gdz.top
Номер 112, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова
Авторы: Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Серия: сферы 1-11
Издательство: Просвещение
Год издания: 2018 - 2026
Цвет обложки: оранжевый с диаграммой
ISBN: 978-5-09-051312-8
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 2. Квадратичная функция. 2.1 Квадратичная функция и её график - номер 112, страница 50.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198838 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "45" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2789 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5458 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "9" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "девятый" "field_creative_case" => "девятым" "field_dative_case" => "девятому" "field_genitive_case" => "девятого" "field_nominative_case" => "девятый" "field_prepositional_case" => "девятом" ] "field_translit" => "devjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5458 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "9" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "девятый" "field_creative_case" => "девятым" "field_dative_case" => "девятому" "field_genitive_case" => "девятого" "field_nominative_case" => "девятый" "field_prepositional_case" => "девятом" ] "field_translit" => "devjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1055 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5198 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Минаева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Станиславовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5622 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Рослова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лариса" "field_patronymic" => "Олеговна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1068 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:8 [ "id" => 4796 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "сферы 1-11" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "sfery 1-11" ] #original: array:8 [ "id" => 4796 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "сферы 1-11" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "sfery 1-11" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с диаграммой" "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "596" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/algebra_09/bunimovich-u18/" "field_isbn" => "978-5-09-051312-8" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/covers/cover1.webp?ts=1734127578" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/covers/cover1.webp?ts=1734127578" "alt" => "" "width" => "450" "height" => "630" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "оранжевый" "field_creative_case" => "оранжевым" "field_dative_case" => "оранжевому" "field_genitive_case" => "оранжевого" "field_nominative_case" => "оранжевый" "field_prepositional_case" => "оранжевом" ] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "оранжевый" "field_creative_case" => "оранжевым" "field_dative_case" => "оранжевому" "field_genitive_case" => "оранжевого" "field_nominative_case" => "оранжевый" "field_prepositional_case" => "оранжевом" ] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Основные сложности при изучении алгебры </h2> <p> Несмотря на годы, прошедшие с начала изучения математики, многим школьникам эта наука все еще кажется непонятной. Алгебраические выражения порой способны поставить в тупик и отличников, что уж говорить о подростках, которые больше склонны к гуманитарным дисциплинам? Поэтому помощь <strong>ГДЗ по алгебре 9 класс учебное пособие Бунимович, Кузнецова, Минаева (Просвещение)</strong> может оказаться незаменимой, особенно при текущих нагрузках. </p> <p> Больше всего трудностей возникает у ребят при изучении следующих тем: </p> <ol> <li>Общие свойства неравенств.</li> <li>Квадратичная функция и её график.</li> <li>Рациональные выражения.</li> <li>Числовые последовательности.</li> <li>Интервальный ряд. Гистограмма.</li> <li>Статистическое оценивание и прогноз.</li> </ol> <p> Уроки нередко проходят срезано, так как за 45 минут преподавателям нужно многое успеть. Они объясняют лишь часть темы, оставляя все остальное для самостоятельного разбора. Но много ли учеников проводит дома свободное время с учебником? Конечно, нет. В основном учащиеся наспех выполняют заданные номера и моментально забывают о них. Если же не получилось решить какую-то задачу, то всегда есть возможность списать у одноклассников. Занимаясь с решебником, девятиклассники справятся со всеми заданиями быстро и качественно, а главное, запомнят принципы выполнения упражнений. </p> <h2> Как работать с ГДЗ к учебнику Бунимовича? </h2> <p> Дети все разные, но, когда появляется возможность схалтурить, действуют они по одному сценарию. Но все же девятиклассники уже достаточно большие, чтобы понимать, к каким неприятным последствиям может привести постоянное списывание. Поэтому большинство школьников подходит к работе с <strong>решебником Бунимовича по алгебре за 9 класс</strong> ответственно и внимательно. </p> <p> Учителя-предметники, да и сами авторы пособия рекомендуют всегда придерживаться следующих правил: </p> <ol> <li>не забывать про освоение теоретического материала;</li> <li>выполнять домашние задания без подсказок со стороны;</li> <li>когда все сделано, можно приступать к сверке решений по ГДЗ;</li> <li>работа над ошибками - тоже немаловажный аспект.</li> </ol> <p> Подобный подход несомненно принесет пользу, а результаты станут заметны через пару занятий. Первая же контрольная принесет хорошие плоды, так как перед этим подростки подробно проработали все аспекты каждого параграфа. Происходит это ненавязчиво и не отнимает много времени, что придется по душе всем ребятам. </p> <h2> Чем именно полезен решебник? </h2> <p> Современная учебная программа в основном направлена на практику. Считается, что чем больше упражнений выполнят школьники, тем лучше они поймут новую тему. Но не всегда такой метод срабатывает. Все же понимание теории - немаловажная составляющая полноценных знаний по предмету. Но в условиях тотальных нагрузок преподавателям просто не остается достаточно времени для проработки всех нюансов. Так что у ребят остается один шанс не упустить ничего важного - это использовать <strong>гдз по алгебре 9 класс к учебнику Бунимович Е.