gdz.top
Номер 667, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк
Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 667, страница 185.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171856 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/667" "field_display_title" => "667" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1078 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1083 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1120 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171148 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Геометрическая прогрессия" "field_branch_order" => "10" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1122 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "167" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1124 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1161 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171148 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Геометрическая прогрессия" "field_branch_order" => "10" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_page_start" => "167" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1202 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Дополнительные упражнения к главе 5" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "182" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1205 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1242 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Дополнительные упражнения к главе 5" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_page_start" => "182" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335 #items: array:8 [ 0 => App\Models\Element {#1349 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 179135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1358 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1350 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "text" => """ <p><strong>667</strong>. Является ли последовательность <em>(xₙ)</em> арифметической прогрессией, если сумма первых <em>n</em> её членов может быть найдена по формуле:</p><figure><figure>\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/667.webp?ts=1744068407" alt="Является ли последовательность (xn) арифметической прогрессией" loading="lazy" width="980" height="202">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure> """ "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1610" "height" => 330 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/667-1.webp?ts=1734090893" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 179135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1358} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "text" => """ <p><strong>667</strong>. Является ли последовательность <em>(xₙ)</em> арифметической прогрессией, если сумма первых <em>n</em> её членов может быть найдена по формуле:</p><figure><figure>\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/667.webp?ts=1744068407" alt="Является ли последовательность (xn) арифметической прогрессией" loading="lazy" width="980" height="202">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure> """ "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1610" "height" => 330 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/667-1.webp?ts=1734090893" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1356 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180111 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1366 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1357 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 675 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-1.webp?ts=1734092148" ] 1 => array:5 [ "name" => "667-2.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 2429 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-2.webp?ts=1734092148" ] 2 => array:5 [ "name" => "667-3.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-3.webp?ts=1734092148" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180111 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1366} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 675 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-1.webp?ts=1734092148" ] 1 => array:5 [ "name" => "667-2.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 2429 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-2.webp?ts=1734092148" ] 2 => array:5 [ "name" => "667-3.jpg" "alt" => null "width" => "1603" "height" => 1030 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/667-3.webp?ts=1734092148" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1364 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180836 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1374 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1365 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1970 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-1.webp?ts=1734091946" ] 1 => array:5 [ "name" => "667-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1980 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-2.webp?ts=1734091946" ] 2 => array:5 [ "name" => "667-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1980 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-3.webp?ts=1734091946" ] 3 => array:5 [ "name" => "667-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 2016 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-4.webp?ts=1734091946" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180836 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1374} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1970 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-1.webp?ts=1734091946" ] 1 => array:5 [ "name" => "667-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1980 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-2.webp?ts=1734091946" ] 2 => array:5 [ "name" => "667-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1980 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-3.webp?ts=1734091946" ] 3 => array:5 [ "name" => "667-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 2016 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/667-4.webp?ts=1734091946" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1372 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 181518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1382 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1373 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 1416 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/667-1.webp?ts=1734091858" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 181518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1382} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 1416 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/667-1.webp?ts=1734091858" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1380 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 182189 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1390 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1381 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "620" "height" => 2209 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/667-1.webp?ts=1734091996" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 182189 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1390} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "620" "height" => 2209 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/667-1.webp?ts=1734091996" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1388 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 183626 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1398 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1389 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "1348" "height" => 409 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/667-1.webp?ts=1734093045" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 183626 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1398} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.png" "alt" => null "width" => "1348" "height" => 409 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/667-1.webp?ts=1734093045" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Element {#1396 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 184105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1406 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1397 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1576" "height" => 693 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/667-1.webp?ts=1734093458" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 184105 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1406} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "667-1.jpg" "alt" => null "width" => "1576" "height" => 693 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/667-1.webp?ts=1734093458" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 7 => App\Models\Element {#1404 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1349463 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1414 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1405 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "text" => "<p>Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} - x_n = d$.</p><p>Зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $x_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$.</p><p>Воспользуемся этим методом для каждого случая.</p><p><strong>а)</strong> $S_n = -n^2 + 3n$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.</p><p>Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.