gdz.top
Номер 3, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк
Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 2. Функции и графики. Параграф 3. Функции и их свойства. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 43.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171282 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/08-3" "field_display_title" => "3" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и графики" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5458 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "9" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "devjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5458 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "9" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "devjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1055 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5065 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Макарычев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5065 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Макарычев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5203 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Миндюк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Нора" "field_patronymic" => "Григорьевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5203 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Миндюк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Нора" "field_patronymic" => "Григорьевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5340 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Нешков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Константин" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5340 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Нешков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Константин" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1071 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1073 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 25 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (новый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => "красный" "field_end_year" => "2027" "field_start_year" => "2023" "field_translit" => "fgos" "field_type" => "новый" ] #original: array:10 [ "id" => 25 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (новый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => "красный" "field_end_year" => "2027" "field_start_year" => "2023" "field_translit" => "fgos" "field_type" => "новый" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1075 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1077 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6806 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Теляковский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "С" "field_patronymic" => "А" "field_surname_rp" => "Теляковского" ] #original: array:12 [ "id" => 6806 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Теляковский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "С" "field_patronymic" => "А" "field_surname_rp" => "Теляковского" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1082 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #original: array:6 [ "id" => 45 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "белый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "belyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1083 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "zelyonyy" ] #original: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "zelyonyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1084 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 48 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "фиолетовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "fioletovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 48 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "фиолетовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "fioletovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #original: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и графики" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1132 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и графики" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и графики" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1136 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171106 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и их свойства" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1137 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171106 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и их свойства" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140} "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1141 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Контрольные вопросы и задания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "43" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1151 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171106 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и их свойства" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 171106 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функции и их свойства" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_page_start" => "33" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Контрольные вопросы и задания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} "field_page_start" => "43" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1113 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 179412 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1111 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 660 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "text" => """ <p><span style="color:blue;">3</span>. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции:</p><figure><figure class="align-center">\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-08/3_0.webp?ts=1743897788" alt="Перечислить и проиллюстрировать рисунком свойства функции" loading="lazy" width="1052" height="367">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure> """ "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "3-1.jpg" "alt" => null "width" => "1583" "height" => 391 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-08/3-1.webp?ts=1734091186" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 179412 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104} "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "text" => """ <p><span style="color:blue;">3</span>. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции:</p><figure><figure class="align-center">\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-08/3_0.webp?ts=1743897788" alt="Перечислить и проиллюстрировать рисунком свойства функции" loading="lazy" width="1052" height="367">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure> """ "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "3-1.jpg" "alt" => null "width" => "1583" "height" => 391 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-08/3-1.webp?ts=1734091186" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1105 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1106 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 661 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Пелеванюк" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 661 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Пелеванюк" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "3-1.png" "alt" => null "width" => "2023" "height" => 1462 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-1.webp?ts=1734092724" ] 1 => array:5 [ "name" => "3-2.png" "alt" => null "width" => "2084" "height" => 3373 