gdz.top
Номер 74, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина
Авторы: Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый в сеточку
ISBN: 978-5-09-097573-5
Популярные ГДЗ в 10 классе
3.1. Понятие многогранника. Призма - номер 74, страница 55.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738545 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => "56" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-74" "field_display_title" => "74" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.1. Понятие многогранника. Призма" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "51" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #original: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #original: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #original: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.1. Понятие многогранника. Призма" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "51" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1090 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>74</strong> Постройте диагональное сечение прямого параллелепипеда (т. е. сечение, содержащее диагональ параллелепипеда и боковое ребро). Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p><strong>1) Рассмотрим, например, сечение, содержащее диагональ $A_1C$ и ребро $AA_1$.</strong> Секущая плоскость $AA_1C$ имеет с плоскостью грани $ABCD$ две общие точки ___, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ___, а отрезок ___ служит стороной сечения. Проведем этот отрезок.</p><p>Так как $AA_1$ ___ $CC_1$, то эти прямые лежат в плоскости сечения, а значит, отрезки $AA_1$ и ___ — стороны сечения. Наконец, отрезок ___ — четвертая сторона ___. Проведем этот отрезок.</p><p>Итак, искомое сечение — четырехугольник ___.</p><p><strong>2)</strong> Так как боковые ребра параллелепипеда ___ и ___, то четырехугольник $AA_1C_1C$ — ___.</p><p>Данный параллелепипед прямой, поэтому ребро $AA_1$ ___ к плоскости основания, следовательно, $AA_1$ ___ $AC$, а потому параллелограмм $AA_1C_1C$ является _______, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "74-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1310 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/74-1.webp?ts=1739375737" ] 1 => array:5 [ "name" => "74-2.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 477 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/74-2.webp?ts=1739375737" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>74</strong> Постройте диагональное сечение прямого параллелепипеда (т. е. сечение, содержащее диагональ параллелепипеда и боковое ребро). Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p><strong>1) Рассмотрим, например, сечение, содержащее диагональ $A_1C$ и ребро $AA_1$.</strong> Секущая плоскость $AA_1C$ имеет с плоскостью грани $ABCD$ две общие точки ___, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ___, а отрезок ___ служит стороной сечения. Проведем этот отрезок.</p><p>Так как $AA_1$ ___ $CC_1$, то эти прямые лежат в плоскости сечения, а значит, отрезки $AA_1$ и ___ — стороны сечения. Наконец, отрезок ___ — четвертая сторона ___. Проведем этот отрезок.</p><p>Итак, искомое сечение — четырехугольник ___.</p><p><strong>2)</strong> Так как боковые ребра параллелепипеда ___ и ___, то четырехугольник $AA_1C_1C$ — ___.</p><p>Данный параллелепипед прямой, поэтому ребро $AA_1$ ___ к плоскости основания, следовательно, $AA_1$ ___ $AC$, а потому параллелограмм $AA_1C_1C$ является _______, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "74-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1310 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/74-1.webp?ts=1739375737" ] 1 => array:5 [ "name" => "74-2.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 477 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/74-2.webp?ts=1739375737" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937263 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1098 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "skysmart" ] #original: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "skysmart" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "74-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 6129 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/74-1.webp?ts=1739375872" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937263 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "74-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 6129 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/74-1.webp?ts=1739375872" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1106 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) Построение диагонального сечения</strong></p> <p>Построим сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда $A_1C$ и боковое ребро $AA_1$. Плоскость сечения однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $A_1$ и $C$.</p> <p>Сначала найдем линию пересечения секущей плоскости $(AA_1C)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Обе плоскости содержат точки $A$ и $C$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, плоскости $(AA_1C)$ и $(ABCD)$ пересекаются по прямой $AC$. Отрезок $AC$ является стороной искомого сечения.</p> <p>Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, в частности $AA_1 \parallel CC_1$. Так как секущая плоскость проходит через прямую $AA_1$ и точку $C$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$ и проходит через $C$, то прямая $CC_1$ также лежит в секущей плоскости. Таким образом, отрезки $AA_1$ и $CC_1$ являются сторонами сечения.</p> <p>Соединяя последовательно вершины, получаем четырехугольник $AA_1C_1C$. Четвертой стороной сечения является отрезок $A_1C_1$, который соединяет точки $A_1$ и $C_1$.</p> <p>Ответ: Искомое диагональное сечение — четырехугольник $AA_1C_1C$.</p> <p><strong>2) Доказательство, что сечение является прямоугольником</strong></p> <p>Докажем, что построенный четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Для этого нужно доказать, что это параллелограмм с прямым углом.</p> <p>Так как $AA_1$ и $CC_1$ — боковые ребра параллелепипеда, они параллельны и равны: $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Четырехугольник $AA_1C_1C$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку является параллелограммом.</p> <p>По условию задачи, данный параллелепипед является прямым. В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то есть $AA_1 \perp (ABCD)$.</p> <p>Прямая $AC$ (диагональ основания) полностью лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AC$.</p> <p>Таким образом, угол $\angle A_1AC$ параллелограмма $AA_1C_1C$ является прямым, то есть $\angle A_1AC = 90^\circ$. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.</p> <p>Следовательно, диагональное сечение $AA_1C_1C$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.