gdz.top
Номер 88, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина
Авторы: Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый в сеточку
ISBN: 978-5-09-097573-5
Популярные ГДЗ в 10 классе
3.2. Пирамида - номер 88, страница 66.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-88" "field_display_title" => "88" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738461 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.2. Пирамида" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "59" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #original: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #original: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #original: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738461 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.2. Пирамида" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "59" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937167 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1090 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>88</strong> Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.</p><p><strong>Доказательство.</strong> Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и параллельны, то $A_1B_1$ $AB$ ( параллельных плоскостей). Аналогично $B_1C_1$ $BC$, $A_1C_1$ $AC$ и $A_1O_1$ $AO$.</p><p><strong>Поэтому</strong> $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}; $</p><p>$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}; $</p><p>$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A}. $</p><p><strong>Итак,</strong> $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \text{\_\_\_\_\_\_\_} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2} $, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "88-1.jpg" "alt" => null "width" => "1669" "height" => 1156 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/88-1.webp?ts=1739375753" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937167 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>88</strong> Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.</p><p><strong>Доказательство.</strong> Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и параллельны, то $A_1B_1$ $AB$ ( параллельных плоскостей). Аналогично $B_1C_1$ $BC$, $A_1C_1$ $AC$ и $A_1O_1$ $AO$.</p><p><strong>Поэтому</strong> $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}; $</p><p>$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}; $</p><p>$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A}. $</p><p><strong>Итак,</strong> $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \text{\_\_\_\_\_\_\_} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2} $, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "88-1.jpg" "alt" => null "width" => "1669" "height" => 1156 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/88-1.webp?ts=1739375753" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937277 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1098 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null …4 ] "field_translit" => "skysmart" ] #original: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "skysmart" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "88-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2684 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/88-1.webp?ts=1739375889" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937277 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "88-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2684 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/88-1.webp?ts=1739375889" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434351 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1106 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Доказательство.</strong></p><p>Пусть дана треугольная пирамида $MABC$ с вершиной $M$ и основанием $ABC$. $MO$ — ее высота. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает высоту в точке $O_1$ так, что по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на боковых ребрах $MA, MB, MC$ соответственно.</p><p>Так как плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $(ABC)$ параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также будут параллельны.</p><ul> <li> Плоскость боковой грани $(MAB)$ пересекает параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $AB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$. </li> <li> Аналогично, в плоскости $(MBC)$ имеем $B_1C_1 \parallel BC$. </li> <li> В плоскости $(MAC)$ имеем $A_1C_1 \parallel AC$. </li> <li> В плоскости $(MAO)$ имеем $A_1O_1 \parallel AO$. </li></ul><p>Рассмотрим угол $AMO$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1O_1$ и $AO$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} $$Так как по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$, то и $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2}$.