gdz.top
Проверь себя!, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2017 - 2026
ISBN: 978-601-07-0873-0
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 7 классе
Глава 4. Окружность. Геометрические построения. Параграф 23. Задачи на построение - страница 134.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129913 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => "137" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/prceb-4" "field_display_title" => "Проверь себя!" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1035 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Окружность. Геометрические построения" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1040 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2907 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false …4 } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1046 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1048 …30} 1 => App\Models\Term {#1049 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 7 класса общеобразовательной школы" "field_allowed" => "Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "528" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/geometrija_07/Smirnova-u17/" "field_isbn" => "978-601-07-0873-0" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 378 "subject" => 543 "class_subject" => 389 ] ] #original: array:50 [ "id" => 2907 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 7 класса общеобразовательной школы" "field_allowed" => "Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "528" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/geometrija_07/Smirnova-u17/" "field_isbn" => "978-601-07-0873-0" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 378 "subject" => 543 "class_subject" => 389 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1129379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Окружность. Геометрические построения" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1111 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Окружность. Геометрические построения" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1112 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2907 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1113 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1118 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5456 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "7" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "седьмой" "field_creative_case" => "седьмым" "field_dative_case" => "седьмому" "field_genitive_case" => "седьмого" "field_nominative_case" => "седьмой" "field_prepositional_case" => "седьмом" ] "field_translit" => "sedmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5456 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "7" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "седьмой" "field_creative_case" => "седьмым" "field_dative_case" => "седьмому" "field_genitive_case" => "седьмого" "field_nominative_case" => "седьмой" "field_prepositional_case" => "седьмом" ] "field_translit" => "sedmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1120 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6996 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мектеп" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "mektep" ] #original: array:6 [ "id" => 6996 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мектеп" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "mektep" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1122 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5801 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Смирнов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Владимир" "field_patronymic" => "Алексеевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5801 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Смирнов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Владимир" "field_patronymic" => "Алексеевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1123 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 7017 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Туяков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Есенкельды" "field_patronymic" => "Алыбаевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 7017 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Туяков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Есенкельды" "field_patronymic" => "Алыбаевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1126 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1128 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "kazakhstan" ] #original: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "kazakhstan" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1130 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almaty" ] #original: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "almaty" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 7 класса общеобразовательной школы" "field_allowed" => "Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "528" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/geometrija_07/Smirnova-u17/" "field_isbn" => "978-601-07-0873-0" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 378 "subject" => 543 "class_subject" => 389 ] ] #original: array:50 [ "id" => 2907 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 7 класса общеобразовательной школы" "field_allowed" => "Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "528" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/geometrija_07/Smirnova-u17/" "field_isbn" => "978-601-07-0873-0" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/covers/cover1.webp?ts=1753259592" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139} "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 378 "subject" => 543 "class_subject" => 389 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1129379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Окружность. Геометрические построения" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1142 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129385 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи на построение" "field_branch_order" => "23" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1144 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "128" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1035} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1129385 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи на построение" "field_branch_order" => "23" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147} "field_page_start" => "128" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1093 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1320081 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1092 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5009 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1091 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5009 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "text" => "<p>ПРОВЕРЬ СЕБЯ!</p><p><strong>1.</strong> Сколько окружностей могут иметь центром данную точку:</p><p>А. Ни одной. В. Одна. С. Две. D. Бесконечно много?</p><p><strong>2.