gdz.top
Номер 71, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова
Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2026
Часть: 2
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Часть 2. Итоговое повторение - номер 71, страница 229.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 228472 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "229" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/povt-71" "field_display_title" => "71" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #original: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ …2] "field_cover_alts" => array:2 [ …2] "field_covers" => array:2 [ …2] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ …2] "field_cover_alts" => array:2 [ …2] "field_covers" => array:2 [ …2] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1073 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #original: array:7 [ "id" => 31 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Часть" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => "1" "field_short_name" => "ч." ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1078 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ …2] "field_cover_alts" => array:2 [ …2] "field_covers" => array:2 [ …2] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" …7 ] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226557 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => null "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_branch_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1110 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 226614 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Итоговое повторение" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "217" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1113 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1145 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 226614 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Итоговое повторение" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_page_start" => "217" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:7 [ 0 => App\Models\Element {#1220 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 271883 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1221 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>71 а)</strong> $y = \frac{4}{|x|}$;</p><p><strong>б)</strong> $y = \frac{3}{|x + 1|}$;</p><p><strong>в)</strong> $y = \frac{12}{|x|} - 3$;</p><p><strong>г)</strong> $y = - \frac{2}{|x|}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "1435" "height" => 206 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/0-2-povt/71-1.webp?ts=1734379472" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 271883 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>71 а)</strong> $y = \frac{4}{|x|}$;</p><p><strong>б)</strong> $y = \frac{3}{|x + 1|}$;</p><p><strong>в)</strong> $y = \frac{12}{|x|} - 3$;</p><p><strong>г)</strong> $y = - \frac{2}{|x|}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "1435" "height" => 206 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/0-2-povt/71-1.webp?ts=1734379472" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1244 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 274681 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1245 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2669 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-1.webp?ts=1734382187" ] 1 => array:5 [ "name" => "71-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2801 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-2.webp?ts=1734382187" ] 2 => array:5 [ "name" => "71-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2774 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-3.webp?ts=1734382187" ] 3 => array:5 [ "name" => "71-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2963 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-4.webp?ts=1734382187" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 274681 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2669 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-1.webp?ts=1734382187" ] 1 => array:5 [ "name" => "71-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2801 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-2.webp?ts=1734382187" ] 2 => array:5 [ "name" => "71-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2774 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-3.webp?ts=1734382187" ] 3 => array:5 [ "name" => "71-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2963 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/1-2-povt/71-4.webp?ts=1734382187" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1212 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 270785 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1213 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "384" "height" => 1598 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/2-2-povt/71-1.webp?ts=1734379218" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 270785 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "384" "height" => 1598 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/2-2-povt/71-1.webp?ts=1734379218" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1205 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 267976 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1206 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/3-2-povt/71-1.webp?ts=1734377963" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 267976 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "1329" "height" => 907 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/3-2-povt/71-1.webp?ts=1734377963" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1236 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 272982 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1237 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.png" "alt" => null "width" => "640" "height" => 1220 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-povt/71-1.webp?ts=1734379552" ] 1 => array:5 [ "name" => "71-2.png" "alt" => null "width" => "637" "height" => 1235 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-povt/71-2.webp?ts=1734379552" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 272982 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.png" "alt" => null "width" => "640" "height" => 1220 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-povt/71-1.webp?ts=1734379552" ] 1 => array:5 [ "name" => "71-2.png" "alt" => null "width" => "637" "height" => 1235 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/4-2-povt/71-2.webp?ts=1734379552" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1228 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 272649 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1229 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "2294" "height" => 1766 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/5-2-povt/71-1.webp?ts=1734379377" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 272649 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "71-1.jpg" "alt" => null "width" => "2294" "height" => 1766 "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/5-2-povt/71-1.webp?ts=1734379377" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Element {#1252 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1336335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1253 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $y = \frac{4}{|x|}$</p><p>Данная функция является вариацией обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Особенностью является наличие модуля в знаменателе.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>График функции $y = f(|x|)$ можно построить из графика функции $y = f(x)$ следующим образом:<br>- Строим график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.