gdz.top
Номер 23, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: оранжевый
ISBN: 978-5-360-07142-6
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Упражнения - номер 23, страница 134.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 733256 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/14-23" "field_display_title" => "23" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732695 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярность в пространстве" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "82" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1035 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1039 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1040 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5174 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Вентана-граф" "field_cases" => null "field_translit" => "ventana-graf" ] #original: array:6 [ "id" => 5174 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Вентана-граф" "field_cases" => null "field_translit" => "ventana-graf" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5164 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мерзляк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Аркадий" "field_patronymic" => "Григорьевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5164 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мерзляк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Аркадий" "field_patronymic" => "Григорьевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Номировский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дмитрий" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Номировский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дмитрий" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5506 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Полонский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Виталий" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5506 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Полонский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Виталий" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6445 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Якир" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Семёнович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6445 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Якир" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Семёнович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1050 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732695 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярность в пространстве" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "82" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1068 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732714 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярные плоскости" "field_branch_order" => "14" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "127" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1073 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732695 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярность в пространстве" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_page_start" => "82" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 732695 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярность в пространстве" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_page_start" => "82" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732714 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярные плоскости" "field_branch_order" => "14" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_page_start" => "127" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1111 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732716 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "131" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1115 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732714 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярные плоскости" "field_branch_order" => "14" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 …2} "field_page_start" => "127" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 732714 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Перпендикулярные плоскости" "field_branch_order" => "14" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 …2} "field_page_start" => "127" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732716 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "field_page_start" => "131" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1120 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 931725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1122 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>14.23.</strong> Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и перпендикулярной плоскости $A_1BC$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "23-1.png" "alt" => null "width" => "500" "height" => 85 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-14/23-1.webp?ts=1739301565" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 931725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>14.23.</strong> Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и перпендикулярной плоскости $A_1BC$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "23-1.png" "alt" => null "width" => "500" "height" => 85 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-14/23-1.webp?ts=1739301565" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1128 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 932558 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1130 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "23-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2621 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-14/23-1.webp?ts=1739302424" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 932558 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "23-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2621 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-14/23-1.webp?ts=1739302424" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1136 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1445594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1138 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5367 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5367 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "text" => "<p>Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять двум условиям:</p><ol><li>Проходить через прямую $AD$, то есть $AD \subset \alpha$.</li> <li>Быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$, то есть $\alpha \perp (A_1BC)$.</li></ol><p>Для построения плоскости $\alpha$ воспользуемся свойством перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, нам нужно найти прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$, и построить искомую плоскость $\alpha$ так, чтобы она содержала прямую $AD$ и была параллельна найденной перпендикулярной прямой.</p><p><strong>1. Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$.</strong></p><p>Рассмотрим прямую $AB_1$. Докажем, что $AB_1 \perp (A_1BC)$.</p><ul><li>Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $BC \perp AB$ (стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (ребро куба перпендикулярно основанию). Поскольку $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, следовательно, $BC \perp AB_1$.</li> <li>Прямые $AB_1$ и $A_1B$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AB_1 \perp A_1B$.</li></ul><p>Таким образом, прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1BC)$.</p><p><strong>2. Построение секущей плоскости $\alpha$.</strong></p><p>Искомая плоскость $\alpha$ должна проходить через прямую $AD$ и быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$. Это означает, что плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AD$ и быть параллельной прямой $AB_1$ (так как $AB_1 \perp (A_1BC)$).</p><p>Поскольку прямые $AD$ и $AB_1$ пересекаются в точке $A$, они однозначно задают плоскость. Эта плоскость и будет искомой плоскостью $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ – это плоскость $(ADB_1)$.</p><p><strong>3. Построение сечения куба плоскостью $(ADB_1)$.</strong></p><ul><li>Плоскость сечения проходит через точки $A$, $D$ и $B_1$.</li> <li>Отрезок $AD$ является ребром куба и принадлежит сечению.</li> <li>Соединим точки $A$ и $B_1$. Отрезок $AB_1$ – диагональ грани $ABB_1A_1$ и также принадлежит сечению.</li> <li>Плоскость сечения $(ADB_1)$ пересекает параллельные плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству, линии пересечения должны быть параллельны. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна $AD$ и проходить через точку $B_1$. Такой прямой является $B_1C_1$. Следовательно, отрезок $B_1C_1$ принадлежит сечению.</li> <li>Соединим оставшиеся точки $D$ и $C_1$. Отрезок $DC_1$ – диагональ грани $CDD_1C_1$.