</strong> Сколько окружностей можно провести через одну точку:</p><p>А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?</p><p><strong>3.</strong> Сколько окружностей можно провести через две точки:</p><p>А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?</p><p><strong>4.</strong> Какому соотношению удовлетворяют точки $M$, лежащие вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:</p><p>А. $OM \ge R$. В. $OM > R$. С. $OM < R$. D. $OM < R$?</p><p><strong>5.</strong> Какому соотношению удовлетворяют точки $K$, лежащие внутри круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:</p><p>А. $OK \le R$. В. $OK \ge R$. С. $OK < R$. D. $OK > R$?</p><p><strong>6.</strong> Диаметр окружности равен 10 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 3 см:</p><p>А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>7.</strong> Диаметр окружности равен 8 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 4 см:</p><p>А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>8.</strong> Диаметр окружности равен 6 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 5 см:</p><p>А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>9.</strong> Радиусы двух окружностей равны 10 см и 15 см. Расстояние между их центрами равно 20 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>10.</strong> Радиусы двух окружностей равны 6 см и 8 см. Расстояние между их центрами равно 14 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>11.</strong> Радиусы двух окружностей равны 10 см и 20 см. Расстояние между их центрами равно 10 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>12.</strong> Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внешним образом:</p><p>А. $O_1 O_2 < R_1+R_2$. B. $O_1 O_2 = R_1+R_2$. C. $O_1 O_2 > R_1+R_2$. D. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$?</p><p><strong>13.</strong> Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внутренним образом:</p><p>А. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$. B. $O_1 O_2 > |R_1-R_2|$. C. $O_1 O_2 < |R_1-R_2|$. D. $O_1 O_2 = R_1+R_2$?</p><p><strong>14.</strong> Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 2:3. Найдите их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см:</p><p>А. 2 см и 3 см. В. 15 см и 20 см. С. 10 см и 15 см. D. 30 см и 20 см.</p><p><strong>15.</strong> Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными:</p><p>А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $60^\circ$. D. $120^\circ$.</p><p><strong>16.</strong> Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите угол между ними:</p><p>А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $90^\circ$. D. $120^\circ$.</p><p><strong>17.</strong> Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус данной окружности:</p><p>А. 10 см. В. 20 см. С. 30 см. D. 40 см.</p><p><strong>18.</strong> Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус этой окружности:</p><p>А. 30 см. В. 40 см. С. 50 см. D. 80 см.</p><p><strong>19.</strong> Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найдите отрезки этих касательных (заключенные между данной точкой и точками касания):</p><p>А. 4 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 16 см.</p><p><strong>20.</strong> Касательные, проведенные из данной точки к окружности, образуют между собой угол в $60^\circ$. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 24 см. Найдите радиус окружности:</p><p>А. 6 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 24 см.</p>" "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "4-1.jpg" "alt" => null "width" => "1780" "height" => 904 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-1.webp?ts=1753982503" ] 1 => array:5 [ "name" => "4-2.jpg" "alt" => null "width" => "1776" "height" => 2582 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-2.webp?ts=1753982503" ] 2 => array:5 [ "name" => "4-3.jpg" "alt" => null "width" => "1776" "height" => 2582 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-3.webp?ts=1753982503" ] 3 => array:5 [ "name" => "4-4.jpg" "alt" => null "width" => "1804" "height" => 966 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-4.webp?ts=1753982503" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1320081 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "text" => "<p>ПРОВЕРЬ СЕБЯ!</p><p><strong>1.</strong> Сколько окружностей могут иметь центром данную точку:</p><p>А. Ни одной. В. Одна. С. Две. D. Бесконечно много?</p><p><strong>2.</strong> Сколько окружностей можно провести через одну точку:</p><p>А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?</p><p><strong>3.</strong> Сколько окружностей можно провести через две точки:</p><p>А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?</p><p><strong>4.</strong> Какому соотношению удовлетворяют точки $M$, лежащие вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:</p><p>А. $OM \ge R$. В. $OM > R$. С. $OM < R$. D. $OM < R$?</p><p><strong>5.</strong> Какому соотношению удовлетворяют точки $K$, лежащие внутри круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:</p><p>А. $OK \le R$. В. $OK \ge R$. С. $OK < R$. D. $OK > R$?</p><p><strong>6.</strong> Диаметр окружности равен 10 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 3 см:</p><p>А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>7.</strong> Диаметр окружности равен 8 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 4 см:</p><p>А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>8.</strong> Диаметр окружности равен 6 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 5 см:</p><p>А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?</p><p><strong>9.</strong> Радиусы двух окружностей равны 10 см и 15 см. Расстояние между их центрами равно 20 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>10.</strong> Радиусы двух окружностей равны 6 см и 8 см. Расстояние между их центрами равно 14 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>11.</strong> Радиусы двух окружностей равны 10 см и 20 см. Расстояние между их центрами равно 10 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:</p><p>А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?</p><p><strong>12.</strong> Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внешним образом:</p><p>А. $O_1 O_2 < R_1+R_2$. B. $O_1 O_2 = R_1+R_2$. C. $O_1 O_2 > R_1+R_2$. D. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$?</p><p><strong>13.</strong> Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внутренним образом:</p><p>А. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$. B. $O_1 O_2 > |R_1-R_2|$. C. $O_1 O_2 < |R_1-R_2|$. D. $O_1 O_2 = R_1+R_2$?</p><p><strong>14.</strong> Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 2:3. Найдите их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см:</p><p>А. 2 см и 3 см. В. 15 см и 20 см. С. 10 см и 15 см. D. 30 см и 20 см.</p><p><strong>15.</strong> Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными:</p><p>А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $60^\circ$. D. $120^\circ$.</p><p><strong>16.</strong> Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите угол между ними:</p><p>А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $90^\circ$. D. $120^\circ$.</p><p><strong>17.</strong> Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус данной окружности:</p><p>А. 10 см. В. 20 см. С. 30 см. D. 40 см.