</p><p>Применим ту же теорему к другим углам, образованным боковыми ребрами:</p><ul> <li> Для угла $AMB$ и параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$: $$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$ </li> <li> Для угла $AMC$ и параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$: $$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$ </li></ul><p>Итак, мы показали, что все боковые ребра делятся плоскостью в одном и том же отношении:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{1}{2} $$Что и требовалось доказать.</p><p><strong>Заполненный текст из упражнения:</strong></p><p><strong>Доказательство.</strong> Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и <u>$ABC$</u> параллельны, то $A_1B_1 \underline{\parallel} AB$ (<u>по свойству пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью</u>). Аналогично $B_1C_1 \underline{\parallel} BC$, $A_1C_1 \underline{\parallel} AC$ и $A_1O_1 \underline{\parallel} AO$.</p><p>Поэтому $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$; $\frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}$;</p><p>$\frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{\underline{A_1A}}$.</p><p>Итак, $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{\underline{B_1B}} = \frac{\underline{MC_1}}{\underline{C_1C}} = \frac{MO_1}{\underline{O_1O}} = \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.</p><p>Ответ: Доказано, что плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды и делящая ее высоту в отношении $1:2$ от вершины, делит и боковые ребра в том же отношении.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434351 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Доказательство.</strong></p><p>Пусть дана треугольная пирамида $MABC$ с вершиной $M$ и основанием $ABC$. $MO$ — ее высота. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает высоту в точке $O_1$ так, что по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на боковых ребрах $MA, MB, MC$ соответственно.</p><p>Так как плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $(ABC)$ параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также будут параллельны.</p><ul> <li> Плоскость боковой грани $(MAB)$ пересекает параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $AB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$. </li> <li> Аналогично, в плоскости $(MBC)$ имеем $B_1C_1 \parallel BC$. </li> <li> В плоскости $(MAC)$ имеем $A_1C_1 \parallel AC$. </li> <li> В плоскости $(MAO)$ имеем $A_1O_1 \parallel AO$. </li></ul><p>Рассмотрим угол $AMO$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1O_1$ и $AO$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} $$Так как по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$, то и $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2}$.</p><p>Применим ту же теорему к другим углам, образованным боковыми ребрами:</p><ul> <li> Для угла $AMB$ и параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$: $$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$ </li> <li> Для угла $AMC$ и параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$: $$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$ </li></ul><p>Итак, мы показали, что все боковые ребра делятся плоскостью в одном и том же отношении:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{1}{2} $$Что и требовалось доказать.</p><p><strong>Заполненный текст из упражнения:</strong></p><p><strong>Доказательство.</strong> Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и <u>$ABC$</u> параллельны, то $A_1B_1 \underline{\parallel} AB$ (<u>по свойству пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью</u>). Аналогично $B_1C_1 \underline{\parallel} BC$, $A_1C_1 \underline{\parallel} AC$ и $A_1O_1 \underline{\parallel} AO$.</p><p>Поэтому $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$; $\frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}$;</p><p>$\frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{\underline{A_1A}}$.</p><p>Итак, $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{\underline{B_1B}} = \frac{\underline{MC_1}}{\underline{C_1C}} = \frac{MO_1}{\underline{O_1O}} = \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.</p><p>Ответ: Доказано, что плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды и делящая ее высоту в отношении $1:2$ от вершины, делит и боковые ребра в том же отношении.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738560" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738558" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1040 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971713 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-66" "field_display_title" => "66" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "66" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1122 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1147829 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "66-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/66-1.webp?ts=1745219763" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1147829 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "book_page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "66-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/66-1.webp?ts=1745219763" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971714" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971712" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Task {#1198 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738558 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "65" "field_page_end" => "66" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-87" "field_display_title" => "87" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1214 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937166 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>87</strong> Все ребра четырехугольной пирамиды равны между собой. Докажите, что пирамида правильная.