<br>- Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.<br>В нашем случае, $f(x) = \frac{4}{x}$.<br>- Для $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.<br>- Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.<br>Таким образом, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy и расположенных в первой и второй четвертях.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y$ всегда будет принимать только положительные значения.<br>$E(y) = (0; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.<br>- <em>Монотонность:</em><br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.</p><p><strong>б)</strong> $y = \frac{3}{|x + 1|}$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{3}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{3}{|x|}$. Он аналогичен графику из пункта а), это две ветви гиперболы в I и II четвертях с асимптотами $x=0$ и $y=0$.<br>- Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{3}{|x|}$ на 1 единицу влево.<br>- В результате сдвига, вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x + 1| \neq 0$, откуда $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.<br>$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Аналогично пункту а), дробь всегда положительна.<br>$E(y) = (0; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как $y(-x) = \frac{3}{|-x+1|} = \frac{3}{|x-1|} \neq \pm y(x)$. Однако ее график симметричен относительно прямой $x = -1$.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = -1$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.<br>- <em>Монотонность:</em><br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(-1; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция общего вида. Асимптоты: $x=-1$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; -1)$, убывает на $(-1; +\infty)$.</p><p><strong>в)</strong> $y = \frac{12}{|x|} - 3$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{12}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Базовый график $y = \frac{12}{|x|}$ аналогичен графику из пункта а).<br>- Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{12}{|x|}$ на 3 единицы вниз.<br>- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Выражение $\frac{12}{|x|}$ принимает значения в интервале $(0; +\infty)$. Тогда вся функция $y = \frac{12}{|x|} - 3$ принимает значения в интервале $(0-3; +\infty-3)$.<br>$E(y) = (-3; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{12}{|-x|} - 3 = \frac{12}{|x|} - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.<br>- <em>Монотонность:</em> Сдвиг вниз не меняет характер монотонности.<br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.<br>- <em>Нули функции (пересечение с осью Ox):</em> $y=0 \implies \frac{12}{|x|} - 3 = 0 \implies \frac{12}{|x|} = 3 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-3; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=-3$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Нули функции: $x=\pm 4$.</p><p><strong>г)</strong> $y = -\frac{2}{|x|}$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Базовый график $y = \frac{2}{|x|}$ имеет две ветви в I и II четвертях.<br>- Преобразование $f(x) \to -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика относительно оси Ox.<br>- Таким образом, ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$ из верхней полуплоскости отразятся в нижнюю. График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ будет состоять из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Выражение $\frac{2}{|x|}$ всегда положительно, значит $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательно.<br>$E(y) = (-\infty; 0)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{2}{|-x|} = -\frac{2}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.<br>- <em>Монотонность:</em> Отражение относительно оси Ox меняет характер монотонности на противоположный.<br>- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1336335 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262} "task" => array:2 [ "refs" => "228472" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $y = \frac{4}{|x|}$</p><p>Данная функция является вариацией обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Особенностью является наличие модуля в знаменателе.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>График функции $y = f(|x|)$ можно построить из графика функции $y = f(x)$ следующим образом:<br>- Строим график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.<br>- Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.<br>В нашем случае, $f(x) = \frac{4}{x}$.<br>- Для $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.<br>- Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.<br>Таким образом, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy и расположенных в первой и второй четвертях.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y$ всегда будет принимать только положительные значения.<br>$E(y) = (0; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.<br>- <em>Монотонность:</em><br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.</p><p><strong>б)</strong> $y = \frac{3}{|x + 1|}$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{3}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{3}{|x|}$. Он аналогичен графику из пункта а), это две ветви гиперболы в I и II четвертях с асимптотами $x=0$ и $y=0$.<br>- Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{3}{|x|}$ на 1 единицу влево.<br>- В результате сдвига, вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x + 1| \neq 0$, откуда $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.<br>$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Аналогично пункту а), дробь всегда положительна.<br>$E(y) = (0; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как $y(-x) = \frac{3}{|-x+1|} = \frac{3}{|x-1|} \neq \pm y(x)$. Однако ее график симметричен относительно прямой $x = -1$.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = -1$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.<br>- <em>Монотонность:</em><br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(-1; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция общего вида. Асимптоты: $x=-1$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; -1)$, убывает на $(-1; +\infty)$.</p><p><strong>в)</strong> $y = \frac{12}{|x|} - 3$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{12}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Базовый график $y = \frac{12}{|x|}$ аналогичен графику из пункта а).<br>- Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{12}{|x|}$ на 3 единицы вниз.<br>- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Выражение $\frac{12}{|x|}$ принимает значения в интервале $(0; +\infty)$. Тогда вся функция $y = \frac{12}{|x|} - 3$ принимает значения в интервале $(0-3; +\infty-3)$.<br>$E(y) = (-3; +\infty)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{12}{|-x|} - 3 = \frac{12}{|x|} - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.<br>- <em>Монотонность:</em> Сдвиг вниз не меняет характер монотонности.<br>- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.<br>- <em>Нули функции (пересечение с осью Ox):</em> $y=0 \implies \frac{12}{|x|} - 3 = 0 \implies \frac{12}{|x|} = 3 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-3; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=-3$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Нули функции: $x=\pm 4$.</p><p><strong>г)</strong> $y = -\frac{2}{|x|}$</p><p>График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.</p><p><strong>1. Построение графика.</strong><br>- Базовый график $y = \frac{2}{|x|}$ имеет две ветви в I и II четвертях.<br>- Преобразование $f(x) \to -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика относительно оси Ox.