gdz.top
Номер 109, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 109, страница 62.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103899 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "62" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/109" "field_display_title" => "109" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1074 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1075 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1079 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1112 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные свойства функций" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1114 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "21" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1116 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1149 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null …5 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные свойства функций" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_page_start" => "21" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1209 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156056 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1210 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>109.</strong>— Расположите в порядке возрастания числа:</p><p><strong>a)</strong> $ \cos 4 $, $ \cos 7 $, $ \cos 9 $, $ \cos (-12.5) $;</p><p><strong>б)</strong> $ \tan (-8) $, $ \tan 1.3 $, $ \tan 4 $, $ \tan 16 $;</p><p><strong>в)</strong> $ \sin 6.7 $, $ \sin 10.5 $, $ \sin (-7) $, $ \sin 20.5 $;</p><p><strong>г)</strong> $ \cot 3.5 $, $ \cot (-9) $, $ \cot 5 $, $ \cot 15 $.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1159" "height" => 361 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/109-1.webp?ts=1733864696" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156056 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>109.</strong>— Расположите в порядке возрастания числа:</p><p><strong>a)</strong> $ \cos 4 $, $ \cos 7 $, $ \cos 9 $, $ \cos (-12.5) $;</p><p><strong>б)</strong> $ \tan (-8) $, $ \tan 1.3 $, $ \tan 4 $, $ \tan 16 $;</p><p><strong>в)</strong> $ \sin 6.7 $, $ \sin 10.5 $, $ \sin (-7) $, $ \sin 20.5 $;</p><p><strong>г)</strong> $ \cot 3.5 $, $ \cot (-9) $, $ \cot 5 $, $ \cot 15 $.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1159" "height" => 361 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/109-1.webp?ts=1733864696" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1216 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156383 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1217 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1473 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/109-1.webp?ts=1733864756" ] 1 => array:5 [ "name" => "109-2.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1340 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/109-2.webp?ts=1733864756" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156383 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1473 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/109-1.webp?ts=1733864756" ] 1 => array:5 [ "name" => "109-2.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1340 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/109-2.webp?ts=1733864756" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1224 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156963 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1225 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 491 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/109-1.webp?ts=1733995530" ] 1 => array:5 [ "name" => "109-2.jpg" "alt" => null "width" => "1257" "height" => 270 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/109-2.webp?ts=1733995530" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156963 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 491 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/109-1.webp?ts=1733995530" ] 1 => array:5 [ "name" => "109-2.jpg" "alt" => null "width" => "1257" "height" => 270 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/109-2.webp?ts=1733995530" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1240 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168305 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1241 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 491 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/109-1.webp?ts=1733995547" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168305 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 491 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/109-1.webp?ts=1733995547" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1232 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 167816 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1233 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 763 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/109-1.webp?ts=1733992395" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 167816 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "109-1.