</p><p><strong>Доказательство.</strong></p><p><strong>1)</strong> Стороны четырехугольника $ABCD$ — основания пирамиды<br>$MABCD$ — между собой, следовательно, этот четырехугольник является .</p><p><strong>2)</strong> Боковые ребра прамиды между собой, поэтому<br>около ее основания можно описать . Но ромб, вписанный в окружность, является , а точка $O$ пересечения диагоналей является его центром.</p><p><strong>3)</strong> В треугольнике $AMC$ $AM$ $MC$, $AO$ $OC$, следовательно,<br>$MO$ $AC$. Аналогично в треугольнике $BMD$ $MO$ $BD$. Поэтому отрезок $MO$ — к плоскости основания пирамиды ( перпендикулярности прямой и плоскости).</p><p>Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е.<br>четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с<br> основания, является высотой пирамиды. В соответствии с<br>определением пирамида , что и требовалось<br>доказать.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #original: array:7 [ "id" => 937166 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>87</strong> Все ребра четырехугольной пирамиды равны между собой. Докажите, что пирамида правильная.</p><p><strong>Доказательство.</strong></p><p><strong>1)</strong> Стороны четырехугольника $ABCD$ — основания пирамиды<br>$MABCD$ — между собой, следовательно, этот четырехугольник является .</p><p><strong>2)</strong> Боковые ребра прамиды между собой, поэтому<br>около ее основания можно описать . Но ромб, вписанный в окружность, является , а точка $O$ пересечения диагоналей является его центром.</p><p><strong>3)</strong> В треугольнике $AMC$ $AM$ $MC$, $AO$ $OC$, следовательно,<br>$MO$ $AC$. Аналогично в треугольнике $BMD$ $MO$ $BD$. Поэтому отрезок $MO$ — к плоскости основания пирамиды ( перпендикулярности прямой и плоскости).</p><p>Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е.<br>четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с<br> основания, является высотой пирамиды. В соответствии с<br>определением пирамида , что и требовалось<br>доказать.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1216 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937276 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #original: array:6 [ "id" => 937276 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1218 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434350 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>1)</strong> Стороны четырехугольника ABCD — основания пирамиды MABCD — равны между собой, следовательно, этот четырехугольник является ромбом.</p><p>Ответ: равны, ромбом.</p><p><strong>2)</strong> Боковые ребра пирамиды равны между собой, поэтому около ее основания можно описать окружность. Но ромб, вписанный в окружность, является квадратом, а точка O пересечения диагоналей является его центром.</p><p>Ответ: равны, окружность, квадратом.</p><p><strong>3)</strong> В треугольнике AMC $AM = MC$, $AO = OC$, следовательно, $MO \perp AC$. Аналогично в треугольнике BMD $MO \perp BD$. Поэтому отрезок MO — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).</p><p>Ответ: $=$, $=$, $\perp$, $\perp$, перпендикуляр, по признаку.</p><p>Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е. правильный четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды. В соответствии с определением пирамида правильная, что и требовалось доказать.</p><p>Ответ: правильный, центром, правильная.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434350 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>1)</strong> Стороны четырехугольника ABCD — основания пирамиды MABCD — равны между собой, следовательно, этот четырехугольник является ромбом.</p><p>Ответ: равны, ромбом.</p><p><strong>2)</strong> Боковые ребра пирамиды равны между собой, поэтому около ее основания можно описать окружность. Но ромб, вписанный в окружность, является квадратом, а точка O пересечения диагоналей является его центром.</p><p>Ответ: равны, окружность, квадратом.</p><p><strong>3)</strong> В треугольнике AMC $AM = MC$, $AO = OC$, следовательно, $MO \perp AC$. Аналогично в треугольнике BMD $MO \perp BD$. Поэтому отрезок MO — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).</p><p>Ответ: $=$, $=$, $\perp$, $\perp$, перпендикуляр, по признаку.</p><p>Итак, основание пирамиды — квадрат, т. е. правильный четырехугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды. В соответствии с определением пирамида правильная, что и требовалось доказать.