gdz.top
Номер 16, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: оранжевый
ISBN: 978-5-360-07142-6
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Введение в стериометрию. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Упражнения - номер 16, страница 12.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732756 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "12" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/01-16" "field_display_title" => "16" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Введение в стериометрию" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1055 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1068 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1081 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Введение в стериометрию" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1272 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1038 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Введение в стериометрию" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1039 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1040 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Введение в стериометрию" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1115 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732672 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1117 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1119 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1153 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Введение в стериометрию" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] …3 ] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732672 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1191 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732674 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1194 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1228 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732674 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "field_page_start" => "10" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1290 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1300 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 931291 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1301 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1.16.</strong> Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "323" "height" => 117 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-01/16-1.webp?ts=1739301332" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 931291 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309} "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1.16.</strong> Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "323" "height" => 117 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-01/16-1.webp?ts=1739301332" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1307 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 932124 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1308 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1123 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-01/16-1.webp?ts=1739302131" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 932124 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317} "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1123 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-01/16-1.webp?ts=1739302131" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1315 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 932957 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1316 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "639" "height" => 254 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/2-01/16-1.webp?ts=1739302817" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 932957 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325} "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "16-1.png" "alt" => null "width" => "639" "height" => 254 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/2-01/16-1.webp?ts=1739302817" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1323 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1445160 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1324 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "text" => "<p>Утверждение <strong>неверно</strong>.</p><p>Для того чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для любого треугольника. Мы покажем, что существует случай, когда оно не выполняется.</p><p>Рассмотрим расположение центров вписанной и описанной окружностей относительно плоскости, в которой лежит треугольник. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.</p><ul><li> <b>Центр вписанной окружности (инцентр)</b> — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы строятся в плоскости треугольника, поэтому их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$. </li> <li> <b>Центр описанной окружности (циркумцентр)</b> — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры также строятся в плоскости треугольника, следовательно, их точка пересечения (циркумцентр) тоже лежит в плоскости $\alpha$. </li></ul><p>Таким образом, обе точки — центр вписанной окружности (обозначим его I) и центр описанной окружности (обозначим его O) — всегда лежат в плоскости треугольника.</p><p>Теперь рассмотрим два возможных случая.</p><p>1. Если треугольник <strong>не является равносторонним</strong>, то его инцентр I и циркумцентр O — это две различные точки. Согласно основной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки I и O лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая, проходящая через них, лежит в плоскости $\alpha$. Для такого типа треугольников утверждение верно.</p><p>2. Если треугольник <strong>является равносторонним</strong>, то его инцентр и циркумцентр (а также другие замечательные точки) совпадают. Обозначим эту единственную точку C. Утверждение "любая прямая, проходящая через центры" в этом случае означает "любая прямая, проходящая через точку C". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Лишь часть из них будет лежать в плоскости $\alpha$. Например, прямая, проходящая через точку C перпендикулярно плоскости $\alpha$, не лежит в этой плоскости (она ее только пересекает). Эта прямая проходит через "центры", но не удовлетворяет условию "лежит в плоскости этого треугольника".</p><p>Поскольку мы нашли контрпример (случай равностороннего треугольника), для которого исходное утверждение не выполняется, оно не может считаться верным в общем виде.</p><p>Ответ: неверно.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1445160 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1333} "task" => array:2 [ "refs" => "732756" "type" => "task" ] "text" => "<p>Утверждение <strong>неверно</strong>.</p><p>Для того чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для любого треугольника. Мы покажем, что существует случай, когда оно не выполняется.</p><p>Рассмотрим расположение центров вписанной и описанной окружностей относительно плоскости, в которой лежит треугольник. