gdz.top
Номер 727, страница 185 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения. Параграф 3. Движения - номер 727, страница 185.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 745142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-727" "field_display_title" => "727" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1035 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1040 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Term {#1046 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1051 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058} "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1070 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744408 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Движения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "180" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1075 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744408 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Движения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_page_start" => "180" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1116 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 939675 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1118 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>727.</b> Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1569" "height" => 158 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/727-1.webp?ts=1739436863" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 939675 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>727.</b> Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1569" "height" => 158 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/727-1.webp?ts=1739436863" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1124 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942614 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1126 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2832 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/727-1.webp?ts=1739441614" ] 1 => array:5 [ "name" => "727-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 4257 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/727-2.webp?ts=1739441614" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942614 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2832 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/727-1.webp?ts=1739441614" ] 1 => array:5 [ "name" => "727-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 4257 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/727-2.webp?ts=1739441614" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1132 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942419 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1134 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2318 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2318 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1404" "height" => 837 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/727-1.webp?ts=1739437171" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942419 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1404" "height" => 837 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/727-1.webp?ts=1739437171" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1140 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942023 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1142 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2319 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2319 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1423" "height" => 540 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/727-1.webp?ts=1739436736" ] 1 => array:5 [ "name" => "727-2.jpg" "alt" => null "width" => "1423" "height" => 433 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/727-2.webp?ts=1739436736" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942023 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1423" "height" => 540 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/727-1.webp?ts=1739436736" ] 1 => array:5 [ "name" => "727-2.jpg" "alt" => null "width" => "1423" "height" => 433 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/727-2.webp?ts=1739436736" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1148 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942079 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1150 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2320 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2320 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/5-00/727-1.webp?ts=1739436747" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942079 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "727-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/5-00/727-1.webp?ts=1739436747" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1156 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1352455 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1158 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5120 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 6" "field_order" => "7" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "6-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5120 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 6" "field_order" => "7" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 …2} …15 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) прямая отображается на прямую</strong></p><p>Доказательство основано на определении движения (изометрии) и определении прямой через расстояния между точками.