А (2018-2023 гг.)</strong>. </p> <p> Для того чтобы упростить ученикам понимание параграфов, авторы издания разместили в нем: </p> <ul> <li>подробные решения ко всем номерам;</li> <li>верные ответы;</li> <li>готовые графики и заполненные таблицы;</li> <li>детальные наглядные примеры.</li> </ul> <p> Все, что нужно сделать подросткам - это правильно воспользоваться предоставленными сведениями. Расположение решебника и постоянный онлайн-доступ делают работу с ним простым делом, которое займет от силы несколько минут. Зато, идя на уроки, девятиклассники могут быть полностью уверены в своих знаниях. Им не понадобится помощь репетиторов или какая-то другая поддержка. Кроме того, появляется возможность в любой удобный момент повторить все ранее пройденное. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #original: array:50 [ "id" => 2789 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с диаграммой" "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "596" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/algebra_09/bunimovich-u18/" "field_isbn" => "978-5-09-051312-8" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/covers/cover1.webp?ts=1734127578" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/covers/cover1.webp?ts=1734127578" "alt" => "" "width" => "450" "height" => "630" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Основные сложности при изучении алгебры </h2> <p> Несмотря на годы, прошедшие с начала изучения математики, многим школьникам эта наука все еще кажется непонятной. Алгебраические выражения порой способны поставить в тупик и отличников, что уж говорить о подростках, которые больше склонны к гуманитарным дисциплинам? Поэтому помощь <strong>ГДЗ по алгебре 9 класс учебное пособие Бунимович, Кузнецова, Минаева (Просвещение)</strong> может оказаться незаменимой, особенно при текущих нагрузках. </p> <p> Больше всего трудностей возникает у ребят при изучении следующих тем: </p> <ol> <li>Общие свойства неравенств.</li> <li>Квадратичная функция и её график.</li> <li>Рациональные выражения.</li> <li>Числовые последовательности.</li> <li>Интервальный ряд. Гистограмма.</li> <li>Статистическое оценивание и прогноз.</li> </ol> <p> Уроки нередко проходят срезано, так как за 45 минут преподавателям нужно многое успеть. Они объясняют лишь часть темы, оставляя все остальное для самостоятельного разбора. Но много ли учеников проводит дома свободное время с учебником? Конечно, нет. В основном учащиеся наспех выполняют заданные номера и моментально забывают о них. Если же не получилось решить какую-то задачу, то всегда есть возможность списать у одноклассников. Занимаясь с решебником, девятиклассники справятся со всеми заданиями быстро и качественно, а главное, запомнят принципы выполнения упражнений. </p> <h2> Как работать с ГДЗ к учебнику Бунимовича? </h2> <p> Дети все разные, но, когда появляется возможность схалтурить, действуют они по одному сценарию. Но все же девятиклассники уже достаточно большие, чтобы понимать, к каким неприятным последствиям может привести постоянное списывание. Поэтому большинство школьников подходит к работе с <strong>решебником Бунимовича по алгебре за 9 класс</strong> ответственно и внимательно. </p> <p> Учителя-предметники, да и сами авторы пособия рекомендуют всегда придерживаться следующих правил: </p> <ol> <li>не забывать про освоение теоретического материала;</li> <li>выполнять домашние задания без подсказок со стороны;</li> <li>когда все сделано, можно приступать к сверке решений по ГДЗ;</li> <li>работа над ошибками - тоже немаловажный аспект.</li> </ol> <p> Подобный подход несомненно принесет пользу, а результаты станут заметны через пару занятий. Первая же контрольная принесет хорошие плоды, так как перед этим подростки подробно проработали все аспекты каждого параграфа. Происходит это ненавязчиво и не отнимает много времени, что придется по душе всем ребятам. </p> <h2> Чем именно полезен решебник? </h2> <p> Современная учебная программа в основном направлена на практику. Считается, что чем больше упражнений выполнят школьники, тем лучше они поймут новую тему. Но не всегда такой метод срабатывает. Все же понимание теории - немаловажная составляющая полноценных знаний по предмету. Но в условиях тотальных нагрузок преподавателям просто не остается достаточно времени для проработки всех нюансов. Так что у ребят остается один шанс не упустить ничего важного - это использовать <strong>гдз по алгебре 9 класс к учебнику Бунимович Е.А (2018-2023 гг.)</strong>. </p> <p> Для того чтобы упростить ученикам понимание параграфов, авторы издания разместили в нем: </p> <ul> <li>подробные решения ко всем номерам;</li> <li>верные ответы;</li> <li>готовые графики и заполненные таблицы;</li> <li>детальные наглядные примеры.</li> </ul> <p> Все, что нужно сделать подросткам - это правильно воспользоваться предоставленными сведениями. Расположение решебника и постоянный онлайн-доступ делают работу с ним простым делом, которое займет от силы несколько минут. Зато, идя на уроки, девятиклассники могут быть полностью уверены в своих знаниях. Им не понадобится помощь репетиторов или какая-то другая поддержка. Кроме того, появляется возможность в любой удобный момент повторить все ранее пройденное. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 198660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "45" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "45" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 198660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Квадратичная функция" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_page_start" => "45" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1127 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198661 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "2.1 Квадратичная функция и её график" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "46" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 198661 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "2.1 Квадратичная функция и её график" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} "field_page_start" => "46" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1105 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 210276 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 700 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1103 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 700 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>112</strong> Для каждой параболы (рис. 2.2) укажите: направление ветвей, уравнение оси симметрии, координаты вершины. Покажите на графике точку его пересечения с осью y и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.</p><p>Рис. 2.2</p><p><strong>(1)</strong></p><p>$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$</p><p><strong>(2)</strong></p><p>$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$</p><p><strong>(3)</strong></p><p>$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$</p><p><strong>(4)</strong></p><p>$y = -2x^2 + 8x - 6$</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-01/112-1.webp?ts=1734190153" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-01/112-2.webp?ts=1734190153" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 210276 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>112</strong> Для каждой параболы (рис. 2.2) укажите: направление ветвей, уравнение оси симметрии, координаты вершины. Покажите на графике точку его пересечения с осью y и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.</p><p>Рис. 2.2</p><p><strong>(1)</strong></p><p>$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$</p><p><strong>(2)</strong></p><p>$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$</p><p><strong>(3)</strong></p><p>$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$</p><p><strong>(4)</strong></p><p>$y = -2x^2 + 8x - 6$</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-01/112-1.webp?ts=1734190153" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-01/112-2.webp?ts=1734190153" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1099 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 211438 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 701 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1094 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 701 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/1-01/112-1.webp?ts=1734190226" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 211438 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => null "height" => null "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/1-01/112-1.webp?ts=1734190226" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1091 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1421370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5321 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1088 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5321 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "text" => "<h3>Парабола 1 (фиолетовая)</h3><p>Уравнение: $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>Абсцисса вершины параболы и уравнение ее оси симметрии находятся по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.</p><p>$x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = -4$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = -4$. Подставим это значение в уравнение параболы, чтобы найти ординату $y_v$.</p><p>$y_v = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) + 4 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.</p><p>Координаты вершины: $(-4, 0)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение параболы.</p><p>$y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$.</p><p>Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.</p><p>Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а ее абсцисса будет симметрична $x=0$ относительно оси симметрии $x=-4$. Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - 0 = -8$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(-8, 4)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем произвольную точку на параболе, например, при $x = -2$.</p><p>$y = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) + 4 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 4 = 1$.</p><p>Точка на параболе: $(-2, 1)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - (-2) = -8 + 2 = -6$.</p><p>Пара симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = -4$; координаты вершины $(-4, 0)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$, а симметричная ей точка — $(-8, 4)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.</p><hr> <h3>Парабола 2 (красная)</h3><p>Уравнение: $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>В данном уравнении $b=0$, поэтому ось симметрии $x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось $y$).</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:</p><p>$y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$.</p><p>Координаты вершины: $(0, 3)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = 3$. Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$.</p><p>Так как эта точка является вершиной и лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку при $x = 2$.</p><p>$y = \frac{1}{2}(2)^2 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$.</p><p>Точка на параболе: $(2, 5)$.</p><p>Так как ось симметрии $x=0$, абсцисса симметричной точки будет $x_s = -2$.</p><p>Пара симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = 0$; координаты вершины $(0, 3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 3)$ и симметрична сама себе; пример еще одной пары симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.</p><hr> <h3>Парабола 3 (оранжевая)</h3><p>Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = -6$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = -6$.</p><p>$y_v = -\frac{1}{3}(-6)^2 - 4(-6) - 15 = -\frac{1}{3}(36) + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3$.