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 763 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/109-1.webp?ts=1733992395" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1248 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1340956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1249 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для решения задачи будем использовать свойства тригонометрических функций: периодичность, четность/нечетность и монотонность на различных промежутках. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.</p><p><strong>а)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \cos 4, \cos 7, \cos 9, \cos(-12,5) $.</p><p>Сначала определим знак каждого числа, приведя аргументы к промежутку $ [0, 2\pi) \approx [0; 6,28] $ с помощью свойства периодичности $ \cos(x) = \cos(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и четности $ \cos(-x) = \cos(x) $.</p><ul><li><p>$ \cos 4 $: Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $ ($ 3,14 < 4 < 4,71 $), угол 4 радиана находится в 3-й четверти, где косинус отрицателен. $ \cos 4 < 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos 7 $: $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6,28) = \cos(0,72) $. Угол 0,72 радиана находится в 1-й четверти ($ 0 < 0,72 < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. $ \cos 7 > 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos 9 $: $ \cos 9 = \cos(9 - 2\pi) \approx \cos(9 - 6,28) = \cos(2,72) $. Угол 2,72 радиана находится во 2-й четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2,72 < \pi $), где косинус отрицателен. $ \cos 9 < 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos(-12,5) $: Используя четность, $ \cos(-12,5) = \cos(12,5) $. $ \cos(12,5) = \cos(12,5 - 4\pi) \approx \cos(12,5 - 12,56) = \cos(-0,06) = \cos(0,06) $. Угол 0,06 радиана находится в 1-й четверти, где косинус положителен. $ \cos(-12,5) > 0 $.</p></li></ul><p>Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($ \cos 4, \cos 9 $) и два положительных ($ \cos 7, \cos(-12,5) $).</p><p>Сравним отрицательные числа $ \cos 4 $ и $ \cos 9 $. Приведем их к одному промежутку монотонности. На промежутке $ [\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos x $ возрастает. Угол 4 уже находится в этом промежутке. Для $ \cos 9 $ эквивалентный угол во 2-й четверти $ 9 - 2\pi \approx 2,72 $. Косинусы углов $ \alpha $ и $ 2\pi - \alpha $ равны. Угол, симметричный $ 2,72 $ относительно оси абсцисс, будет $ 2\pi - 2,72 \approx 6,28 - 2,72 = 3,56 $. Значит, $ \cos 9 = \cos(2,72) = \cos(3,56) $. Теперь сравним $ \cos 4 $ и $ \cos(3,56) $. Так как $ 3,56 < 4 $ и на $ [\pi, 2\pi] $ косинус возрастает, то $ \cos(3,56) < \cos 4 $, следовательно, $ \cos 9 < \cos 4 $.</p><p>Сравним положительные числа $ \cos 7 $ и $ \cos(-12,5) $. Это эквивалентно сравнению $ \cos(0,72) $ и $ \cos(0,06) $. На промежутке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ y = \cos x $ убывает. Так как $ 0,06 < 0,72 $, то $ \cos(0,06) > \cos(0,72) $, следовательно, $ \cos(-12,5) > \cos 7 $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \cos 9 < \cos 4 < \cos 7 < \cos(-12,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \cos 9, \cos 4, \cos 7, \cos(-12,5) $.</p><p><strong>б)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \text{tg}(-8), \text{tg } 1,3, \text{tg } 4, \text{tg } 16 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{tg}(x) = \text{tg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.</p><ul><li><p>$ \text{tg}(-8) = -\text{tg}(8) $. Найдем четверть для угла 8. $ 2,5\pi \approx 7,85 $ и $ 3\pi \approx 9,42 $, поэтому $ 2,5\pi < 8 < 3\pi $. Это 3-я четверть, где тангенс положителен. Значит, $ \text{tg}(8) > 0 $, а $ \text{tg}(-8) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(1,3) $: $ 0 < 1,3 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Это 1-я четверть, $ \text{tg}(1,3) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(4) $: $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Это 3-я четверть, $ \text{tg}(4) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(16) $: $ 5\pi \approx 15,7 $ и $ 5,5\pi \approx 17,27 $, поэтому $ 5\pi < 16 < 5,5\pi $. Это 1-я четверть (относительно $ 5\pi $), $ \text{tg}(16) > 0 $.