gdz.top
Номер 110, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2026
Цвет обложки: оранжевый, зелёный
ISBN: 978-5-09-104934-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 1. Решение треугольников. Параграф 3. Теорема синусов. Упражнения - номер 110, страница 25.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 656732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "25" "field_page_end" => "26" "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/110" "field_display_title" => "110" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 656503 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Решение треугольников" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "8" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1176" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_09/merzlyak/" "field_isbn" => "978-5-09-104934-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Как ГДЗ влияет на знания по геометрии? </h2> <p> Основной упор в девятом классе делается на подготовку к ОГЭ. Так как математика - основной предмет для сдачи экзаменов, то школьникам стоит сосредоточиться на освоении как алгебры, так и геометрии. Если первая наука изначально считается сложной, то со второй все не так однозначно. Многим ребятам нравится наблюдать, как непонятные с виду теоремы раскрываются посредством простых чертежей. Но все же встречаются трудные моменты, которые требуют более пристального внимания. Полноценно разобраться в дисциплине можно при помощи «<strong>ГДЗ по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир</strong>». </p> <p> Программа обучения девятиклассников достаточно сложна: <ol> <li>Тригонометрические функции угла от 0 до 180.</li> <li>Формулы для нахождения площади треугольника.</li> <li>Длина окружности.</li> <li>Координаты середины отрезка.</li> <li>Угловой коэффициент прямой.</li> <li>Скалярное произведение векторов, и т.д.</li> </ol> <p> В справочнике авторы четко и лаконично разъясняют текущий материал, используя для этого все доступные средства, от верных ответов до подробных рисунков. Даже не прагматичные гуманитарии без особого труда запомнят и поймут сведения из решебника. Заниматься с пособием можно как ежедневно, так и по мере появления каких-либо вопросов. На уроке легко упустить пояснения учителя, а учебник не дает полного представления об изучаемых параграфах, поэтому школьникам не раз в этом году пригодится данный сборник. </p> <h2> Польза от ГДЗ к учебнику Мерзляка </h2> <p> Учащиеся порой не настолько дальновидны, чтобы предполагать какой-либо подвох в простом на первый взгляд предмете. Привыкнув, что освоение ранее пройденного материала не вызывало никаких проблем, школьники теряются, когда сталкиваются с заковыристой темой. Некоторым ребятам бывает достаточно разъяснений учителя в классе, а кому-то нужно самостоятельно разобрать параграф, чтобы уяснить его суть. Но и тем, и другим не хочется терять много времени на выполнение домашних заданий. Поэтому прекрасным выходом станет использование <strong>подробных ответов по геометрии к учебнику Мерзляка А. Г. за 9 класс</strong>. </p> <p> Работа с пособием гарантирует ученикам: <ol> <li>быстрое и качественное исполнение всех поставленных задач;</li> <li>хорошие оценки и высокую успеваемость в целом;</li> <li>что им не придется обращаться к репетиторам;</li> <li>приобретение полноценных навыков.</li> </ol> <p> Осуществляя периодический самоконтроль и работу над ошибками, подростки смогут сдавать на проверку преподавателю идеально выполненные работы. Кроме того, повторение материала будет способствовать отличным результатам по контрольным, что тоже имеет большое значение в учебном процессе. При этом все манипуляции с решебником отнимут всего лишь несколько минут, что определенно порадует девятиклассников. </p> <h2> Как добиться пятерок по геометрии? </h2> <p> Важный фактор на девятом году обучения - это оценки. Так как многие подростки по окончании курса покинут школу, чтобы поступить в другие учебные заведения, то им необходимо иметь приличные отметки в аттестате. Естественно, на пустом месте они не появятся. Для этого необходимо демонстрировать хорошие знания. Получить их можно, если применять <strong>гдз по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк (Вентана-Граф)</strong>. </p> <p> Справиться с текущей программой при помощи издания легко, если придерживаться следующих правил: <ul> <li>запоминать теоретические правила;</li> <li>без подсказок делать д/з, а не просто списывать готовые решения;</li> <li>внимательно сверять свои результаты с теми, что есть в пособии;</li> <li>находить причину появления недочетов.</li> </ul> <p> Действуя таким образом можно быстро добиться превосходных результатов в учебе. Кроме того, с решебником любая проблемная тема кажется предельно ясной и простой, что снижает уровень тревожности у ребят и помогает им обрести веру в свои силы. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "8" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1176" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_09/merzlyak/" "field_isbn" => "978-5-09-104934-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Как ГДЗ влияет на знания по геометрии? </h2> <p> Основной упор в девятом классе делается на подготовку к ОГЭ. Так как математика - основной предмет для сдачи экзаменов, то школьникам стоит сосредоточиться на освоении как алгебры, так и геометрии. Если первая наука изначально считается сложной, то со второй все не так однозначно. Многим ребятам нравится наблюдать, как непонятные с виду теоремы раскрываются посредством простых чертежей. Но все же встречаются трудные моменты, которые требуют более пристального внимания. Полноценно разобраться в дисциплине можно при помощи «<strong>ГДЗ по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир</strong>». </p> <p> Программа обучения девятиклассников достаточно сложна: <ol> <li>Тригонометрические функции угла от 0 до 180.