508. [429] Идеальный газ количеством вещества 1 моль сначала нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объёме переводится в состояние с температурой $T_1 = 300 \text{ K}$, которая равна начальной. Газу при этом сообщается количество теплоты $Q = 2,24 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Во сколько раз изменяется объём газа?

Дано:

$ν = 1$ моль

$T_1 = 300$ К

$T_{конечная} = T_1$

$Q = 2.24 \cdot 10^4$ Дж

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Процесс, описанный в задаче, состоит из двух этапов:
1. Изобарное нагревание (1→2): газ переходит из состояния $(p_1, V_1, T_1)$ в состояние $(p_1, V_2, T_2)$.
2. Изохорное охлаждение (2→3): газ переходит из состояния $(p_1, V_2, T_2)$ в состояние $(p_3, V_2, T_1)$.

Запишем первый закон термодинамики для всего процесса от начального состояния 1 до конечного состояния 3:

$Q = \Delta U_{13} + A_{13}$

где $\text{Q}$ — общее количество теплоты, сообщенное газу, $\Delta U_{13}$ — изменение внутренней энергии газа, $A_{13}$ — общая работа, совершенная газом.

Изменение внутренней энергии идеального газа $\Delta U$ зависит только от изменения его температуры. Так как начальная и конечная температуры равны ($T_3 = T_1$), то общее изменение внутренней энергии равно нулю:

$\Delta U_{13} = 0$

Таким образом, первый закон термодинамики для всего процесса принимает вид:

$Q = A_{13}$

Общая работа $A_{13}$ складывается из работы на двух участках: $A_{13} = A_{12} + A_{23}$.

На втором участке (2→3) процесс изохорный ($V=const$), поэтому работа не совершается: $A_{23} = 0$.

На первом участке (1→2) процесс изобарный ($p_1=const$), и работа газа равна:

$A_{12} = p_1 (V_2 - V_1)$

Используя уравнение состояния идеального газа ($pV = \nu RT$), можем переписать работу через изменение температуры:

$A_{12} = p_1 V_2 - p_1 V_1 = \nu R T_2 - \nu R T_1 = \nu R (T_2 - T_1)$

Следовательно, общая работа равна работе на первом участке, и общее количество теплоты равно этой работе:

$Q = A_{13} = A_{12} = \nu R (T_2 - T_1)$

Отсюда мы можем выразить температуру $T_2$ в промежуточном состоянии:

$T_2 - T_1 = \frac{Q}{\nu R}$

$T_2 = T_1 + \frac{Q}{\nu R}$

Нас интересует, во сколько раз изменился объём газа. Объём изменялся только на первом, изобарном, участке. Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Отсюда находим искомое отношение объёмов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставим выражение для $T_2$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_1 + \frac{Q}{\nu R}}{T_1} = 1 + \frac{Q}{\nu R T_1}$

Подставим числовые значения. Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К).

$\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{2.24 \cdot 10^4 \text{ Дж}}{1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}} = 1 + \frac{22400}{2493} \approx 1 + 8.985 \approx 9.985$

Полученное значение очень близко к 10. Расхождение, вероятно, связано с округлением значения $\text{Q}$ в условии задачи. Округляя результат, получаем, что объём изменился в 10 раз.

Ответ: объём газа увеличился в 10 раз.