</p><p><strong>18.</strong> Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус этой окружности:</p><p>А. 30 см. В. 40 см. С. 50 см. D. 80 см.</p><p><strong>19.</strong> Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найдите отрезки этих касательных (заключенные между данной точкой и точками касания):</p><p>А. 4 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 16 см.</p><p><strong>20.</strong> Касательные, проведенные из данной точки к окружности, образуют между собой угол в $60^\circ$. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 24 см. Найдите радиус окружности:</p><p>А. 6 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 24 см.</p>" "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "4-1.jpg" "alt" => null "width" => "1780" "height" => 904 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-1.webp?ts=1753982503" ] 1 => array:5 [ "name" => "4-2.jpg" "alt" => null "width" => "1776" "height" => 2582 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-2.webp?ts=1753982503" ] 2 => array:5 [ "name" => "4-3.jpg" "alt" => null "width" => "1776" "height" => 2582 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-3.webp?ts=1753982503" ] 3 => array:5 [ "name" => "4-4.jpg" "alt" => null "width" => "1804" "height" => 966 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-prceb/4-4.webp?ts=1753982503" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1087 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1320477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1084 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5010 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1083 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5010 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "4-1.jpg" "alt" => null "width" => "969" "height" => 2198 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-1.webp?ts=1753982622" ] 1 => array:5 [ "name" => "4-2.jpg" "alt" => null "width" => "661" "height" => 2475 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-2.webp?ts=1753982622" ] 2 => array:5 [ "name" => "4-3.jpg" "alt" => null "width" => "661" "height" => 1529 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-3.webp?ts=1753982622" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1320477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "4-1.jpg" "alt" => null "width" => "969" "height" => 2198 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-1.webp?ts=1753982622" ] 1 => array:5 [ "name" => "4-2.jpg" "alt" => null "width" => "661" "height" => 2475 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-2.webp?ts=1753982622" ] 2 => array:5 [ "name" => "4-3.jpg" "alt" => null "width" => "661" "height" => 1529 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/1-prceb/4-3.webp?ts=1753982622" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1079 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1541739 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1076 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5631 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5631 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1.</strong> С центром в одной и той же точке можно провести бесконечное множество окружностей, каждая из которых будет иметь свой уникальный положительный радиус $R$.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>2.</strong> Через одну заданную точку можно провести бесконечное множество окружностей. Их центры могут находиться в любой точке плоскости, за исключением самой заданной точки, а радиус будет равен расстоянию от центра до этой точки.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>3.</strong> Множество центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он содержит бесконечное число точек, каждая из которых может быть центром такой окружности.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>4.</strong> Точка $M$ лежит вне круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OM$, строго больше радиуса $R$.<br>Ответ: B. $OM > R$</p><p><strong>5.</strong> Точка $K$ лежит внутри круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OK$, строго меньше радиуса $R$.<br>Ответ: A. $OK < R$</p><p><strong>6.</strong> Диаметр окружности $d=10$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 5$ см. Расстояние от центра до прямой $h=3$ см. Так как расстояние до прямой меньше радиуса ($h < R$, то есть $3 < 5$), прямая пересекает окружность в двух точках.<br>Ответ: B. Пересекает.</p><p><strong>7.</strong> Диаметр окружности $d=8$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 4$ см. Расстояние от центра до прямой $h=4$ см. Так как расстояние до прямой равно радиусу ($h = R$), прямая касается окружности в одной точке.<br>Ответ: C. Касается.</p><p><strong>8.</strong> Диаметр окружности $d=6$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 3$ см. Расстояние от центра до прямой $h=5$ см. Так как расстояние до прямой больше радиуса ($h > R$, то есть $5 > 3$), прямая не имеет общих точек с окружностью.<br>Ответ: A. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.</p><p><strong>9.</strong> Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 15$ см и расстояние между центрами $d = 20$ см. Сравним $d$ с суммой и разностью радиусов:Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 10 + 15 = 25$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |15 - 10| = 5$ см.Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ ($5 < 20 < 25$), окружности пересекаются в двух точках.<br>Ответ: B. Пересекаются.</p><p><strong>10.</strong> Даны радиусы $R_1 = 6$ см, $R_2 = 8$ см и расстояние между центрами $d = 14$ см.Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 6 + 8 = 14$ см.Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом.<br>Ответ: D. Касаются внешним образом.</p><p><strong>11.</strong> Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 20$ см и расстояние между центрами $d = 10$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |20 - 10| = 10$ см.Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_2 - R_1|$), окружности касаются внутренним образом.<br>Ответ: C. Касаются внутренним образом.</p><p><strong>12.</strong> Для двух окружностей, касающихся внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов $R_1$ и $R_2$.<br>Ответ: B. $O_1O_2 = R_1+R_2$.</p><p><strong>13.</strong> Для двух окружностей, касающихся внутренним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно модулю разности их радиусов $R_1$ и $R_2$.<br>Ответ: A. $O_1O_2 = |R_1-R_2|$.</p><p><strong>14.</strong> Пусть радиусы концентрических окружностей $R_1$ и $R_2$ ($R_2>R_1$). По условию, $R_1/R_2 = 2/3$, или $R_1 = 2x$, $R_2 = 3x$. Ширина кольца — это разность радиусов: $R_2 - R_1 = 5$ см. Подставим выражения для радиусов: $3x - 2x = 5$, откуда $x=5$. Тогда радиусы равны $R_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см и $R_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. Соответствующие диаметры: $D_1 = 2R_1 = 20$ см и $D_2 = 2R_2 = 30$ см.<br>Ответ: D. 30 см и 20 см.</p><p><strong>15.