</li> <li>Формулы для нахождения площади треугольника.</li> <li>Длина окружности.</li> <li>Координаты середины отрезка.</li> <li>Угловой коэффициент прямой.</li> <li>Скалярное произведение векторов, и т.д.</li> </ol> <p> В справочнике авторы четко и лаконично разъясняют текущий материал, используя для этого все доступные средства, от верных ответов до подробных рисунков. Даже не прагматичные гуманитарии без особого труда запомнят и поймут сведения из решебника. Заниматься с пособием можно как ежедневно, так и по мере появления каких-либо вопросов. На уроке легко упустить пояснения учителя, а учебник не дает полного представления об изучаемых параграфах, поэтому школьникам не раз в этом году пригодится данный сборник. </p> <h2> Польза от ГДЗ к учебнику Мерзляка </h2> <p> Учащиеся порой не настолько дальновидны, чтобы предполагать какой-либо подвох в простом на первый взгляд предмете. Привыкнув, что освоение ранее пройденного материала не вызывало никаких проблем, школьники теряются, когда сталкиваются с заковыристой темой. Некоторым ребятам бывает достаточно разъяснений учителя в классе, а кому-то нужно самостоятельно разобрать параграф, чтобы уяснить его суть. Но и тем, и другим не хочется терять много времени на выполнение домашних заданий. Поэтому прекрасным выходом станет использование <strong>подробных ответов по геометрии к учебнику Мерзляка А. Г. за 9 класс</strong>. </p> <p> Работа с пособием гарантирует ученикам: <ol> <li>быстрое и качественное исполнение всех поставленных задач;</li> <li>хорошие оценки и высокую успеваемость в целом;</li> <li>что им не придется обращаться к репетиторам;</li> <li>приобретение полноценных навыков.</li> </ol> <p> Осуществляя периодический самоконтроль и работу над ошибками, подростки смогут сдавать на проверку преподавателю идеально выполненные работы. Кроме того, повторение материала будет способствовать отличным результатам по контрольным, что тоже имеет большое значение в учебном процессе. При этом все манипуляции с решебником отнимут всего лишь несколько минут, что определенно порадует девятиклассников. </p> <h2> Как добиться пятерок по геометрии? </h2> <p> Важный фактор на девятом году обучения - это оценки. Так как многие подростки по окончании курса покинут школу, чтобы поступить в другие учебные заведения, то им необходимо иметь приличные отметки в аттестате. Естественно, на пустом месте они не появятся. Для этого необходимо демонстрировать хорошие знания. Получить их можно, если применять <strong>гдз по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк (Вентана-Граф)</strong>. </p> <p> Справиться с текущей программой при помощи издания легко, если придерживаться следующих правил: <ul> <li>запоминать теоретические правила;</li> <li>без подсказок делать д/з, а не просто списывать готовые решения;</li> <li>внимательно сверять свои результаты с теми, что есть в пособии;</li> <li>находить причину появления недочетов.</li> </ul> <p> Действуя таким образом можно быстро добиться превосходных результатов в учебе. Кроме того, с решебником любая проблемная тема кажется предельно ясной и простой, что снижает уровень тревожности у ребят и помогает им обрести веру в свои силы. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 656503 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Решение треугольников" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1069 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 656503 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Решение треугольников" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1071 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1073 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" …48 ] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 656503 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Решение треугольников" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_page_start" => "4" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1108 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 656510 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Теорема синусов" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1110 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "19" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1112 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1147 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 656510 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Теорема синусов" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_page_start" => "19" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1186 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 656512 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "22" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1189 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1224 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 656512 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "field_page_start" => "22" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1268 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1269 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 811485 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1271 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>110.</strong> Дороги, соединяющие сёла A, B и C (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села A в село C заасфальтирована, а дороги из села A в село B и из села B в село C — грунтовые. Дороги, ведущие из села A в сёла B и C, образуют угол $15^{\circ}$, а дороги, ведущие из села B в сёла A и C, — угол $5^{\circ}$. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села A в село B?