</p></li></ul><p>Только одно число, $ \text{tg}(-8) $, отрицательно, значит, оно наименьшее.</p><p>Сравним положительные числа: $ \text{tg}(1,3), \text{tg}(4), \text{tg}(16) $. Приведем их аргументы к основному промежутку $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где тангенс возрастает. $ \text{tg}(1,3) $ — аргумент уже в нужном промежутке. $ \text{tg}(4) = \text{tg}(4 - \pi) \approx \text{tg}(0,86) $. $ \text{tg}(16) = \text{tg}(16 - 5\pi) \approx \text{tg}(0,3) $. Теперь сравним аргументы: $ 0,3 < 0,86 < 1,3 $. Так как на $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс возрастает, $ \text{tg}(0,3) < \text{tg}(0,86) < \text{tg}(1,3) $. Следовательно, $ \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.</p><p>Итоговый порядок: $ \text{tg}(-8) < \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \text{tg}(-8), \text{tg } 16, \text{tg } 4, \text{tg } 1,3 $.</p><p><strong>в)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \sin 6,7, \sin 10,5, \sin(-7), \sin 20,5 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \sin(x) = \sin(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \sin(-x) = -\sin(x) $.</p><ul><li><p>$ \sin(6,7) = \sin(6,7 - 2\pi) \approx \sin(0,42) $. Это 1-я четверть, $ \sin(6,7) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(10,5) = \sin(10,5 - 2\pi) \approx \sin(4,22) $. $ \pi < 4,22 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \sin(10,5) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(-7) = -\sin(7) = -\sin(7 - 2\pi) \approx -\sin(0,72) $. Так как $ \sin(0,72) > 0 $, то $ \sin(-7) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(20,5) = \sin(20,5 - 6\pi) \approx \sin(1,66) $. $ \frac{\pi}{2} < 1,66 < \pi $. Это 2-я четверть, $ \sin(20,5) > 0 $.</p></li></ul><p>Сравним отрицательные числа $ \sin(10,5) $ и $ \sin(-7) $. $ \sin(10,5) \approx \sin(4,22) = -\sin(4,22 - \pi) \approx -\sin(1,08) $. $ \sin(-7) \approx -\sin(0,72) $. Сравниваем $ -\sin(1,08) $ и $ -\sin(0,72) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. $ 0,72 < 1,08 \implies \sin(0,72) < \sin(1,08) \implies -\sin(0,72) > -\sin(1,08) $. Значит, $ \sin(-7) > \sin(10,5) $.</p><p>Сравним положительные числа $ \sin(6,7) $ и $ \sin(20,5) $. $ \sin(6,7) \approx \sin(0,42) $. $ \sin(20,5) \approx \sin(1,66) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. Приведем угол 1,66 к первой четверти: $ \sin(1,66) = \sin(\pi - 1,66) \approx \sin(1,48) $. Сравниваем $ \sin(0,42) $ и $ \sin(1,48) $. Так как $ 0,42 < 1,48 $, то $ \sin(0,42) < \sin(1,48) $. Значит, $ \sin(6,7) < \sin(20,5) $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \sin(10,5) < \sin(-7) < \sin(6,7) < \sin(20,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \sin 10,5, \sin(-7), \sin 6,7, \sin 20,5 $.</p><p><strong>г)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \text{ctg } 3,5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 5, \text{ctg } 15 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $.</p><ul><li><p>$ \text{ctg}(3,5) $: $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \text{ctg}(3,5) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) $. $ \text{ctg}(9) = \text{ctg}(9 - 2\pi) \approx \text{ctg}(2,72) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(5) $: $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Это 4-я четверть, $ \text{ctg}(5) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15 - 4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(15) < 0 $.</p></li></ul><p>Сравним положительные числа $ \text{ctg}(3,5) $ и $ \text{ctg}(-9) $. Приведем их аргументы к $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(3,5) = \text{ctg}(3,5 - \pi) \approx \text{ctg}(0,36) $. $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) = -\text{ctg}(9-3\pi) \approx -\text{ctg}(-0,42) = \text{ctg}(0,42) $. Сравниваем $ \text{ctg}(0,36) $ и $ \text{ctg}(0,42) $. Так как $ 0,36 < 0,42 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(0,36) > \text{ctg}(0,42) $. Значит, $ \text{ctg}(3,5) > \text{ctg}(-9) $.</p><p>Сравним отрицательные числа $ \text{ctg}(5) $ и $ \text{ctg}(15) $. Приведем их аргументы к $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(5) = \text{ctg}(5-\pi) \approx \text{ctg}(1,86) $. $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15-4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Сравниваем $ \text{ctg}(1,86) $ и $ \text{ctg}(2,44) $. Так как $ 1,86 < 2,44 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(1,86) > \text{ctg}(2,44) $. Значит, $ \text{ctg}(5) > \text{ctg}(15) $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \text{ctg}(15) < \text{ctg}(5) < \text{ctg}(-9) < \text{ctg}(3,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \text{ctg } 15, \text{ctg } 5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 3,5 $.