gdz.top
Номер 24.7, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова
Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2026
Часть: 2
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Часть 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график - номер 24.7, страница 144.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 227805 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "144" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/24-7" "field_display_title" => "24.7" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1073 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1078 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1110 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция. Функция y=k/x" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1112 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1114 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1146 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция. Функция y=k/x" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_page_start" => "101" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1151 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226589 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график" "field_branch_order" => "24" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1153 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1155 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1187 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226589 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график" "field_branch_order" => "24" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:7 [ 0 => App\Models\Element {#1267 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 268682 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1268 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "text" => "<p>Постройте график функции:</p><p><strong>24.7 а)</strong> $y = x^2 + 4x + 5;$</p><p><strong>б)</strong> $y = -x^2 + 2x - 3;$</p><p><strong>в)</strong> $y = -x^2 + 2x + 2;$</p><p><strong>г)</strong> $y = x^2 - 4x + 1.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "1278" "height" => 251 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/0-2-24/7-1.webp?ts=1734379044" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 268682 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "text" => "<p>Постройте график функции:</p><p><strong>24.7 а)</strong> $y = x^2 + 4x + 5;$</p><p><strong>б)</strong> $y = -x^2 + 2x - 3;$</p><p><strong>в)</strong> $y = -x^2 + 2x + 2;$</p><p><strong>г)</strong> $y = x^2 - 4x + 1.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "1278" "height" => 251 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/0-2-24/7-1.webp?ts=1734379044" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1291 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 273976 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1301 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1292 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5514 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-1.webp?ts=1734381198" ] 1 => array:5 [ "name" => "7-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 6268 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-2.webp?ts=1734381198" ] 2 => array:5 [ "name" => "7-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5263 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-3.webp?ts=1734381198" ] 3 => array:5 [ "name" => "7-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5282 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-4.webp?ts=1734381198" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 273976 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1301} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5514 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-1.webp?ts=1734381198" ] 1 => array:5 [ "name" => "7-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 6268 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-2.webp?ts=1734381198" ] 2 => array:5 [ "name" => "7-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5263 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-3.webp?ts=1734381198" ] 3 => array:5 [ "name" => "7-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 5282 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-24/7-4.webp?ts=1734381198" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1259 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 267337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1260 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "784" "height" => 2446 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/2-2-24/7-1.webp?ts=1734378647" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 267337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "784" "height" => 2446 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/2-2-24/7-1.webp?ts=1734378647" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1252 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 265738 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1253 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/3-2-24/7-1.webp?ts=1734377608" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 265738 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/3-2-24/7-1.webp?ts=1734377608" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1275 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 269516 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1276 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.png" "alt" => null "width" => "717" "height" => 1344 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-24/7-1.webp?ts=1734379094" ] 1 => array:5 [ "name" => "7-2.png" "alt" => null "width" => "716" "height" => 1352 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-24/7-2.webp?ts=1734379094" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 269516 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.png" "alt" => null "width" => "717" "height" => 1344 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-24/7-1.webp?ts=1734379094" ] 1 => array:5 [ "name" => "7-2.png" "alt" => null "width" => "716" "height" => 1352 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-24/7-2.webp?ts=1734379094" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1283 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 269697 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1284 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "2479" "height" => 2067 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/5-2-24/7-1.webp?ts=1734378955" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 269697 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "7-1.jpg" "alt" => null "width" => "2479" "height" => 2067 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/5-2-24/7-1.webp?ts=1734378955" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Element {#1299 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1334868 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1300 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $y = x^2 + 4x + 5$</p><p>1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$</p><p>$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$</p><p>Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.</p><p>3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$x^2 + 4x + 5 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.</p><p>Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.</p><p>4. Найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x = -2$.</p><p>Точка $(0, 5)$ симметрична точке с абсциссой $x = -2 - 2 = -4$. Ордината та же: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Получаем точку $(-4, 5)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату. Проверим: $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(-2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(-4, 5)$, $(-1, 2)$, $(-3, 2)$. Соединяем их плавной линией.