобы выполнялось неравенство:</p><p>$\frac{C}{r^2} < 0$</p><p>Поскольку расстояние $r$ является положительной величиной, его квадрат $r^2$ также всегда положителен ($r^2 > 0$). Следовательно, для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:</p><p>$C < 0$</p><p>Таким образом, взаимодействие является притяжением, когда константа $C$ отрицательна. Примером такого взаимодействия является гравитация, где потенциальная энергия имеет вид $E_П = -G\frac{m_1 m_2}{r}$, и константа $C = -Gm_1 m_2 < 0$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Взаимодействие является притяжением при $C < 0$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1691581 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "task" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек: $E_П = \frac{C}{r}$, где $r$ - расстояние между точками, $C$ - константа.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p><strong>1.</strong> Доказать, что сила взаимодействия $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$.</p><p><strong>2.</strong> Определить, при каких значениях $C$ взаимодействие является притяжением.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p><strong>Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой F, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.</strong></p><p>Сила, действующая в консервативном поле, связана с потенциальной энергией этого поля. Для взаимодействия, зависящего только от расстояния, сила $F$ является производной от потенциальной энергии $E_П$ по расстоянию $r$, взятой с обратным знаком:</p><p>$F = - \frac{dE_П}{dr}$</p><p>Здесь $F$ — это проекция силы на направление, соединяющее точки. Положительное значение $F$ соответствует отталкиванию (сила направлена в сторону увеличения $r$), а отрицательное — притяжению (сила направлена в сторону уменьшения $r$).</p><p>Найдем производную от заданной потенциальной энергии $E_П = C/r$ по расстоянию $r$:</p><p>$\frac{dE_П}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{C}{r}\right) = \frac{d}{dr} (C \cdot r^{-1}) = C \cdot (-1) \cdot r^{-1-1} = -C \cdot r^{-2} = -\frac{C}{r^2}$</p><p>Теперь подставим полученное выражение в формулу для силы:</p><p>$F = - \left(-\frac{C}{r^2}\right) = \frac{C}{r^2}$</p><p>Из полученной формулы видно, что модуль силы взаимодействия $|F| = \frac{|C|}{r^2}$ обратно пропорционален квадрату расстояния $r^2$ между точками, что и требовалось доказать.</p><p><strong>Ответ:</strong> Сила взаимодействия выражается формулой $F = \frac{C}{r^2}$, следовательно, она обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками.</p><p><strong>При каких значениях C взаимодействие является притяжением?</strong></p><p>Взаимодействие является притяжением, когда сила направлена на сближение точек. В нашей системе координат это соответствует отрицательному значению проекции силы на радиальное направление, то есть $F < 0$.</p><p>Используем полученное ранее выражение для силы:</p><p>$F = \frac{C}{r^2}$</p><p>Чтобы выполнялось условие притяжения ($F < 0$), необходимо, чтобы выполнялось неравенство:</p><p>$\frac{C}{r^2} < 0$</p><p>Поскольку расстояние $r$ является положительной величиной, его квадрат $r^2$ также всегда положителен ($r^2 > 0$). Следовательно, для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:</p><p>$C < 0$</p><p>Таким образом, взаимодействие является притяжением, когда константа $C$ отрицательна. Примером такого взаимодействия является гравитация, где потенциальная энергия имеет вид $E_П = -G\frac{m_1 m_2}{r}$, и константа $C = -Gm_1 m_2 < 0$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Взаимодействие является притяжением при $C < 0$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319516" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1107 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1341047 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/page-86" "field_display_title" => "86" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "86" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1109 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1519592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1101} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "1341047" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "86-1.jpg" "alt" => null "width" => "1548" "height" => 2446 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-1/86-1.webp?ts=1756642318" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1519592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "book_page" => array:2 [ "refs" => "1341047" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "86-1.jpg" "alt" => null "width" => "1548" "height" => 2446 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-1/86-1.webp?ts=1756642318" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1341048" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1341046" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Task {#1228 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319514 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_page_end" => "86" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-45" "field_display_title" => "45" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1121} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1121} 1 => App\Models\Branch {#1125} 2 => App\Models\Branch {#1129} 3 => App\Models\Branch {#1133} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1243 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1494023 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1101} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-45.