</p> <p>Ответ: Сечение $AA_1C_1C$ является параллелограммом, у которого угол $\angle A_1AC$ прямой ($90^\circ$), так как боковое ребро $AA_1$ прямого параллелепипеда перпендикулярно основанию $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$ в этом основании. Поэтому $AA_1C_1C$ — прямоугольник.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) Построение диагонального сечения</strong></p> <p>Построим сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда $A_1C$ и боковое ребро $AA_1$. Плоскость сечения однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $A_1$ и $C$.</p> <p>Сначала найдем линию пересечения секущей плоскости $(AA_1C)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Обе плоскости содержат точки $A$ и $C$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, плоскости $(AA_1C)$ и $(ABCD)$ пересекаются по прямой $AC$. Отрезок $AC$ является стороной искомого сечения.</p> <p>Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, в частности $AA_1 \parallel CC_1$. Так как секущая плоскость проходит через прямую $AA_1$ и точку $C$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$ и проходит через $C$, то прямая $CC_1$ также лежит в секущей плоскости. Таким образом, отрезки $AA_1$ и $CC_1$ являются сторонами сечения.</p> <p>Соединяя последовательно вершины, получаем четырехугольник $AA_1C_1C$. Четвертой стороной сечения является отрезок $A_1C_1$, который соединяет точки $A_1$ и $C_1$.</p> <p>Ответ: Искомое диагональное сечение — четырехугольник $AA_1C_1C$.</p> <p><strong>2) Доказательство, что сечение является прямоугольником</strong></p> <p>Докажем, что построенный четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Для этого нужно доказать, что это параллелограмм с прямым углом.</p> <p>Так как $AA_1$ и $CC_1$ — боковые ребра параллелепипеда, они параллельны и равны: $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Четырехугольник $AA_1C_1C$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку является параллелограммом.</p> <p>По условию задачи, данный параллелепипед является прямым. В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то есть $AA_1 \perp (ABCD)$.</p> <p>Прямая $AC$ (диагональ основания) полностью лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AC$.</p> <p>Таким образом, угол $\angle A_1AC$ параллелограмма $AA_1C_1C$ является прямым, то есть $\angle A_1AC = 90^\circ$. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.</p> <p>Следовательно, диагональное сечение $AA_1C_1C$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.</p> <p>Ответ: Сечение $AA_1C_1C$ является параллелограммом, у которого угол $\angle A_1AC$ прямой ($90^\circ$), так как боковое ребро $AA_1$ прямого параллелепипеда перпендикулярно основанию $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$ в этом основании. Поэтому $AA_1C_1C$ — прямоугольник.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738546" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1040 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971702 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-55" "field_display_title" => "55" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "55" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1122 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1147818 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "55-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/55-1.webp?ts=1745219763" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1147818 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "book_page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "55-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/55-1.webp?ts=1745219763" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971703" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971701" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Task {#1197 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738544 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-73" "field_display_title" => "73" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1213 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937152 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>73</strong> Докажите, что призма, две смежные боковые грани которой — прямоугольники, является прямой призмой.</p><strong>Доказательство.</strong><p>Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости основания, следовательно, это ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию основания, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "73-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1170 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/73-1.webp?ts=1739375737" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937152 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214} "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>73</strong> Докажите, что призма, две смежные боковые грани которой — прямоугольники, является прямой призмой.</p><strong>Доказательство.</strong><p>Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ плоскости основания, следовательно, это ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые ребра призмы параллельны, а ребро $BB_1$ перпендикулярно к основанию призмы, то и все боковые ребра перпендикулярны к основанию основания, а значит, призма является прямой, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "73-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1170 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/73-1.webp?ts=1739375737" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1215 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937262 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "73-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2300 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/73-1.webp?ts=1739375872" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937262 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216} "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "73-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2300 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/73-1.webp?ts=1739375872" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1217 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434336 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Доказательство.