<br>- Таким образом, ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$ из верхней полуплоскости отразятся в нижнюю. График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ будет состоять из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.</p><p><strong>2. Свойства функции.</strong><br>- <em>Область определения:</em> $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.<br>$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.<br>- <em>Область значений:</em> Выражение $\frac{2}{|x|}$ всегда положительно, значит $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательно.<br>$E(y) = (-\infty; 0)$.<br>- <em>Четность:</em> Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{2}{|-x|} = -\frac{2}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.<br>- <em>Асимптоты:</em><br>- Вертикальная асимптота: $x = 0$.<br>- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.<br>- <em>Монотонность:</em> Отражение относительно оси Ox меняет характер монотонности на противоположный.<br>- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.<br>- Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "228473" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "228471" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1203 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1183 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1189 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1187 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1186 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1192 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1190 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1202 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Term {#1201 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1197 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1195 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1196 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1265 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" 1 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_cover_alts" => array:2 [ 0 => "часть 1" 1 => "часть 2" ] "field_covers" => array:2 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 1" "width" => "1919" "height" => "2577" ] 1 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1267 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1268 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 14 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263} "field_publication_number" => "26" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "1, 2" "field_part_writing" => "Часть" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "2014" "field_priority" => "4" "field_default_folder" => "/algebra_08/mordkovich-z-21/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:2 [ 0 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" 1 => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" ] "field_cover_alts" => array:2 [ 0 => "часть 1" 1 => "часть 2" ] "field_covers" => array:2 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover1.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 1" "width" => "1919" "height" => "2577" ] 1 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/mordkovich-z-21/covers/cover2.webp?ts=1734210650" "alt" => "часть 2" "width" => "1875" "height" => "2548" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1267} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1268} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269} "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Чем порадует учеников алгебра в 8 классе? </h2> <p> Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры - предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)</strong>». </p> <p> Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как: <ol> <li>Действия с алгебраическими дробями.</li> <li>Преобразование рациональных уравнений.</li> <li>Теория вероятности.</li> <li>Модуль числа.</li> <li>Линейные и квадратные неравенства.</li> <li>Комбинаторность, и т.д.</li> </ol> <p> Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий. </p> <h2> Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича? </h2> <p> Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. <strong>Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г.</strong> позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил. </p> <p> Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:</p> <ol> <li>никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;</li> <li>домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;</li> <li>сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;</li> <li>если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.</li> </ol> <p> Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит. </p> <h2> Решебник - уникальное учебное пособие </h2> <p> У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим - гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут <strong>подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича</strong>. </p> <p> В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф: <ul> <li>верные ответы на все номера;</li> <li>доскональные решения;</li> <li>подробные наглядные примеры;</li> <li>дополнительные примечания.</li> </ul> <p> Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1277 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 865432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "229" "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/page-2-229" "field_display_title" => "229" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "229" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1073} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1203} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1291 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1290 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "865433" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "865431" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#2369 #items: array:11 [ 0 => App\Models\Task {#2387 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#2400 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#2397 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#2420 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#2404 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#2439 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#2417 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#2485 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#2587 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#2650 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#2713 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 865432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "229" "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/page-2-229" "field_display_title" => "229" "field_folder" => "2" "field_image_name" => "229" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1291} "next" => array:2 [ "refs" => "865433" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "865431" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#2369} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 228472 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "229" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/mordkovich/povt-71" "field_display_title" => "71" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "next" => array:2 [ "refs" => "228473" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "228471" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273} "page" => array:2 [ "refs" => "865432" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№71 (с. 229)
Условие. №71 (с. 229)
скриншот условия
71 а) $y = \frac{4}{|x|}$;
б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$;
в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$;
г) $y = - \frac{2}{|x|}$.