</strong> На гладкой горизонтальной поверхности покоится гладкая горка (см. рисунок). На горку налетает скользящее по поверхности небольшое тело. Каким может быть результат столкновения? При движении по горке тело не отрывается от нее.</p><p>☑ <strong>При $v < v_0 = \sqrt{2gH(1+m/M)}$</strong> тело соскальзывает с горки, не дойдя до ее вершины и передав горке часть своего импульса и своей энергии; при $v > v_0$ тело преодолеет горку и продолжит движение со скоростью $\text{v}$, а горка сместится вправо от начального положения и остановится; при $v = v_0$ тело может некоторое время двигаться вместе с горкой, находясь на ее вершине.</p><p><strong>Решение.</strong> Результат столкновения зависит от того, преодолеет ли тело вершину горки. Определим минимальную начальную скорость $v_0$ тела, при которой это возможно. Она, очевидно, позволяет телу подняться на вершину горки и там остановиться относительно горки, т. е. двигаться вместе с ней с некоторой скоростью $\text{u}$. Применив к этому движению законы сохранения энергии и импульса, получаем</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M) \cdot u^2}{2} + mgH$; $mv_0 = (m+M) \cdot u$.</p><p>Отсюда $v_0 = \sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}$. Заметим, что чем легче горка, тем большая скорость требуется для ее преодоления. Когда $v = v_0$, тело может некоторое время находиться в неустойчивом равновесии на вершине горки. Если бы вершина горки была плоской, тело могло бы там остаться и столкновение можно было бы считать «неупругим» (кинетическая энергия не сохраняется, однако в данном случае она переходит не во внутреннюю, а в потенциальную энергию).</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "45-1.jpg" "alt" => null "width" => "1391" "height" => 1459 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/45-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "45-2.jpg" "alt" => null "width" => "1304" "height" => 613 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/45-2.webp?ts=1756251198" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1494023 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244} "task" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-45.</strong> На гладкой горизонтальной поверхности покоится гладкая горка (см. рисунок). На горку налетает скользящее по поверхности небольшое тело. Каким может быть результат столкновения? При движении по горке тело не отрывается от нее.</p><p>☑ <strong>При $v < v_0 = \sqrt{2gH(1+m/M)}$</strong> тело соскальзывает с горки, не дойдя до ее вершины и передав горке часть своего импульса и своей энергии; при $v > v_0$ тело преодолеет горку и продолжит движение со скоростью $\text{v}$, а горка сместится вправо от начального положения и остановится; при $v = v_0$ тело может некоторое время двигаться вместе с горкой, находясь на ее вершине.</p><p><strong>Решение.</strong> Результат столкновения зависит от того, преодолеет ли тело вершину горки. Определим минимальную начальную скорость $v_0$ тела, при которой это возможно. Она, очевидно, позволяет телу подняться на вершину горки и там остановиться относительно горки, т. е. двигаться вместе с ней с некоторой скоростью $\text{u}$. Применив к этому движению законы сохранения энергии и импульса, получаем</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M) \cdot u^2}{2} + mgH$; $mv_0 = (m+M) \cdot u$.</p><p>Отсюда $v_0 = \sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}$. Заметим, что чем легче горка, тем большая скорость требуется для ее преодоления. Когда $v = v_0$, тело может некоторое время находиться в неустойчивом равновесии на вершине горки. Если бы вершина горки была плоской, тело могло бы там остаться и столкновение можно было бы считать «неупругим» (кинетическая энергия не сохраняется, однако в данном случае она переходит не во внутреннюю, а в потенциальную энергию).</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "45-1.jpg" "alt" => null "width" => "1391" "height" => 1459 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/45-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "45-2.jpg" "alt" => null "width" => "1304" …2 ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1245 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1691580 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Масса тела: $m$</p><p>Начальная скорость тела: $v$</p><p>Масса горки: $M$</p><p>Высота горки: $H$</p><p>Горка и поверхность гладкие.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Результат столкновения.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Результат взаимодействия тела и горки зависит от того, сможет ли тело преодолеть вершину горки. Это, в свою очередь, определяется начальной скоростью тела $v$. Найдем минимальную начальную скорость $v_0$, при которой тело сможет достичь вершины горки.</p><p>Условием достижения вершины является то, что в наивысшей точке траектории (на высоте $H$) тело и горка будут иметь одинаковую горизонтальную скорость, которую обозначим $u$. В этот момент тело перестает подниматься относительно горки.