gdz.top
Номер 112, страница 63 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 112, страница 63.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103902 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "63" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1074 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1075 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1079 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1112 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные свойства функций" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1114 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "21" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1116 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1149 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 103762 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Тригонометрические функции" "field_branch_order" => "1" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_page_start" => "5" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null …8 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Основные свойства функций" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_page_start" => "21" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1201 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156059 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1202 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "text" => "<p>Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113).</p><p><strong>112. a)</strong> $f(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = 1,5 \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right).$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1354" "height" => 339 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/112-1.webp?ts=1733864699" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156059 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "text" => "<p>Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113).</p><p><strong>112. a)</strong> $f(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = 1,5 \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right).$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1354" "height" => 339 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/112-1.webp?ts=1733864699" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1208 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156391 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1209 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1570 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-1.webp?ts=1733864762" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1557 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-2.webp?ts=1733864762" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1393 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-3.webp?ts=1733864762" ] 3 => array:5 [ "name" => "112-4.png" "alt" => null "width" => "749" "height" => 1573 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-4.webp?ts=1733864762" ] 4 => array:5 [ "name" => "112-5.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1538 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-5.webp?ts=1733864762" ] 5 => array:5 [ "name" => "112-6.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1353 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-6.webp?ts=1733864762" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156391 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1570 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-1.webp?ts=1733864762" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1557 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-2.webp?ts=1733864762" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1393 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-3.webp?ts=1733864762" ] 3 => array:5 [ "name" => "112-4.png" "alt" => null "width" => "749" "height" => 1573 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-4.webp?ts=1733864762" ] 4 => array:5 [ "name" => "112-5.png" "alt" => null "width" => "767" "height" => 1538 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-5.webp?ts=1733864762" ] 5 => array:5 [ "name" => "112-6.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1353 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/112-6.webp?ts=1733864762" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1216 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156972 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1217 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 217 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-1.webp?ts=1733995535" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 454 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-2.webp?ts=1733995535" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.jpg" "alt" => null "width" => "1257" "height" => 820 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-3.webp?ts=1733995535" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156972 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 217 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-1.webp?ts=1733995535" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 454 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-2.webp?ts=1733995535" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.jpg" "alt" => null "width" => "1257" "height" => 820 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/112-3.webp?ts=1733995535" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1232 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168308 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1233 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 217 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/112-1.webp?ts=1733995551" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 454 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/112-2.webp?ts=1733995551" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168308 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 217 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/112-1.webp?ts=1733995551" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1125" "height" => 454 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/112-2.webp?ts=1733995551" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1224 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 167819 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1225 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 511 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-1.webp?ts=1733992397" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 2153 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-2.webp?ts=1733992397" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 1950 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-3.webp?ts=1733992397" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 167819 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "112-1.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 511 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-1.webp?ts=1733992397" ] 1 => array:5 [ "name" => "112-2.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 2153 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-2.webp?ts=1733992397" ] 2 => array:5 [ "name" => "112-3.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 1950 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/112-3.webp?ts=1733992397" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1240 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1340974 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1241 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "text" => "<strong>а) $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$</strong><p>Проведем полное исследование функции $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong><br>Аргумент косинуса может принимать любые действительные значения, поэтому область определения функции — все действительные числа.<br>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong><br>Функция $\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, функция $2\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-2, 2]$.<br>$E(f) = [-2, 2]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong><br>$f(-x) = 2 \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-(x - \frac{\pi}{4})) = 2 \cos(x - \frac{\pi}{4})$.<br>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).</p><p><strong>4. Периодичность:</strong><br>Функция косинус периодическая с основным периодом $2\pi$. Сдвиг по оси абсцисс не влияет на период.<br>$T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):</strong><br>$f(x) = 0 \implies 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.<br>$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.<br>$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) > 0$, что выполняется на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.<br>То есть, $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < 0$, что выполняется на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.