Решение 1. №71 (с. 229)
Решение 2. №71 (с. 229)
Решение 3. №71 (с. 229)
Решение 4. №71 (с. 229)
Решение 5. №71 (с. 229)
Решение 6. №71 (с. 229)
а) $y = \frac{4}{|x|}$
Данная функция является вариацией обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$. Особенностью является наличие модуля в знаменателе.
1. Построение графика.
График функции $y = f(|x|)$ можно построить из графика функции $y = f(x)$ следующим образом:
- Строим график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$.
- Отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy.
В нашем случае, $f(x) = \frac{4}{x}$.
- Для $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
- Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.
Таким образом, график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy и расположенных в первой и второй четвертях.
2. Свойства функции.
- Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Так как числитель $4 > 0$ и знаменатель $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y$ всегда будет принимать только положительные значения.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.
б) $y = \frac{3}{|x + 1|}$
График этой функции можно получить путем преобразования графика базовой функции $y = \frac{3}{|x|}$.
1. Построение графика.
- Сначала рассмотрим график функции $y = \frac{3}{|x|}$. Он аналогичен графику из пункта а), это две ветви гиперболы в I и II четвертях с асимптотами $x=0$ и $y=0$.
- Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Ox на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=1$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{3}{|x|}$ на 1 единицу влево.
- В результате сдвига, вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.
2. Свойства функции.
- Область определения: $|x + 1| \neq 0$, откуда $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
- Область значений: Аналогично пункту а), дробь всегда положительна.
$E(y) = (0; +\infty)$.
- Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как $y(-x) = \frac{3}{|-x+1|} = \frac{3}{|x-1|} \neq \pm y(x)$. Однако ее график симметричен относительно прямой $x = -1$.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$.
- Функция убывает на промежутке $(-1; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Функция общего вида. Асимптоты: $x=-1$ и $y=0$. Возрастает на $(-\infty; -1)$, убывает на $(-1; +\infty)$.
в) $y = \frac{12}{|x|} - 3$
График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{12}{|x|}$.
1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{12}{|x|}$ аналогичен графику из пункта а).
- Преобразование $f(x) \to f(x) - c$ соответствует сдвигу графика вдоль оси Oy на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=3$, поэтому мы сдвигаем график функции $y = \frac{12}{|x|}$ на 3 единицы вниз.
- Вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$.
2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{12}{|x|}$ принимает значения в интервале $(0; +\infty)$. Тогда вся функция $y = \frac{12}{|x|} - 3$ принимает значения в интервале $(0-3; +\infty-3)$.
$E(y) = (-3; +\infty)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{12}{|-x|} - 3 = \frac{12}{|x|} - 3 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.
- Монотонность: Сдвиг вниз не меняет характер монотонности.
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
- Нули функции (пересечение с осью Ox): $y=0 \implies \frac{12}{|x|} - 3 = 0 \implies \frac{12}{|x|} = 3 \implies |x| = 4 \implies x = \pm 4$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-3; +\infty)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=-3$. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Нули функции: $x=\pm 4$.
г) $y = -\frac{2}{|x|}$
График этой функции можно получить путем преобразования графика функции $y = \frac{2}{|x|}$.
1. Построение графика.
- Базовый график $y = \frac{2}{|x|}$ имеет две ветви в I и II четвертях.
- Преобразование $f(x) \to -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика относительно оси Ox.
- Таким образом, ветви графика $y = \frac{2}{|x|}$ из верхней полуплоскости отразятся в нижнюю. График функции $y = -\frac{2}{|x|}$ будет состоять из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях.
2. Свойства функции.
- Область определения: $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: Выражение $\frac{2}{|x|}$ всегда положительно, значит $-\frac{2}{|x|}$ всегда отрицательно.
$E(y) = (-\infty; 0)$.
- Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{2}{|-x|} = -\frac{2}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
- Монотонность: Отражение относительно оси Ox меняет характер монотонности на противоположный.
- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
- Функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0)$. Функция четная. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 71 расположенного на странице 229 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №71 (с. 229), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.