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.</p><p><strong>б)</strong> $y = -x^2 + 2x - 3$</p><p>1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$</p><p>$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$-x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x + 3 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.</p><p>Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.</p><p>4. Найдем дополнительные точки, используя ось симметрии $x = 1$.</p><p>Точке $(0, -3)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1 + 1 = 2$ и ординатой $y = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$. Точка $(-1, -6)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1 + (1 - (-1)) = 3$. Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$. Точка $(3, -6)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, -2)$ и точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(-1, -6)$, $(3, -6)$ и соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, -3)$.</p><p><strong>в)</strong> $y = -x^2 + 2x + 2$</p><p>1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$</p><p>$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$-x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.</p><p>Точки пересечения с осью OX: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(-0.73, 0)$ и $(2.73, 0)$).</p><p>4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$.</p><p>Точке $(0, 2)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1+1=2$ и ординатой $y=2$. Точка $(2, 2)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1+(1-(-1))=3$. $y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, 3)$, точки пересечения с осями $(0, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(2, 2)$, $(-1, -1)$, $(3, -1)$. Соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2)$ и ось OX в точках $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.</p><p><strong>г)</strong> $y = x^2 - 4x + 1$</p><p>1. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$</p><p>$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$x^2 - 4x + 1 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.</p><p>Точки пересечения с осью OX: $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(0.27, 0)$ и $(3.73, 0)$).</p><p>4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x = 2$.</p><p>Точке $(0, 1)$ симметрична точка с абсциссой $x = 2+2=4$ и ординатой $y=1$. Точка $(4, 1)$.</p><p>Возьмем $x = 1$: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 2+(2-1)=3$. $y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$. Точка $(3, -2)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(2, -3)$, точки пересечения с осями $(0, 1)$, $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(4, 1)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$. Соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1334868 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309} "task" => array:2 [ "refs" => "227805" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $y = x^2 + 4x + 5$</p><p>1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$</p><p>$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$</p><p>Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.</p><p>3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$x^2 + 4x + 5 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.</p><p>Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.</p><p>4. Найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x = -2$.</p><p>Точка $(0, 5)$ симметрична точке с абсциссой $x = -2 - 2 = -4$. Ордината та же: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Получаем точку $(-4, 5)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату. Проверим: $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(-2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(-4, 5)$, $(-1, 2)$, $(-3, 2)$. Соединяем их плавной линией.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.</p><p><strong>б)</strong> $y = -x^2 + 2x - 3$</p><p>1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$</p><p>$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$-x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x + 3 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.</p><p>Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.</p><p>4. Найдем дополнительные точки, используя ось симметрии $x = 1$.</p><p>Точке $(0, -3)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1 + 1 = 2$ и ординатой $y = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$. Точка $(-1, -6)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1 + (1 - (-1)) = 3$. Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$. Точка $(3, -6)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, -2)$ и точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(-1, -6)$, $(3, -6)$ и соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, -3)$.</p><p><strong>в)</strong> $y = -x^2 + 2x + 2$</p><p>1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$</p><p>$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$-x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.</p><p>Точки пересечения с осью OX: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(-0.73, 0)$ и $(2.73, 0)$).</p><p>4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$.</p><p>Точке $(0, 2)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1+1=2$ и ординатой $y=2$. Точка $(2, 2)$.</p><p>Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1+(1-(-1))=3$. $y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, 3)$, точки пересечения с осями $(0, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(2, 2)$, $(-1, -1)$, $(3, -1)$. Соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2)$ и ось OX в точках $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.</p><p><strong>г)</strong> $y = x^2 - 4x + 1$</p><p>1. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.</p><p>$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$</p><p>$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$</p><p>Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.</p><p>3. Найдем точки пересечения с осями координат.</p><p>С осью OY (при $x = 0$):</p><p>$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.</p><p>С осью OX (при $y = 0$):</p><p>$x^2 - 4x + 1 = 0$</p><p>Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.</p><p>$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.</p><p>Точки пересечения с осью OX: $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(0.27, 0)$ и $(3.73, 0)$).</p><p>4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x = 2$.</p><p>Точке $(0, 1)$ симметрична точка с абсциссой $x = 2+2=4$ и ординатой $y=1$. Точка $(4, 1)$.</p><p>Возьмем $x = 1$: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.</p><p>Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 2+(2-1)=3$. $y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$. Точка $(3, -2)$.</p><p>5. Для построения графика отмечаем вершину $(2, -3)$, точки пересечения с осями $(0, 1)$, $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(4, 1)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$. Соединяем их плавной кривой.