Номер 1.97, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.97. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной, равной 1 см. Высота пирамиды равна 3 см. Докажите, что площадь ее развертки равна $ \frac{3\sqrt{3}}{2}(1+\sqrt{13}) $ см$^2$ (рис. 1.48).

Рис. 1.48

Площадь полной поверхности пирамиды (площадь ее развертки) $S_{разв}$ равна сумме площади ее основания $S_{осн}$ и площади ее боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{разв} = S_{осн} + S_{бок}$

Сначала найдем площадь основания. Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, следовательно, площадь основания:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставляя $a=1$ см, получаем:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из шести одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого такого треугольника равно стороне шестиугольника $a=1$ см, а высота, проведенная к этому основанию, является апофемой пирамиды $h_a$. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\right) = 3ah_a$.

Чтобы найти апофему $h_a$, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H = 3$ см (катет), апофемой основания $r$ (второй катет) и апофемой пирамиды $h_a$ (гипотенуза). Апофема правильного шестиугольника $r$ (расстояние от центра до середины стороны) равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь найдем апофему пирамиды $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + r^2$

$h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{36+3}{4}} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3ah_a = 3 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} = \frac{3\sqrt{39}}{2}$ см².

Наконец, найдем общую площадь развертки, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{разв} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{39}}{2}$

Представим $\sqrt{39}$ как $\sqrt{3 \cdot 13} = \sqrt{3}\sqrt{13}$ и вынесем общий множитель $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ за скобки:

$S_{разв} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}\sqrt{13}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1 + \sqrt{13})$ см².

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.