</p><p>Рассмотрим систему "тело + горка". Поскольку внешние горизонтальные силы отсутствуют (поверхность гладкая), для системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении:</p><p>$mv_0 = (m + M)u$</p><p>Так как все поверхности гладкие, трение отсутствует, и для системы выполняется закон сохранения механической энергии. Начальная энергия системы (кинетическая энергия тела) переходит в кинетическую энергию системы "тело + горка" и потенциальную энергию тела:</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + mgH$</p><p>Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $u$. Выразим $u$ из первого уравнения:</p><p>$u = \frac{mv_0}{m+M}$</p><p>Подставим это выражение во второе уравнение:</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{mv_0}{m+M} \right)^2 + mgH$</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)m^2v_0^2}{2(m+M)^2} + mgH$</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m^2v_0^2}{2(m+M)} + mgH$</p><p>Сократим на $m$ и умножим на 2:</p><p>$v_0^2 = \frac{mv_0^2}{m+M} + 2gH$</p><p>$v_0^2 - \frac{mv_0^2}{m+M} = 2gH$</p><p>$v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) = 2gH$</p><p>$v_0^2 \left( \frac{m+M-m}{m+M} \right) = 2gH$</p><p>$v_0^2 \frac{M}{m+M} = 2gH$</p><p>Отсюда находим квадрат критической скорости:</p><p>$v_0^2 = 2gH \frac{m+M}{M} = 2gH \left(1 + \frac{m}{M}\right)$</p><p>И саму критическую скорость:</p><p>$v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$</p><p>Теперь можно проанализировать три возможных случая в зависимости от начальной скорости тела $v$.</p><p><strong>1.</strong> <strong>При $v < v_0$</strong>. Начальной кинетической энергии тела недостаточно, чтобы подняться на вершину горки. Тело поднимется на некоторую максимальную высоту $h < H$, после чего соскользнет обратно. В результате взаимодействия горка получит некоторый импульс и сдвинется вправо, а тело, соскользнув, будет двигаться либо влево, либо вправо с меньшей скоростью (в зависимости от соотношения масс).</p><p><strong>2.</strong> <strong>При $v = v_0$</strong>. Тело обладает ровно такой энергией, чтобы достичь вершины горки. На вершине скорости тела и горки сравняются, и они будут двигаться как единое целое со скоростью $u = \frac{mv_0}{m+M}$. Если вершина горки представляет собой точку, тело сразу начнет съезжать с нее. Если вершина плоская, тело может некоторое время двигаться вместе с горкой.</p><p><strong>3.</strong> <strong>При $v > v_0$</strong>. Начальная энергия тела больше, чем необходимо для преодоления горки. Тело переедет через вершину и продолжит движение вправо. Горка также будет двигаться вправо. Так как взаимодействие в целом упругое (механическая энергия сохраняется), конечные скорости тела $v_f$ и горки $u_f$ будут такими же, как при одномерном упругом столкновении: $v_f = v\frac{m-M}{m+M}$, $u_f = v\frac{2m}{m+M}$.</p><p><strong>Ответ:</strong></p><p>Результат столкновения зависит от соотношения начальной скорости тела $v$ и критической скорости $v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$.</p><ul><li>Если $v < v_0$, тело не сможет преодолеть горку. Оно поднимется на некоторую высоту и соскользнет назад. В итоге и тело, и горка будут двигаться.</li><li>Если $v = v_0$, тело достигнет вершины горки, и в этот момент они будут двигаться вместе как единое целое.</li><li>Если $v > v_0$, тело преодолеет горку и продолжит свое движение. Горка также будет двигаться вправо после взаимодействия.</li></ul>" ] #original: array:6 [ "id" => 1691580 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "task" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Масса тела: $m$</p><p>Начальная скорость тела: $v$</p><p>Масса горки: $M$</p><p>Высота горки: $H$</p><p>Горка и поверхность гладкие.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Результат столкновения.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Результат взаимодействия тела и горки зависит от того, сможет ли тело преодолеть вершину горки. Это, в свою очередь, определяется начальной скоростью тела $v$. Найдем минимальную начальную скорость $v_0$, при которой тело сможет достичь вершины горки.</p><p>Условием достижения вершины является то, что в наивысшей точке траектории (на высоте $H$) тело и горка будут иметь одинаковую горизонтальную скорость, которую обозначим $u$. В этот момент тело перестает подниматься относительно горки.</p><p>Рассмотрим систему "тело + горка". Поскольку внешние горизонтальные силы отсутствуют (поверхность гладкая), для системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении:</p><p>$mv_0 = (m + M)u$</p><p>Так как все поверхности гладкие, трение отсутствует, и для системы выполняется закон сохранения механической энергии. Начальная энергия системы (кинетическая энергия тела) переходит в кинетическую энергию системы "тело + горка" и потенциальную энергию тела:</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + mgH$</p><p>Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $u$. Выразим $u$ из первого уравнения:</p><p>$u = \frac{mv_0}{m+M}$</p><p>Подставим это выражение во второе уравнение:</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{mv_0}{m+M} \right)^2 + mgH$</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)m^2v_0^2}{2(m+M)^2} + mgH$</p><p>$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m^2v_0^2}{2(m+M)} + mgH$</p><p>Сократим на $m$ и умножим на 2:</p><p>$v_0^2 = \frac{mv_0^2}{m+M} + 2gH$</p><p>$v_0^2 - \frac{mv_0^2}{m+M} = 2gH$</p><p>$v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) = 2gH$</p><p>$v_0^2 \left( \frac{m+M-m}{m+M} \right) = 2gH$</p><p>$v_0^2 \frac{M}{m+M} = 2gH$</p><p>Отсюда находим квадрат критической скорости:</p><p>$v_0^2 = 2gH \frac{m+M}{M} = 2gH \left(1 + \frac{m}{M}\right)$</p><p>И саму критическую скорость:</p><p>$v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$</p><p>Теперь можно проанализировать три возможных случая в зависимости от начальной скорости тела $v$.