</strong> Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Кратчайшее расстояние от $P$ до окружности равно $PO - R$. По условию, $PO - R = R$, откуда $PO = 2R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAP$ (где $A$ — точка касания). В нем гипотенуза $PO = 2R$ и катет $OA = R$. Тогда $\sin(\angle OPA) = OA/PO = R/(2R) = 1/2$, откуда $\angle OPA = 30^\circ$. Угол между касательными в два раза больше, так как $PO$ — биссектриса: $\angle APB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.<br><svg width="200" height="150" viewBox="0 0 200 150"><circle cx="70" cy="75" r="30" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="75" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"></line><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="52.02" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="97.98" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="70" y1="75" x2="70" y2="52.02" stroke="red" stroke-width="1.5"></line><circle cx="70" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="70" font-size="12">O</text><circle cx="160" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="165" y="75" font-size="12">P</text><circle cx="70" cy="52.02" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="48" font-size="12">A</text><circle cx="70" cy="97.98" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="112" font-size="12">B</text><rect x="70" y="52.02" width="5" height="5" stroke="black" stroke-width="1" fill="none" transform="rotate(-30 70 52.02)"></rect></svg><br>Ответ: C. 60°.</p><p><strong>16.</strong> Пусть $A$ — точка на окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Проведены хорды $AB=R$ и $AC=R$. Треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ — равносторонние, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, центральные углы $\angle AOB = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Для того чтобы хорды были различными, точки $B$ и $C$ должны быть разными, а центр $O$ должен лежать между лучами $AB$ и $AC$. Рассмотрим $\triangle ABC$. В нем $AB=AC=R$. Найдем угол $\angle BAC$. Используем теорему косинусов. Сначала найдем $BC$ из $\triangle BOC$. В нем $OB=OC=R$, а $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ+60^\circ=120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BOC$: $BC^2 = R^2+R^2-2R^2\cos(120^\circ) = 2R^2-2R^2(-1/2)=3R^2$. Теперь по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos(\angle BAC)$. $3R^2=R^2+R^2-2R^2\cos(\angle BAC)$, откуда $R^2 = -2R^2\cos(\angle BAC)$, то есть $\cos(\angle BAC)=-1/2$. Следовательно, $\angle BAC = 120^\circ$.<br><svg width="200" height="180" viewBox="0 0 200 180"><circle cx="100" cy="90" r="50" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="150" y1="90" x2="125" y2="46.7" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="150" y1="90" x2="125" y2="133.3" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="100" y1="90" x2="150" y2="90" stroke="gray" stroke-width="1"></line><line x1="100" y1="90" x2="125" y2="46.7" stroke="gray" stroke-width="1"></line><line x1="100" y1="90" x2="125" y2="133.3" stroke="gray" stroke-width="1"></line><circle cx="100" cy="90" r="2" fill="black"></circle><text x="95" y="85" font-size="12">O</text><circle cx="150" cy="90" r="2" fill="black"></circle><text x="155" y="90" font-size="12">A</text><circle cx="125" cy="46.7" r="2" fill="black"></circle><text x="125" y="42" font-size="12">B</text><circle cx="125" cy="133.3" r="2" fill="black"></circle><text x="125" y="148" font-size="12">C</text><text x="135" y="75" font-size="12">120°</text></svg><br>Ответ: D. 120°.</p><p><strong>17.</strong> Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = PO + R$, а наименьшее $d_{min} = PO - R$. Дано: $PO+R=50$ и $PO-R=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2 \cdot PO = 80$, т.е. $PO=40$ см. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2R = 20$, т.е. $R=10$ см.<br>Ответ: A. 10 см.</p><p><strong>18.</strong> Пусть $P$ — точка внутри окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = R + PO$, а наименьшее $d_{min} = R - PO$. Дано: $R+PO=50$ и $R-PO=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2R = 80$, т.е. $R=40$ см.<br>Ответ: B. 40 см.</p><p><strong>19.</strong> Пусть $P$ — точка, из которой проведены касательные, $O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. $R=OA=OB=8$ см. Угол между касательными $\angle APB = 90^\circ$. В четырехугольнике $OAPB$ углы $\angle OAP$ и $\angle OBP$ прямые, так как радиусы перпендикулярны касательным в точках касания. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$, значит $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Четырехугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник. Так как у него смежные стороны $OA$ и $OB$ равны (оба радиусы), то это квадрат. Длина отрезка касательной $PA$ равна стороне квадрата, то есть $PA=OA=R=8$ см.<br><svg width="120" height="120" viewBox="0 0 120 120"><path d="M 80 40 L 40 40 L 40 80" stroke="blue" stroke-width="1.5" fill="none"></path><line x1="40" y1="40" x2="10" y2="10" stroke="green" stroke-width="1.5"></line><line x1="40" y1="80" x2="10" y2="10" stroke="green" stroke-width="1.5"></line><circle cx="80" cy="80" r="40" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><circle cx="40" cy="80" r="2" fill="black"></circle><text x="35" y="95" font-size="12">B</text><circle cx="80" cy="40" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="40" font-size="12">A</text><circle cx="10" cy="10" r="2" fill="black"></circle><text x="5" y="10" font-size="12">P</text><circle cx="80" cy="80" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="95" font-size="12">O</text></svg><br>Ответ: B. 8 см.</p><p><strong>20.</strong> Пусть $P$ — точка, $O$ — центр, $A$ — точка касания. Расстояние $PO=24$ см. Угол между касательными $60^\circ$. Линия $PO$ является биссектрисой угла между касательными, поэтому $\angle OPA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом $\angle OAP$), катет $OA$ (радиус $R$) лежит напротив угла $30^\circ$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $PO$. $R = OA = PO/2 = 24/2 = 12$ см.<br><svg width="200" height="150" viewBox="0 0 200 150"><circle cx="70" cy="75" r="30" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="190" y1="75" x2="70" y2="75" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"></line><line x1="190" y1="75" x2="87.32" y2="50" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="70" y1="75" x2="87.32" y2="50" stroke="red" stroke-width="1.5"></line><rect x="87.32" y="50" width="5" height="5" stroke="black" stroke-width="1" fill="none" transform="rotate(-60 87.32 50)"></rect><circle cx="70" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="60" y="70" font-size="12">O</text><circle cx="190" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="195" y="75" font-size="12">P</text><circle cx="87.32" cy="50" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="45" font-size="12">A</text><text x="90" y="60" font-size="12">R=12</text><text x="125" y="70" font-size="12">24</text><text x="170" y="68" font-size="12">30°</text></svg><br>Ответ: C. 12 см.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1541739 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106} "task" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1.</strong> С центром в одной и той же точке можно провести бесконечное множество окружностей, каждая из которых будет иметь свой уникальный положительный радиус $R$.