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.</p><ul><li> <b>Центр вписанной окружности (инцентр)</b> — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы строятся в плоскости треугольника, поэтому их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$. </li> <li> <b>Центр описанной окружности (циркумцентр)</b> — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры также строятся в плоскости треугольника, следовательно, их точка пересечения (циркумцентр) тоже лежит в плоскости $\alpha$. </li></ul><p>Таким образом, обе точки — центр вписанной окружности (обозначим его I) и центр описанной окружности (обозначим его O) — всегда лежат в плоскости треугольника.</p><p>Теперь рассмотрим два возможных случая.</p><p>1. Если треугольник <strong>не является равносторонним</strong>, то его инцентр I и циркумцентр O — это две различные точки. Согласно основной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки I и O лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая, проходящая через них, лежит в плоскости $\alpha$. Для такого типа треугольников утверждение верно.</p><p>2. Если треугольник <strong>является равносторонним</strong>, то его инцентр и циркумцентр (а также другие замечательные точки) совпадают. Обозначим эту единственную точку C. Утверждение "любая прямая, проходящая через центры" в этом случае означает "любая прямая, проходящая через точку C". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Лишь часть из них будет лежать в плоскости $\alpha$. Например, прямая, проходящая через точку C перпендикулярно плоскости $\alpha$, не лежит в этой плоскости (она ее только пересекает). Эта прямая проходит через "центры", но не удовлетворяет условию "лежит в плоскости этого треугольника".</p><p>Поскольку мы нашли контрпример (случай равностороннего треугольника), для которого исходное утверждение не выполняется, оно не может считаться верным в общем виде.</p><p>Ответ: неверно.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "732757" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "732755" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1606 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#331 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971450 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "12" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-12" "field_display_title" => "12" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "12" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1023 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1280 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1340 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1342 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971451" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971449" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1350 #items: array:12 [ 0 => App\Models\Task {#1351 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1441 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1456 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1471 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1486 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1501 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1516 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1531 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1546 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1561 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1576 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 11 => App\Models\Task {#1589 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971450 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "12" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-12" "field_display_title" => "12" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "12" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1023} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1340} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341} "next" => array:2 [ "refs" => "971451" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971449" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1350} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732756 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "12" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/01-16" "field_display_title" => "16" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1272} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1290} "next" => array:2 [ "refs" => "732757" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "732755" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298} "page" => array:2 [ "refs" => "971450" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№16 (с. 12)
Условие. №16 (с. 12)
скриншот условия
1.16. Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?
Решение 1. №16 (с. 12)
Решение 2. №16 (с. 12)
Решение 3. №16 (с. 12)
Утверждение неверно.
Для того чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для любого треугольника. Мы покажем, что существует случай, когда оно не выполняется.
Рассмотрим расположение центров вписанной и описанной окружностей относительно плоскости, в которой лежит треугольник. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.
- Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы строятся в плоскости треугольника, поэтому их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$.
- Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры также строятся в плоскости треугольника, следовательно, их точка пересечения (циркумцентр) тоже лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, обе точки — центр вписанной окружности (обозначим его I) и центр описанной окружности (обозначим его O) — всегда лежат в плоскости треугольника.
Теперь рассмотрим два возможных случая.
1. Если треугольник не является равносторонним, то его инцентр I и циркумцентр O — это две различные точки. Согласно основной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки I и O лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая, проходящая через них, лежит в плоскости $\alpha$. Для такого типа треугольников утверждение верно.
2. Если треугольник является равносторонним, то его инцентр и циркумцентр (а также другие замечательные точки) совпадают. Обозначим эту единственную точку C. Утверждение "любая прямая, проходящая через центры" в этом случае означает "любая прямая, проходящая через точку C". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Лишь часть из них будет лежать в плоскости $\alpha$. Например, прямая, проходящая через точку C перпендикулярно плоскости $\alpha$, не лежит в этой плоскости (она ее только пересекает). Эта прямая проходит через "центры", но не удовлетворяет условию "лежит в плоскости этого треугольника".
Поскольку мы нашли контрпример (случай равностороннего треугольника), для которого исходное утверждение не выполняется, оно не может считаться верным в общем виде.
Ответ: неверно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 12 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16 (с. 12), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.