gdz.top
Номер 809, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: розовый, голубой
Популярные ГДЗ в 8 классе
Задачи повышенной трудности - номер 809, страница 274.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207573 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/809" "field_display_title" => "809" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1040 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1093 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 230866 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1094 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207573" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>809.</strong> Доказать равенство:</p><p><strong>1)</strong> $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};$</p><p><strong>2)</strong> $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}};$</p><p><strong>3)</strong> $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1;$</p><p><strong>4)</strong> $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)};$</p><p><strong>5)</strong> $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "809-1.jpg" "alt" => null "width" => "1638" "height" => 601 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/809-1.webp?ts=1734247584" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 230866 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "task" => array:2 [ "refs" => "207573" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>809.</strong> Доказать равенство:</p><p><strong>1)</strong> $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};$</p><p><strong>2)</strong> $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}};$</p><p><strong>3)</strong> $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1;$</p><p><strong>4)</strong> $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)};$</p><p><strong>5)</strong> $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "809-1.jpg" "alt" => null "width" => "1638" "height" => 601 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/809-1.webp?ts=1734247584" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1100 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1417492 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1101 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207573" "type" => "task" ] "text" => "<strong>1)</strong><p>Докажем равенство $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.<br>Для этого преобразуем левую и правую части по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателях.</p><p>Преобразуем левую часть (ЛЧ).<br>Первое слагаемое: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.</p><p>Второе слагаемое. Заметим, что $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.<br>$\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{8}-\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}$.</p><p>Сложим полученные выражения, чтобы найти значение левой части: ЛЧ = $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (\sqrt{8}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{8}$.</p><p>Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):<br>$\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5}$.</p><p>Мы получили, что ЛЧ = $\sqrt{5}+\sqrt{8}$ и ПЧ = $\sqrt{8}+\sqrt{5}$. Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>2)</strong><p>Докажем равенство $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$.<br>Преобразуем левую и правую части по отдельности.</p><p>Преобразуем левую часть (ЛЧ).<br>Упростим уменьшаемое: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.</p><p>Упростим вычитаемое: $\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3-11} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{-8} = -(\sqrt{3}+\sqrt{11}) = -\sqrt{3}-\sqrt{11}$.</p><p>Теперь найдем разность: ЛЧ = $(\sqrt{7}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}-\sqrt{11}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{11} = \sqrt{7}+\sqrt{11}$.</p><p>Преобразуем правую часть (ПЧ):<br>$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{4} = \sqrt{11}+\sqrt{7}$.</p><p>Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = $\sqrt{7}+\sqrt{11}$ и ПЧ = $\sqrt{11}+\sqrt{7}$. Равенство доказано.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>3)</strong><p>Докажем равенство $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1$.<br>Данная сумма является телескопической. Преобразуем общий член ряда вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.</p><p>Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.</p><p>Теперь распишем сумму, используя полученное выражение для каждого слагаемого:<br>$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$<br>$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$<br>...<br>$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-\sqrt{98}$</p><p>Сложим все эти выражения: Сумма = $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{98})$.</p><p>Промежуточные члены взаимно уничтожаются ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, и т.д.). Остаются только первый и последний компоненты: Сумма = $-1 + \sqrt{99} = \sqrt{99}-1$.</p><p>Левая часть равна $\sqrt{99}-1$, что совпадает с правой частью.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>4)</strong><p>Докажем равенство $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.<br>Воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Общий вид слагаемого в левой части можно представить так: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.</p><p>Применим это правило к каждому слагаемому в левой части (ЛЧ):<br>$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}$<br>$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$<br>$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$</p><p>Теперь сложим эти выражения. Это телескопическая сумма, в которой промежуточные члены сокращаются:<br>ЛЧ = $(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}) + (\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3}$.</p><p>Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} = \frac{1 \cdot (a+3) - 1 \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a+3-a}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.</p><p>Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>5)</strong><p>Докажем тождество $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$.<br>Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем множители следующим образом: ЛЧ = $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$.</p><p>Раскроем скобки в каждой группе:<br>$n(n+3) = n^2+3n$<br>$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$</p><p>Подставим полученные выражения обратно: ЛЧ = $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$.</p><p>Сделаем замену. Пусть $x = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид: ЛЧ = $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$.</p><p>Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(x+1)^2$.</p><p>Выполнив обратную замену $x = n^2+3n$, получим: ЛЧ = $(n^2+3n+1)^2$.</p><p>Это выражение совпадает с правой частью исходного равенства.</p><p>Ответ: Тождество доказано.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1417492 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110} "task" => array:2 [ "refs" => "207573" "type" => "task" ] "text" => "<strong>1)</strong><p>Докажем равенство $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.<br>Для этого преобразуем левую и правую части по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателях.</p><p>Преобразуем левую часть (ЛЧ).<br>Первое слагаемое: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.</p><p>Второе слагаемое. Заметим, что $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.<br>$\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{8}-\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}$.</p><p>Сложим полученные выражения, чтобы найти значение левой части: ЛЧ = $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (\sqrt{8}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{8}$.</p><p>Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):<br>$\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5}$.</p><p>Мы получили, что ЛЧ = $\sqrt{5}+\sqrt{8}$ и ПЧ = $\sqrt{8}+\sqrt{5}$. Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>2)</strong><p>Докажем равенство $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$.<br>Преобразуем левую и правую части по отдельности.</p><p>Преобразуем левую часть (ЛЧ).<br>Упростим уменьшаемое: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.</p><p>Упростим вычитаемое: $\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3-11} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{-8} = -(\sqrt{3}+\sqrt{11}) = -\sqrt{3}-\sqrt{11}$.</p><p>Теперь найдем разность: ЛЧ = $(\sqrt{7}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}-\sqrt{11}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{11} = \sqrt{7}+\sqrt{11}$.</p><p>Преобразуем правую часть (ПЧ):<br>$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{4} = \sqrt{11}+\sqrt{7}$.</p><p>Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = $\sqrt{7}+\sqrt{11}$ и ПЧ = $\sqrt{11}+\sqrt{7}$. Равенство доказано.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>3)</strong><p>Докажем равенство $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1$.<br>Данная сумма является телескопической. Преобразуем общий член ряда вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.</p><p>Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.</p><p>Теперь распишем сумму, используя полученное выражение для каждого слагаемого:<br>$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$<br>$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$<br>...<br>$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-\sqrt{98}$</p><p>Сложим все эти выражения: Сумма = $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{98})$.</p><p>Промежуточные члены взаимно уничтожаются ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, и т.д.). Остаются только первый и последний компоненты: Сумма = $-1 + \sqrt{99} = \sqrt{99}-1$.</p><p>Левая часть равна $\sqrt{99}-1$, что совпадает с правой частью.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>4)</strong><p>Докажем равенство $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.<br>Воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Общий вид слагаемого в левой части можно представить так: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.</p><p>Применим это правило к каждому слагаемому в левой части (ЛЧ):<br>$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}$<br>$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$<br>$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$</p><p>Теперь сложим эти выражения. Это телескопическая сумма, в которой промежуточные члены сокращаются:<br>ЛЧ = $(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}) + (\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3}$.</p><p>Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} = \frac{1 \cdot (a+3) - 1 \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a+3-a}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.</p><p>Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.</p><p>Ответ: Равенство доказано.</p><strong>5)</strong><p>Докажем тождество $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$.<br>Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем множители следующим образом: ЛЧ = $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$.</p><p>Раскроем скобки в каждой группе:<br>$n(n+3) = n^2+3n$<br>$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$</p><p>Подставим полученные выражения обратно: ЛЧ = $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$.</p><p>Сделаем замену. Пусть $x = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид: ЛЧ = $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$.</p><p>Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(x+1)^2$.</p><p>Выполнив обратную замену $x = n^2+3n$, получим: ЛЧ = $(n^2+3n+1)^2$.</p><p>Это выражение совпадает с правой частью исходного равенства.</p><p>Ответ: Тождество доказано.