</p><p>Координаты вершины: $(-6, -3)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = -15$. Точка пересечения: $(0, -15)$.</p><p>Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - 0 = -12$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(-12, -15)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку при $x = -3$.</p><p>$y = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3) - 15 = -\frac{1}{3}(9) + 12 - 15 = -3 + 12 - 15 = -6$.</p><p>Точка на параболе: $(-3, -6)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - (-3) = -12 + 3 = -9$.</p><p>Пара симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = -6$; координаты вершины $(-6, -3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -15)$, а симметричная ей точка — $(-12, -15)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.</p><hr> <h3>Парабола 4 (зеленая)</h3><p>Уравнение: $y = -2x^2 + 8x - 6$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = 2$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = 2$.</p><p>$y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.</p><p>Координаты вершины: $(2, 2)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.</p><p>Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 0 = 4$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(4, -6)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку, где парабола пересекает ось $x$. Например, при $x = 1$.</p><p>$y = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0$.</p><p>Точка на параболе: $(1, 0)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.</p><p>Пара симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = 2$; координаты вершины $(2, 2)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -6)$, а симметричная ей точка — $(4, -6)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1421370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "task" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "text" => "<h3>Парабола 1 (фиолетовая)</h3><p>Уравнение: $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>Абсцисса вершины параболы и уравнение ее оси симметрии находятся по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.</p><p>$x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = -4$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = -4$. Подставим это значение в уравнение параболы, чтобы найти ординату $y_v$.</p><p>$y_v = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) + 4 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.</p><p>Координаты вершины: $(-4, 0)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение параболы.</p><p>$y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$.</p><p>Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.</p><p>Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а ее абсцисса будет симметрична $x=0$ относительно оси симметрии $x=-4$. Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - 0 = -8$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(-8, 4)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем произвольную точку на параболе, например, при $x = -2$.</p><p>$y = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) + 4 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 4 = 1$.</p><p>Точка на параболе: $(-2, 1)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - (-2) = -8 + 2 = -6$.</p><p>Пара симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = -4$; координаты вершины $(-4, 0)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$, а симметричная ей точка — $(-8, 4)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.</p><hr> <h3>Парабола 2 (красная)</h3><p>Уравнение: $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>В данном уравнении $b=0$, поэтому ось симметрии $x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось $y$).</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:</p><p>$y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$.</p><p>Координаты вершины: $(0, 3)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = 3$. Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$.</p><p>Так как эта точка является вершиной и лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку при $x = 2$.</p><p>$y = \frac{1}{2}(2)^2 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$.</p><p>Точка на параболе: $(2, 5)$.</p><p>Так как ось симметрии $x=0$, абсцисса симметричной точки будет $x_s = -2$.</p><p>Пара симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = 0$; координаты вершины $(0, 3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 3)$ и симметрична сама себе; пример еще одной пары симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.</p><hr> <h3>Парабола 3 (оранжевая)</h3><p>Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = -6$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = -6$.</p><p>$y_v = -\frac{1}{3}(-6)^2 - 4(-6) - 15 = -\frac{1}{3}(36) + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3$.</p><p>Координаты вершины: $(-6, -3)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = -15$. Точка пересечения: $(0, -15)$.</p><p>Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - 0 = -12$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(-12, -15)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку при $x = -3$.</p><p>$y = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3) - 15 = -\frac{1}{3}(9) + 12 - 15 = -3 + 12 - 15 = -6$.</p><p>Точка на параболе: $(-3, -6)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - (-3) = -12 + 3 = -9$.</p><p>Пара симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = -6$; координаты вершины $(-6, -3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -15)$, а симметричная ей точка — $(-12, -15)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.</p><hr> <h3>Парабола 4 (зеленая)</h3><p>Уравнение: $y = -2x^2 + 8x - 6$</p><ul><li> <strong>Направление ветвей:</strong><p>Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p></li> <li> <strong>Уравнение оси симметрии:</strong><p>$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.</p><p>Уравнение оси симметрии: $x = 2$.