<br>То есть, $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>Найдем производную: $f'(x) = (2 \cos(x + \frac{\pi}{4}))' = -2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.<br>Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$.<br>Это происходит при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0$.<br>Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{max} = 2$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{min} = -2$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем следующих преобразований:<br>1. Сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.<br>2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза.<br>Ключевые точки одного периода: максимум $(-\frac{\pi}{4}, 2)$, пересечение с Ox $(\frac{\pi}{4}, 0)$, минимум $(\frac{3\pi}{4}, -2)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — периодическая с периодом $T=2\pi$, область определения $D(f)=\mathbb{R}$, область значений $E(f)=[-2, 2]$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы $y=2$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, минимумы $y=-2$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом графика $y=\cos x$ влево на $\frac{\pi}{4}$ и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.</p><strong>б) $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$</strong><p>Проведем исследование функции. Используем свойство нечетности синуса: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong> $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> Период синуса $2\pi$, сдвиг не влияет на период. $T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.<br>$x - \frac{\pi}{3} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (-\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.<br>Возрастает при $f'(x) > 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Убывает при $f'(x) < 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $x_{max} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$), $y_{max} = \frac{1}{2}$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -\frac{1}{2}$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График $f(x) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из $y=\sin(x)$ преобразованиями:<br>1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.<br>2. Симметричное отражение относительно оси Ox.<br>3. Сжатие вдоль оси Oy в 2 раза.<br>Ключевые точки одного периода: пересечение с Ox $(\frac{\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{5\pi}{6}, -0.5)$, пересечение с Ox $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, максимум $(\frac{11\pi}{6}, 0.5)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули при $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=0.5$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-0.5$ при $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\sin x$ вправо на $\frac{\pi}{3}$, отражением по оси Ox и сжатием по оси Oy в 2 раза.</p><strong>в) $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$</strong><p>Проведем исследование функции $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong><br>Функция тангенс не определена, когда косинус в знаменателе равен нулю. $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = \tg(-x - \frac{\pi}{4}) = -\tg(x + \frac{\pi}{4})$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> Период тангенса $\pi$. $T = \pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies \tg(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (\tg(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.<br>Так как $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает на каждом интервале определения, например на $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Экстремумов нет.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График функции получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.<br>Асимптоты $y=\tg(x)$ в точках $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ смещаются в точки $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$. Нули смещаются из $x=\pi n$ в $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$, область значений $E(f)=\mathbb{R}$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Функция возрастает на всей области определения. График строится сдвигом $y=\tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.</p><strong>г) $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$</strong><p>Проведем исследование функции. Используем свойство четности косинуса: $f(x) = 1.5 \cos(- (x - \frac{\pi}{6})) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong> $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = [-1.5, 1.5]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = 1.5 \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = 1.5 \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> $T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.<br>$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6}))' = -1.5 \sin(x - \frac{\pi}{6})$.<br>Возрастает при $f'(x)>0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Убывает при $f'(x)<0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{max} = 1.5$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -1.5$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График $f(x) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из $y=\cos(x)$ преобразованиями:<br>1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.<br>2. Растяжение вдоль оси Oy в 1.5 раза.<br>Ключевые точки одного периода: максимум $(\frac{\pi}{6}, 1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{7\pi}{6}, -1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{3}, 0)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1.5, 1.5]$. Нули при $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=1.5$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-1.5$ при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ и растяжением вдоль оси OY в 1.5 раза.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1340974 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250} "task" => array:2 [ "refs" => "103902" "type" => "task" ] "text" => "<strong>а) $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$</strong><p>Проведем полное исследование функции $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong><br>Аргумент косинуса может принимать любые действительные значения, поэтому область определения функции — все действительные числа.<br>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong><br>Функция $\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, функция $2\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-2, 2]$.<br>$E(f) = [-2, 2]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong><br>$f(-x) = 2 \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-(x - \frac{\pi}{4})) = 2 \cos(x - \frac{\pi}{4})$.<br>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).</p><p><strong>4. Периодичность:</strong><br>Функция косинус периодическая с основным периодом $2\pi$. Сдвиг по оси абсцисс не влияет на период.<br>$T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):</strong><br>$f(x) = 0 \implies 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.<br>$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.<br>$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) > 0$, что выполняется на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.<br>То есть, $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < 0$, что выполняется на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.<br>То есть, $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>Найдем производную: $f'(x) = (2 \cos(x + \frac{\pi}{4}))' = -2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.<br>Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$.<br>Это происходит при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0$.<br>Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{max} = 2$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{min} = -2$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем следующих преобразований:<br>1. Сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.<br>2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза.<br>Ключевые точки одного периода: максимум $(-\frac{\pi}{4}, 2)$, пересечение с Ox $(\frac{\pi}{4}, 0)$, минимум $(\frac{3\pi}{4}, -2)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — периодическая с периодом $T=2\pi$, область определения $D(f)=\mathbb{R}$, область значений $E(f)=[-2, 2]$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы $y=2$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, минимумы $y=-2$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом графика $y=\cos x$ влево на $\frac{\pi}{4}$ и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.</p><strong>б) $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$</strong><p>Проведем исследование функции. Используем свойство нечетности синуса: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong> $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> Период синуса $2\pi$, сдвиг не влияет на период. $T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.<br>$x - \frac{\pi}{3} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (-\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.