</p><p>Рис. 22</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "603" "height" => 271 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/0-00/110-1.webp?ts=1738828084" ] 1 => array:5 [ "name" => "110-2.png" "alt" => null "width" => "603" "height" => 167 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/0-00/110-2.webp?ts=1738828084" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 811485 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1270} "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>110.</strong> Дороги, соединяющие сёла A, B и C (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села A в село C заасфальтирована, а дороги из села A в село B и из села B в село C — грунтовые. Дороги, ведущие из села A в сёла B и C, образуют угол $15^{\circ}$, а дороги, ведущие из села B в сёла A и C, — угол $5^{\circ}$. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села A в село B?</p><p>Рис. 22</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "603" "height" => 271 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/0-00/110-1.webp?ts=1738828084" ] 1 => array:5 [ "name" => "110-2.png" "alt" => null "width" => "603" "height" => 167 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/0-00/110-2.webp?ts=1738828084" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1277 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 811837 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1279 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2594 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/1-00/110-1.webp?ts=1738828281" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 811837 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278} "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2594 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/1-00/110-1.webp?ts=1738828281" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1285 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 811476 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1286 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1287 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.jpg" "alt" => null "width" => "302" "height" => 504 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/2-00/110-1.webp?ts=1738827837" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 811476 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1286} "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.jpg" "alt" => null "width" => "302" "height" => 504 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/2-00/110-1.webp?ts=1738827837" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1293 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 812379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1294 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1295 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "1400" "height" => 2048 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/4-00/110-1.webp?ts=1738828406" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 812379 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1294} "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "110-1.png" "alt" => null "width" => "1400" "height" => 2048 "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/4-00/110-1.webp?ts=1738828406" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1301 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1442255 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1302 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1303 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для того чтобы определить, какой маршрут быстрее, необходимо сравнить время в пути для каждого из возможных вариантов.</p><p>Обозначим сёла буквами A, B, C. Согласно условию, они образуют треугольник ABC. Возможны два маршрута из села А в село В:</p><ol><li>Прямой маршрут по грунтовой дороге A → B.</li> <li>Маршрут через село С: по асфальтированной дороге A → C, а затем по грунтовой дороге C → B.</li></ol><p>Пусть $v$ — скорость движения автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость движения по асфальтированной дороге равна $2v$.</p><p>Длины дорог обозначим как $AB$, $BC$ и $AC$. Они являются сторонами треугольника ABC.</p><p><strong>Рассчитаем время в пути для каждого маршрута:</strong></p><p>1. Время $t_1$ для прямого маршрута A → B:</p><p>$$ t_1 = \frac{AB}{v} $$</p><p>2. Время $t_2$ для маршрута A → C → B складывается из времени движения по участкам AC и CB:</p><p>$$ t_{AC} = \frac{AC}{2v} $$</p><p>$$ t_{CB} = \frac{BC}{v} $$</p><p>$$ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{AC + 2BC}{2v} $$</p><p><strong>Сравним время $t_1$ и $t_2$:</strong></p><p>Чтобы сравнить $t_1 = \frac{AB}{v}$ и $t_2 = \frac{AC + 2BC}{2v}$, мы можем сравнить выражения $2v \cdot t_1$ и $2v \cdot t_2$, так как $2v > 0$. Сравниваем $2AB$ и $AC + 2BC$.</p><p>Для нахождения соотношения между сторонами треугольника ABC используем его углы и теорему синусов.</p><p>Из условия задачи известны углы:</p><ul><li>Угол между дорогами из А в В и из А в С: $\angle BAC = 15^\circ$.</li> <li>Угол между дорогами из В в А и из В в С: $\angle ABC = 5^\circ$.</li></ul><p>Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол:</p><p>$$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 15^\circ - 5^\circ = 160^\circ $$</p><p>По теореме синусов для треугольника ABC:</p><p>$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} $$</p><p>$$ \frac{AC}{\sin 5^\circ} = \frac{BC}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Выразим длины сторон $AC$ и $BC$ через $AB$:</p><p>$$ AC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>$$ BC = AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Подставим эти выражения в $AC + 2BC$:</p><p>$$ AC + 2BC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} + 2 \cdot AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Теперь сравним $2AB$ и $AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$. Разделив обе части на $AB$ (так как $AB > 0$), сравним $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$.