</p></li> <li> <strong>Координаты вершины:</strong><p>Абсцисса вершины $x_v = 2$.</p><p>$y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.</p><p>Координаты вершины: $(2, 2)$.</p></li> <li> <strong>Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:</strong><p>При $x = 0$, $y = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.</p><p>Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 0 = 4$.</p><p>Координаты симметричной точки: $(4, -6)$.</p></li> <li> <strong>Еще одна пара симметричных точек:</strong><p>Возьмем точку, где парабола пересекает ось $x$. Например, при $x = 1$.</p><p>$y = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0$.</p><p>Точка на параболе: $(1, 0)$.</p><p>Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.</p><p>Пара симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.</p></li></ul><p><strong>Ответ:</strong> Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = 2$; координаты вершины $(2, 2)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -6)$, а симметричная ей точка — $(4, -6)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198837" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1042 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 926396 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/page-50" "field_display_title" => "50" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "50" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1131 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1100500 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "50-1.jpg" "alt" => null "width" => "2218" "height" => 3121 "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-1/50-1.webp?ts=1744661413" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1100500 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "book_page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "50-1.jpg" "alt" => null "width" => "2218" "height" => 3121 "path" => "/media/algebra_09/bunimovich-u18/0-1/50-1.webp?ts=1744661413" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "926397" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "926395" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Task {#1216 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198838 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1105} 1 => App\Models\Element {#1099} 2 => App\Models\Element {#1091} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198837" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 198838 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221} "next" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198837" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1223 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198839 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-113" "field_display_title" => "113" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1239 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] …23 } 1 => App\Models\Element {#1241 …30} 2 => App\Models\Element {#1243 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "198840" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 198839 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-113" "field_display_title" => "113" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230} "next" => array:2 [ "refs" => "198840" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198838" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1229 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198840 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-114" "field_display_title" => "114" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1253 …30} 1 => App\Models\Element {#1255 …30} 2 => App\Models\Element {#1257 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "198841" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 198840 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-114" "field_display_title" => "114" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "next" => array:2 [ "refs" => "198841" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250} "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Task {#1234 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 198841 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-115" "field_display_title" => "115" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1251 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1267 …30} 1 => App\Models\Element {#1269 …30} 2 => App\Models\Element {#1271 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "198842" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198840" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 198841 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-115" "field_display_title" => "115" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1251} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "next" => array:2 [ "refs" => "198842" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198840" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264} "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 926396 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/page-50" "field_display_title" => "50" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "50" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "next" => array:2 [ "refs" => "926397" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "926395" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 198838 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "50" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/bunimovich-uchebnik/01-112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "next" => array:2 [ "refs" => "198839" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "198837" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "page" => array:2 [ "refs" => "926396" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№112 (с. 50)
Условие. №112 (с. 50)
скриншот условия
112 Для каждой параболы (рис. 2.2) укажите: направление ветвей, уравнение оси симметрии, координаты вершины. Покажите на графике точку его пересечения с осью y и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.