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1340956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258} "task" => array:2 [ "refs" => "103899" "type" => "task" ] "text" => "<p>Для решения задачи будем использовать свойства тригонометрических функций: периодичность, четность/нечетность и монотонность на различных промежутках. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.</p><p><strong>а)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \cos 4, \cos 7, \cos 9, \cos(-12,5) $.</p><p>Сначала определим знак каждого числа, приведя аргументы к промежутку $ [0, 2\pi) \approx [0; 6,28] $ с помощью свойства периодичности $ \cos(x) = \cos(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и четности $ \cos(-x) = \cos(x) $.</p><ul><li><p>$ \cos 4 $: Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $ ($ 3,14 < 4 < 4,71 $), угол 4 радиана находится в 3-й четверти, где косинус отрицателен. $ \cos 4 < 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos 7 $: $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6,28) = \cos(0,72) $. Угол 0,72 радиана находится в 1-й четверти ($ 0 < 0,72 < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. $ \cos 7 > 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos 9 $: $ \cos 9 = \cos(9 - 2\pi) \approx \cos(9 - 6,28) = \cos(2,72) $. Угол 2,72 радиана находится во 2-й четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2,72 < \pi $), где косинус отрицателен. $ \cos 9 < 0 $.</p></li> <li><p>$ \cos(-12,5) $: Используя четность, $ \cos(-12,5) = \cos(12,5) $. $ \cos(12,5) = \cos(12,5 - 4\pi) \approx \cos(12,5 - 12,56) = \cos(-0,06) = \cos(0,06) $. Угол 0,06 радиана находится в 1-й четверти, где косинус положителен. $ \cos(-12,5) > 0 $.</p></li></ul><p>Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($ \cos 4, \cos 9 $) и два положительных ($ \cos 7, \cos(-12,5) $).</p><p>Сравним отрицательные числа $ \cos 4 $ и $ \cos 9 $. Приведем их к одному промежутку монотонности. На промежутке $ [\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos x $ возрастает. Угол 4 уже находится в этом промежутке. Для $ \cos 9 $ эквивалентный угол во 2-й четверти $ 9 - 2\pi \approx 2,72 $. Косинусы углов $ \alpha $ и $ 2\pi - \alpha $ равны. Угол, симметричный $ 2,72 $ относительно оси абсцисс, будет $ 2\pi - 2,72 \approx 6,28 - 2,72 = 3,56 $. Значит, $ \cos 9 = \cos(2,72) = \cos(3,56) $. Теперь сравним $ \cos 4 $ и $ \cos(3,56) $. Так как $ 3,56 < 4 $ и на $ [\pi, 2\pi] $ косинус возрастает, то $ \cos(3,56) < \cos 4 $, следовательно, $ \cos 9 < \cos 4 $.</p><p>Сравним положительные числа $ \cos 7 $ и $ \cos(-12,5) $. Это эквивалентно сравнению $ \cos(0,72) $ и $ \cos(0,06) $. На промежутке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ y = \cos x $ убывает. Так как $ 0,06 < 0,72 $, то $ \cos(0,06) > \cos(0,72) $, следовательно, $ \cos(-12,5) > \cos 7 $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \cos 9 < \cos 4 < \cos 7 < \cos(-12,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \cos 9, \cos 4, \cos 7, \cos(-12,5) $.</p><p><strong>б)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \text{tg}(-8), \text{tg } 1,3, \text{tg } 4, \text{tg } 16 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{tg}(x) = \text{tg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.</p><ul><li><p>$ \text{tg}(-8) = -\text{tg}(8) $. Найдем четверть для угла 8. $ 2,5\pi \approx 7,85 $ и $ 3\pi \approx 9,42 $, поэтому $ 2,5\pi < 8 < 3\pi $. Это 3-я четверть, где тангенс положителен. Значит, $ \text{tg}(8) > 0 $, а $ \text{tg}(-8) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(1,3) $: $ 0 < 1,3 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Это 1-я четверть, $ \text{tg}(1,3) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(4) $: $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Это 3-я четверть, $ \text{tg}(4) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{tg}(16) $: $ 5\pi \approx 15,7 $ и $ 5,5\pi \approx 17,27 $, поэтому $ 5\pi < 16 < 5,5\pi $. Это 1-я четверть (относительно $ 5\pi $), $ \text{tg}(16) > 0 $.</p></li></ul><p>Только одно число, $ \text{tg}(-8) $, отрицательно, значит, оно наименьшее.</p><p>Сравним положительные числа: $ \text{tg}(1,3), \text{tg}(4), \text{tg}(16) $. Приведем их аргументы к основному промежутку $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где тангенс возрастает. $ \text{tg}(1,3) $ — аргумент уже в нужном промежутке. $ \text{tg}(4) = \text{tg}(4 - \pi) \approx \text{tg}(0,86) $. $ \text{tg}(16) = \text{tg}(16 - 5\pi) \approx \text{tg}(0,3) $. Теперь сравним аргументы: $ 0,3 < 0,86 < 1,3 $. Так как на $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс возрастает, $ \text{tg}(0,3) < \text{tg}(0,86) < \text{tg}(1,3) $. Следовательно, $ \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.