</p><p>1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $l$ — произвольная прямая. Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. Расстояние между ними $AB > 0$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$.</p><p>2. По определению, движение сохраняет расстояния. Следовательно, расстояние $A'B' = AB$. Так как $AB > 0$, то и $A'B' > 0$, что означает, что точки $A'$ и $B'$ также различны. Через две различные точки $A'$ и $B'$ можно провести единственную прямую. Назовем эту прямую $l'$.</p><p>3. Докажем, что образ прямой $l$ при движении $f$ (обозначим его $f(l)$) в точности совпадает с прямой $l'$. Для этого нужно показать два включения: $f(l) \subseteq l'$ и $l' \subseteq f(l)$.</p><p><b>Часть 1: Докажем, что $f(l) \subseteq l'$.</b></p><p>Возьмем любую точку $C$ на прямой $l$. Характерное свойство точек, лежащих на одной прямой $AB$, заключается в том, что для них неравенство треугольника обращается в равенство. То есть, выполняется одно из трех условий:</p><ul><li>$AC + CB = AB$ (если $C$ лежит между $A$ и $B$);</li> <li>$AB + BC = AC$ (если $B$ лежит между $A$ и $C$);</li> <li>$CA + AB = CB$ (если $A$ лежит между $C$ и $B$).</li></ul><p>Пусть образом точки $C$ является точка $C' = f(C)$. Поскольку $f$ — движение, оно сохраняет расстояния: $A'C' = AC$, $C'B' = CB$, $A'B' = AB$. Подставив эти равенства в соответствующее условие для точек $A, B, C$, мы получим аналогичное условие для точек $A', B', C'$. Например, если $AC + CB = AB$, то из этого следует, что $A'C' + C'B' = A'B'$. Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на прямой $l'$, проходящей через $A'$ и $B'$. Таким образом, любая точка прямой $l$ отображается в точку на прямой $l'$.</p><p><b>Часть 2: Докажем, что $l' \subseteq f(l)$.</b></p><p>Возьмем любую точку $D'$ на прямой $l'$. Нам нужно показать, что существует точка $D$ на прямой $l$, такая что $f(D) = D'$.</p><p>Рассмотрим преобразование $f^{-1}$, обратное движению $f$. Оно также является движением. Применим его к точке $D'$. Пусть $D = f^{-1}(D')$. Так как $D'$ лежит на прямой $l'$, для точек $A'$, $B'$, $D'$ выполняется одно из трех равенств, указанных выше. Например, пусть $A'D' + D'B' = A'B'$.</p><p>Поскольку $f^{-1}$ — движение, оно сохраняет расстояния: $AD = A'D'$, $DB = D'B'$, $AB = A'B'$. Подставляя эти значения в равенство для точек на прямой $l'$, получаем $AD + DB = AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой $l$.</p><p>Таким образом, для любой точки $D'$ на прямой $l'$ мы нашли прообраз $D$ на прямой $l$.</p><p>Поскольку мы доказали оба включения, мы можем заключить, что $f(l) = l'$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Доказано, что при движении прямая отображается на прямую.</p><hr><p><strong>б) плоскость отображается на плоскость</strong></p><p>Доказательство аналогично предыдущему пункту, но использует три точки, не лежащие на одной прямой, для задания плоскости.</p><p>1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $\alpha$ — произвольная плоскость. Выберем в плоскости $\alpha$ три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные). Они однозначно задают плоскость $\alpha$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$.</p><p>2. Движение сохраняет расстояния, поэтому длины сторон треугольника $\triangle ABC$ равны длинам соответствующих сторон треугольника $\triangle A'B'C'$: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ по трем сторонам. Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, а значит, и $\triangle A'B'C'$ невырожденный. Это означает, что точки $A', B', C'$ также не лежат на одной прямой.</p><p>3. Три неколлинеарные точки $A', B', C'$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha'$.</p><p>4. Докажем, что образ плоскости $\alpha$ при движении $f$ совпадает с плоскостью $\alpha'$.</p><p><b>Часть 1: Докажем, что $f(\alpha) \subseteq \alpha'$.</b></p><p>Возьмем любую точку $D$ в плоскости $\alpha$. Ее положение можно определить через векторное разложение по двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{AD} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$ для некоторых действительных чисел $u$ и $v$.</p><p>Любое движение $f$ сохраняет векторные соотношения. Если точка $D'$ является образом точки $D$, то вектор $\vec{A'D'}$ будет связан с векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ таким же соотношением с теми же коэффициентами $u$ и $v$: $\vec{A'D'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$.</p><p>Поскольку векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ лежат в плоскости $\alpha'$, их линейная комбинация, вектор $\vec{A'D'}$, также лежит в этой плоскости. Это означает, что точка $D'$ принадлежит плоскости $\alpha'$. Таким образом, любая точка плоскости $\alpha$ отображается в точку плоскости $\alpha'$.</p><p><b>Часть 2: Докажем, что $\alpha' \subseteq f(\alpha)$.</b></p><p>Возьмем любую точку $E'$ в плоскости $\alpha'$. Ее положение можно задать разложением вектора $\vec{A'E'}$ по базисным векторам $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$: $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$ для некоторых $u$ и $v$.</p><p>Рассмотрим в исходной плоскости $\alpha$ точку $E$, заданную аналогичным векторным равенством: $\vec{AE} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$. По построению, точка $E$ лежит в плоскости $\alpha$.