</p><p>Можно также найти общую формулу для $n$-го члена. Для $n \ge 2$:<br>$x_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 3n) - (-(n-1)^2 + 3(n-1))$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3)$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 2n - 1 + 3n - 3)$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 5n - 4) = -n^2 + 3n + n^2 - 5n + 4 = 4 - 2n$.<br>Эта формула верна и для $n=1$, так как $x_1 = 4 - 2(1) = 2$.<br>Разность прогрессии: $d = x_{n+1} - x_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2$.<br>Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> да.</p><p><strong>б)</strong> $S_n = 2n^2 - 1$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 17$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.</p><p>Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p><p><strong>в)</strong> $S_n = n^2 + 2n - 8$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.</p><p>Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p><p><strong>г)</strong> $S_n = 6n + 5$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.</p><p>Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1349463 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1414} "task" => array:2 [ "refs" => "171856" "type" => "task" ] "text" => "<p>Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} - x_n = d$.</p><p>Зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $x_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$.</p><p>Воспользуемся этим методом для каждого случая.</p><p><strong>а)</strong> $S_n = -n^2 + 3n$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.</p><p>Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.</p><p>Можно также найти общую формулу для $n$-го члена. Для $n \ge 2$:<br>$x_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 3n) - (-(n-1)^2 + 3(n-1))$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3)$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 2n - 1 + 3n - 3)$<br>$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 5n - 4) = -n^2 + 3n + n^2 - 5n + 4 = 4 - 2n$.<br>Эта формула верна и для $n=1$, так как $x_1 = 4 - 2(1) = 2$.<br>Разность прогрессии: $d = x_{n+1} - x_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2$.<br>Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> да.</p><p><strong>б)</strong> $S_n = 2n^2 - 1$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 17$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.</p><p>Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p><p><strong>в)</strong> $S_n = n^2 + 2n - 8$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.</p><p>Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p><p><strong>г)</strong> $S_n = 6n + 5$</p><p>Найдем несколько первых членов последовательности.<br>Первый член: $x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.<br>Сумма первых двух членов: $S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.<br>Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.<br>Сумма первых трех членов: $S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.<br>Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.</p><p>Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \ldots$.<br>Проверим разность между соседними членами:<br>$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.<br>$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.</p><p>Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.<br><b>Ответ:</b> нет.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "171857" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171855" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1429 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1347 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1326 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1324 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1332 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1330 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1329 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1334 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1333 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1346 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1345 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1344 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1343 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1340 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1338 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1337 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1412 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1413 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1415 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1416 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1417 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1419 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1420 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1421 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1422 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1423 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1424 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1425 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1426 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #original: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1324} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1345} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1344} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1342} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1337} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1413} "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1416} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1420} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1421} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1422} "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1423} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1434 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1433 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1029923 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1435 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1436 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1347} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1447 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1446 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1029924" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029922" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1837 #items: array:9 [ 0 => App\Models\Task {#1853 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1866 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1863 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1888 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] …14 } 4 => App\Models\Task {#1880 …30} 5 => App\Models\Task {#1881 …30} 6 => App\Models\Task {#1871 …30} 7 => App\Models\Task {#1918 …30} 8 => App\Models\Task {#1960 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1029923 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1435} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1436} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1447} "next" => array:2 [ "refs" => "1029924" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029922" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1837} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171856 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/667" "field_display_title" => "667" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335} "next" => array:2 [ "refs" => "171857" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171855" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1429} "page" => array:2 [ "refs" => "1029923" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№667 (с. 185)
Условие. №667 (с. 185)
скриншот условия
667. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумма первых n её членов может быть найдена по формуле:
Решение 1. №667 (с. 185)
Решение 2. №667 (с. 185)
Решение 3. №667 (с. 185)
Решение 4. №667 (с. 185)
Решение 6. №667 (с. 185)
Решение 7. №667 (с. 185)
Решение 8. №667 (с. 185)
Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} - x_n = d$.
Зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $x_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$.
Воспользуемся этим методом для каждого случая.
а) $S_n = -n^2 + 3n$
Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.
Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.
$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.
Можно также найти общую формулу для $n$-го члена. Для $n \ge 2$:
$x_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 3n) - (-(n-1)^2 + 3(n-1))$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 2n - 1 + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 5n - 4) = -n^2 + 3n + n^2 - 5n + 4 = 4 - 2n$.
Эта формула верна и для $n=1$, так как $x_1 = 4 - 2(1) = 2$.
Разность прогрессии: $d = x_{n+1} - x_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2$.
Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.
б) $S_n = 2n^2 - 1$
Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 17$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.
Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.
Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
в) $S_n = n^2 + 2n - 8$
Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.
Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.
Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
г) $S_n = 6n + 5$
Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.
Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.
Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 667 расположенного на странице 185 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №667 (с. 185), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.