</p><p>Итоговый порядок: $ \text{tg}(-8) < \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \text{tg}(-8), \text{tg } 16, \text{tg } 4, \text{tg } 1,3 $.</p><p><strong>в)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \sin 6,7, \sin 10,5, \sin(-7), \sin 20,5 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \sin(x) = \sin(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \sin(-x) = -\sin(x) $.</p><ul><li><p>$ \sin(6,7) = \sin(6,7 - 2\pi) \approx \sin(0,42) $. Это 1-я четверть, $ \sin(6,7) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(10,5) = \sin(10,5 - 2\pi) \approx \sin(4,22) $. $ \pi < 4,22 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \sin(10,5) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(-7) = -\sin(7) = -\sin(7 - 2\pi) \approx -\sin(0,72) $. Так как $ \sin(0,72) > 0 $, то $ \sin(-7) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \sin(20,5) = \sin(20,5 - 6\pi) \approx \sin(1,66) $. $ \frac{\pi}{2} < 1,66 < \pi $. Это 2-я четверть, $ \sin(20,5) > 0 $.</p></li></ul><p>Сравним отрицательные числа $ \sin(10,5) $ и $ \sin(-7) $. $ \sin(10,5) \approx \sin(4,22) = -\sin(4,22 - \pi) \approx -\sin(1,08) $. $ \sin(-7) \approx -\sin(0,72) $. Сравниваем $ -\sin(1,08) $ и $ -\sin(0,72) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. $ 0,72 < 1,08 \implies \sin(0,72) < \sin(1,08) \implies -\sin(0,72) > -\sin(1,08) $. Значит, $ \sin(-7) > \sin(10,5) $.</p><p>Сравним положительные числа $ \sin(6,7) $ и $ \sin(20,5) $. $ \sin(6,7) \approx \sin(0,42) $. $ \sin(20,5) \approx \sin(1,66) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. Приведем угол 1,66 к первой четверти: $ \sin(1,66) = \sin(\pi - 1,66) \approx \sin(1,48) $. Сравниваем $ \sin(0,42) $ и $ \sin(1,48) $. Так как $ 0,42 < 1,48 $, то $ \sin(0,42) < \sin(1,48) $. Значит, $ \sin(6,7) < \sin(20,5) $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \sin(10,5) < \sin(-7) < \sin(6,7) < \sin(20,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \sin 10,5, \sin(-7), \sin 6,7, \sin 20,5 $.</p><p><strong>г)</strong> Расположим в порядке возрастания числа $ \text{ctg } 3,5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 5, \text{ctg } 15 $.</p><p>Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $.</p><ul><li><p>$ \text{ctg}(3,5) $: $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \text{ctg}(3,5) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) $. $ \text{ctg}(9) = \text{ctg}(9 - 2\pi) \approx \text{ctg}(2,72) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) > 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(5) $: $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Это 4-я четверть, $ \text{ctg}(5) < 0 $.</p></li> <li><p>$ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15 - 4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(15) < 0 $.</p></li></ul><p>Сравним положительные числа $ \text{ctg}(3,5) $ и $ \text{ctg}(-9) $. Приведем их аргументы к $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(3,5) = \text{ctg}(3,5 - \pi) \approx \text{ctg}(0,36) $. $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) = -\text{ctg}(9-3\pi) \approx -\text{ctg}(-0,42) = \text{ctg}(0,42) $. Сравниваем $ \text{ctg}(0,36) $ и $ \text{ctg}(0,42) $. Так как $ 0,36 < 0,42 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(0,36) > \text{ctg}(0,42) $. Значит, $ \text{ctg}(3,5) > \text{ctg}(-9) $.</p><p>Сравним отрицательные числа $ \text{ctg}(5) $ и $ \text{ctg}(15) $. Приведем их аргументы к $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(5) = \text{ctg}(5-\pi) \approx \text{ctg}(1,86) $. $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15-4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Сравниваем $ \text{ctg}(1,86) $ и $ \text{ctg}(2,44) $. Так как $ 1,86 < 2,44 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(1,86) > \text{ctg}(2,44) $. Значит, $ \text{ctg}(5) > \text{ctg}(15) $.</p><p>Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \text{ctg}(15) < \text{ctg}(5) < \text{ctg}(-9) < \text{ctg}(3,5) $.</p><p><strong>Ответ:</strong> $ \text{ctg } 15, \text{ctg } 5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 3,5 $.