gdz.top
Номер 464, страница 134 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова
Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные уравнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 464, страница 134.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 209574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/464" "field_display_title" => "464" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#335 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208919 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратные уравнения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "120" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1035 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1039 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Term {#1041 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Term {#1046 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1051 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 34 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "переработанное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "pererabotannoe" ] #original: array:6 [ "id" => 34 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "переработанное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "pererabotannoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #original: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6978 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "бирюзовый" …2 ] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1068 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208919 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратные уравнения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_page_start" => "120" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1071 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208919 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратные уравнения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "120" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208919 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратные уравнения" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_page_start" => "120" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1075 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208926 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "130" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208926 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_page_start" => "130" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1079 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208928 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "132" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1083 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208926 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_page_start" => "130" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 208926 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_page_start" => "130" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208928 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_page_start" => "132" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 233375 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>464</strong> ИССЛЕДУЕМ</p><p>1) <strong>а)</strong> Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?</p><p><strong>б)</strong> Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$ и $c \neq 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.</p><p><em>Указание.</em> Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.</p><p><strong>в)</strong> Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.</p><p>2) <strong>а)</strong> Решите уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ и $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?</p><p><strong>б)</strong> Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.</p><p><strong>в)</strong> Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.jpg" "alt" => null "width" => "1615" "height" => 1215 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/464-1.webp?ts=1734264415" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 233375 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>464</strong> ИССЛЕДУЕМ</p><p>1) <strong>а)</strong> Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?</p><p><strong>б)</strong> Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$ и $c \neq 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.</p><p><em>Указание.</em> Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.</p><p><strong>в)</strong> Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.</p><p>2) <strong>а)</strong> Решите уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ и $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?</p><p><strong>б)</strong> Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.</p><p><strong>в)</strong> Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.jpg" "alt" => null "width" => "1615" "height" => 1215 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/464-1.webp?ts=1734264415" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1096 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 236735 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1098 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2165 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-1.webp?ts=1734265795" ] 1 => array:5 [ "name" => "464-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1682 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-2.webp?ts=1734265795" ] 2 => array:5 [ "name" => "464-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2075 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-3.webp?ts=1734265795" ] 3 => array:5 [ "name" => "464-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1881 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-4.webp?ts=1734265795" ] 4 => array:5 [ "name" => "464-5.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1501 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-5.webp?ts=1734265795" ] 5 => array:5 [ "name" => "464-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2051 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-6.webp?ts=1734265795" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 236735 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2165 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-1.webp?ts=1734265795" ] 1 => array:5 [ "name" => "464-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1682 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-2.webp?ts=1734265795" ] 2 => array:5 [ "name" => "464-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2075 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-3.webp?ts=1734265795" ] 3 => array:5 [ "name" => "464-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1881 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-4.webp?ts=1734265795" ] 4 => array:5 [ "name" => "464-5.