</p><p>Ответ: правильный, центром, правильная.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738557" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971712" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738558 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "65" "field_page_end" => "66" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-87" "field_display_title" => "87" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "next" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738557" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "page" => array:2 [ "refs" => "971712" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1204 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-88" "field_display_title" => "88" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088} 1 => App\Models\Element {#1095} 2 => App\Models\Element {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738560" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738558" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-88" "field_display_title" => "88" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} "next" => array:2 [ "refs" => "738560" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738558" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1207 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738560 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => "68" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-89" "field_display_title" => "89" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1235 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937168 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>89</strong> Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 10 см и боковым ребром 13 см пересечена плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты пирамиды.</p><p>а) Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.</p><p>б) Найдите апофему, высоту и площадь полной поверхности усеченной пирамиды.</p><p>Решение.</p><p><strong>а)</strong> Пусть точка $O_1$ — середина высоты $MO$, плоскость $\alpha$ — секущая. Так как $\alpha$ ______ $ABC$, то плоскость $AMC$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым $AC$ и $a$. Проведем прямую $a$ и обозначим точки ее пересечения с ребрами $MC$ и ______ через $C_1$ и $A_1$. Аналогично плоскость $MBD$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым ______ и $B_1D_1$ ($B_1 \in MB, D_1 \in MD$). Соединим точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ последовательно отрезками и получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — искомое ______ пирамиды.</p><p><strong>б)</strong> Проведем в грани $M$BC апофему $MH$ пирамиды $MABCD$. Тогда $H$ ______ ______ усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , то $O_1H_1 \parallel$ ______ . Но $MO_1 = O_1O$, следовательно, $MH_1 = H_1H$.</p><p>В треугольнике $MHC$ катет $MH = \sqrt{MC^2 - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - 5^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Поэтому $H_1H = \_\_\_\_\_\_ MH = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>В треугольнике $MOH$ $O_1O = \_\_\_\_\_\_ MO = \frac{1}{2}\sqrt{MH^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{12^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Площадь боковой ______ ______ правильной усеченной ______ равна произведению ______ периметров ______ на ______.</p><p>$ABCD$ равен ______ $BC = 4 \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Найдем периметр основания $A_1B_1C_1D_1$.</p><p>Плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , следовательно, плоскость $MBC$ пересекает их по ______ прямым, т. е. $B_1C_1$ ______ $BC$. Так как $MH_1$ ______ $H_1H$, то $B_1C_1$ — средняя ______ треугольника $MBC$, поэтому $B_1C_1 = \_\_\_\_\_\_ BC$. Следовательно, периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равен половине ______ четырехугольника $ABCD$, т. е. $P_1 = \frac{1}{2}P$ или</p><p>$P_1 = \_\_\_\_\_\_ \cdot 40 = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Итак, $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + \_\_\_\_\_\_) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) \cdot \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см$^2$).</p><p>Ответ. б) Апофема ______ пирамиды равна ______ см, высота ______ см, площадь ______ поверхности — ______ (см$^2$).</p>" "img" => array:3 [ …3] ] #original: array:7 [ "id" => 937168 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>89</strong> Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 10 см и боковым ребром 13 см пересечена плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты пирамиды.</p><p>а) Постройте сечение пирамиды данной плоскостью.</p><p>б) Найдите апофему, высоту и площадь полной поверхности усеченной пирамиды.</p><p>Решение.