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "103900" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "103898" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1207 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1188 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1194 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1193 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1190 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1196 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1195 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1206 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1202 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1200 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1201 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1261 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1196} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1267 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1268 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1275 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863421 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "62" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-62" "field_display_title" => "62" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "62" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1207} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1288 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863422" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863420" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1521 #items: array:7 [ 0 => App\Models\Task {#1535 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1548 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1553 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1541 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1593 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1597 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1614 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863421 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "62" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-62" "field_display_title" => "62" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "62" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289} "next" => array:2 [ "refs" => "863422" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863420" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1521} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103899 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "62" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/109" "field_display_title" => "109" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197} "next" => array:2 [ "refs" => "103900" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "103898" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271} "page" => array:2 [ "refs" => "863421" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№109 (с. 62)
Условие. №109 (с. 62)
скриншот условия
109.— Расположите в порядке возрастания числа:
a) $ \cos 4 $, $ \cos 7 $, $ \cos 9 $, $ \cos (-12.5) $;
б) $ \tan (-8) $, $ \tan 1.3 $, $ \tan 4 $, $ \tan 16 $;
в) $ \sin 6.7 $, $ \sin 10.5 $, $ \sin (-7) $, $ \sin 20.5 $;
г) $ \cot 3.5 $, $ \cot (-9) $, $ \cot 5 $, $ \cot 15 $.
Решение 1. №109 (с. 62)
Решение 2. №109 (с. 62)
Решение 3. №109 (с. 62)
Решение 4. №109 (с. 62)
Решение 5. №109 (с. 62)
Для решения задачи будем использовать свойства тригонометрических функций: периодичность, четность/нечетность и монотонность на различных промежутках. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.
а) Расположим в порядке возрастания числа $ \cos 4, \cos 7, \cos 9, \cos(-12,5) $.
Сначала определим знак каждого числа, приведя аргументы к промежутку $ [0, 2\pi) \approx [0; 6,28] $ с помощью свойства периодичности $ \cos(x) = \cos(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и четности $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos 4 $: Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $ ($ 3,14 < 4 < 4,71 $), угол 4 радиана находится в 3-й четверти, где косинус отрицателен. $ \cos 4 < 0 $.
$ \cos 7 $: $ \cos 7 = \cos(7 - 2\pi) \approx \cos(7 - 6,28) = \cos(0,72) $. Угол 0,72 радиана находится в 1-й четверти ($ 0 < 0,72 < \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. $ \cos 7 > 0 $.
$ \cos 9 $: $ \cos 9 = \cos(9 - 2\pi) \approx \cos(9 - 6,28) = \cos(2,72) $. Угол 2,72 радиана находится во 2-й четверти ($ \frac{\pi}{2} < 2,72 < \pi $), где косинус отрицателен. $ \cos 9 < 0 $.
$ \cos(-12,5) $: Используя четность, $ \cos(-12,5) = \cos(12,5) $. $ \cos(12,5) = \cos(12,5 - 4\pi) \approx \cos(12,5 - 12,56) = \cos(-0,06) = \cos(0,06) $. Угол 0,06 радиана находится в 1-й четверти, где косинус положителен. $ \cos(-12,5) > 0 $.
Таким образом, у нас есть два отрицательных числа ($ \cos 4, \cos 9 $) и два положительных ($ \cos 7, \cos(-12,5) $).