</p><p>Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:</p><p>$$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $$</p><p>Сравнение сводится к сравнению $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ}$, или, что то же самое, сравнению $2\sin 20^\circ$ и $\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ$.</p><p>Рассмотрим разность $2\sin 20^\circ - (\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ)$:</p><p>$$ 2\sin 20^\circ - 2\sin 15^\circ - \sin 5^\circ = 2(\sin 20^\circ - \sin 15^\circ) - \sin 5^\circ $$</p><p>Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:</p><p>$$ \sin 20^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos\left(\frac{20^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-15^\circ}{2}\right) = 2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) $$</p><p>Тогда разность равна:</p><p>$$ 2(2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ)) - \sin 5^\circ = 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - \sin(2 \cdot 2.5^\circ) $$</p><p>Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:</p><p>$$ 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - 2\sin(2.5^\circ)\cos(2.5^\circ) = 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) $$</p><p>Оценим знак этого выражения. Множитель $2\sin(2.5^\circ) > 0$, так как угол $2.5^\circ$ находится в первой четверти. Рассмотрим знак второго множителя $(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ))$. Функция косинуса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, поэтому $\cos(17.5^\circ) < \cos(2.5^\circ)$. Однако $2\cos(17.5^\circ) > 2\cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. А $\cos(2.5^\circ) < \cos(0^\circ) = 1$. Поскольку $1.732 > 1$, то $2\cos(17.5^\circ) > \cos(2.5^\circ)$, и следовательно, $2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ) > 0$.</p><p>Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно:</p><p>$$ 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) > 0 $$</p><p>Это означает, что:</p><p>$$ 2\sin 20^\circ > \sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ $$</p><p>Умножая обе части на положительное число $\frac{1}{\sin 20^\circ}$, получаем:</p><p>$$ 2 > \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ} $$</p><p>Возвращаясь к сравнению длин, это значит:</p><p>$$ 2AB > AC + 2BC $$</p><p>Теперь вернемся к сравнению времени:</p><p>$$ 2v \cdot t_1 > 2v \cdot t_2 \implies t_1 > t_2 $$</p><p>Время в пути по прямому маршруту A → B ($t_1$) больше, чем время в пути по маршруту A → C → B ($t_2$). Следовательно, чтобы добраться из села А в село В как можно скорее, водителю следует выбрать маршрут через село С.</p><p><strong>Ответ:</strong> Водителю надо выбрать маршрут из села А в село В через село С (А → C → B).</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1442255 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1302} "task" => array:2 [ "refs" => "656732" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для того чтобы определить, какой маршрут быстрее, необходимо сравнить время в пути для каждого из возможных вариантов.</p><p>Обозначим сёла буквами A, B, C. Согласно условию, они образуют треугольник ABC. Возможны два маршрута из села А в село В:</p><ol><li>Прямой маршрут по грунтовой дороге A → B.</li> <li>Маршрут через село С: по асфальтированной дороге A → C, а затем по грунтовой дороге C → B.</li></ol><p>Пусть $v$ — скорость движения автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость движения по асфальтированной дороге равна $2v$.</p><p>Длины дорог обозначим как $AB$, $BC$ и $AC$. Они являются сторонами треугольника ABC.</p><p><strong>Рассчитаем время в пути для каждого маршрута:</strong></p><p>1. Время $t_1$ для прямого маршрута A → B:</p><p>$$ t_1 = \frac{AB}{v} $$</p><p>2. Время $t_2$ для маршрута A → C → B складывается из времени движения по участкам AC и CB:</p><p>$$ t_{AC} = \frac{AC}{2v} $$</p><p>$$ t_{CB} = \frac{BC}{v} $$</p><p>$$ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{AC + 2BC}{2v} $$</p><p><strong>Сравним время $t_1$ и $t_2$:</strong></p><p>Чтобы сравнить $t_1 = \frac{AB}{v}$ и $t_2 = \frac{AC + 2BC}{2v}$, мы можем сравнить выражения $2v \cdot t_1$ и $2v \cdot t_2$, так как $2v > 0$. Сравниваем $2AB$ и $AC + 2BC$.</p><p>Для нахождения соотношения между сторонами треугольника ABC используем его углы и теорему синусов.</p><p>Из условия задачи известны углы:</p><ul><li>Угол между дорогами из А в В и из А в С: $\angle BAC = 15^\circ$.</li> <li>Угол между дорогами из В в А и из В в С: $\angle ABC = 5^\circ$.</li></ul><p>Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол:</p><p>$$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 15^\circ - 5^\circ = 160^\circ $$</p><p>По теореме синусов для треугольника ABC:</p><p>$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} $$</p><p>$$ \frac{AC}{\sin 5^\circ} = \frac{BC}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Выразим длины сторон $AC$ и $BC$ через $AB$:</p><p>$$ AC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>$$ BC = AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Подставим эти выражения в $AC + 2BC$:</p><p>$$ AC + 2BC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} + 2 \cdot AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$</p><p>Теперь сравним $2AB$ и $AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$. Разделив обе части на $AB$ (так как $AB > 0$), сравним $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$.