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1501 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-5.webp?ts=1734265795" ] 5 => array:5 [ "name" => "464-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2051 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/464-6.webp?ts=1734265795" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1104 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 235253 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1106 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.png" "alt" => null "width" => "624" "height" => 1226 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/464-1.webp?ts=1734264711" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 235253 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.png" "alt" => null "width" => "624" "height" => 1226 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/464-1.webp?ts=1734264711" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1112 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 235404 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1114 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.jpg" "alt" => null "width" => "696" "height" => 1814 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/464-1.webp?ts=1734264772" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 235404 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "464-1.jpg" "alt" => null "width" => "696" "height" => 1814 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/464-1.webp?ts=1734264772" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1120 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1373632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1122 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) а)</strong></p><p>Исходное уравнение: $2x^2 - 7x + 3 = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.</p><p>Чтобы записать новое уравнение, поменяем местами коэффициенты $a$ и $c$. Новые коэффициенты будут $a_{новое} = 3$, $b_{новое} = -7$, $c_{новое} = 2$.</p><p>Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.</p><p>Теперь решим оба уравнения.</p><p><em>Решение уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:</em></p><p>Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.</p><p>Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.</p><p>$x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$;</p><p>$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.</p><p><em>Решение уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$:</em></p><p>Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.</p><p>Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.</p><p>$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$;</p><p>$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.</p><p>Корни первого уравнения ($3$ и $\frac{1}{2}$) и корни второго уравнения ($\frac{1}{3}$ и $2$) являются взаимно обратными числами. То есть, если корни первого уравнения $x_1$ и $x_2$, то корни второго — $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.</p><p>Ответ: Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Корни первого уравнения: $3$ и $\frac{1}{2}$. Корни второго уравнения: $\frac{1}{3}$ и $2$. Корни второго уравнения являются обратными к корням первого.</p><p><strong>1) б)</strong></p><p>Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Это означает, что при подстановке $m$ или $n$ в уравнение, оно обращается в верное равенство:</p><p>$am^2 + bm + c = 0$</p><p>$an^2 + bn + c = 0$</p><p>Нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ являются корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.</p><p>Поскольку $c \neq 0$, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следует, что $m \neq 0$ (иначе $c=0$, что противоречит условию). Аналогично, $n \neq 0$.</p><p>Подставим $x = \frac{1}{m}$ в левую часть уравнения $cx^2 + bx + a = 0$:</p><p>$c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$</p><p>Приведем выражение к общему знаменателю $m^2$:</p><p>$\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2}$</p><p>Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$. Следовательно, числитель дроби равен нулю:</p><p>$\frac{0}{m^2} = 0$</p><p>Это доказывает, что $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.</p><p>Аналогично докажем для $\frac{1}{n}$. Подставим $x = \frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:</p><p>$c\left(\frac{1}{n}\right)^2 + b\left(\frac{1}{n}\right) + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a = \frac{c + bn + an^2}{n^2}$</p><p>Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$. Значит, выражение равно $\frac{0}{n^2} = 0$.</p><p>Таким образом, $\frac{1}{n}$ также является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Утверждение доказано.</p><p>Ответ: Утверждение доказано.</p><p><strong>1) в)</strong></p><p>Дано уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$.</p><p>Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), поменять местами коэффициенты $a$ и $c$.</p><p>Новые коэффициенты будут $a_{новое} = c = 6$, $b_{новое} = b = -5$, $c_{новое} = a = 1$.</p><p>Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.</p><p><em>Проверка:</em></p><p>1. Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.</p><p>2. Числа, обратные этим корням: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.</p><p>3. Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{12}$, то есть $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.</p><p>Корни второго уравнения действительно являются обратными к корням первого. Проверка прошла успешно.</p><p>Ответ: Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.</p><p><strong>2) а)</strong></p><p>Решим оба уравнения.</p><p><em>1. Решение уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$:</em></p><p>$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.</p><p><em>2. Решение уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$:</em></p><p>$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.</p><p>Корни первого уравнения: $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения: $-1$ и $\frac{5}{2}$.</p><p>Связь между корнями: корни второго уравнения являются противоположными по знаку корням первого уравнения.</p><p>Ответ: Корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ равны $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $-1$ и $\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения противоположны корням первого.</p><p><strong>2) б)</strong></p><p>Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что:</p><p>$am^2 + bm + c = 0$</p><p>$an^2 + bn + c = 0$</p><p>Нам нужно доказать, что числа $-m$ и $-n$ являются корнями уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Подставим $x = -m$ в левую часть уравнения $ax^2 - bx + c = 0$:</p><p>$a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + bm + c = am^2 + bm + c$.</p><p>Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$.</p><p>Следовательно, $a(-m)^2 - b(-m) + c = 0$. Это доказывает, что $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Аналогично докажем для $-n$. Подставим $x = -n$ в уравнение $ax^2 - bx + c = 0$:</p><p>$a(-n)^2 - b(-n) + c = a(n^2) + bn + c = an^2 + bn + c$.</p><p>Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$.</p><p>Следовательно, $a(-n)^2 - b(-n) + c = 0$. Это доказывает, что $-n$ также является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Ответ: Утверждение доказано.</p><p><strong>2) в)</strong></p><p>Дано уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Его коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.</p><p>Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого противоположны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), изменить знак коэффициента $b$.</p><p>Новые коэффициенты будут $a_{новое} = a = 2$, $b_{новое} = -b = -(-1) = 1$, $c_{новое} = c = -1$.</p><p>Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.</p><p><em>Проверка:</em></p><p>1. Решим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.</p><p>2. Числа, противоположные этим корням: $-1$ и $\frac{1}{2}$.</p><p>3. Решим уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$.</p><p>Корни второго уравнения действительно являются противоположными к корням первого. Проверка прошла успешно.</p><p>Ответ: Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1373632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "task" => array:2 [ "refs" => "209574" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) а)</strong></p><p>Исходное уравнение: $2x^2 - 7x + 3 = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.</p><p>Чтобы записать новое уравнение, поменяем местами коэффициенты $a$ и $c$. Новые коэффициенты будут $a_{новое} = 3$, $b_{новое} = -7$, $c_{новое} = 2$.