</p><p>Найдем образ этой точки $E$ при движении $f$. Как было показано в первой части, образом точки $E$ будет точка $E'$, для которой выполняется равенство $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$. Это в точности та точка плоскости $\alpha'$, с которой мы начали.</p><p>Таким образом, для любой точки в плоскости $\alpha'$ существует прообраз в плоскости $\alpha$.</p><p>Из доказательства двух включений следует, что $f(\alpha) = \alpha'$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Доказано, что при движении плоскость отображается на плоскость.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1352455 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157} "task" => array:2 [ "refs" => "745142" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) прямая отображается на прямую</strong></p><p>Доказательство основано на определении движения (изометрии) и определении прямой через расстояния между точками.</p><p>1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $l$ — произвольная прямая. Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. Расстояние между ними $AB > 0$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$.</p><p>2. По определению, движение сохраняет расстояния. Следовательно, расстояние $A'B' = AB$. Так как $AB > 0$, то и $A'B' > 0$, что означает, что точки $A'$ и $B'$ также различны. Через две различные точки $A'$ и $B'$ можно провести единственную прямую. Назовем эту прямую $l'$.</p><p>3. Докажем, что образ прямой $l$ при движении $f$ (обозначим его $f(l)$) в точности совпадает с прямой $l'$. Для этого нужно показать два включения: $f(l) \subseteq l'$ и $l' \subseteq f(l)$.</p><p><b>Часть 1: Докажем, что $f(l) \subseteq l'$.</b></p><p>Возьмем любую точку $C$ на прямой $l$. Характерное свойство точек, лежащих на одной прямой $AB$, заключается в том, что для них неравенство треугольника обращается в равенство. То есть, выполняется одно из трех условий:</p><ul><li>$AC + CB = AB$ (если $C$ лежит между $A$ и $B$);</li> <li>$AB + BC = AC$ (если $B$ лежит между $A$ и $C$);</li> <li>$CA + AB = CB$ (если $A$ лежит между $C$ и $B$).</li></ul><p>Пусть образом точки $C$ является точка $C' = f(C)$. Поскольку $f$ — движение, оно сохраняет расстояния: $A'C' = AC$, $C'B' = CB$, $A'B' = AB$. Подставив эти равенства в соответствующее условие для точек $A, B, C$, мы получим аналогичное условие для точек $A', B', C'$. Например, если $AC + CB = AB$, то из этого следует, что $A'C' + C'B' = A'B'$. Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на прямой $l'$, проходящей через $A'$ и $B'$. Таким образом, любая точка прямой $l$ отображается в точку на прямой $l'$.</p><p><b>Часть 2: Докажем, что $l' \subseteq f(l)$.</b></p><p>Возьмем любую точку $D'$ на прямой $l'$. Нам нужно показать, что существует точка $D$ на прямой $l$, такая что $f(D) = D'$.</p><p>Рассмотрим преобразование $f^{-1}$, обратное движению $f$. Оно также является движением. Применим его к точке $D'$. Пусть $D = f^{-1}(D')$. Так как $D'$ лежит на прямой $l'$, для точек $A'$, $B'$, $D'$ выполняется одно из трех равенств, указанных выше. Например, пусть $A'D' + D'B' = A'B'$.</p><p>Поскольку $f^{-1}$ — движение, оно сохраняет расстояния: $AD = A'D'$, $DB = D'B'$, $AB = A'B'$. Подставляя эти значения в равенство для точек на прямой $l'$, получаем $AD + DB = AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой $l$.</p><p>Таким образом, для любой точки $D'$ на прямой $l'$ мы нашли прообраз $D$ на прямой $l$.</p><p>Поскольку мы доказали оба включения, мы можем заключить, что $f(l) = l'$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Доказано, что при движении прямая отображается на прямую.</p><hr><p><strong>б) плоскость отображается на плоскость</strong></p><p>Доказательство аналогично предыдущему пункту, но использует три точки, не лежащие на одной прямой, для задания плоскости.</p><p>1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $\alpha$ — произвольная плоскость. Выберем в плоскости $\alpha$ три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные). Они однозначно задают плоскость $\alpha$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$.</p><p>2. Движение сохраняет расстояния, поэтому длины сторон треугольника $\triangle ABC$ равны длинам соответствующих сторон треугольника $\triangle A'B'C'$: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ по трем сторонам. Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, а значит, и $\triangle A'B'C'$ невырожденный. Это означает, что точки $A', B', C'$ также не лежат на одной прямой.</p><p>3. Три неколлинеарные точки $A', B', C'$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha'$.</p><p>4. Докажем, что образ плоскости $\alpha$ при движении $f$ совпадает с плоскостью $\alpha'$.</p><p><b>Часть 1: Докажем, что $f(\alpha) \subseteq \alpha'$.</b></p><p>Возьмем любую точку $D$ в плоскости $\alpha$. Ее положение можно определить через векторное разложение по двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{AD} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$ для некоторых действительных чисел $u$ и $v$.</p><p>Любое движение $f$ сохраняет векторные соотношения. Если точка $D'$ является образом точки $D$, то вектор $\vec{A'D'}$ будет связан с векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ таким же соотношением с теми же коэффициентами $u$ и $v$: $\vec{A'D'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$.