</p><p><strong>а)</strong> Пусть точка $O_1$ — середина высоты $MO$, плоскость $\alpha$ — секущая. Так как $\alpha$ ______ $ABC$, то плоскость $AMC$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым $AC$ и $a$. Проведем прямую $a$ и обозначим точки ее пересечения с ребрами $MC$ и ______ через $C_1$ и $A_1$. Аналогично плоскость $MBD$ пересекает плоскости $ABC$ и $\alpha$ по ______ прямым ______ и $B_1D_1$ ($B_1 \in MB, D_1 \in MD$). Соединим точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ последовательно отрезками и получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — искомое ______ пирамиды.</p><p><strong>б)</strong> Проведем в грани $M$BC апофему $MH$ пирамиды $MABCD$. Тогда $H$ ______ ______ усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , то $O_1H_1 \parallel$ ______ . Но $MO_1 = O_1O$, следовательно, $MH_1 = H_1H$.</p><p>В треугольнике $MHC$ катет $MH = \sqrt{MC^2 - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - 5^2} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Поэтому $H_1H = \_\_\_\_\_\_ MH = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>В треугольнике $MOH$ $O_1O = \_\_\_\_\_\_ MO = \frac{1}{2}\sqrt{MH^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{12^2 - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_} = \frac{1}{2}\sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Площадь боковой ______ ______ правильной усеченной ______ равна произведению ______ периметров ______ на ______.</p><p>$ABCD$ равен ______ $BC = 4 \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Найдем периметр основания $A_1B_1C_1D_1$.</p><p>Плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ______ , следовательно, плоскость $MBC$ пересекает их по ______ прямым, т. е. $B_1C_1$ ______ $BC$. Так как $MH_1$ ______ $H_1H$, то $B_1C_1$ — средняя ______ треугольника $MBC$, поэтому $B_1C_1 = \_\_\_\_\_\_ BC$. Следовательно, периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равен половине ______ четырехугольника $ABCD$, т. е. $P_1 = \frac{1}{2}P$ или</p><p>$P_1 = \_\_\_\_\_\_ \cdot 40 = \_\_\_\_\_\_$ (см).</p><p>Итак, $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + \_\_\_\_\_\_) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) \cdot \_\_\_\_\_\_ = \frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_ \cdot \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$ (см$^2$).</p><p>Ответ. б) Апофема ______ пирамиды равна ______ см, высота ______ см, площадь ______ поверхности — ______ (см$^2$).</p>" "img" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1237 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937278 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:2 [ …2] ] #original: array:6 [ "id" => 937278 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1239 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434352 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>а)</strong> Пусть точка $O_1$ — середина высоты пирамиды $MO$, а плоскость $\alpha$ — секущая плоскость. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости основания $ABC$.</p> <p>Если плоскость (в нашем случае, боковая грань $AMC$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Плоскость $AMC$ пересекает плоскость основания $ABC$ по прямой $AC$. Следовательно, она пересечет плоскость $\alpha$ по прямой $a$, параллельной $AC$. Точки пересечения этой прямой $a$ с боковыми ребрами $MA$ и $MC$ обозначим как $A_1$ и $C_1$ соответственно.</p> <p>Аналогично, плоскость боковой грани $MBD$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $ABC$ по параллельным прямым $B_1D_1$ и $BD$. Точки $B_1$ и $D_1$ лежат на ребрах $MB$ и $MD$.</p> <p>Соединив последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, мы получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, который является искомым сечением пирамиды.</p> <p>Ответ: Построение сечения описано выше. Сечением является квадрат $A_1B_1C_1D_1$, плоскость которого параллельна основанию пирамиды, а вершины лежат на боковых ребрах.</p> <p><strong>б)</strong> Найдем числовые значения для усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$.</p> <p>1. <strong>Нахождение апофемы и высоты.</strong></p> <p>Проведем в грани $MBC$ апофему $MH$ исходной пирамиды $MABCD$ ($H$ — середина $BC$). Так как пирамида правильная, $MH \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $MHC$ гипотенуза $MC=13$ см (боковое ребро), а катет $HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем апофему $MH$:<br> $MH = \sqrt{MC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.</p> <p>Секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину высоты $MO$, точку $O_1$. Из подобия треугольников $\triangle MO_1H_1$ и $\triangle MOH$ (где $H_1$ — точка пересечения $MH$ с плоскостью $\alpha$) следует, что $H_1$ — середина апофемы $MH$. Таким образом, апофема усеченной пирамиды $H_1H$ равна половине апофемы исходной пирамиды:<br> $H_1H = \frac{1}{2} MH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.</p> <p>Для нахождения высоты рассмотрим прямоугольный треугольник $MOH$. Катет $OH$ — это расстояние от центра основания (квадрата) до его стороны, он равен половине стороны основания: $OH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем высоту исходной пирамиды $MO$:<br> $MO = \sqrt{MH^2 - OH^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$ см.