Номер 2.34, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.34. Определите взаимное расположение двух прямых в пространстве:

1) $\frac{x-3}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{-2}$ и $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$;

2) $x = 3t, y = 1 - 2t, z = -2 + 3t$ и $x = 1 + 2t, y = 1 - 2t, z = -1 + 2t$?

1) Чтобы определить взаимное расположение двух прямых, заданных каноническими уравнениями, сначала найдем их направляющие векторы и по одной точке на каждой прямой.

Первая прямая $L_1$: $\frac{x-3}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{-2}$.

Она проходит через точку $M_1(3, 1, -2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = (3, 2, -2)$.

Вторая прямая $L_2$: $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$.

Она проходит через точку $M_2(0, -1, 2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_2} = (1, 3, 2)$.

Проверим, параллельны ли прямые. Для этого нужно проверить, коллинеарны ли их направляющие векторы. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

$\frac{3}{1} \neq \frac{2}{3}$

Так как отношение координат не одинаково, векторы $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ не коллинеарны. Следовательно, прямые не параллельны и не совпадают. Они могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися.

Чтобы выяснить, пересекаются ли прямые или скрещиваются, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Для этого нужно проверить на компланарность векторы $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точки на прямых.

Найдем координаты вектора $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{M_1M_2} = (0 - 3, -1 - 1, 2 - (-2)) = (-3, -2, 4)$.

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение $(\vec{s_1} \times \vec{s_2}) \cdot \vec{M_1M_2}$, которое равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов:

$ \begin{vmatrix} l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} $

Раскроем определитель:

$3 \cdot (3 \cdot 4 - 2 \cdot (-2)) - 2 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)) + (-2) \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-3)) = 3(12+4) - 2(4+6) - 2(-2+9) = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 10 - 2 \cdot 7 = 48 - 20 - 14 = 14$.

Так как смешанное произведение не равно нулю ($14 \neq 0$), векторы не компланарны. Это означает, что прямые не лежат в одной плоскости, и, следовательно, они скрещиваются.

Ответ: Прямые скрещиваются.

2) Определим взаимное расположение прямых, заданных параметрическими уравнениями. Для удобства введем для второй прямой параметр $s$.

Первая прямая $L_1$: $x = 3t, y = 1 - 2t, z = -2 + 3t$.

Направляющий вектор $\vec{s_1} = (3, -2, 3)$.

Вторая прямая $L_2$: $x = 1 + 2s, y = 1 - 2s, z = -1 + 2s$.

Направляющий вектор $\vec{s_2} = (2, -2, 2)$.

Проверим коллинеарность направляющих векторов, сравнив отношения их координат:

$\frac{3}{2} \neq \frac{-2}{-2} = 1$

Векторы не коллинеарны, значит прямые не параллельны и не совпадают. Они либо пересекаются, либо скрещиваются.

Чтобы найти точку пересечения (если она существует), приравняем соответствующие координаты и решим систему уравнений относительно $t$ и $s$:

$\begin{cases} 3t = 1 + 2s \\ 1 - 2t = 1 - 2s \\ -2 + 3t = -1 + 2s \end{cases}$

Из второго уравнения получаем:

$1 - 2t = 1 - 2s \Rightarrow -2t = -2s \Rightarrow t = s$.

Подставим $t=s$ в первое уравнение:

$3t = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$.

Следовательно, $s = 1$.

Теперь подставим найденные значения $t=1$ и $s=1$ в третье уравнение, чтобы проверить, является ли решение верным для всей системы:

$-2 + 3(1) = -1 + 2(1)$

$1 = 1$

Равенство выполняется, значит система имеет единственное решение. Это означает, что прямые пересекаются.

Найдем координаты точки пересечения, подставив значение $t=1$ в уравнения прямой $L_1$:

$x = 3(1) = 3$

$y = 1 - 2(1) = -1$

$z = -2 + 3(1) = 1$

Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами $(3, -1, 1)$.

Ответ: Прямые пересекаются в точке $(3, -1, 1)$.