</p><p>Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "227806" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "227804" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1320 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1250 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1230 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1236 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1234 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1233 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1239 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1237 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1249 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Term {#1248 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1244 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1242 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1243 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1308 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1312 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" 1 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_cover_alts" => array:2 [ 0 => "часть 1" 1 => "часть 2" ] "field_covers" => array:2 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 1" "width" => "1919" "height" => "2577" ] 1 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1314 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1316 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1308} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310} "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" 1 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_cover_alts" => array:2 [ 0 => "часть 1" 1 => "часть 2" ] "field_covers" => array:2 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 1" "width" => "1919" "height" => "2577" ] 1 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1314} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1316} "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1324 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 865347 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "144" "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/page-2-144" "field_display_title" => "144" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "144" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1073} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1250} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1338 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1337 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "865348" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "865346" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1620 #items: array:10 [ 0 => App\Models\Task {#1636 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1641 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1644 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1657 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1660 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1693 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1723 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1696 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1766 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1697 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true …5 } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 865347 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "144" "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/page-2-144" "field_display_title" => "144" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "144" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1338} "next" => array:2 [ "refs" => "865348" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "865346" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1620} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 227805 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "144" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/24-7" "field_display_title" => "24.7" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "next" => array:2 [ "refs" => "227806" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "227804" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1320} "page" => array:2 [ "refs" => "865347" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№24.7 (с. 144)
Условие. №24.7 (с. 144)
скриншот условия
Постройте график функции:
24.7 а) $y = x^2 + 4x + 5;$
б) $y = -x^2 + 2x - 3;$
в) $y = -x^2 + 2x + 2;$
г) $y = x^2 - 4x + 1.$
Решение 1. №24.7 (с. 144)
Решение 2. №24.7 (с. 144)
Решение 3. №24.7 (с. 144)
Решение 4. №24.7 (с. 144)
Решение 5. №24.7 (с. 144)
Решение 6. №24.7 (с. 144)
а) $y = x^2 + 4x + 5$
1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY (при $x = 0$):
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.
С осью OX (при $y = 0$):
$x^2 + 4x + 5 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.
4. Найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x = -2$.
Точка $(0, 5)$ симметрична точке с абсциссой $x = -2 - 2 = -4$. Ордината та же: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Получаем точку $(-4, 5)$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.
Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату. Проверим: $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.
5. Для построения графика отмечаем вершину $(-2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(-4, 5)$, $(-1, 2)$, $(-3, 2)$. Соединяем их плавной линией.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.
б) $y = -x^2 + 2x - 3$
1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$
Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x = 0$):
$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$.
С осью OX (при $y = 0$):
$-x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x + 3 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.
4. Найдем дополнительные точки, используя ось симметрии $x = 1$.
Точке $(0, -3)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1 + 1 = 2$ и ординатой $y = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$. Точка $(-1, -6)$.
Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1 + (1 - (-1)) = 3$. Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$. Точка $(3, -6)$.
5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, -2)$ и точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(-1, -6)$, $(3, -6)$ и соединяем их плавной кривой.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, -3)$.
в) $y = -x^2 + 2x + 2$
1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$
Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x = 0$):
$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
С осью OX (при $y = 0$):
$-x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью OX: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(-0.73, 0)$ и $(2.73, 0)$).
4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$.
Точке $(0, 2)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1+1=2$ и ординатой $y=2$. Точка $(2, 2)$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1+(1-(-1))=3$. $y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.
5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, 3)$, точки пересечения с осями $(0, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(2, 2)$, $(-1, -1)$, $(3, -1)$. Соединяем их плавной кривой.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2)$ и ось OX в точках $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.
г) $y = x^2 - 4x + 1$
1. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$
Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x = 0$):
$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.
С осью OX (при $y = 0$):
$x^2 - 4x + 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью OX: $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(0.27, 0)$ и $(3.73, 0)$).
4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x = 2$.
Точке $(0, 1)$ симметрична точка с абсциссой $x = 2+2=4$ и ординатой $y=1$. Точка $(4, 1)$.
Возьмем $x = 1$: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.
Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 2+(2-1)=3$. $y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$. Точка $(3, -2)$.
5. Для построения графика отмечаем вершину $(2, -3)$, точки пересечения с осями $(0, 1)$, $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(4, 1)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$. Соединяем их плавной кривой.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.7 расположенного на странице 144 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.7 (с. 144), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.