</p> <p>Высота усеченной пирамиды $O_1O$ равна половине высоты исходной пирамиды:<br> $O_1O = \frac{1}{2} MO = \frac{\sqrt{119}}{2}$ см.</p> <p>2. <strong>Нахождение площади полной поверхности усеченной пирамиды.</strong></p> <p>Площадь полной поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн.осн.} + S_{верхн.осн.}$.</p> <p>Площадь нижнего основания (квадрата $ABCD$):<br> $S_{нижн.осн.} = AB^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.</p> <p>Сторона верхнего основания $A_1B_1$ относится к стороне нижнего основания $AB$ как высоты соответствующих пирамид: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{MO_1}{MO} = \frac{1}{2}$. Отсюда, $A_1B_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.<br> Площадь верхнего основания (квадрата $A_1B_1C_1D_1$):<br> $S_{верхн.осн.} = (A_1B_1)^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.</p> <p>Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.<br> Периметр нижнего основания: $P = 4 \cdot 10 = 40$ см.<br> Периметр верхнего основания: $P_1 = 4 \cdot 5 = 20$ см.<br> $S_{бок} = \frac{1}{2}(P + P_1) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(40 + 20) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 6 = 180$ см$^2$.</p> <p>Теперь найдем площадь полной поверхности:<br> $S_{полн} = 180 + 100 + 25 = 305$ см$^2$.</p> <p>Ответ: Апофема усеченной пирамиды равна 6 см, высота усеченной пирамиды равна $\frac{\sqrt{119}}{2}$ см, площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна 305 см$^2$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434352 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>а)</strong> Пусть точка $O_1$ — середина высоты пирамиды $MO$, а плоскость $\alpha$ — секущая плоскость. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости основания $ABC$.</p> <p>Если плоскость (в нашем случае, боковая грань $AMC$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Плоскость $AMC$ пересекает плоскость основания $ABC$ по прямой $AC$. Следовательно, она пересечет плоскость $\alpha$ по прямой $a$, параллельной $AC$. Точки пересечения этой прямой $a$ с боковыми ребрами $MA$ и $MC$ обозначим как $A_1$ и $C_1$ соответственно.</p> <p>Аналогично, плоскость боковой грани $MBD$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $ABC$ по параллельным прямым $B_1D_1$ и $BD$. Точки $B_1$ и $D_1$ лежат на ребрах $MB$ и $MD$.</p> <p>Соединив последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, мы получим четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$, который является искомым сечением пирамиды.</p> <p>Ответ: Построение сечения описано выше. Сечением является квадрат $A_1B_1C_1D_1$, плоскость которого параллельна основанию пирамиды, а вершины лежат на боковых ребрах.</p> <p><strong>б)</strong> Найдем числовые значения для усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$.</p> <p>1. <strong>Нахождение апофемы и высоты.</strong></p> <p>Проведем в грани $MBC$ апофему $MH$ исходной пирамиды $MABCD$ ($H$ — середина $BC$). Так как пирамида правильная, $MH \perp BC$. В прямоугольном треугольнике $MHC$ гипотенуза $MC=13$ см (боковое ребро), а катет $HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем апофему $MH$:<br> $MH = \sqrt{MC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.</p> <p>Секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину высоты $MO$, точку $O_1$. Из подобия треугольников $\triangle MO_1H_1$ и $\triangle MOH$ (где $H_1$ — точка пересечения $MH$ с плоскостью $\alpha$) следует, что $H_1$ — середина апофемы $MH$. Таким образом, апофема усеченной пирамиды $H_1H$ равна половине апофемы исходной пирамиды:<br> $H_1H = \frac{1}{2} MH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.</p> <p>Для нахождения высоты рассмотрим прямоугольный треугольник $MOH$. Катет $OH$ — это расстояние от центра основания (квадрата) до его стороны, он равен половине стороны основания: $OH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. По теореме Пифагора найдем высоту исходной пирамиды $MO$:<br> $MO = \sqrt{MH^2 - OH^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$ см.</p> <p>Высота усеченной пирамиды $O_1O$ равна половине высоты исходной пирамиды:<br> $O_1O = \frac{1}{2} MO = \frac{\sqrt{119}}{2}$ см.</p> <p>2. <strong>Нахождение площади полной поверхности усеченной пирамиды.</strong></p> <p>Площадь полной поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн.осн.} + S_{верхн.осн.}$.</p> <p>Площадь нижнего основания (квадрата $ABCD$):<br> $S_{нижн.осн.} = AB^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.</p> <p>Сторона верхнего основания $A_1B_1$ относится к стороне нижнего основания $AB$ как высоты соответствующих пирамид: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{MO_1}{MO} = \frac{1}{2}$. Отсюда, $A_1B_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.<br> Площадь верхнего основания (квадрата $A_1B_1C_1D_1$):<br> $S_{верхн.осн.} = (A_1B_1)^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.</p> <p>Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.<br> Периметр нижнего основания: $P = 4 \cdot 10 = 40$ см.