Рис. 2.2
(1)
$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$
(2)
$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$
(3)
$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$
(4)
$y = -2x^2 + 8x - 6$
Решение. №112 (с. 50)
Решение 2. №112 (с. 50)
Парабола 1 (фиолетовая)
Уравнение: $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$
- Направление ветвей:
Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Уравнение оси симметрии:
Абсцисса вершины параболы и уравнение ее оси симметрии находятся по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.
$x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.
Уравнение оси симметрии: $x = -4$.
- Координаты вершины:
Абсцисса вершины $x_v = -4$. Подставим это значение в уравнение параболы, чтобы найти ординату $y_v$.
$y_v = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) + 4 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Координаты вершины: $(-4, 0)$.
- Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:
Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение параболы.
$y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$.
Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.
Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а ее абсцисса будет симметрична $x=0$ относительно оси симметрии $x=-4$. Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - 0 = -8$.
Координаты симметричной точки: $(-8, 4)$.
- Еще одна пара симметричных точек:
Возьмем произвольную точку на параболе, например, при $x = -2$.
$y = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) + 4 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 4 = 1$.
Точка на параболе: $(-2, 1)$.
Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - (-2) = -8 + 2 = -6$.
Пара симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.
Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = -4$; координаты вершины $(-4, 0)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$, а симметричная ей точка — $(-8, 4)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.
Парабола 2 (красная)
Уравнение: $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$
- Направление ветвей:
Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Уравнение оси симметрии:
В данном уравнении $b=0$, поэтому ось симметрии $x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.
Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось $y$).
- Координаты вершины:
Абсцисса вершины $x_v = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:
$y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$.
Координаты вершины: $(0, 3)$.
- Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:
При $x = 0$, $y = 3$. Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$.
Так как эта точка является вершиной и лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.
- Еще одна пара симметричных точек:
Возьмем точку при $x = 2$.
$y = \frac{1}{2}(2)^2 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$.
Точка на параболе: $(2, 5)$.
Так как ось симметрии $x=0$, абсцисса симметричной точки будет $x_s = -2$.
Пара симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.
Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = 0$; координаты вершины $(0, 3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 3)$ и симметрична сама себе; пример еще одной пары симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.
Парабола 3 (оранжевая)
Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$
- Направление ветвей:
Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
- Уравнение оси симметрии:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$.
Уравнение оси симметрии: $x = -6$.
- Координаты вершины:
Абсцисса вершины $x_v = -6$.
$y_v = -\frac{1}{3}(-6)^2 - 4(-6) - 15 = -\frac{1}{3}(36) + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3$.
Координаты вершины: $(-6, -3)$.
- Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:
При $x = 0$, $y = -15$. Точка пересечения: $(0, -15)$.
Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - 0 = -12$.
Координаты симметричной точки: $(-12, -15)$.
- Еще одна пара симметричных точек:
Возьмем точку при $x = -3$.
$y = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3) - 15 = -\frac{1}{3}(9) + 12 - 15 = -3 + 12 - 15 = -6$.
Точка на параболе: $(-3, -6)$.
Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - (-3) = -12 + 3 = -9$.
Пара симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.
Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = -6$; координаты вершины $(-6, -3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -15)$, а симметричная ей точка — $(-12, -15)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.
Парабола 4 (зеленая)
Уравнение: $y = -2x^2 + 8x - 6$
- Направление ветвей:
Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
- Уравнение оси симметрии:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.
Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
- Координаты вершины:
Абсцисса вершины $x_v = 2$.
$y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.
Координаты вершины: $(2, 2)$.
- Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:
При $x = 0$, $y = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.
Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 0 = 4$.
Координаты симметричной точки: $(4, -6)$.
- Еще одна пара симметричных точек:
Возьмем точку, где парабола пересекает ось $x$. Например, при $x = 1$.
$y = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0$.
Точка на параболе: $(1, 0)$.
Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.
Пара симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = 2$; координаты вершины $(2, 2)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -6)$, а симметричная ей точка — $(4, -6)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 112 расположенного на странице 50 к учебнику серии сферы 1-11 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №112 (с. 50), авторов: Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), Суворова (Светлана Борисовна), учебного пособия издательства Просвещение.