gdz.top
Номер 105, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова
Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 1. Алгебраические дроби. 1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби - номер 105, страница 33.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 209114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "33" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/105" "field_display_title" => "105" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208891 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Алгебраические дроби" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "3" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208891 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Алгебраические дроби" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "3" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1130 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208891 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Алгебраические дроби" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1131 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "3" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1133 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1132 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1137 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1139 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Term {#1141 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1142 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1143 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1144 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Term {#1145 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Term {#1146 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1149 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1151 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1153 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1158 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1160 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 34 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "переработанное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "pererabotannoe" ] #original: array:6 [ "id" => 34 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "переработанное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "pererabotannoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1166 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #original: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1167 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6978 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "бирюзовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "biruzovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 6978 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "бирюзовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "biruzovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1168 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157} "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164} "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208891 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Алгебраические дроби" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_page_start" => "3" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1170 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208896 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "28" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1133} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208896 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172} "field_page_start" => "28" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 233016 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1100 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>105</strong> ИССЛЕДУЕМ</p><strong>1) Проверьте равенства:</strong><p>а) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)$;</p><p>б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)$;</p><p>в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$;</p><p>г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$.</p><p>Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.</p><strong>2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:</strong><p>а) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25}$;</p><p>б) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)}$.</p><p>Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.jpg" "alt" => null "width" => "1584" "height" => 919 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/105-1.webp?ts=1734264163" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 233016 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>105</strong> ИССЛЕДУЕМ</p><strong>1) Проверьте равенства:</strong><p>а) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)$;</p><p>б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)$;</p><p>в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$;</p><p>г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$.</p><p>Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.</p><strong>2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:</strong><p>а) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25}$;</p><p>б) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)}$.</p><p>Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.jpg" "alt" => null "width" => "1584" "height" => 919 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/105-1.webp?ts=1734264163" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1096 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 234222 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1095 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 986 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-1.webp?ts=1734265086" ] 1 => array:5 [ "name" => "105-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-2.webp?ts=1734265086" ] 2 => array:5 [ "name" => "105-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-3.webp?ts=1734265086" ] 3 => array:5 [ "name" => "105-4.png" "alt" => null "width" => "792" "height" => 1628 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-4.webp?ts=1734265086" ] 4 => array:5 [ "name" => "105-5.png" "alt" => null "width" => "1159" "height" => 1927 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-5.webp?ts=1734265086" ] 5 => array:5 [ "name" => "105-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1350 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-6.webp?ts=1734265086" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 234222 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 986 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-1.webp?ts=1734265086" ] 1 => array:5 [ "name" => "105-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-2.webp?ts=1734265086" ] 2 => array:5 [ "name" => "105-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-3.webp?ts=1734265086" ] 3 => array:5 [ "name" => "105-4.png" "alt" => null "width" => "792" "height" => 1628 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-4.webp?ts=1734265086" ] 4 => array:5 [ "name" => "105-5.png" "alt" => null "width" => "1159" "height" => 1927 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-5.webp?ts=1734265086" ] 5 => array:5 [ "name" => "105-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1350 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/105-6.webp?ts=1734265086" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1086 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 234411 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.png" "alt" => null "width" => "655" "height" => 919 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/105-1.webp?ts=1734264488" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 234411 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.png" "alt" => null "width" => "655" "height" => 919 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/105-1.webp?ts=1734264488" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1129 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 234555 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1125 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.jpg" "alt" => null "width" => "741" "height" => 961 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/105-1.webp?ts=1734264535" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 234555 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180} "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "105-1.jpg" "alt" => null "width" => "741" "height" => 961 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/105-1.webp?ts=1734264535" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1178 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1373273 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1179 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) Проверка равенств:</strong></p><p><strong>а)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $.<br>Так как $ \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $, равенство верно.</p><p><strong>б)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.<br>Так как $ \frac{1}{24} = \frac{1}{24} $, равенство верно.</p><p><strong>в)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $.<br>Так как $ \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $, равенство верно.</p><p><strong>г)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $.<br>Так как $ \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $, равенство верно.</p><p>Составим еще несколько таких же равенств, следуя замеченной закономерности (знаменатель является произведением двух чисел, разность которых равна 2):<br>$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) $<br>$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $</p><p>Запишем соответствующее буквенное равенство. Пусть знаменатель дроби представлен в виде произведения $ n \cdot (n+2) $. Тогда равенство можно записать в виде:<br>$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $<br>Докажем его. Преобразуем правую часть равенства:<br>$ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $<br>Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.</p><p><strong>2) Применение доказанного равенства для упрощения выражений:</strong></p><p><strong>а)</strong> $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25} $<br>Применим доказанную формулу к каждому слагаемому:<br>$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $<br>$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $<br>$ \dots $<br>$ \frac{1}{23 \cdot 25} = \frac{1}{2}(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}) $<br>Сумма примет вид:<br>$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) $<br>Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:<br>$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) \right) $<br>Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (так называемая "телескопическая сумма"):<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{25} \right) $<br>Вычислим значение в скобках:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{25-3}{75} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75} $<br>Ответ: $ \frac{11}{75} $</p><p><strong>б)</strong> $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} $<br>Аналогично пункту а), применим формулу $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) $ к каждому слагаемому и вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:<br>$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100}\right) \right) $<br>Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \dots + \frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+100} \right) $<br>Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{a+100}{a(a+100)} - \frac{a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a+100-a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)} $<br>Ответ: $ \frac{50}{a(a+100)} $</p><p><strong>Упрощение выражений другим способом (последовательное сложение):</strong></p><p>Для выражения <strong>а)</strong>: Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} $. Этот результат можно представить как $ \frac{2}{3 \cdot 7} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{21} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} $. Этот результат можно представить как $ \frac{3}{3 \cdot 9} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{3 \cdot (2k+3)} $. В нашем выражении всего 11 слагаемых (от $ n=3 $ до $ n=23 $, т.е. $ (23-3)/2 + 1 = 11 $). Подставим $ k=11 $: $ \frac{11}{3 \cdot (2 \cdot 11 + 3)} = \frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75} $. Результат совпал с полученным ранее.</p><p>Для выражения <strong>б)</strong>: Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{a+4+a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2a+4}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6)+a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3a+12}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{a(a+2k)} $. В нашем выражении последовательность знаменателей от $ a(a+2) $ до $ (a+98)(a+100) $. Число слагаемых $ k $ можно найти из условия $ a+2k = a+100 $, откуда $ 2k=100 $ и $ k=50 $. Подставим $ k=50 $ в выведенную формулу: $ \frac{50}{a(a+2 \cdot 50)} = \frac{50}{a(a+100)} $. Результат совпал с полученным ранее.</p><p>Вывод: результаты, полученные двумя способами, совпали.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1373273 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "task" => array:2 [ "refs" => "209114" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) Проверка равенств:</strong></p><p><strong>а)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $.<br>Так как $ \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $, равенство верно.</p><p><strong>б)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.<br>Так как $ \frac{1}{24} = \frac{1}{24} $, равенство верно.</p><p><strong>в)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $.<br>Так как $ \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $, равенство верно.</p><p><strong>г)</strong> Проверим равенство $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $.<br>Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35} $.<br>Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $.<br>Так как $ \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $, равенство верно.</p><p>Составим еще несколько таких же равенств, следуя замеченной закономерности (знаменатель является произведением двух чисел, разность которых равна 2):<br>$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) $<br>$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $</p><p>Запишем соответствующее буквенное равенство. Пусть знаменатель дроби представлен в виде произведения $ n \cdot (n+2) $. Тогда равенство можно записать в виде:<br>$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $<br>Докажем его. Преобразуем правую часть равенства:<br>$ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $<br>Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.</p><p><strong>2) Применение доказанного равенства для упрощения выражений:</strong></p><p><strong>а)</strong> $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25} $<br>Применим доказанную формулу к каждому слагаемому:<br>$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $<br>$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $<br>$ \dots $<br>$ \frac{1}{23 \cdot 25} = \frac{1}{2}(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}) $<br>Сумма примет вид:<br>$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) $<br>Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:<br>$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) \right) $<br>Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (так называемая "телескопическая сумма"):<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{25} \right) $<br>Вычислим значение в скобках:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{25-3}{75} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75} $<br>Ответ: $ \frac{11}{75} $</p><p><strong>б)</strong> $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} $<br>Аналогично пункту а), применим формулу $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) $ к каждому слагаемому и вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:<br>$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100}\right) \right) $<br>Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \dots + \frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+100} \right) $<br>Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:<br>$ \frac{1}{2} \left( \frac{a+100}{a(a+100)} - \frac{a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a+100-a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)} $<br>Ответ: $ \frac{50}{a(a+100)} $</p><p><strong>Упрощение выражений другим способом (последовательное сложение):</strong></p><p>Для выражения <strong>а)</strong>: Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} $. Этот результат можно представить как $ \frac{2}{3 \cdot 7} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{21} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} $. Этот результат можно представить как $ \frac{3}{3 \cdot 9} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{3 \cdot (2k+3)} $. В нашем выражении всего 11 слагаемых (от $ n=3 $ до $ n=23 $, т.