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207574" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207572" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1090 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1082 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1084 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1083 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1092 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1089 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1108 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1111 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1115 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1123 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rozovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rozovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1124 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "goluboy" ] #original: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "goluboy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1131 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929740 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-274" "field_display_title" => "274" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "274" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1090} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1144 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1104132 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #original: array:6 [ "id" => 1104132 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929741" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929739" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418 #items: array:12 [ 0 => App\Models\Task {#1436 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207565 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/801" "field_display_title" => "801" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1438 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1439 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1440 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1457 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1459 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207565 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/801" "field_display_title" => "801" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1438 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1439 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1440 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1457 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1459 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1458 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207566 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/802" "field_display_title" => "802" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1460 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1461 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1462 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1463 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1480 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1482 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207566 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/802" "field_display_title" => "802" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1460 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1461 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1462 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1463 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1480 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1482 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1481 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207567 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/803" "field_display_title" => "803" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1483 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1484 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1485 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1486 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1488 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1494 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207567 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/803" "field_display_title" => "803" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1483 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1484 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1485 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1486 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1488 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1494 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Task {#1489 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207568 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/804" "field_display_title" => "804" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1487 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1496 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1492 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1490 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1491 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1506 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207568 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/804" "field_display_title" => "804" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1487 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1496 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1492 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1490 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1491 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1506 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Task {#1501 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207569 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/805" "field_display_title" => "805" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1493 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1508 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1504 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1502 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1503 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1518 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207569 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/805" "field_display_title" => "805" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1493 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1508 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1504 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1502 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1503 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1518 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Task {#1513 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207570 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/806" "field_display_title" => "806" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1505 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1520 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1516 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1514 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1515 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1530 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207570 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/806" "field_display_title" => "806" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1505 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1520 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1516 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1514 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1515 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1530 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Task {#1525 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207571 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/807" "field_display_title" => "807" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1517 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1532 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1528 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1526 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1527 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1542 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207571 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/807" "field_display_title" => "807" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1517 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1532 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1528 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1526 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1527 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1542 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 7 => App\Models\Task {#1537 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207572 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/808" "field_display_title" => "808" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1529 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1544 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1540 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1538 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1539 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1554 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207572 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/808" "field_display_title" => "808" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1529 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1544 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1540 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1538 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1539 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1554 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 8 => App\Models\Task {#1549 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207573 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/809" "field_display_title" => "809" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1541 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1556 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1552 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1550 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1553 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1551 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207573 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/809" "field_display_title" => "809" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1541 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1556 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1552 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1550 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1553 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1551 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 9 => App\Models\Task {#1561 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/810" "field_display_title" => "810" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1562 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1563 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1564 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1565 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1567 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1573 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/810" "field_display_title" => "810" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1562 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1563 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1564 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1565 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1567 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1573 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 10 => App\Models\Task {#1568 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207575 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/811" "field_display_title" => "811" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1566 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1575 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1571 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1569 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1588 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1593 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 207575 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/811" "field_display_title" => "811" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1566 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1575 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1571 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1569 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1588 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1593 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 11 => App\Models\Task {#1572 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207576 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/812" "field_display_title" => "812" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1580 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1570 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1585 …2} …6 ] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929740 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-274" "field_display_title" => "274" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "274" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "next" => array:2 [ "refs" => "929741" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929739" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 207573 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "274" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/809" "field_display_title" => "809" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "next" => array:2 [ "refs" => "207574" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207572" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127} "page" => array:2 [ "refs" => "929740" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№809 (с. 274)
Условие. №809 (с. 274)
скриншот условия
809. Доказать равенство:
1) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};$
2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}};$
3) $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1;$
4) $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)};$
5) $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$.