</strong></p> <p> Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве, основываясь на определениях и свойствах призмы и перпендикулярности в пространстве. Ниже представлен полный текст доказательства с заполненными пропусками и подробное объяснение каждого шага. </p> <p> <em>Полный текст доказательства:</em> </p> <p> Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ <strong>перпендикулярна</strong> к двум пересекающимся прямым $AB$ и <strong>BC</strong> плоскости основания, следовательно, ребро <strong>$BB_1$</strong> перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые <strong>ребра</strong> призмы параллельны, а ребро $BB_1$ <strong>перпендикулярно</strong> к основанию призмы, то и все боковые ребра <strong>перпендикулярны</strong> к основанию <strong>призмы</strong>, а значит, призма является <strong>прямой</strong>, что и требовалось доказать. </p> <p> <em>Пошаговое объяснение:</em> </p> <p> 1. По условию, боковая грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник. Это означает, что ее углы прямые, в частности $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Отсюда следует, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$ ($BB_1 \perp AB$). Аналогично, так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник, то $BB_1 \perp BC$. Таким образом, прямая $BB_1$ <strong>перпендикулярна</strong> к двум пересекающимся прямым $AB$ и <strong>BC</strong>. </p> <p> 2. Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости основания призмы и пересекаются в точке $B$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, ребро <strong>$BB_1$</strong> перпендикулярно к основанию призмы. </p> <p> 3. По определению призмы, все ее боковые <strong>ребра</strong> параллельны друг другу. </p> <p> 4. Мы доказали, что ребро $BB_1$ <strong>перпендикулярно</strong> к основанию. Так как все остальные боковые ребра параллельны ребру $BB_1$, они также <strong>перпендикулярны</strong> к основанию <strong>призмы</strong>. Это следует из свойства: если одна из нескольких параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и все остальные прямые перпендикулярны этой плоскости. </p> <p> 5. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, по определению является <strong>прямой</strong> призмой. </p> <p> Ответ: перпендикулярна, BC, $BB_1$, ребра, перпендикулярно, перпендикулярны, призмы, прямой. </p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434336 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "task" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Доказательство.</strong></p> <p> Для решения задачи необходимо заполнить пропуски в предложенном доказательстве, основываясь на определениях и свойствах призмы и перпендикулярности в пространстве. Ниже представлен полный текст доказательства с заполненными пропусками и подробное объяснение каждого шага. </p> <p> <em>Полный текст доказательства:</em> </p> <p> Пусть боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — прямоугольники (на рисунке изображена часть призмы). Тогда прямая $BB_1$ <strong>перпендикулярна</strong> к двум пересекающимся прямым $AB$ и <strong>BC</strong> плоскости основания, следовательно, ребро <strong>$BB_1$</strong> перпендикулярно к основанию призмы. Так как все боковые <strong>ребра</strong> призмы параллельны, а ребро $BB_1$ <strong>перпендикулярно</strong> к основанию призмы, то и все боковые ребра <strong>перпендикулярны</strong> к основанию <strong>призмы</strong>, а значит, призма является <strong>прямой</strong>, что и требовалось доказать. </p> <p> <em>Пошаговое объяснение:</em> </p> <p> 1. По условию, боковая грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник. Это означает, что ее углы прямые, в частности $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Отсюда следует, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру основания $AB$ ($BB_1 \perp AB$). Аналогично, так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник, то $BB_1 \perp BC$. Таким образом, прямая $BB_1$ <strong>перпендикулярна</strong> к двум пересекающимся прямым $AB$ и <strong>BC</strong>. </p> <p> 2. Прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости основания призмы и пересекаются в точке $B$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, ребро <strong>$BB_1$</strong> перпендикулярно к основанию призмы. </p> <p> 3. По определению призмы, все ее боковые <strong>ребра</strong> параллельны друг другу. </p> <p> 4. Мы доказали, что ребро $BB_1$ <strong>перпендикулярно</strong> к основанию. Так как все остальные боковые ребра параллельны ребру $BB_1$, они также <strong>перпендикулярны</strong> к основанию <strong>призмы</strong>. Это следует из свойства: если одна из нескольких параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и все остальные прямые перпендикулярны этой плоскости. </p> <p> 5. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, по определению является <strong>прямой</strong> призмой. </p> <p> Ответ: перпендикулярна, BC, $BB_1$, ребра, перпендикулярно, перпендикулярны, призмы, прямой. </p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738543" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738544 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-73" "field_display_title" => "73" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "next" => array:2 [ "refs" => "738545" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738543" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1203 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738545 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => "56" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-74" "field_display_title" => "74" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088} 1 => App\Models\Element {#1095} 2 => App\Models\Element {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738546" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738545 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => "56" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-74" "field_display_title" => "74" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "next" => array:2 [ "refs" => "738546" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971702 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-55" "field_display_title" => "55" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "55" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "next" => array:2 [ "refs" => "971703" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971701" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738545 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "55" "field_page_end" => "56" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-74" "field_display_title" => "74" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "next" => array:2 [ "refs" => "738546" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738544" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "page" => array:2 [ "refs" => "971702" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№74 (с. 55)
Условие. №74 (с. 55)
скриншот условия
74 Постройте диагональное сечение прямого параллелепипеда (т. е. сечение, содержащее диагональ параллелепипеда и боковое ребро). Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.