Сравним отрицательные числа $ \cos 4 $ и $ \cos 9 $. Приведем их к одному промежутку монотонности. На промежутке $ [\pi, 2\pi] $ функция $ y = \cos x $ возрастает. Угол 4 уже находится в этом промежутке. Для $ \cos 9 $ эквивалентный угол во 2-й четверти $ 9 - 2\pi \approx 2,72 $. Косинусы углов $ \alpha $ и $ 2\pi - \alpha $ равны. Угол, симметричный $ 2,72 $ относительно оси абсцисс, будет $ 2\pi - 2,72 \approx 6,28 - 2,72 = 3,56 $. Значит, $ \cos 9 = \cos(2,72) = \cos(3,56) $. Теперь сравним $ \cos 4 $ и $ \cos(3,56) $. Так как $ 3,56 < 4 $ и на $ [\pi, 2\pi] $ косинус возрастает, то $ \cos(3,56) < \cos 4 $, следовательно, $ \cos 9 < \cos 4 $.
Сравним положительные числа $ \cos 7 $ и $ \cos(-12,5) $. Это эквивалентно сравнению $ \cos(0,72) $ и $ \cos(0,06) $. На промежутке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ y = \cos x $ убывает. Так как $ 0,06 < 0,72 $, то $ \cos(0,06) > \cos(0,72) $, следовательно, $ \cos(-12,5) > \cos 7 $.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \cos 9 < \cos 4 < \cos 7 < \cos(-12,5) $.
Ответ: $ \cos 9, \cos 4, \cos 7, \cos(-12,5) $.
б) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{tg}(-8), \text{tg } 1,3, \text{tg } 4, \text{tg } 16 $.
Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{tg}(x) = \text{tg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $.
$ \text{tg}(-8) = -\text{tg}(8) $. Найдем четверть для угла 8. $ 2,5\pi \approx 7,85 $ и $ 3\pi \approx 9,42 $, поэтому $ 2,5\pi < 8 < 3\pi $. Это 3-я четверть, где тангенс положителен. Значит, $ \text{tg}(8) > 0 $, а $ \text{tg}(-8) < 0 $.
$ \text{tg}(1,3) $: $ 0 < 1,3 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $. Это 1-я четверть, $ \text{tg}(1,3) > 0 $.
$ \text{tg}(4) $: $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $. Это 3-я четверть, $ \text{tg}(4) > 0 $.
$ \text{tg}(16) $: $ 5\pi \approx 15,7 $ и $ 5,5\pi \approx 17,27 $, поэтому $ 5\pi < 16 < 5,5\pi $. Это 1-я четверть (относительно $ 5\pi $), $ \text{tg}(16) > 0 $.
Только одно число, $ \text{tg}(-8) $, отрицательно, значит, оно наименьшее.
Сравним положительные числа: $ \text{tg}(1,3), \text{tg}(4), \text{tg}(16) $. Приведем их аргументы к основному промежутку $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где тангенс возрастает. $ \text{tg}(1,3) $ — аргумент уже в нужном промежутке. $ \text{tg}(4) = \text{tg}(4 - \pi) \approx \text{tg}(0,86) $. $ \text{tg}(16) = \text{tg}(16 - 5\pi) \approx \text{tg}(0,3) $. Теперь сравним аргументы: $ 0,3 < 0,86 < 1,3 $. Так как на $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс возрастает, $ \text{tg}(0,3) < \text{tg}(0,86) < \text{tg}(1,3) $. Следовательно, $ \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.
Итоговый порядок: $ \text{tg}(-8) < \text{tg}(16) < \text{tg}(4) < \text{tg}(1,3) $.
Ответ: $ \text{tg}(-8), \text{tg } 16, \text{tg } 4, \text{tg } 1,3 $.
в) Расположим в порядке возрастания числа $ \sin 6,7, \sin 10,5, \sin(-7), \sin 20,5 $.
Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \sin(x) = \sin(x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(6,7) = \sin(6,7 - 2\pi) \approx \sin(0,42) $. Это 1-я четверть, $ \sin(6,7) > 0 $.
$ \sin(10,5) = \sin(10,5 - 2\pi) \approx \sin(4,22) $. $ \pi < 4,22 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \sin(10,5) < 0 $.
$ \sin(-7) = -\sin(7) = -\sin(7 - 2\pi) \approx -\sin(0,72) $. Так как $ \sin(0,72) > 0 $, то $ \sin(-7) < 0 $.