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>2.</strong> Через одну заданную точку можно провести бесконечное множество окружностей. Их центры могут находиться в любой точке плоскости, за исключением самой заданной точки, а радиус будет равен расстоянию от центра до этой точки.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>3.</strong> Множество центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он содержит бесконечное число точек, каждая из которых может быть центром такой окружности.<br>Ответ: D. Бесконечно много</p><p><strong>4.</strong> Точка $M$ лежит вне круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OM$, строго больше радиуса $R$.<br>Ответ: B. $OM > R$</p><p><strong>5.</strong> Точка $K$ лежит внутри круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OK$, строго меньше радиуса $R$.<br>Ответ: A. $OK < R$</p><p><strong>6.</strong> Диаметр окружности $d=10$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 5$ см. Расстояние от центра до прямой $h=3$ см. Так как расстояние до прямой меньше радиуса ($h < R$, то есть $3 < 5$), прямая пересекает окружность в двух точках.<br>Ответ: B. Пересекает.</p><p><strong>7.</strong> Диаметр окружности $d=8$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 4$ см. Расстояние от центра до прямой $h=4$ см. Так как расстояние до прямой равно радиусу ($h = R$), прямая касается окружности в одной точке.<br>Ответ: C. Касается.</p><p><strong>8.</strong> Диаметр окружности $d=6$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 3$ см. Расстояние от центра до прямой $h=5$ см. Так как расстояние до прямой больше радиуса ($h > R$, то есть $5 > 3$), прямая не имеет общих точек с окружностью.<br>Ответ: A. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.</p><p><strong>9.</strong> Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 15$ см и расстояние между центрами $d = 20$ см. Сравним $d$ с суммой и разностью радиусов:Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 10 + 15 = 25$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |15 - 10| = 5$ см.Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ ($5 < 20 < 25$), окружности пересекаются в двух точках.<br>Ответ: B. Пересекаются.</p><p><strong>10.</strong> Даны радиусы $R_1 = 6$ см, $R_2 = 8$ см и расстояние между центрами $d = 14$ см.Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 6 + 8 = 14$ см.Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом.<br>Ответ: D. Касаются внешним образом.</p><p><strong>11.</strong> Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 20$ см и расстояние между центрами $d = 10$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |20 - 10| = 10$ см.Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_2 - R_1|$), окружности касаются внутренним образом.<br>Ответ: C. Касаются внутренним образом.</p><p><strong>12.</strong> Для двух окружностей, касающихся внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов $R_1$ и $R_2$.<br>Ответ: B. $O_1O_2 = R_1+R_2$.</p><p><strong>13.</strong> Для двух окружностей, касающихся внутренним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно модулю разности их радиусов $R_1$ и $R_2$.<br>Ответ: A. $O_1O_2 = |R_1-R_2|$.</p><p><strong>14.</strong> Пусть радиусы концентрических окружностей $R_1$ и $R_2$ ($R_2>R_1$). По условию, $R_1/R_2 = 2/3$, или $R_1 = 2x$, $R_2 = 3x$. Ширина кольца — это разность радиусов: $R_2 - R_1 = 5$ см. Подставим выражения для радиусов: $3x - 2x = 5$, откуда $x=5$. Тогда радиусы равны $R_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см и $R_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. Соответствующие диаметры: $D_1 = 2R_1 = 20$ см и $D_2 = 2R_2 = 30$ см.<br>Ответ: D. 30 см и 20 см.</p><p><strong>15.</strong> Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Кратчайшее расстояние от $P$ до окружности равно $PO - R$. По условию, $PO - R = R$, откуда $PO = 2R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAP$ (где $A$ — точка касания). В нем гипотенуза $PO = 2R$ и катет $OA = R$. Тогда $\sin(\angle OPA) = OA/PO = R/(2R) = 1/2$, откуда $\angle OPA = 30^\circ$. Угол между касательными в два раза больше, так как $PO$ — биссектриса: $\angle APB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.<br><svg width="200" height="150" viewBox="0 0 200 150"><circle cx="70" cy="75" r="30" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="75" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"></line><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="52.02" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="160" y1="75" x2="70" y2="97.98" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="70" y1="75" x2="70" y2="52.02" stroke="red" stroke-width="1.5"></line><circle cx="70" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="70" font-size="12">O</text><circle cx="160" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="165" y="75" font-size="12">P</text><circle cx="70" cy="52.02" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="48" font-size="12">A</text><circle cx="70" cy="97.98" r="2" fill="black"></circle><text x="65" y="112" font-size="12">B</text><rect x="70" y="52.02" width="5" height="5" stroke="black" stroke-width="1" fill="none" transform="rotate(-30 70 52.02)"></rect></svg><br>Ответ: C. 60°.</p><p><strong>16.</strong> Пусть $A$ — точка на окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Проведены хорды $AB=R$ и $AC=R$. Треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ — равносторонние, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, центральные углы $\angle AOB = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Для того чтобы хорды были различными, точки $B$ и $C$ должны быть разными, а центр $O$ должен лежать между лучами $AB$ и $AC$. Рассмотрим $\triangle ABC$. В нем $AB=AC=R$. Найдем угол $\angle BAC$. Используем теорему косинусов. Сначала найдем $BC$ из $\triangle BOC$. В нем $OB=OC=R$, а $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ+60^\circ=120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BOC$: $BC^2 = R^2+R^2-2R^2\cos(120^\circ) = 2R^2-2R^2(-1/2)=3R^2$. Теперь по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos(\angle BAC)$. $3R^2=R^2+R^2-2R^2\cos(\angle BAC)$, откуда $R^2 = -2R^2\cos(\angle BAC)$, то есть $\cos(\angle BAC)=-1/2$. Следовательно, $\angle BAC = 120^\circ$.<br><svg width="200" height="180" viewBox="0 0 200 180"><circle cx="100" cy="90" r="50" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="150" y1="90" x2="125" y2="46.7" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="150" y1="90" x2="125" y2="133.3" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="100" y1="90" x2="150" y2="90" stroke="gray" stroke-width="1"></line><line x1="100" y1="90" x2="125" y2="46.7" stroke="gray" stroke-width="1"></line><line x1="100" y1="90" x2="125" y2="133.3" stroke="gray" stroke-width="1"></line><circle cx="100" cy="90" r="2" fill="black"></circle><text x="95" y="85" font-size="12">O</text><circle cx="150" cy="90" r="2" fill="black"></circle><text x="155" y="90" font-size="12">A</text><circle cx="125" cy="46.7" r="2" fill="black"></circle><text x="125" y="42" font-size="12">B</text><circle cx="125" cy="133.3" r="2" fill="black"></circle><text x="125" y="148" font-size="12">C</text><text x="135" y="75" font-size="12">120°</text></svg><br>Ответ: D. 120°.