Решение.
1) Рассмотрим, например, сечение, содержащее диагональ $A_1C$ и ребро $AA_1$. Секущая плоскость $AA_1C$ имеет с плоскостью грани $ABCD$ две общие точки ___, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ___, а отрезок ___ служит стороной сечения. Проведем этот отрезок.
Так как $AA_1$ ___ $CC_1$, то эти прямые лежат в плоскости сечения, а значит, отрезки $AA_1$ и ___ — стороны сечения. Наконец, отрезок ___ — четвертая сторона ___. Проведем этот отрезок.
Итак, искомое сечение — четырехугольник ___.
2) Так как боковые ребра параллелепипеда ___ и ___, то четырехугольник $AA_1C_1C$ — ___.
Данный параллелепипед прямой, поэтому ребро $AA_1$ ___ к плоскости основания, следовательно, $AA_1$ ___ $AC$, а потому параллелограмм $AA_1C_1C$ является _______, что и требовалось доказать.
Решение. №74 (с. 55)
Решение 2. №74 (с. 55)
1) Построение диагонального сечения
Построим сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда $A_1C$ и боковое ребро $AA_1$. Плоскость сечения однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: $A$, $A_1$ и $C$.
Сначала найдем линию пересечения секущей плоскости $(AA_1C)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Обе плоскости содержат точки $A$ и $C$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Следовательно, плоскости $(AA_1C)$ и $(ABCD)$ пересекаются по прямой $AC$. Отрезок $AC$ является стороной искомого сечения.
Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, в частности $AA_1 \parallel CC_1$. Так как секущая плоскость проходит через прямую $AA_1$ и точку $C$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$ и проходит через $C$, то прямая $CC_1$ также лежит в секущей плоскости. Таким образом, отрезки $AA_1$ и $CC_1$ являются сторонами сечения.
Соединяя последовательно вершины, получаем четырехугольник $AA_1C_1C$. Четвертой стороной сечения является отрезок $A_1C_1$, который соединяет точки $A_1$ и $C_1$.
Ответ: Искомое диагональное сечение — четырехугольник $AA_1C_1C$.
2) Доказательство, что сечение является прямоугольником
Докажем, что построенный четырехугольник $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Для этого нужно доказать, что это параллелограмм с прямым углом.
Так как $AA_1$ и $CC_1$ — боковые ребра параллелепипеда, они параллельны и равны: $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Четырехугольник $AA_1C_1C$, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку является параллелограммом.
По условию задачи, данный параллелепипед является прямым. В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то есть $AA_1 \perp (ABCD)$.
Прямая $AC$ (диагональ основания) полностью лежит в плоскости $ABCD$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AC$.
Таким образом, угол $\angle A_1AC$ параллелограмма $AA_1C_1C$ является прямым, то есть $\angle A_1AC = 90^\circ$. Параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.
Следовательно, диагональное сечение $AA_1C_1C$ — это прямоугольник, что и требовалось доказать.
Ответ: Сечение $AA_1C_1C$ является параллелограммом, у которого угол $\angle A_1AC$ прямой ($90^\circ$), так как боковое ребро $AA_1$ прямого параллелепипеда перпендикулярно основанию $ABCD$ и, следовательно, прямой $AC$ в этом основании. Поэтому $AA_1C_1C$ — прямоугольник.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 74 расположенного на странице 55 к рабочей тетради серии мгу - школе 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №74 (с. 55), авторов: Глазков (Юрий Александрович), Юдина (Ирина Игоревна), Бутузов (Валентин Фёдорович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.