</p><p>Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:</p><p>$$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $$</p><p>Сравнение сводится к сравнению $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ}$, или, что то же самое, сравнению $2\sin 20^\circ$ и $\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ$.</p><p>Рассмотрим разность $2\sin 20^\circ - (\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ)$:</p><p>$$ 2\sin 20^\circ - 2\sin 15^\circ - \sin 5^\circ = 2(\sin 20^\circ - \sin 15^\circ) - \sin 5^\circ $$</p><p>Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:</p><p>$$ \sin 20^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos\left(\frac{20^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-15^\circ}{2}\right) = 2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) $$</p><p>Тогда разность равна:</p><p>$$ 2(2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ)) - \sin 5^\circ = 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - \sin(2 \cdot 2.5^\circ) $$</p><p>Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:</p><p>$$ 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - 2\sin(2.5^\circ)\cos(2.5^\circ) = 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) $$</p><p>Оценим знак этого выражения. Множитель $2\sin(2.5^\circ) > 0$, так как угол $2.5^\circ$ находится в первой четверти. Рассмотрим знак второго множителя $(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ))$. Функция косинуса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, поэтому $\cos(17.5^\circ) < \cos(2.5^\circ)$. Однако $2\cos(17.5^\circ) > 2\cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. А $\cos(2.5^\circ) < \cos(0^\circ) = 1$. Поскольку $1.732 > 1$, то $2\cos(17.5^\circ) > \cos(2.5^\circ)$, и следовательно, $2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ) > 0$.</p><p>Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно:</p><p>$$ 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) > 0 $$</p><p>Это означает, что:</p><p>$$ 2\sin 20^\circ > \sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ $$</p><p>Умножая обе части на положительное число $\frac{1}{\sin 20^\circ}$, получаем:</p><p>$$ 2 > \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ} $$</p><p>Возвращаясь к сравнению длин, это значит:</p><p>$$ 2AB > AC + 2BC $$</p><p>Теперь вернемся к сравнению времени:</p><p>$$ 2v \cdot t_1 > 2v \cdot t_2 \implies t_1 > t_2 $$</p><p>Время в пути по прямому маршруту A → B ($t_1$) больше, чем время в пути по маршруту A → C → B ($t_2$). Следовательно, чтобы добраться из села А в село В как можно скорее, водителю следует выбрать маршрут через село С.</p><p><strong>Ответ:</strong> Водителю надо выбрать маршрут из села А в село В через село С (А → C → B).</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "656733" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "656731" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1310 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1312 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1314 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1316 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1317 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1318 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1319 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1320 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1321 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1322 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1323 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1324 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1326 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1328 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1330 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1332 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1333 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "8" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1334 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1335 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1337 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1176" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_09/merzlyak/" "field_isbn" => "978-5-09-104934-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_09/merzlyak/covers/cover1.webp?ts=1738153484" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/covers/cover1.webp?ts=1738153484" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1338 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1340 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1342 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1343 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Как ГДЗ влияет на знания по геометрии? </h2> <p> Основной упор в девятом классе делается на подготовку к ОГЭ. Так как математика - основной предмет для сдачи экзаменов, то школьникам стоит сосредоточиться на освоении как алгебры, так и геометрии. Если первая наука изначально считается сложной, то со второй все не так однозначно. Многим ребятам нравится наблюдать, как непонятные с виду теоремы раскрываются посредством простых чертежей. Но все же встречаются трудные моменты, которые требуют более пристального внимания. Полноценно разобраться в дисциплине можно при помощи «<strong>ГДЗ по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир</strong>». </p> <p> Программа обучения девятиклассников достаточно сложна: <ol> <li>Тригонометрические функции угла от 0 до 180.</li> <li>Формулы для нахождения площади треугольника.</li> <li>Длина окружности.</li> <li>Координаты середины отрезка.</li> <li>Угловой коэффициент прямой.</li> <li>Скалярное произведение векторов, и т.д.