</p><p><strong>17.</strong> Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = PO + R$, а наименьшее $d_{min} = PO - R$. Дано: $PO+R=50$ и $PO-R=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2 \cdot PO = 80$, т.е. $PO=40$ см. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2R = 20$, т.е. $R=10$ см.<br>Ответ: A. 10 см.</p><p><strong>18.</strong> Пусть $P$ — точка внутри окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = R + PO$, а наименьшее $d_{min} = R - PO$. Дано: $R+PO=50$ и $R-PO=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2R = 80$, т.е. $R=40$ см.<br>Ответ: B. 40 см.</p><p><strong>19.</strong> Пусть $P$ — точка, из которой проведены касательные, $O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. $R=OA=OB=8$ см. Угол между касательными $\angle APB = 90^\circ$. В четырехугольнике $OAPB$ углы $\angle OAP$ и $\angle OBP$ прямые, так как радиусы перпендикулярны касательным в точках касания. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$, значит $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Четырехугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник. Так как у него смежные стороны $OA$ и $OB$ равны (оба радиусы), то это квадрат. Длина отрезка касательной $PA$ равна стороне квадрата, то есть $PA=OA=R=8$ см.<br><svg width="120" height="120" viewBox="0 0 120 120"><path d="M 80 40 L 40 40 L 40 80" stroke="blue" stroke-width="1.5" fill="none"></path><line x1="40" y1="40" x2="10" y2="10" stroke="green" stroke-width="1.5"></line><line x1="40" y1="80" x2="10" y2="10" stroke="green" stroke-width="1.5"></line><circle cx="80" cy="80" r="40" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><circle cx="40" cy="80" r="2" fill="black"></circle><text x="35" y="95" font-size="12">B</text><circle cx="80" cy="40" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="40" font-size="12">A</text><circle cx="10" cy="10" r="2" fill="black"></circle><text x="5" y="10" font-size="12">P</text><circle cx="80" cy="80" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="95" font-size="12">O</text></svg><br>Ответ: B. 8 см.</p><p><strong>20.</strong> Пусть $P$ — точка, $O$ — центр, $A$ — точка касания. Расстояние $PO=24$ см. Угол между касательными $60^\circ$. Линия $PO$ является биссектрисой угла между касательными, поэтому $\angle OPA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом $\angle OAP$), катет $OA$ (радиус $R$) лежит напротив угла $30^\circ$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $PO$. $R = OA = PO/2 = 24/2 = 12$ см.<br><svg width="200" height="150" viewBox="0 0 200 150"><circle cx="70" cy="75" r="30" stroke="black" stroke-width="1" fill="none"></circle><line x1="190" y1="75" x2="70" y2="75" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="2,2"></line><line x1="190" y1="75" x2="87.32" y2="50" stroke="blue" stroke-width="1.5"></line><line x1="70" y1="75" x2="87.32" y2="50" stroke="red" stroke-width="1.5"></line><rect x="87.32" y="50" width="5" height="5" stroke="black" stroke-width="1" fill="none" transform="rotate(-60 87.32 50)"></rect><circle cx="70" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="60" y="70" font-size="12">O</text><circle cx="190" cy="75" r="2" fill="black"></circle><text x="195" y="75" font-size="12">P</text><circle cx="87.32" cy="50" r="2" fill="black"></circle><text x="85" y="45" font-size="12">A</text><text x="90" y="60" font-size="12">R=12</text><text x="125" y="70" font-size="12">24</text><text x="170" y="68" font-size="12">30°</text></svg><br>Ответ: C. 12 см.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1149 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1114451 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1162 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1290638 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1092} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "134-1.jpg" "alt" => null "width" => "1936" "height" => 2838 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-1/134-1.webp?ts=1753260205" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1290638 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164} "book_page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "134-1.jpg" "alt" => null "width" => "1936" "height" => 2838 "path" => "/media/geometrija_07/Smirnova-u17/0-1/134-1.webp?ts=1753260205" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1114452" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1114450" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Task {#1270 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129910 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-12" "field_display_title" => "23.12" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1274 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1271 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1272 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1275 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} 1 => App\Models\Branch {#1142} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1287 …30} 1 => App\Models\Element {#1289 …30} 2 => App\Models\Element {#1291 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1129911" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129909" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1284 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1129910 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-12" "field_display_title" => "23.12" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1274} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1272} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1275} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278} "next" => array:2 [ "refs" => "1129911" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129909" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1284} "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1277 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129911 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-13" "field_display_title" => "23.13" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1271 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1283 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} 1 => App\Models\Branch {#1142} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1301 …30} 1 => App\Models\Element {#1303 …30} 2 => App\Models\Element {#1305 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129910" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1129911 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-13" "field_display_title" => "23.13" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1283} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280} "next" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129910" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298} "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1282 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129912 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-14" "field_display_title" => "23.14" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1271 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1297 