</p><p><strong>1.</strong> <strong>При $v < v_0$</strong>. Начальной кинетической энергии тела недостаточно, чтобы подняться на вершину горки. Тело поднимется на некоторую максимальную высоту $h < H$, после чего соскользнет обратно. В результате взаимодействия горка получит некоторый импульс и сдвинется вправо, а тело, соскользнув, будет двигаться либо влево, либо вправо с меньшей скоростью (в зависимости от соотношения масс).</p><p><strong>2.</strong> <strong>При $v = v_0$</strong>. Тело обладает ровно такой энергией, чтобы достичь вершины горки. На вершине скорости тела и горки сравняются, и они будут двигаться как единое целое со скоростью $u = \frac{mv_0}{m+M}$. Если вершина горки представляет собой точку, тело сразу начнет съезжать с нее. Если вершина плоская, тело может некоторое время двигаться вместе с горкой.</p><p><strong>3.</strong> <strong>При $v > v_0$</strong>. Начальная энергия тела больше, чем необходимо для преодоления горки. Тело переедет через вершину и продолжит движение вправо. Горка также будет двигаться вправо. Так как взаимодействие в целом упругое (механическая энергия сохраняется), конечные скорости тела $v_f$ и горки $u_f$ будут такими же, как при одномерном упругом столкновении: $v_f = v\frac{m-M}{m+M}$, $u_f = v\frac{2m}{m+M}$.</p><p><strong>Ответ:</strong></p><p>Результат столкновения зависит от соотношения начальной скорости тела $v$ и критической скорости $v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$.</p><ul><li>Если $v < v_0$, тело не сможет преодолеть горку. Оно поднимется на некоторую высоту и соскользнет назад. В итоге и тело, и горка будут двигаться.</li><li>Если $v = v_0$, тело достигнет вершины горки, и в этот момент они будут двигаться вместе как единое целое.</li><li>Если $v > v_0$, тело преодолеет горку и продолжит свое движение. Горка также будет двигаться вправо после взаимодействия.</li></ul>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319513" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1341046" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1319514 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_page_end" => "86" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-45" "field_display_title" => "45" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "next" => array:2 [ "refs" => "1319515" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319513" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "page" => array:2 [ "refs" => "1341046" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1235 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319515 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_page_end" => "87" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-46" "field_display_title" => "46" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1121} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1121} 1 => App\Models\Branch {#1125} 2 => App\Models\Branch {#1129} 3 => App\Models\Branch {#1133} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1102} 1 => App\Models\Element {#1094} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319516" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1341047" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1319515 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_page_end" => "87" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-46" "field_display_title" => "46" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239} "next" => array:2 [ "refs" => "1319516" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237} "page" => array:2 [ "refs" => "1341047" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1341047 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/page-86" "field_display_title" => "86" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "86" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "next" => array:2 [ "refs" => "1341048" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1341046" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319515 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "86" "field_page_end" => "87" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-46" "field_display_title" => "46" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "next" => array:2 [ "refs" => "1319516" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319514" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "page" => array:2 [ "refs" => "1341047" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№46 (с. 86)
Условие. №46 (с. 86)
скриншот условия
O-46. Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек имеет вид $E_{\text{П}} = C/r$, где $\text{r}$ — расстояние между точками. Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой $\text{F}$, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением?