</li> </ol> <p> В справочнике авторы четко и лаконично разъясняют текущий материал, используя для этого все доступные средства, от верных ответов до подробных рисунков. Даже не прагматичные гуманитарии без особого труда запомнят и поймут сведения из решебника. Заниматься с пособием можно как ежедневно, так и по мере появления каких-либо вопросов. На уроке легко упустить пояснения учителя, а учебник не дает полного представления об изучаемых параграфах, поэтому школьникам не раз в этом году пригодится данный сборник. </p> <h2> Польза от ГДЗ к учебнику Мерзляка </h2> <p> Учащиеся порой не настолько дальновидны, чтобы предполагать какой-либо подвох в простом на первый взгляд предмете. Привыкнув, что освоение ранее пройденного материала не вызывало никаких проблем, школьники теряются, когда сталкиваются с заковыристой темой. Некоторым ребятам бывает достаточно разъяснений учителя в классе, а кому-то нужно самостоятельно разобрать параграф, чтобы уяснить его суть. Но и тем, и другим не хочется терять много времени на выполнение домашних заданий. Поэтому прекрасным выходом станет использование <strong>подробных ответов по геометрии к учебнику Мерзляка А. Г. за 9 класс</strong>. </p> <p> Работа с пособием гарантирует ученикам: <ol> <li>быстрое и качественное исполнение всех поставленных задач;</li> <li>хорошие оценки и высокую успеваемость в целом;</li> <li>что им не придется обращаться к репетиторам;</li> <li>приобретение полноценных навыков.</li> </ol> <p> Осуществляя периодический самоконтроль и работу над ошибками, подростки смогут сдавать на проверку преподавателю идеально выполненные работы. Кроме того, повторение материала будет способствовать отличным результатам по контрольным, что тоже имеет большое значение в учебном процессе. При этом все манипуляции с решебником отнимут всего лишь несколько минут, что определенно порадует девятиклассников. </p> <h2> Как добиться пятерок по геометрии? </h2> <p> Важный фактор на девятом году обучения - это оценки. Так как многие подростки по окончании курса покинут школу, чтобы поступить в другие учебные заведения, то им необходимо иметь приличные отметки в аттестате. Естественно, на пустом месте они не появятся. Для этого необходимо демонстрировать хорошие знания. Получить их можно, если применять <strong>гдз по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк (Вентана-Граф)</strong>. </p> <p> Справиться с текущей программой при помощи издания легко, если придерживаться следующих правил: <ul> <li>запоминать теоретические правила;</li> <li>без подсказок делать д/з, а не просто списывать готовые решения;</li> <li>внимательно сверять свои результаты с теми, что есть в пособии;</li> <li>находить причину появления недочетов.</li> </ul> <p> Действуя таким образом можно быстро добиться превосходных результатов в учебе. Кроме того, с решебником любая проблемная тема кажется предельно ясной и простой, что снижает уровень тревожности у ребят и помогает им обрести веру в свои силы. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 543 "class_subject" => 391 ] ] #original: array:50 [ "id" => 905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1313} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1318} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1322} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1323} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1330} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1332} "field_publication_number" => "8" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1334} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1336} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1176" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_09/merzlyak/" "field_isbn" => "978-5-09-104934-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_09/merzlyak/covers/cover1.webp?ts=1738153484" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_09/merzlyak/covers/cover1.webp?ts=1738153484" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1338} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1340} "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Как ГДЗ влияет на знания по геометрии? </h2> <p> Основной упор в девятом классе делается на подготовку к ОГЭ. Так как математика - основной предмет для сдачи экзаменов, то школьникам стоит сосредоточиться на освоении как алгебры, так и геометрии. Если первая наука изначально считается сложной, то со второй все не так однозначно. Многим ребятам нравится наблюдать, как непонятные с виду теоремы раскрываются посредством простых чертежей. Но все же встречаются трудные моменты, которые требуют более пристального внимания. Полноценно разобраться в дисциплине можно при помощи «<strong>ГДЗ по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир</strong>». </p> <p> Программа обучения девятиклассников достаточно сложна: <ol> <li>Тригонометрические функции угла от 0 до 180.</li> <li>Формулы для нахождения площади треугольника.</li> <li>Длина окружности.</li> <li>Координаты середины отрезка.</li> <li>Угловой коэффициент прямой.</li> <li>Скалярное произведение векторов, и т.д.</li> </ol> <p> В справочнике авторы четко и лаконично разъясняют текущий материал, используя для этого все доступные средства, от верных ответов до подробных рисунков. Даже не прагматичные гуманитарии без особого труда запомнят и поймут сведения из решебника. Заниматься с пособием можно как ежедневно, так и по мере появления каких-либо вопросов. На уроке легко упустить пояснения учителя, а учебник не дает полного представления об изучаемых параграфах, поэтому школьникам не раз в этом году пригодится данный сборник. </p> <h2> Польза от ГДЗ к учебнику Мерзляка </h2> <p> Учащиеся порой не настолько дальновидны, чтобы предполагать какой-либо подвох в простом на первый взгляд предмете. Привыкнув, что освоение ранее пройденного материала не вызывало никаких проблем, школьники теряются, когда сталкиваются с заковыристой темой. Некоторым ребятам бывает достаточно разъяснений учителя в классе, а кому-то нужно самостоятельно разобрать параграф, чтобы уяснить его суть. Но и тем, и другим не хочется терять много времени на выполнение домашних заданий. Поэтому прекрасным выходом станет использование <strong>подробных ответов по геометрии к учебнику Мерзляка А. Г. за 9 класс</strong>. </p> <p> Работа с пособием гарантирует ученикам: <ol> <li>быстрое и качественное исполнение всех поставленных задач;</li> <li>хорошие оценки и высокую успеваемость в целом;</li> <li>что им не придется обращаться к репетиторам;</li> <li>приобретение полноценных навыков.