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1299 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1295 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} 1 => App\Models\Branch {#1142} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1294 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1315 …30} 1 => App\Models\Element {#1317 …30} 2 => App\Models\Element {#1319 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129911" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1312 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1129912 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/23-14" "field_display_title" => "23.14" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1297} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1299} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1295} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1294} "next" => array:2 [ "refs" => "1129913" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129911" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1312} "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Task {#1296 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1129913 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => "137" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/prceb-4" "field_display_title" => "Проверь себя!" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1111} 1 => App\Models\Branch {#1142} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1093} 1 => App\Models\Element {#1087} 2 => App\Models\Element {#1079} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1129913 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => "137" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/prceb-4" "field_display_title" => "Проверь себя!" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307} "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310} "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1114451 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163} "next" => array:2 [ "refs" => "1114452" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1114450" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1129913 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => "137" "field_url" => "/7-klass/geometrija/smirnova-uchebnik/prceb-4" "field_display_title" => "Проверь себя!" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1129912" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096} "page" => array:2 [ "refs" => "1114451" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
Проверь себя! (с. 134)
Условие. Проверь себя! (с. 134)
скриншот условия
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Сколько окружностей могут иметь центром данную точку:
А. Ни одной. В. Одна. С. Две. D. Бесконечно много?
2. Сколько окружностей можно провести через одну точку:
А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?
3. Сколько окружностей можно провести через две точки:
А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?
4. Какому соотношению удовлетворяют точки $M$, лежащие вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:
А. $OM \ge R$. В. $OM > R$. С. $OM < R$. D. $OM < R$?
5. Какому соотношению удовлетворяют точки $K$, лежащие внутри круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:
А. $OK \le R$. В. $OK \ge R$. С. $OK < R$. D. $OK > R$?
6. Диаметр окружности равен 10 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 3 см:
А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?
7. Диаметр окружности равен 8 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 4 см:
А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?
8. Диаметр окружности равен 6 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 5 см:
А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?
9. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 15 см. Расстояние между их центрами равно 20 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:
А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?
10. Радиусы двух окружностей равны 6 см и 8 см. Расстояние между их центрами равно 14 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:
А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?
11. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 20 см. Расстояние между их центрами равно 10 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:
А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?
12. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внешним образом:
А. $O_1 O_2 < R_1+R_2$. B. $O_1 O_2 = R_1+R_2$. C. $O_1 O_2 > R_1+R_2$. D. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$?
13. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внутренним образом:
А. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$. B. $O_1 O_2 > |R_1-R_2|$. C. $O_1 O_2 < |R_1-R_2|$. D. $O_1 O_2 = R_1+R_2$?
14. Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 2:3. Найдите их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см:
А. 2 см и 3 см. В. 15 см и 20 см. С. 10 см и 15 см. D. 30 см и 20 см.
15. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными:
А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $60^\circ$. D. $120^\circ$.
16. Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите угол между ними:
А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $90^\circ$. D. $120^\circ$.
17. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус данной окружности:
А. 10 см. В. 20 см. С. 30 см. D. 40 см.
18. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус этой окружности:
А. 30 см. В. 40 см. С. 50 см. D. 80 см.
19. Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найдите отрезки этих касательных (заключенные между данной точкой и точками касания):
А. 4 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 16 см.
20. Касательные, проведенные из данной точки к окружности, образуют между собой угол в $60^\circ$. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 24 см. Найдите радиус окружности:
А. 6 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 24 см.
Решение. Проверь себя! (с. 134)
Решение 2. Проверь себя! (с. 134)
1. С центром в одной и той же точке можно провести бесконечное множество окружностей, каждая из которых будет иметь свой уникальный положительный радиус $R$.
Ответ: D. Бесконечно много
2. Через одну заданную точку можно провести бесконечное множество окружностей. Их центры могут находиться в любой точке плоскости, за исключением самой заданной точки, а радиус будет равен расстоянию от центра до этой точки.
Ответ: D. Бесконечно много
3. Множество центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он содержит бесконечное число точек, каждая из которых может быть центром такой окружности.
Ответ: D. Бесконечно много
4. Точка $M$ лежит вне круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OM$, строго больше радиуса $R$.
Ответ: B. $OM > R$
5. Точка $K$ лежит внутри круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OK$, строго меньше радиуса $R$.
Ответ: A. $OK < R$
6. Диаметр окружности $d=10$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 5$ см. Расстояние от центра до прямой $h=3$ см. Так как расстояние до прямой меньше радиуса ($h < R$, то есть $3 < 5$), прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: B. Пересекает.