</p><p>Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.</p><p>Теперь решим оба уравнения.</p><p><em>Решение уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:</em></p><p>Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.</p><p>Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.</p><p>$x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$;</p><p>$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.</p><p><em>Решение уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$:</em></p><p>Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.</p><p>Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.</p><p>$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$;</p><p>$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.</p><p>Корни первого уравнения ($3$ и $\frac{1}{2}$) и корни второго уравнения ($\frac{1}{3}$ и $2$) являются взаимно обратными числами. То есть, если корни первого уравнения $x_1$ и $x_2$, то корни второго — $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.</p><p>Ответ: Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Корни первого уравнения: $3$ и $\frac{1}{2}$. Корни второго уравнения: $\frac{1}{3}$ и $2$. Корни второго уравнения являются обратными к корням первого.</p><p><strong>1) б)</strong></p><p>Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Это означает, что при подстановке $m$ или $n$ в уравнение, оно обращается в верное равенство:</p><p>$am^2 + bm + c = 0$</p><p>$an^2 + bn + c = 0$</p><p>Нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ являются корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.</p><p>Поскольку $c \neq 0$, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следует, что $m \neq 0$ (иначе $c=0$, что противоречит условию). Аналогично, $n \neq 0$.</p><p>Подставим $x = \frac{1}{m}$ в левую часть уравнения $cx^2 + bx + a = 0$:</p><p>$c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$</p><p>Приведем выражение к общему знаменателю $m^2$:</p><p>$\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2}$</p><p>Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$. Следовательно, числитель дроби равен нулю:</p><p>$\frac{0}{m^2} = 0$</p><p>Это доказывает, что $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.</p><p>Аналогично докажем для $\frac{1}{n}$. Подставим $x = \frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:</p><p>$c\left(\frac{1}{n}\right)^2 + b\left(\frac{1}{n}\right) + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a = \frac{c + bn + an^2}{n^2}$</p><p>Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$. Значит, выражение равно $\frac{0}{n^2} = 0$.</p><p>Таким образом, $\frac{1}{n}$ также является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Утверждение доказано.</p><p>Ответ: Утверждение доказано.</p><p><strong>1) в)</strong></p><p>Дано уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$.</p><p>Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), поменять местами коэффициенты $a$ и $c$.</p><p>Новые коэффициенты будут $a_{новое} = c = 6$, $b_{новое} = b = -5$, $c_{новое} = a = 1$.</p><p>Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.</p><p><em>Проверка:</em></p><p>1. Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.</p><p>2. Числа, обратные этим корням: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.</p><p>3. Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{12}$, то есть $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.</p><p>Корни второго уравнения действительно являются обратными к корням первого. Проверка прошла успешно.</p><p>Ответ: Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.</p><p><strong>2) а)</strong></p><p>Решим оба уравнения.</p><p><em>1. Решение уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$:</em></p><p>$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.</p><p><em>2. Решение уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$:</em></p><p>$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.</p><p>Корни первого уравнения: $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения: $-1$ и $\frac{5}{2}$.</p><p>Связь между корнями: корни второго уравнения являются противоположными по знаку корням первого уравнения.</p><p>Ответ: Корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ равны $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $-1$ и $\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения противоположны корням первого.</p><p><strong>2) б)</strong></p><p>Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что:</p><p>$am^2 + bm + c = 0$</p><p>$an^2 + bn + c = 0$</p><p>Нам нужно доказать, что числа $-m$ и $-n$ являются корнями уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Подставим $x = -m$ в левую часть уравнения $ax^2 - bx + c = 0$:</p><p>$a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + bm + c = am^2 + bm + c$.</p><p>Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$.</p><p>Следовательно, $a(-m)^2 - b(-m) + c = 0$. Это доказывает, что $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Аналогично докажем для $-n$. Подставим $x = -n$ в уравнение $ax^2 - bx + c = 0$:</p><p>$a(-n)^2 - b(-n) + c = a(n^2) + bn + c = an^2 + bn + c$.</p><p>Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$.</p><p>Следовательно, $a(-n)^2 - b(-n) + c = 0$. Это доказывает, что $-n$ также является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.</p><p>Ответ: Утверждение доказано.</p><p><strong>2) в)</strong></p><p>Дано уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Его коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.</p><p>Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого противоположны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), изменить знак коэффициента $b$.</p><p>Новые коэффициенты будут $a_{новое} = a = 2$, $b_{новое} = -b = -(-1) = 1$, $c_{новое} = c = -1$.</p><p>Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.</p><p><em>Проверка:</em></p><p>1. Решим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.</p><p>2. Числа, противоположные этим корням: $-1$ и $\frac{1}{2}$.</p><p>3. Решим уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$.</p><p>Корни второго уравнения действительно являются противоположными к корням первого. Проверка прошла успешно.</p><p>Ответ: Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "209575" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209573" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1142 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1145 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1191 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929906" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929904" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Task {#1024} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-134" "field_display_title" => "134" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "134" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "next" => array:2 [ "refs" => "929906" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929904" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 209574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "134" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/464" "field_display_title" => "464" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#335} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "next" => array:2 [ "refs" => "209575" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209573" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} "page" => array:2 [ "refs" => "929905" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№464 (с. 134)
Условие. №464 (с. 134)
скриншот условия
464 ИССЛЕДУЕМ
1) а) Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$ и $c \neq 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.
Указание. Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.