е. $ (23-3)/2 + 1 = 11 $). Подставим $ k=11 $: $ \frac{11}{3 \cdot (2 \cdot 11 + 3)} = \frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75} $. Результат совпал с полученным ранее.</p><p>Для выражения <strong>б)</strong>: Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{a+4+a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2a+4}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6)+a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3a+12}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{a(a+2k)} $. В нашем выражении последовательность знаменателей от $ a(a+2) $ до $ (a+98)(a+100) $. Число слагаемых $ k $ можно найти из условия $ a+2k = a+100 $, откуда $ 2k=100 $ и $ k=50 $. Подставим $ k=50 $ в выведенную формулу: $ \frac{50}{a(a+2 \cdot 50)} = \frac{50}{a(a+100)} $. Результат совпал с полученным ранее.</p><p>Вывод: результаты, полученные двумя способами, совпали.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "209115" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209113" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1133} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1115 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929804 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "33" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-33" "field_display_title" => "33" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "33" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1133} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1186 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929805" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929803" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Task {#1030} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929804 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "33" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-33" "field_display_title" => "33" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "33" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "next" => array:2 [ "refs" => "929805" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929803" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 209114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "33" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/105" "field_display_title" => "105" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "next" => array:2 [ "refs" => "209115" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209113" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104} "page" => array:2 [ "refs" => "929804" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№105 (с. 33)
Условие. №105 (с. 33)
скриншот условия
105 ИССЛЕДУЕМ
1) Проверьте равенства:а) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)$;
б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)$;
в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$;
г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$.
Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.
2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:а) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25}$;
б) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)}$.
Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?
Решение 1. №105 (с. 33)
Решение 2. №105 (с. 33)
Решение 3. №105 (с. 33)
Решение 4. №105 (с. 33)
1) Проверка равенств:
а) Проверим равенство $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $.
Так как $ \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $, равенство верно.
б) Проверим равенство $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.
Так как $ \frac{1}{24} = \frac{1}{24} $, равенство верно.
в) Проверим равенство $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $.
Так как $ \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $, равенство верно.
г) Проверим равенство $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $.
Так как $ \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $, равенство верно.
Составим еще несколько таких же равенств, следуя замеченной закономерности (знаменатель является произведением двух чисел, разность которых равна 2):
$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) $
$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $
Запишем соответствующее буквенное равенство. Пусть знаменатель дроби представлен в виде произведения $ n \cdot (n+2) $. Тогда равенство можно записать в виде:
$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $
Докажем его. Преобразуем правую часть равенства:
$ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $
Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.
2) Применение доказанного равенства для упрощения выражений:
а) $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25} $
Применим доказанную формулу к каждому слагаемому:
$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $
$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $
$ \dots $
$ \frac{1}{23 \cdot 25} = \frac{1}{2}(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}) $
Сумма примет вид:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) \right) $
Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (так называемая "телескопическая сумма"):
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{25} \right) $
Вычислим значение в скобках:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{25-3}{75} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75} $
Ответ: $ \frac{11}{75} $
б) $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} $
Аналогично пункту а), применим формулу $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) $ к каждому слагаемому и вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100}\right) \right) $
Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \dots + \frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+100} \right) $
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{a+100}{a(a+100)} - \frac{a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a+100-a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)} $
Ответ: $ \frac{50}{a(a+100)} $
Упрощение выражений другим способом (последовательное сложение):
Для выражения а): Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} $. Этот результат можно представить как $ \frac{2}{3 \cdot 7} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{21} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} $. Этот результат можно представить как $ \frac{3}{3 \cdot 9} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{3 \cdot (2k+3)} $. В нашем выражении всего 11 слагаемых (от $ n=3 $ до $ n=23 $, т.е. $ (23-3)/2 + 1 = 11 $). Подставим $ k=11 $: $ \frac{11}{3 \cdot (2 \cdot 11 + 3)} = \frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75} $. Результат совпал с полученным ранее.
Для выражения б): Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{a+4+a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2a+4}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6)+a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3a+12}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{a(a+2k)} $. В нашем выражении последовательность знаменателей от $ a(a+2) $ до $ (a+98)(a+100) $. Число слагаемых $ k $ можно найти из условия $ a+2k = a+100 $, откуда $ 2k=100 $ и $ k=50 $. Подставим $ k=50 $ в выведенную формулу: $ \frac{50}{a(a+2 \cdot 50)} = \frac{50}{a(a+100)} $. Результат совпал с полученным ранее.
Вывод: результаты, полученные двумя способами, совпали.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 105 расположенного на странице 33 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №105 (с. 33), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.