Решение 4. №809 (с. 274)
1)
Докажем равенство $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}$.
Для этого преобразуем левую и правую части по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателях.
Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Первое слагаемое: $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Второе слагаемое. Заметим, что $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
$\frac{5}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{8}} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{8}-\sqrt{3})} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{8-3} = \frac{5(\sqrt{8}-\sqrt{3})}{5} = \sqrt{8}-\sqrt{3}$.
Сложим полученные выражения, чтобы найти значение левой части: ЛЧ = $(\sqrt{5}+\sqrt{3}) + (\sqrt{8}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{8}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5}$.
Мы получили, что ЛЧ = $\sqrt{5}+\sqrt{8}$ и ПЧ = $\sqrt{8}+\sqrt{5}$. Поскольку ЛЧ = ПЧ, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
2)Докажем равенство $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}}$.
Преобразуем левую и правую части по отдельности.
Преобразуем левую часть (ЛЧ).
Упростим уменьшаемое: $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.
Упростим вычитаемое: $\frac{8}{\sqrt{3}-\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(\sqrt{3}-\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{11})} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3-11} = \frac{8(\sqrt{3}+\sqrt{11})}{-8} = -(\sqrt{3}+\sqrt{11}) = -\sqrt{3}-\sqrt{11}$.
Теперь найдем разность: ЛЧ = $(\sqrt{7}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}-\sqrt{11}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{11} = \sqrt{7}+\sqrt{11}$.
Преобразуем правую часть (ПЧ):
$\frac{4}{\sqrt{11}-\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7})} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{11-7} = \frac{4(\sqrt{11}+\sqrt{7})}{4} = \sqrt{11}+\sqrt{7}$.
Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = $\sqrt{7}+\sqrt{11}$ и ПЧ = $\sqrt{11}+\sqrt{7}$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
3)Докажем равенство $\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-1$.
Данная сумма является телескопической. Преобразуем общий член ряда вида $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
Теперь распишем сумму, используя полученное выражение для каждого слагаемого:
$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
...
$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}} = \sqrt{99}-\sqrt{98}$
Сложим все эти выражения: Сумма = $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{98})$.
Промежуточные члены взаимно уничтожаются ($\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$, и т.д.). Остаются только первый и последний компоненты: Сумма = $-1 + \sqrt{99} = \sqrt{99}-1$.
Левая часть равна $\sqrt{99}-1$, что совпадает с правой частью.
Ответ: Равенство доказано.
4)Докажем равенство $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.
Воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Общий вид слагаемого в левой части можно представить так: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
Применим это правило к каждому слагаемому в левой части (ЛЧ):
$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}$
$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$
Теперь сложим эти выражения. Это телескопическая сумма, в которой промежуточные члены сокращаются:
ЛЧ = $(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}) + (\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3}$.
Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} = \frac{1 \cdot (a+3) - 1 \cdot a}{a(a+3)} = \frac{a+3-a}{a(a+3)} = \frac{3}{a(a+3)}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.
Ответ: Равенство доказано.
5)Докажем тождество $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сгруппируем множители следующим образом: ЛЧ = $[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$.
Раскроем скобки в каждой группе:
$n(n+3) = n^2+3n$
$(n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2+3n+2$
Подставим полученные выражения обратно: ЛЧ = $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$.
Сделаем замену. Пусть $x = n^2+3n$. Тогда выражение примет вид: ЛЧ = $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$.
Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(x+1)^2$.
Выполнив обратную замену $x = n^2+3n$, получим: ЛЧ = $(n^2+3n+1)^2$.
Это выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 809 расположенного на странице 274 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №809 (с. 274), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.