2) а) Решите уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ и $2x^2 - 3x - 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 - bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.
Решение 1. №464 (с. 134)
Решение 2. №464 (с. 134)
Решение 3. №464 (с. 134)
Решение 4. №464 (с. 134)
1) а)
Исходное уравнение: $2x^2 - 7x + 3 = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.
Чтобы записать новое уравнение, поменяем местами коэффициенты $a$ и $c$. Новые коэффициенты будут $a_{новое} = 3$, $b_{новое} = -7$, $c_{новое} = 2$.
Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.
Теперь решим оба уравнения.
Решение уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$:
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$;
$x_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Решение уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$:
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$.
$x_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$;
$x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Корни первого уравнения ($3$ и $\frac{1}{2}$) и корни второго уравнения ($\frac{1}{3}$ и $2$) являются взаимно обратными числами. То есть, если корни первого уравнения $x_1$ и $x_2$, то корни второго — $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.
Ответ: Новое уравнение: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Корни первого уравнения: $3$ и $\frac{1}{2}$. Корни второго уравнения: $\frac{1}{3}$ и $2$. Корни второго уравнения являются обратными к корням первого.
1) б)
Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Это означает, что при подстановке $m$ или $n$ в уравнение, оно обращается в верное равенство:
$am^2 + bm + c = 0$
$an^2 + bn + c = 0$
Нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ являются корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.
Поскольку $c \neq 0$, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следует, что $m \neq 0$ (иначе $c=0$, что противоречит условию). Аналогично, $n \neq 0$.
Подставим $x = \frac{1}{m}$ в левую часть уравнения $cx^2 + bx + a = 0$:
$c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$
Приведем выражение к общему знаменателю $m^2$:
$\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2}$
Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$. Следовательно, числитель дроби равен нулю:
$\frac{0}{m^2} = 0$
Это доказывает, что $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.
Аналогично докажем для $\frac{1}{n}$. Подставим $x = \frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:
$c\left(\frac{1}{n}\right)^2 + b\left(\frac{1}{n}\right) + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a = \frac{c + bn + an^2}{n^2}$
Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$. Значит, выражение равно $\frac{0}{n^2} = 0$.
Таким образом, $\frac{1}{n}$ также является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.
1) в)
Дано уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его коэффициенты: $a=1, b=-5, c=6$.
Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), поменять местами коэффициенты $a$ и $c$.
Новые коэффициенты будут $a_{новое} = c = 6$, $b_{новое} = b = -5$, $c_{новое} = a = 1$.
Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Проверка:
1. Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
2. Числа, обратные этим корням: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.
3. Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{12}$, то есть $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Корни второго уравнения действительно являются обратными к корням первого. Проверка прошла успешно.
Ответ: Искомое уравнение: $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
2) а)
Решим оба уравнения.
1. Решение уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{4}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.
2. Решение уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.
Корни первого уравнения: $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения: $-1$ и $\frac{5}{2}$.
Связь между корнями: корни второго уравнения являются противоположными по знаку корням первого уравнения.
Ответ: Корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$ равны $1$ и $-\frac{5}{2}$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $-1$ и $\frac{5}{2}$. Корни второго уравнения противоположны корням первого.
2) б)
Пусть числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что:
$am^2 + bm + c = 0$
$an^2 + bn + c = 0$
Нам нужно доказать, что числа $-m$ и $-n$ являются корнями уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.
Подставим $x = -m$ в левую часть уравнения $ax^2 - bx + c = 0$:
$a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + bm + c = am^2 + bm + c$.
Так как $m$ — корень исходного уравнения, мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$.
Следовательно, $a(-m)^2 - b(-m) + c = 0$. Это доказывает, что $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.
Аналогично докажем для $-n$. Подставим $x = -n$ в уравнение $ax^2 - bx + c = 0$:
$a(-n)^2 - b(-n) + c = a(n^2) + bn + c = an^2 + bn + c$.
Поскольку $n$ — корень исходного уравнения, $an^2 + bn + c = 0$.
Следовательно, $a(-n)^2 - b(-n) + c = 0$. Это доказывает, что $-n$ также является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.
Ответ: Утверждение доказано.
2) в)
Дано уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. Его коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.
Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого противоположны корням данного, мы можем, согласно доказанному в пункте б), изменить знак коэффициента $b$.
Новые коэффициенты будут $a_{новое} = a = 2$, $b_{новое} = -b = -(-1) = 1$, $c_{новое} = c = -1$.
Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.
Проверка:
1. Решим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.
2. Числа, противоположные этим корням: $-1$ и $\frac{1}{2}$.
3. Решим уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$.
Корни второго уравнения действительно являются противоположными к корням первого. Проверка прошла успешно.
Ответ: Искомое уравнение: $2x^2 + x - 1 = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 464 расположенного на странице 134 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №464 (с. 134), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.