Решение. При изменении расстояния между материальными точками на $\Delta r \ll r$ потенциальная энергия изменится на величину $\Delta E_{\text{П}} = \frac{C}{r+\Delta r} - \frac{C}{r} = -\frac{C \cdot \Delta r}{r(r+\Delta r)} \approx -\frac{C \cdot \Delta r}{r^2}$.
Поскольку эта величина связана с работой силы соотношением $\Delta E_{\text{П}} = -A = -F \cdot \Delta r$, получаем $F = \frac{C}{r^2}$. Если $C > 0$, при сближении тел $E_{\text{П}}$ увеличивается. Это означает, что для сближения тел необходимо совершать работу, т. е. случай $C > 0$ соответствует отталкиванию. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что случай $C < 0$ соответствует притяжению. Заметим, что сила всемирного тяготения $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ принадлежит как раз к рассматриваемому виду сил; потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или сферически симметричных тел) $E_{\text{П}} = -G \frac{m_1 m_2}{r}$. При подъеме тела массой $\text{m}$ на небольшую высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли потенциальная энергия увеличивается на величину $\Delta E_{\text{П}} = -G \frac{mM}{R+h} + G \frac{mM}{R} = G \frac{mMh}{R(R+h)} \approx G \frac{mM}{R^2} h$.
Здесь $\text{R}$ и $\text{M}$ — радиус и масса Земли. Учитывая, что $G \frac{mM}{R^2} = mg$, получаем $\Delta E_{\text{П}} = mgh$ (чего и следовало ожидать).
Решение. №46 (с. 86)
Дано:
Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек: $E_П = \frac{C}{r}$, где $r$ - расстояние между точками, $C$ - константа.
Найти:
1. Доказать, что сила взаимодействия $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$.
2. Определить, при каких значениях $C$ взаимодействие является притяжением.
Решение:
Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой F, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Сила, действующая в консервативном поле, связана с потенциальной энергией этого поля. Для взаимодействия, зависящего только от расстояния, сила $F$ является производной от потенциальной энергии $E_П$ по расстоянию $r$, взятой с обратным знаком:
$F = - \frac{dE_П}{dr}$
Здесь $F$ — это проекция силы на направление, соединяющее точки. Положительное значение $F$ соответствует отталкиванию (сила направлена в сторону увеличения $r$), а отрицательное — притяжению (сила направлена в сторону уменьшения $r$).
Найдем производную от заданной потенциальной энергии $E_П = C/r$ по расстоянию $r$:
$\frac{dE_П}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{C}{r}\right) = \frac{d}{dr} (C \cdot r^{-1}) = C \cdot (-1) \cdot r^{-1-1} = -C \cdot r^{-2} = -\frac{C}{r^2}$
Теперь подставим полученное выражение в формулу для силы:
$F = - \left(-\frac{C}{r^2}\right) = \frac{C}{r^2}$
Из полученной формулы видно, что модуль силы взаимодействия $|F| = \frac{|C|}{r^2}$ обратно пропорционален квадрату расстояния $r^2$ между точками, что и требовалось доказать.
Ответ: Сила взаимодействия выражается формулой $F = \frac{C}{r^2}$, следовательно, она обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками.
При каких значениях C взаимодействие является притяжением?
Взаимодействие является притяжением, когда сила направлена на сближение точек. В нашей системе координат это соответствует отрицательному значению проекции силы на радиальное направление, то есть $F < 0$.
Используем полученное ранее выражение для силы:
$F = \frac{C}{r^2}$
Чтобы выполнялось условие притяжения ($F < 0$), необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$\frac{C}{r^2} < 0$
Поскольку расстояние $r$ является положительной величиной, его квадрат $r^2$ также всегда положителен ($r^2 > 0$). Следовательно, для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:
$C < 0$
Таким образом, взаимодействие является притяжением, когда константа $C$ отрицательна. Примером такого взаимодействия является гравитация, где потенциальная энергия имеет вид $E_П = -G\frac{m_1 m_2}{r}$, и константа $C = -Gm_1 m_2 < 0$.
Ответ: Взаимодействие является притяжением при $C < 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 46 расположенного на странице 86 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №46 (с. 86), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.