</li></ul><p>В результате получаем четырехугольник $ADC_1B_1$. Проверим, что это плоская фигура. Вектор $\vec{AD}$ параллелен вектору $\vec{B_1C_1}$ и их длины равны (как ребра куба). Следовательно, $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Поскольку все его вершины лежат в построенной плоскости $(ADB_1)$, он является искомым сечением.</p><p>Более того, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Так как $ADC_1B_1$ – параллелограмм с прямым углом $\angle DAB_1$, то он является прямоугольником.</p><p><strong>Ответ:</strong> Искомое сечение – прямоугольник $ADC_1B_1$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1445594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "task" => array:2 [ "refs" => "733256" "type" => "task" ] "text" => "<p>Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять двум условиям:</p><ol><li>Проходить через прямую $AD$, то есть $AD \subset \alpha$.</li> <li>Быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$, то есть $\alpha \perp (A_1BC)$.</li></ol><p>Для построения плоскости $\alpha$ воспользуемся свойством перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, нам нужно найти прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$, и построить искомую плоскость $\alpha$ так, чтобы она содержала прямую $AD$ и была параллельна найденной перпендикулярной прямой.</p><p><strong>1. Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$.</strong></p><p>Рассмотрим прямую $AB_1$. Докажем, что $AB_1 \perp (A_1BC)$.</p><ul><li>Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $BC \perp AB$ (стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (ребро куба перпендикулярно основанию). Поскольку $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, следовательно, $BC \perp AB_1$.</li> <li>Прямые $AB_1$ и $A_1B$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AB_1 \perp A_1B$.</li></ul><p>Таким образом, прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1BC)$.</p><p><strong>2. Построение секущей плоскости $\alpha$.</strong></p><p>Искомая плоскость $\alpha$ должна проходить через прямую $AD$ и быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$. Это означает, что плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AD$ и быть параллельной прямой $AB_1$ (так как $AB_1 \perp (A_1BC)$).</p><p>Поскольку прямые $AD$ и $AB_1$ пересекаются в точке $A$, они однозначно задают плоскость. Эта плоскость и будет искомой плоскостью $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ – это плоскость $(ADB_1)$.</p><p><strong>3. Построение сечения куба плоскостью $(ADB_1)$.</strong></p><ul><li>Плоскость сечения проходит через точки $A$, $D$ и $B_1$.</li> <li>Отрезок $AD$ является ребром куба и принадлежит сечению.</li> <li>Соединим точки $A$ и $B_1$. Отрезок $AB_1$ – диагональ грани $ABB_1A_1$ и также принадлежит сечению.</li> <li>Плоскость сечения $(ADB_1)$ пересекает параллельные плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству, линии пересечения должны быть параллельны. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна $AD$ и проходить через точку $B_1$. Такой прямой является $B_1C_1$. Следовательно, отрезок $B_1C_1$ принадлежит сечению.</li> <li>Соединим оставшиеся точки $D$ и $C_1$. Отрезок $DC_1$ – диагональ грани $CDD_1C_1$.</li></ul><p>В результате получаем четырехугольник $ADC_1B_1$. Проверим, что это плоская фигура. Вектор $\vec{AD}$ параллелен вектору $\vec{B_1C_1}$ и их длины равны (как ребра куба). Следовательно, $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Поскольку все его вершины лежат в построенной плоскости $(ADB_1)$, он является искомым сечением.</p><p>Более того, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Так как $ADC_1B_1$ – параллелограмм с прямым углом $\angle DAB_1$, то он является прямоугольником.</p><p><strong>Ответ:</strong> Искомое сечение – прямоугольник $ADC_1B_1$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "733257" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "733255" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1381 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1147 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971572 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1153 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] …12 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1188 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971573" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971571" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:11 [ 0 => App\Models\Task {#1197 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1249 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1262 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1275 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1288 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1301 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1314 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1327 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1340 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1353 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1366 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971572 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "next" => array:2 [ "refs" => "971573" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971571" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 733256 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/14-23" "field_display_title" => "23" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "next" => array:2 [ "refs" => "733257" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "733255" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "page" => array:2 [ "refs" => "971572" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№23 (с. 134)
Условие. №23 (с. 134)
скриншот условия
14.23. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и перпендикулярной плоскости $A_1BC$.
Решение 1. №23 (с. 134)
Решение 3. №23 (с. 134)
Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять двум условиям:
- Проходить через прямую $AD$, то есть $AD \subset \alpha$.
- Быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$, то есть $\alpha \perp (A_1BC)$.
Для построения плоскости $\alpha$ воспользуемся свойством перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, нам нужно найти прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$, и построить искомую плоскость $\alpha$ так, чтобы она содержала прямую $AD$ и была параллельна найденной перпендикулярной прямой.
1. Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$.
Рассмотрим прямую $AB_1$. Докажем, что $AB_1 \perp (A_1BC)$.
- Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $BC \perp AB$ (стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (ребро куба перпендикулярно основанию). Поскольку $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, следовательно, $BC \perp AB_1$.
- Прямые $AB_1$ и $A_1B$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AB_1 \perp A_1B$.
Таким образом, прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1BC)$.
2. Построение секущей плоскости $\alpha$.
Искомая плоскость $\alpha$ должна проходить через прямую $AD$ и быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$. Это означает, что плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AD$ и быть параллельной прямой $AB_1$ (так как $AB_1 \perp (A_1BC)$).
Поскольку прямые $AD$ и $AB_1$ пересекаются в точке $A$, они однозначно задают плоскость. Эта плоскость и будет искомой плоскостью $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ – это плоскость $(ADB_1)$.
3. Построение сечения куба плоскостью $(ADB_1)$.
- Плоскость сечения проходит через точки $A$, $D$ и $B_1$.
- Отрезок $AD$ является ребром куба и принадлежит сечению.
- Соединим точки $A$ и $B_1$. Отрезок $AB_1$ – диагональ грани $ABB_1A_1$ и также принадлежит сечению.
- Плоскость сечения $(ADB_1)$ пересекает параллельные плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству, линии пересечения должны быть параллельны. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна $AD$ и проходить через точку $B_1$. Такой прямой является $B_1C_1$. Следовательно, отрезок $B_1C_1$ принадлежит сечению.
- Соединим оставшиеся точки $D$ и $C_1$. Отрезок $DC_1$ – диагональ грани $CDD_1C_1$.
В результате получаем четырехугольник $ADC_1B_1$. Проверим, что это плоская фигура. Вектор $\vec{AD}$ параллелен вектору $\vec{B_1C_1}$ и их длины равны (как ребра куба). Следовательно, $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Поскольку все его вершины лежат в построенной плоскости $(ADB_1)$, он является искомым сечением.
Более того, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Так как $ADC_1B_1$ – параллелограмм с прямым углом $\angle DAB_1$, то он является прямоугольником.
Ответ: Искомое сечение – прямоугольник $ADC_1B_1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 23 расположенного на странице 134 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №23 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.