<br> Периметр верхнего основания: $P_1 = 4 \cdot 5 = 20$ см.<br> $S_{бок} = \frac{1}{2}(P + P_1) \cdot H_1H = \frac{1}{2}(40 + 20) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 6 = 180$ см$^2$.</p> <p>Теперь найдем площадь полной поверхности:<br> $S_{полн} = 180 + 100 + 25 = 305$ см$^2$.</p> <p>Ответ: Апофема усеченной пирамиды равна 6 см, высота усеченной пирамиды равна $\frac{\sqrt{119}}{2}$ см, площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна 305 см$^2$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738561" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738560 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => "68" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-89" "field_display_title" => "89" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "next" => array:2 [ "refs" => "738561" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738559" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971713 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-66" "field_display_title" => "66" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "66" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "next" => array:2 [ "refs" => "971714" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971712" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "66" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-88" "field_display_title" => "88" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "next" => array:2 [ "refs" => "738560" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738558" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "page" => array:2 [ "refs" => "971713" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№88 (с. 66)
Условие. №88 (с. 66)
скриншот условия
88 Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.
Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и параллельны, то $A_1B_1$ $AB$ ( параллельных плоскостей). Аналогично $B_1C_1$ $BC$, $A_1C_1$ $AC$ и $A_1O_1$ $AO$.
Поэтому $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}; $
$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}; $
$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A}. $
Итак, $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \text{\_\_\_\_\_\_\_} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2} $, что и требовалось доказать.
Решение. №88 (с. 66)
Решение 2. №88 (с. 66)
Доказательство.
Пусть дана треугольная пирамида $MABC$ с вершиной $M$ и основанием $ABC$. $MO$ — ее высота. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает высоту в точке $O_1$ так, что по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на боковых ребрах $MA, MB, MC$ соответственно.
Так как плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $(ABC)$ параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также будут параллельны.
- Плоскость боковой грани $(MAB)$ пересекает параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $AB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.
- Аналогично, в плоскости $(MBC)$ имеем $B_1C_1 \parallel BC$.
- В плоскости $(MAC)$ имеем $A_1C_1 \parallel AC$.
- В плоскости $(MAO)$ имеем $A_1O_1 \parallel AO$.
Рассмотрим угол $AMO$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1O_1$ и $AO$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} $$Так как по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$, то и $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2}$.
Применим ту же теорему к другим углам, образованным боковыми ребрами:
- Для угла $AMB$ и параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$: $$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$
- Для угла $AMC$ и параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$: $$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$
Итак, мы показали, что все боковые ребра делятся плоскостью в одном и том же отношении:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{1}{2} $$Что и требовалось доказать.
Заполненный текст из упражнения:
Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ параллельны, то $A_1B_1 \underline{\parallel} AB$ (по свойству пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью). Аналогично $B_1C_1 \underline{\parallel} BC$, $A_1C_1 \underline{\parallel} AC$ и $A_1O_1 \underline{\parallel} AO$.
Поэтому $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$; $\frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}$;
$\frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{\underline{A_1A}}$.
Итак, $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{\underline{B_1B}} = \frac{\underline{MC_1}}{\underline{C_1C}} = \frac{MO_1}{\underline{O_1O}} = \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды и делящая ее высоту в отношении $1:2$ от вершины, делит и боковые ребра в том же отношении.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 88 расположенного на странице 66 к рабочей тетради серии мгу - школе 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №88 (с. 66), авторов: Глазков (Юрий Александрович), Юдина (Ирина Игоревна), Бутузов (Валентин Фёдорович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.