</p><p>Поскольку векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ лежат в плоскости $\alpha'$, их линейная комбинация, вектор $\vec{A'D'}$, также лежит в этой плоскости. Это означает, что точка $D'$ принадлежит плоскости $\alpha'$. Таким образом, любая точка плоскости $\alpha$ отображается в точку плоскости $\alpha'$.</p><p><b>Часть 2: Докажем, что $\alpha' \subseteq f(\alpha)$.</b></p><p>Возьмем любую точку $E'$ в плоскости $\alpha'$. Ее положение можно задать разложением вектора $\vec{A'E'}$ по базисным векторам $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$: $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$ для некоторых $u$ и $v$.</p><p>Рассмотрим в исходной плоскости $\alpha$ точку $E$, заданную аналогичным векторным равенством: $\vec{AE} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$. По построению, точка $E$ лежит в плоскости $\alpha$.</p><p>Найдем образ этой точки $E$ при движении $f$. Как было показано в первой части, образом точки $E$ будет точка $E'$, для которой выполняется равенство $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$. Это в точности та точка плоскости $\alpha'$, с которой мы начали.</p><p>Таким образом, для любой точки в плоскости $\alpha'$ существует прообраз в плоскости $\alpha$.</p><p>Из доказательства двух включений следует, что $f(\alpha) = \alpha'$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Доказано, что при движении плоскость отображается на плоскость.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "745143" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "745141" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1528 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1168 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 933967 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1173 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1210 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "933968" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933966" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:12 [ 0 => App\Models\Task {#1219 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1311 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1336 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1355 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1374 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1393 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1412 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1431 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1450 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1469 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1488 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 11 => App\Models\Task {#1507 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 933967 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "next" => array:2 [ "refs" => "933968" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933966" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 745142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-727" "field_display_title" => "727" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "next" => array:2 [ "refs" => "745143" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "745141" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164} "page" => array:2 [ "refs" => "933967" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№727 (с. 185)
Условие. №727 (с. 185)
скриншот условия
727. Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.
Решение 2. №727 (с. 185)
Решение 3. №727 (с. 185)
Решение 4. №727 (с. 185)
Решение 5. №727 (с. 185)
Решение 6. №727 (с. 185)
а) прямая отображается на прямую
Доказательство основано на определении движения (изометрии) и определении прямой через расстояния между точками.
1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $l$ — произвольная прямая. Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. Расстояние между ними $AB > 0$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$ и $B' = f(B)$.
2. По определению, движение сохраняет расстояния. Следовательно, расстояние $A'B' = AB$. Так как $AB > 0$, то и $A'B' > 0$, что означает, что точки $A'$ и $B'$ также различны. Через две различные точки $A'$ и $B'$ можно провести единственную прямую. Назовем эту прямую $l'$.
3. Докажем, что образ прямой $l$ при движении $f$ (обозначим его $f(l)$) в точности совпадает с прямой $l'$. Для этого нужно показать два включения: $f(l) \subseteq l'$ и $l' \subseteq f(l)$.
Часть 1: Докажем, что $f(l) \subseteq l'$.
Возьмем любую точку $C$ на прямой $l$. Характерное свойство точек, лежащих на одной прямой $AB$, заключается в том, что для них неравенство треугольника обращается в равенство. То есть, выполняется одно из трех условий:
- $AC + CB = AB$ (если $C$ лежит между $A$ и $B$);
- $AB + BC = AC$ (если $B$ лежит между $A$ и $C$);
- $CA + AB = CB$ (если $A$ лежит между $C$ и $B$).
Пусть образом точки $C$ является точка $C' = f(C)$. Поскольку $f$ — движение, оно сохраняет расстояния: $A'C' = AC$, $C'B' = CB$, $A'B' = AB$. Подставив эти равенства в соответствующее условие для точек $A, B, C$, мы получим аналогичное условие для точек $A', B', C'$. Например, если $AC + CB = AB$, то из этого следует, что $A'C' + C'B' = A'B'$. Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на прямой $l'$, проходящей через $A'$ и $B'$. Таким образом, любая точка прямой $l$ отображается в точку на прямой $l'$.