7. Диаметр окружности $d=8$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 4$ см. Расстояние от центра до прямой $h=4$ см. Так как расстояние до прямой равно радиусу ($h = R$), прямая касается окружности в одной точке.
Ответ: C. Касается.
8. Диаметр окружности $d=6$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 3$ см. Расстояние от центра до прямой $h=5$ см. Так как расстояние до прямой больше радиуса ($h > R$, то есть $5 > 3$), прямая не имеет общих точек с окружностью.
Ответ: A. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.
9. Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 15$ см и расстояние между центрами $d = 20$ см. Сравним $d$ с суммой и разностью радиусов:Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 10 + 15 = 25$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |15 - 10| = 5$ см.Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ ($5 < 20 < 25$), окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: B. Пересекаются.
10. Даны радиусы $R_1 = 6$ см, $R_2 = 8$ см и расстояние между центрами $d = 14$ см.Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 6 + 8 = 14$ см.Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом.
Ответ: D. Касаются внешним образом.
11. Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 20$ см и расстояние между центрами $d = 10$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |20 - 10| = 10$ см.Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_2 - R_1|$), окружности касаются внутренним образом.
Ответ: C. Касаются внутренним образом.
12. Для двух окружностей, касающихся внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов $R_1$ и $R_2$.
Ответ: B. $O_1O_2 = R_1+R_2$.
13. Для двух окружностей, касающихся внутренним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно модулю разности их радиусов $R_1$ и $R_2$.
Ответ: A. $O_1O_2 = |R_1-R_2|$.
14. Пусть радиусы концентрических окружностей $R_1$ и $R_2$ ($R_2>R_1$). По условию, $R_1/R_2 = 2/3$, или $R_1 = 2x$, $R_2 = 3x$. Ширина кольца — это разность радиусов: $R_2 - R_1 = 5$ см. Подставим выражения для радиусов: $3x - 2x = 5$, откуда $x=5$. Тогда радиусы равны $R_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см и $R_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. Соответствующие диаметры: $D_1 = 2R_1 = 20$ см и $D_2 = 2R_2 = 30$ см.
Ответ: D. 30 см и 20 см.
15. Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Кратчайшее расстояние от $P$ до окружности равно $PO - R$. По условию, $PO - R = R$, откуда $PO = 2R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAP$ (где $A$ — точка касания). В нем гипотенуза $PO = 2R$ и катет $OA = R$. Тогда $\sin(\angle OPA) = OA/PO = R/(2R) = 1/2$, откуда $\angle OPA = 30^\circ$. Угол между касательными в два раза больше, так как $PO$ — биссектриса: $\angle APB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Ответ: C. 60°.
16. Пусть $A$ — точка на окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Проведены хорды $AB=R$ и $AC=R$. Треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ — равносторонние, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, центральные углы $\angle AOB = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Для того чтобы хорды были различными, точки $B$ и $C$ должны быть разными, а центр $O$ должен лежать между лучами $AB$ и $AC$. Рассмотрим $\triangle ABC$. В нем $AB=AC=R$. Найдем угол $\angle BAC$. Используем теорему косинусов. Сначала найдем $BC$ из $\triangle BOC$. В нем $OB=OC=R$, а $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ+60^\circ=120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BOC$: $BC^2 = R^2+R^2-2R^2\cos(120^\circ) = 2R^2-2R^2(-1/2)=3R^2$. Теперь по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos(\angle BAC)$. $3R^2=R^2+R^2-2R^2\cos(\angle BAC)$, откуда $R^2 = -2R^2\cos(\angle BAC)$, то есть $\cos(\angle BAC)=-1/2$. Следовательно, $\angle BAC = 120^\circ$.
Ответ: D. 120°.
17. Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = PO + R$, а наименьшее $d_{min} = PO - R$. Дано: $PO+R=50$ и $PO-R=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2 \cdot PO = 80$, т.е. $PO=40$ см. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2R = 20$, т.е. $R=10$ см.
Ответ: A. 10 см.
18. Пусть $P$ — точка внутри окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = R + PO$, а наименьшее $d_{min} = R - PO$. Дано: $R+PO=50$ и $R-PO=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2R = 80$, т.е. $R=40$ см.
Ответ: B. 40 см.
19. Пусть $P$ — точка, из которой проведены касательные, $O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. $R=OA=OB=8$ см. Угол между касательными $\angle APB = 90^\circ$. В четырехугольнике $OAPB$ углы $\angle OAP$ и $\angle OBP$ прямые, так как радиусы перпендикулярны касательным в точках касания. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$, значит $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Четырехугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник. Так как у него смежные стороны $OA$ и $OB$ равны (оба радиусы), то это квадрат. Длина отрезка касательной $PA$ равна стороне квадрата, то есть $PA=OA=R=8$ см.
Ответ: B. 8 см.
20. Пусть $P$ — точка, $O$ — центр, $A$ — точка касания. Расстояние $PO=24$ см. Угол между касательными $60^\circ$. Линия $PO$ является биссектрисой угла между касательными, поэтому $\angle OPA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом $\angle OAP$), катет $OA$ (радиус $R$) лежит напротив угла $30^\circ$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $PO$. $R = OA = PO/2 = 24/2 = 12$ см.
Ответ: C. 12 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7 класс, для упражнения Проверь себя! расположенного на странице 134 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению Проверь себя! (с. 134), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.