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-2.webp?ts=1734092724" ] 2 => array:5 [ "name" => "3-3.png" "alt" => null "width" => "1918" "height" => 2610 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-3.webp?ts=1734092724" ] 3 => array:5 [ "name" => "3-4.png" "alt" => null "width" => "1918" "height" => 2807 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-4.webp?ts=1734092724" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180574 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096} "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "3-1.png" "alt" => null "width" => "2023" "height" => 1462 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-1.webp?ts=1734092724" ] 1 => array:5 [ "name" => "3-2.png" "alt" => null "width" => "2084" "height" => 3373 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-2.webp?ts=1734092724" ] 2 => array:5 [ "name" => "3-3.png" "alt" => null "width" => "1918" "height" => 2610 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-3.webp?ts=1734092724" ] 3 => array:5 [ "name" => "3-4.png" "alt" => null "width" => "1918" "height" => 2807 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-08/3-4.webp?ts=1734092724" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1097 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1349940 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1098 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5118 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 8" "field_order" => "9" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "8-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5118 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 8" "field_order" => "9" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "8-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "text" => "<div> <h3><strong>а) $y = kx, k < 0$</strong></h3><p>Это линейная функция, называемая также прямой пропорциональностью. Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox — тупой.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = -x$ (здесь $k=-1$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 90 L 90 -90" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=kx$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>б) $y = kx + b, k > 0, b < 0$</strong></h3><p>Это линейная функция. Её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Поскольку свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = x - 2$ (здесь $k=1, b=-2$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -30 -80 L 80 80" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как $y(-x) = -kx+b \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $kx+b=0$, то есть $x = -b/k$. Так как $k>0, b<0$, то $-b/k > 0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-b/k; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -b/k)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=kx+b$ при $k>0, b<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>в) $y = \frac{k}{x}, k < 0$</strong></h3><p>Это функция обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = -\frac{1}{x}$ (здесь $k=-1$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 17.7 Q -40 40 -20 80 M 90 -17.7 Q 40 -40 20 -80" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Асимптоты:</b> горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) и вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy).</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения, имеет разрыв в точке $x=0$.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>г) $y = x^2$</strong></h3><p>Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -95 90.25 Q 0 -20 95 90.25" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=x^2$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>д) $y = x^3$</strong></h3><p>Это кубическая функция. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -45 -91 C -30 0, 30 0, 45 91" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют. Точка $(0;0)$ является точкой перегиба.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=x^3$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>е) $y = \sqrt{x}$</strong></h3><p>Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$. Её график — ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ параболе $y=x^2$ (при $x \ge 0$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M 0 0 Q 40 10 90 95" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=\sqrt{x}$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>ж) $y = |x|$</strong></h3><p>Это функция модуля (абсолютной величины). Её график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 90 L 0 0 L 90 90" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=|x|$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div>" ] #original: array:6 [ "id" => 1349940 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "task" => array:2 [ "refs" => "171282" "type" => "task" ] "text" => "<div> <h3><strong>а) $y = kx, k < 0$</strong></h3><p>Это линейная функция, называемая также прямой пропорциональностью. Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox — тупой.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = -x$ (здесь $k=-1$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 90 L 90 -90" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=kx$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>б) $y = kx + b, k > 0, b < 0$</strong></h3><p>Это линейная функция. Её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Поскольку свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = x - 2$ (здесь $k=1, b=-2$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -30 -80 L 80 80" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как $y(-x) = -kx+b \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $kx+b=0$, то есть $x = -b/k$. Так как $k>0, b<0$, то $-b/k > 0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-b/k; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -b/k)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=kx+b$ при $k>0, b<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>в) $y = \frac{k}{x}, k < 0$</strong></h3><p>Это функция обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.</p><p>Для иллюстрации построим график функции $y = -\frac{1}{x}$ (здесь $k=-1$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 17.7 Q -40 40 -20 80 M 90 -17.7 Q 40 -40 20 -80" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют.</li> <li><b>Асимптоты:</b> горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) и вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy).</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения, имеет разрыв в точке $x=0$.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>г) $y = x^2$</strong></h3><p>Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -95 90.25 Q 0 -20 95 90.25" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=x^2$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>д) $y = x^3$</strong></h3><p>Это кубическая функция. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -45 -91 C -30 0, 30 0, 45 91" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения.</li> <li><b>Экстремумы:</b> отсутствуют. Точка $(0;0)$ является точкой перегиба.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=x^3$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>е) $y = \sqrt{x}$</strong></h3><p>Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$. Её график — ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ параболе $y=x^2$ (при $x \ge 0$).</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M 0 0 Q 40 10 90 95" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция монотонно возрастает на всей области определения.