<br>Возрастает при $f'(x) > 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Убывает при $f'(x) < 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $x_{max} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$), $y_{max} = \frac{1}{2}$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -\frac{1}{2}$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График $f(x) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из $y=\sin(x)$ преобразованиями:<br>1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.<br>2. Симметричное отражение относительно оси Ox.<br>3. Сжатие вдоль оси Oy в 2 раза.<br>Ключевые точки одного периода: пересечение с Ox $(\frac{\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{5\pi}{6}, -0.5)$, пересечение с Ox $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, максимум $(\frac{11\pi}{6}, 0.5)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули при $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=0.5$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-0.5$ при $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\sin x$ вправо на $\frac{\pi}{3}$, отражением по оси Ox и сжатием по оси Oy в 2 раза.</p><strong>в) $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$</strong><p>Проведем исследование функции $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong><br>Функция тангенс не определена, когда косинус в знаменателе равен нулю. $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = \tg(-x - \frac{\pi}{4}) = -\tg(x + \frac{\pi}{4})$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> Период тангенса $\pi$. $T = \pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies \tg(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (\tg(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.<br>Так как $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает на каждом интервале определения, например на $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Экстремумов нет.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График функции получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.<br>Асимптоты $y=\tg(x)$ в точках $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ смещаются в точки $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$. Нули смещаются из $x=\pi n$ в $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$, область значений $E(f)=\mathbb{R}$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Функция возрастает на всей области определения. График строится сдвигом $y=\tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.</p><strong>г) $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$</strong><p>Проведем исследование функции. Используем свойство четности косинуса: $f(x) = 1.5 \cos(- (x - \frac{\pi}{6})) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$.</p><p><strong>1. Область определения:</strong> $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p><strong>2. Область значений:</strong> $E(f) = [-1.5, 1.5]$.</p><p><strong>3. Четность и нечетность:</strong> $f(-x) = 1.5 \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = 1.5 \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Функция общего вида.</p><p><strong>4. Периодичность:</strong> $T = 2\pi$.</p><p><strong>5. Нули функции:</strong><br>$f(x) = 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.<br>$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>6. Промежутки знакопостоянства:</strong><br>$f(x) > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.<br>$f(x) < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.</p><p><strong>7. Промежутки монотонности и экстремумы:</strong><br>$f'(x) = (1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6}))' = -1.5 \sin(x - \frac{\pi}{6})$.<br>Возрастает при $f'(x)>0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Убывает при $f'(x)<0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.<br>Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{max} = 1.5$.<br>Точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -1.5$.</p><p><strong>8. Построение графика:</strong><br>График $f(x) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из $y=\cos(x)$ преобразованиями:<br>1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.<br>2. Растяжение вдоль оси Oy в 1.5 раза.<br>Ключевые точки одного периода: максимум $(\frac{\pi}{6}, 1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{7\pi}{6}, -1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{3}, 0)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1.5, 1.5]$. Нули при $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=1.5$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-1.5$ при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ и растяжением вдоль оси OY в 1.5 раза.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "103903" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "103901" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1199 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1189 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1197 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1195 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1196 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1190 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1193 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1191 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1251 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1252 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1253 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1255 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1261 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1190} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1267 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1268 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1249} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1252} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1266} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1275 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863422 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "63" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-63" "field_display_title" => "63" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "63" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1199} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1288 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863423" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863421" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1522 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Task {#1532 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1539 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1542 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1565 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863422 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "63" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-63" "field_display_title" => "63" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "63" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1278} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289} "next" => array:2 [ "refs" => "863423" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863421" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1522} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103902 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "63" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/112" "field_display_title" => "112" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "next" => array:2 [ "refs" => "103903" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "103901" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1271} "page" => array:2 [ "refs" => "863422" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№112 (с. 63)
Условие. №112 (с. 63)
скриншот условия
Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113).
112. a) $f(x) = 2 \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right);$
б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$
в) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$
г) $f(x) = 1,5 \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right).$
Решение 1. №112 (с. 63)
Решение 2. №112 (с. 63)
Решение 3. №112 (с. 63)
Решение 4. №112 (с. 63)
Решение 5. №112 (с. 63)
а) $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$
Проведем полное исследование функции $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$.
1. Область определения:
Аргумент косинуса может принимать любые действительные значения, поэтому область определения функции — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений:
Функция $\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, функция $2\cos(t)$ принимает значения в диапазоне $[-2, 2]$.
$E(f) = [-2, 2]$.
3. Четность и нечетность:
$f(-x) = 2 \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2 \cos(-(x - \frac{\pi}{4})) = 2 \cos(x - \frac{\pi}{4})$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
4. Периодичность:
Функция косинус периодическая с основным периодом $2\pi$. Сдвиг по оси абсцисс не влияет на период.