</li> </ol> <p> Осуществляя периодический самоконтроль и работу над ошибками, подростки смогут сдавать на проверку преподавателю идеально выполненные работы. Кроме того, повторение материала будет способствовать отличным результатам по контрольным, что тоже имеет большое значение в учебном процессе. При этом все манипуляции с решебником отнимут всего лишь несколько минут, что определенно порадует девятиклассников. </p> <h2> Как добиться пятерок по геометрии? </h2> <p> Важный фактор на девятом году обучения - это оценки. Так как многие подростки по окончании курса покинут школу, чтобы поступить в другие учебные заведения, то им необходимо иметь приличные отметки в аттестате. Естественно, на пустом месте они не появятся. Для этого необходимо демонстрировать хорошие знания. Получить их можно, если применять <strong>гдз по Геометрии 9 класс Учебник Мерзляк (Вентана-Граф)</strong>. </p> <p> Справиться с текущей программой при помощи издания легко, если придерживаться следующих правил: <ul> <li>запоминать теоретические правила;</li> <li>без подсказок делать д/з, а не просто списывать готовые решения;</li> <li>внимательно сверять свои результаты с теми, что есть в пособии;</li> <li>находить причину появления недочетов.</li> </ul> <p> Действуя таким образом можно быстро добиться превосходных результатов в учебе. Кроме того, с решебником любая проблемная тема кажется предельно ясной и простой, что снижает уровень тревожности у ребят и помогает им обрести веру в свои силы. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 543 "class_subject" => 391 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1668 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1349 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 951495 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "25" "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-25" "field_display_title" => "25" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "25" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1351 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1350 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1352 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1386 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1387 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1388 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "951496" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "951494" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1396 #items: array:11 [ 0 => App\Models\Task {#1397 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1496 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1513 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1530 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1547 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1564 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1581 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1598 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1615 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1632 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1649 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 951495 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "25" "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-25" "field_display_title" => "25" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "25" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1351} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1350} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1386} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1387} "next" => array:2 [ "refs" => "951496" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "951494" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1396} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 656732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "25" "field_page_end" => "26" "field_url" => "/9-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/110" "field_display_title" => "110" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1268} "next" => array:2 [ "refs" => "656733" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "656731" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309} "page" => array:2 [ "refs" => "951495" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№110 (с. 25)
Условие. №110 (с. 25)
скриншот условия
110. Дороги, соединяющие сёла A, B и C (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села A в село C заасфальтирована, а дороги из села A в село B и из села B в село C — грунтовые. Дороги, ведущие из села A в сёла B и C, образуют угол $15^{\circ}$, а дороги, ведущие из села B в сёла A и C, — угол $5^{\circ}$. Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села A в село B?
Рис. 22
Решение 1. №110 (с. 25)
Решение 2. №110 (с. 25)
Решение 4. №110 (с. 25)
Решение 6. №110 (с. 25)
Для того чтобы определить, какой маршрут быстрее, необходимо сравнить время в пути для каждого из возможных вариантов.
Обозначим сёла буквами A, B, C. Согласно условию, они образуют треугольник ABC. Возможны два маршрута из села А в село В:
- Прямой маршрут по грунтовой дороге A → B.