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=\sqrt{x}$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div><hr><div> <h3><strong>ж) $y = |x|$</strong></h3><p>Это функция модуля (абсолютной величины). Её график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.</p><svg width="200" height="200" viewBox="-100 -100 200 200" style="border:1px solid #ccc; margin:10px;"> <line x1="-100" y1="0" x2="100" y2="0" stroke="black" stroke-width="1"></line> <line x1="0" y1="-100" x2="0" y2="100" stroke="black" stroke-width="1"></line> <path d="M 100 0 L 95 -3 L 95 3 Z" fill="black"></path> <path d="M 0 -100 L -3 -95 L 3 -95 Z" fill="black"></path> <text x="90" y="15" font-family="sans-serif" font-size="10">x</text> <text x="-15" y="-90" font-family="sans-serif" font-size="10">y</text> <text x="2" y="12" font-family="sans-serif" font-size="10">0</text> <path d="M -90 90 L 0 0 L 90 90" stroke="blue" stroke-width="2" fill="none"></path> </svg><p><b>Основные свойства функции:</b></p><ul><li><b>Область определения:</b> $D(y) = (-\infty; +\infty)$.</li> <li><b>Область значений:</b> $E(y) = [0; +\infty)$.</li> <li><b>Четность:</b> функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.</li> <li><b>Нули функции:</b> $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Промежутки знакопостоянства:</b> $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.</li> <li><b>Монотонность:</b> функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.</li> <li><b>Экстремумы:</b> в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.</li> <li><b>Непрерывность:</b> функция непрерывна на всей области определения.</li></ul><p><b>Ответ:</b> Свойства функции $y=|x|$ перечислены и проиллюстрированы выше.</p></div>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "171283" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171281" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1042 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1029781 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-43" "field_display_title" => "43" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "43" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1130 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1197959 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #original: array:6 [ "id" => 1197959 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1029782" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029780" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Task {#1244 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171278 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/116" "field_display_title" => "116" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 171278 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/116" "field_display_title" => "116" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1289 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171279 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/117" "field_display_title" => "117" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1343 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1333 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1334 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 171279 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/117" "field_display_title" => "117" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1343 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1333 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1334 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1293 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171280 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null …19 ] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1319 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1300 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1029781 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-43" "field_display_title" => "43" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "43" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} "next" => array:2 [ "refs" => "1029782" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029780" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171282 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "43" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/08-3" "field_display_title" => "3" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120} "next" => array:2 [ "refs" => "171283" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171281" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "page" => array:2 [ "refs" => "1029781" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№3 (с. 43)
Условие. №3 (с. 43)
скриншот условия
3. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции:
Решение 1. №3 (с. 43)
Решение 8. №3 (с. 43)
а) $y = kx, k < 0$
Это линейная функция, называемая также прямой пропорциональностью. Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox — тупой.
Для иллюстрации построим график функции $y = -x$ (здесь $k=-1$).
Основные свойства функции:
- Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- Монотонность: функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=kx$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.
б) $y = kx + b, k > 0, b < 0$
Это линейная функция. Её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Поскольку свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.
Для иллюстрации построим график функции $y = x - 2$ (здесь $k=1, b=-2$).
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как $y(-x) = -kx+b \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.
- Нули функции: $y=0$ при $kx+b=0$, то есть $x = -b/k$. Так как $k>0, b<0$, то $-b/k > 0$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-b/k; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -b/k)$.
- Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=kx+b$ при $k>0, b<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.
в) $y = \frac{k}{x}, k < 0$
Это функция обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
Для иллюстрации построим график функции $y = -\frac{1}{x}$ (здесь $k=-1$).
Основные свойства функции:
- Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нули функции: отсутствуют.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- Монотонность: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) и вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy).
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, имеет разрыв в точке $x=0$.
Ответ: Свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.
г) $y = x^2$
Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.
- Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=x^2$ перечислены и проиллюстрированы выше.
д) $y = x^3$
Это кубическая функция. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
- Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения.
- Экстремумы: отсутствуют. Точка $(0;0)$ является точкой перегиба.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=x^3$ перечислены и проиллюстрированы выше.
е) $y = \sqrt{x}$
Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$. Её график — ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ параболе $y=x^2$ (при $x \ge 0$).
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.
- Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения.
- Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$ перечислены и проиллюстрированы выше.
ж) $y = |x|$
Это функция модуля (абсолютной величины). Её график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.
Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.
- Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Свойства функции $y=|x|$ перечислены и проиллюстрированы выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 43 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 43), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.