$ \sin(20,5) = \sin(20,5 - 6\pi) \approx \sin(1,66) $. $ \frac{\pi}{2} < 1,66 < \pi $. Это 2-я четверть, $ \sin(20,5) > 0 $.
Сравним отрицательные числа $ \sin(10,5) $ и $ \sin(-7) $. $ \sin(10,5) \approx \sin(4,22) = -\sin(4,22 - \pi) \approx -\sin(1,08) $. $ \sin(-7) \approx -\sin(0,72) $. Сравниваем $ -\sin(1,08) $ и $ -\sin(0,72) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. $ 0,72 < 1,08 \implies \sin(0,72) < \sin(1,08) \implies -\sin(0,72) > -\sin(1,08) $. Значит, $ \sin(-7) > \sin(10,5) $.
Сравним положительные числа $ \sin(6,7) $ и $ \sin(20,5) $. $ \sin(6,7) \approx \sin(0,42) $. $ \sin(20,5) \approx \sin(1,66) $. На $ [0, \frac{\pi}{2}] $ синус возрастает. Приведем угол 1,66 к первой четверти: $ \sin(1,66) = \sin(\pi - 1,66) \approx \sin(1,48) $. Сравниваем $ \sin(0,42) $ и $ \sin(1,48) $. Так как $ 0,42 < 1,48 $, то $ \sin(0,42) < \sin(1,48) $. Значит, $ \sin(6,7) < \sin(20,5) $.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \sin(10,5) < \sin(-7) < \sin(6,7) < \sin(20,5) $.
Ответ: $ \sin 10,5, \sin(-7), \sin 6,7, \sin 20,5 $.
г) Расположим в порядке возрастания числа $ \text{ctg } 3,5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 5, \text{ctg } 15 $.
Определим знак каждого числа, используя периодичность $ \text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + \pi k), k \in \mathbb{Z} $ и нечетность $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $.
$ \text{ctg}(3,5) $: $ \pi < 3,5 < \frac{3\pi}{2} $. Это 3-я четверть, $ \text{ctg}(3,5) > 0 $.
$ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) $. $ \text{ctg}(9) = \text{ctg}(9 - 2\pi) \approx \text{ctg}(2,72) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(9) < 0 $. Значит, $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) > 0 $.
$ \text{ctg}(5) $: $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Это 4-я четверть, $ \text{ctg}(5) < 0 $.
$ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15 - 4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Это 2-я четверть, $ \text{ctg}(15) < 0 $.
Сравним положительные числа $ \text{ctg}(3,5) $ и $ \text{ctg}(-9) $. Приведем их аргументы к $ (0, \frac{\pi}{2}) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(3,5) = \text{ctg}(3,5 - \pi) \approx \text{ctg}(0,36) $. $ \text{ctg}(-9) = -\text{ctg}(9) = -\text{ctg}(9-3\pi) \approx -\text{ctg}(-0,42) = \text{ctg}(0,42) $. Сравниваем $ \text{ctg}(0,36) $ и $ \text{ctg}(0,42) $. Так как $ 0,36 < 0,42 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(0,36) > \text{ctg}(0,42) $. Значит, $ \text{ctg}(3,5) > \text{ctg}(-9) $.
Сравним отрицательные числа $ \text{ctg}(5) $ и $ \text{ctg}(15) $. Приведем их аргументы к $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, где котангенс убывает. $ \text{ctg}(5) = \text{ctg}(5-\pi) \approx \text{ctg}(1,86) $. $ \text{ctg}(15) = \text{ctg}(15-4\pi) \approx \text{ctg}(2,44) $. Сравниваем $ \text{ctg}(1,86) $ и $ \text{ctg}(2,44) $. Так как $ 1,86 < 2,44 $ и котангенс убывает, то $ \text{ctg}(1,86) > \text{ctg}(2,44) $. Значит, $ \text{ctg}(5) > \text{ctg}(15) $.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \text{ctg}(15) < \text{ctg}(5) < \text{ctg}(-9) < \text{ctg}(3,5) $.
Ответ: $ \text{ctg } 15, \text{ctg } 5, \text{ctg}(-9), \text{ctg } 3,5 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 109 расположенного на странице 62 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №109 (с. 62), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.