- Маршрут через село С: по асфальтированной дороге A → C, а затем по грунтовой дороге C → B.
Пусть $v$ — скорость движения автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость движения по асфальтированной дороге равна $2v$.
Длины дорог обозначим как $AB$, $BC$ и $AC$. Они являются сторонами треугольника ABC.
Рассчитаем время в пути для каждого маршрута:
1. Время $t_1$ для прямого маршрута A → B:
$$ t_1 = \frac{AB}{v} $$
2. Время $t_2$ для маршрута A → C → B складывается из времени движения по участкам AC и CB:
$$ t_{AC} = \frac{AC}{2v} $$
$$ t_{CB} = \frac{BC}{v} $$
$$ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{AC + 2BC}{2v} $$
Сравним время $t_1$ и $t_2$:
Чтобы сравнить $t_1 = \frac{AB}{v}$ и $t_2 = \frac{AC + 2BC}{2v}$, мы можем сравнить выражения $2v \cdot t_1$ и $2v \cdot t_2$, так как $2v > 0$. Сравниваем $2AB$ и $AC + 2BC$.
Для нахождения соотношения между сторонами треугольника ABC используем его углы и теорему синусов.
Из условия задачи известны углы:
- Угол между дорогами из А в В и из А в С: $\angle BAC = 15^\circ$.
- Угол между дорогами из В в А и из В в С: $\angle ABC = 5^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол:
$$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 15^\circ - 5^\circ = 160^\circ $$
По теореме синусов для треугольника ABC:
$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} $$
$$ \frac{AC}{\sin 5^\circ} = \frac{BC}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 160^\circ} $$
Выразим длины сторон $AC$ и $BC$ через $AB$:
$$ AC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} $$
$$ BC = AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$
Подставим эти выражения в $AC + 2BC$:
$$ AC + 2BC = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} + 2 \cdot AB \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} $$
Теперь сравним $2AB$ и $AB \cdot \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$. Разделив обе части на $AB$ (так как $AB > 0$), сравним $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ}$.
Используем тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:
$$ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $$
Сравнение сводится к сравнению $2$ и $\frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ}$, или, что то же самое, сравнению $2\sin 20^\circ$ и $\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ$.
Рассмотрим разность $2\sin 20^\circ - (\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ)$:
$$ 2\sin 20^\circ - 2\sin 15^\circ - \sin 5^\circ = 2(\sin 20^\circ - \sin 15^\circ) - \sin 5^\circ $$
Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$$ \sin 20^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos\left(\frac{20^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{20^\circ-15^\circ}{2}\right) = 2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) $$
Тогда разность равна:
$$ 2(2\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ)) - \sin 5^\circ = 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - \sin(2 \cdot 2.5^\circ) $$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$$ 4\cos(17.5^\circ)\sin(2.5^\circ) - 2\sin(2.5^\circ)\cos(2.5^\circ) = 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) $$
Оценим знак этого выражения. Множитель $2\sin(2.5^\circ) > 0$, так как угол $2.5^\circ$ находится в первой четверти. Рассмотрим знак второго множителя $(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ))$. Функция косинуса убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, поэтому $\cos(17.5^\circ) < \cos(2.5^\circ)$. Однако $2\cos(17.5^\circ) > 2\cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$. А $\cos(2.5^\circ) < \cos(0^\circ) = 1$. Поскольку $1.732 > 1$, то $2\cos(17.5^\circ) > \cos(2.5^\circ)$, и следовательно, $2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ) > 0$.
Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно:
$$ 2\sin(2.5^\circ)(2\cos(17.5^\circ) - \cos(2.5^\circ)) > 0 $$
Это означает, что:
$$ 2\sin 20^\circ > \sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ $$
Умножая обе части на положительное число $\frac{1}{\sin 20^\circ}$, получаем:
$$ 2 > \frac{\sin 5^\circ + 2\sin 15^\circ}{\sin 20^\circ} $$
Возвращаясь к сравнению длин, это значит:
$$ 2AB > AC + 2BC $$
Теперь вернемся к сравнению времени:
$$ 2v \cdot t_1 > 2v \cdot t_2 \implies t_1 > t_2 $$
Время в пути по прямому маршруту A → B ($t_1$) больше, чем время в пути по маршруту A → C → B ($t_2$). Следовательно, чтобы добраться из села А в село В как можно скорее, водителю следует выбрать маршрут через село С.
Ответ: Водителю надо выбрать маршрут из села А в село В через село С (А → C → B).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 9 класс, для упражнения номер 110 расположенного на странице 25 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №110 (с. 25), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.