$T = 2\pi$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):
$f(x) = 0 \implies 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) > 0$, что выполняется на интервалах $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < 0$, что выполняется на интервалах $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
То есть, $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности и экстремумы:
Найдем производную: $f'(x) = (2 \cos(x + \frac{\pi}{4}))' = -2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, т.е. $\sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0$.
Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{max} = 2$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $y_{min} = -2$.
8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем следующих преобразований:
1. Сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(-\frac{\pi}{4}, 2)$, пересечение с Ox $(\frac{\pi}{4}, 0)$, минимум $(\frac{3\pi}{4}, -2)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.
Ответ: Функция $f(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — периодическая с периодом $T=2\pi$, область определения $D(f)=\mathbb{R}$, область значений $E(f)=[-2, 2]$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Максимумы $y=2$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, минимумы $y=-2$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом графика $y=\cos x$ влево на $\frac{\pi}{4}$ и растяжением вдоль оси OY в 2 раза.
б) $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$Проведем исследование функции. Используем свойство нечетности синуса: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(- (x - \frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$.
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
3. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Функция общего вида.
4. Периодичность: Период синуса $2\pi$, сдвиг не влияет на период. $T = 2\pi$.
5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$x - \frac{\pi}{3} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = -\frac{1}{2}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.
Возрастает при $f'(x) > 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x) < 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $x_{max} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$), $y_{max} = \frac{1}{2}$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -\frac{1}{2}$.
8. Построение графика:
График $f(x) = -\frac{1}{2}\sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из $y=\sin(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox.
3. Сжатие вдоль оси Oy в 2 раза.
Ключевые точки одного периода: пересечение с Ox $(\frac{\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{5\pi}{6}, -0.5)$, пересечение с Ox $(\frac{4\pi}{3}, 0)$, максимум $(\frac{11\pi}{6}, 0.5)$.
Ответ: Функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Нули при $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=0.5$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-0.5$ при $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\sin x$ вправо на $\frac{\pi}{3}$, отражением по оси Ox и сжатием по оси Oy в 2 раза.
в) $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$Проведем исследование функции $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.
1. Область определения:
Функция тангенс не определена, когда косинус в знаменателе равен нулю. $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность и нечетность: $f(-x) = \tg(-x - \frac{\pi}{4}) = -\tg(x + \frac{\pi}{4})$. Функция общего вида.
4. Периодичность: Период тангенса $\pi$. $T = \pi$.
5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \tg(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (\tg(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.
Так как $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция монотонно возрастает на каждом интервале определения, например на $(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Экстремумов нет.
8. Построение графика:
График функции получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
Асимптоты $y=\tg(x)$ в точках $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ смещаются в точки $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$. Нули смещаются из $x=\pi n$ в $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.
Ответ: Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ периодическая с периодом $T=\pi$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{4} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$, область значений $E(f)=\mathbb{R}$. Вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$. Нули при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Функция возрастает на всей области определения. График строится сдвигом $y=\tg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$.
г) $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$Проведем исследование функции. Используем свойство четности косинуса: $f(x) = 1.5 \cos(- (x - \frac{\pi}{6})) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$.
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-1.5, 1.5]$.
3. Четность и нечетность: $f(-x) = 1.5 \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = 1.5 \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Функция общего вида.
4. Периодичность: $T = 2\pi$.
5. Нули функции:
$f(x) = 0 \implies \cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
$f(x) < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности и экстремумы:
$f'(x) = (1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6}))' = -1.5 \sin(x - \frac{\pi}{6})$.
Возрастает при $f'(x)>0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) < 0$, т.е. $x \in (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$.
Убывает при $f'(x)<0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{6}) > 0$, т.е. $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n)$.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{max} = 1.5$.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $y_{min} = -1.5$.
8. Построение графика:
График $f(x) = 1.5 \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается из $y=\cos(x)$ преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 1.5 раза.
Ключевые точки одного периода: максимум $(\frac{\pi}{6}, 1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{2\pi}{3}, 0)$, минимум $(\frac{7\pi}{6}, -1.5)$, пересечение с Ox $(\frac{5\pi}{3}, 0)$.
Ответ: Функция $f(x) = 1.5 \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$, $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[-1.5, 1.5]$. Нули при $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Максимумы $y=1.5$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, минимумы $y=-1.5$ при $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. График строится сдвигом $y=\cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$ и растяжением вдоль оси OY в 1.5 раза.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 112 расположенного на странице 63 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №112 (с. 63), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.