Часть 2: Докажем, что $l' \subseteq f(l)$.
Возьмем любую точку $D'$ на прямой $l'$. Нам нужно показать, что существует точка $D$ на прямой $l$, такая что $f(D) = D'$.
Рассмотрим преобразование $f^{-1}$, обратное движению $f$. Оно также является движением. Применим его к точке $D'$. Пусть $D = f^{-1}(D')$. Так как $D'$ лежит на прямой $l'$, для точек $A'$, $B'$, $D'$ выполняется одно из трех равенств, указанных выше. Например, пусть $A'D' + D'B' = A'B'$.
Поскольку $f^{-1}$ — движение, оно сохраняет расстояния: $AD = A'D'$, $DB = D'B'$, $AB = A'B'$. Подставляя эти значения в равенство для точек на прямой $l'$, получаем $AD + DB = AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой $l$.
Таким образом, для любой точки $D'$ на прямой $l'$ мы нашли прообраз $D$ на прямой $l$.
Поскольку мы доказали оба включения, мы можем заключить, что $f(l) = l'$.
Ответ: Доказано, что при движении прямая отображается на прямую.
б) плоскость отображается на плоскость
Доказательство аналогично предыдущему пункту, но использует три точки, не лежащие на одной прямой, для задания плоскости.
1. Пусть $f$ — произвольное движение, а $\alpha$ — произвольная плоскость. Выберем в плоскости $\alpha$ три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные). Они однозначно задают плоскость $\alpha$. Пусть их образами при движении $f$ являются точки $A' = f(A)$, $B' = f(B)$ и $C' = f(C)$.
2. Движение сохраняет расстояния, поэтому длины сторон треугольника $\triangle ABC$ равны длинам соответствующих сторон треугольника $\triangle A'B'C'$: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CA = C'A'$. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ по трем сторонам. Так как точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, треугольник $\triangle ABC$ невырожденный, а значит, и $\triangle A'B'C'$ невырожденный. Это означает, что точки $A', B', C'$ также не лежат на одной прямой.
3. Три неколлинеарные точки $A', B', C'$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha'$.
4. Докажем, что образ плоскости $\alpha$ при движении $f$ совпадает с плоскостью $\alpha'$.
Часть 1: Докажем, что $f(\alpha) \subseteq \alpha'$.
Возьмем любую точку $D$ в плоскости $\alpha$. Ее положение можно определить через векторное разложение по двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, по векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $\vec{AD} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$ для некоторых действительных чисел $u$ и $v$.
Любое движение $f$ сохраняет векторные соотношения. Если точка $D'$ является образом точки $D$, то вектор $\vec{A'D'}$ будет связан с векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ таким же соотношением с теми же коэффициентами $u$ и $v$: $\vec{A'D'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$.
Поскольку векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ лежат в плоскости $\alpha'$, их линейная комбинация, вектор $\vec{A'D'}$, также лежит в этой плоскости. Это означает, что точка $D'$ принадлежит плоскости $\alpha'$. Таким образом, любая точка плоскости $\alpha$ отображается в точку плоскости $\alpha'$.
Часть 2: Докажем, что $\alpha' \subseteq f(\alpha)$.
Возьмем любую точку $E'$ в плоскости $\alpha'$. Ее положение можно задать разложением вектора $\vec{A'E'}$ по базисным векторам $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$: $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$ для некоторых $u$ и $v$.
Рассмотрим в исходной плоскости $\alpha$ точку $E$, заданную аналогичным векторным равенством: $\vec{AE} = u\vec{AB} + v\vec{AC}$. По построению, точка $E$ лежит в плоскости $\alpha$.
Найдем образ этой точки $E$ при движении $f$. Как было показано в первой части, образом точки $E$ будет точка $E'$, для которой выполняется равенство $\vec{A'E'} = u\vec{A'B'} + v\vec{A'C'}$. Это в точности та точка плоскости $\alpha'$, с которой мы начали.
Таким образом, для любой точки в плоскости $\alpha'$ существует прообраз в плоскости $\alpha$.
Из доказательства двух включений следует, что $f(\alpha) = \alpha'$.
Ответ: Доказано, что при движении плоскость отображается на плоскость.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 727 расположенного на странице 185 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №727 (с. 185), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.