gdz.top
Номер 284, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 284, страница 146.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104099 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "146" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/284" "field_display_title" => "284" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1067 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1069 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1071 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1104 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1142 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156322 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1144 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>284. a)</strong> $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = |x - 3| - 2$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 8x^2 - x^4$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1334" "height" => 246 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/284-1.webp?ts=1733864873" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156322 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>284. a)</strong> $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = |x - 3| - 2$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 8x^2 - x^4$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1334" "height" => 246 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/284-1.webp?ts=1733864873" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1150 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156888 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1152 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.png" "alt" => null "width" => "718" "height" => 701 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-1.webp?ts=1733865007" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.png" "alt" => null "width" => "590" "height" => 794 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-2.webp?ts=1733865007" ] 2 => array:5 [ "name" => "284-3.png" "alt" => null "width" => "754" "height" => 1213 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-3.webp?ts=1733865007" ] 3 => array:5 [ "name" => "284-4.png" "alt" => null "width" => "845" "height" => 1092 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-4.webp?ts=1733865007" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156888 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.png" "alt" => null "width" => "718" "height" => 701 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-1.webp?ts=1733865007" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.png" "alt" => null "width" => "590" "height" => 794 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-2.webp?ts=1733865007" ] 2 => array:5 [ "name" => "284-3.png" "alt" => null "width" => "754" "height" => 1213 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-3.webp?ts=1733865007" ] 3 => array:5 [ "name" => "284-4.png" "alt" => null "width" => "845" "height" => 1092 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/284-4.webp?ts=1733865007" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1158 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157537 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1160 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 896 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-1.webp?ts=1733995741" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1144 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-2.webp?ts=1733995741" ] 2 => array:5 [ "name" => "284-3.jpg" "alt" => null "width" => "1317" "height" => 936 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-3.webp?ts=1733995741" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157537 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159} "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 896 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-1.webp?ts=1733995741" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1144 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-2.webp?ts=1733995741" ] 2 => array:5 [ "name" => "284-3.jpg" "alt" => null "width" => "1317" "height" => 936 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/284-3.webp?ts=1733995741" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1166 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168448 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1168 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 896 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/284-1.webp?ts=1733995722" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1144 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/284-2.webp?ts=1733995722" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168448 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167} "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "284-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 896 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/284-1.webp?ts=1733995722" ] 1 => array:5 [ "name" => "284-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1144 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/284-2.webp?ts=1733995722" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1174 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1341584 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1176 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "text" => "<strong>a) $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $0,5x - 1 \neq 0$, откуда $0,5x \neq 1$ и $x \neq 2$.</p><p>Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность и нечетность.</i></p><p>Найдем $f(-x) = 2 - \frac{4}{0,5(-x) - 1} = 2 - \frac{4}{-0,5x - 1} = 2 + \frac{4}{0,5x + 1}$.</p><p>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x) = 0$: $2 - \frac{4}{0,5x - 1} = 0 \implies 2 = \frac{4}{0,5x - 1}$.</p><p>$2(0,5x - 1) = 4 \implies 0,5x - 1 = 2 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.</p><p>Функция пересекает ось Ox в точке $(6; 0)$.</p><p>4. <i>Асимптоты.</i></p><p>Вертикальная асимптота существует в точке разрыва, то есть при $x=2$.</p><p>Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:</p><p>$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{4}{0,5x - 1}) = 2 - 0 = 2$.</p><p>Следовательно, $y=2$ — горизонтальная асимптота.</p><p>5. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - 4(0,5x - 1)^{-1})' = -4(-1)(0,5x-1)^{-2} \cdot 0,5 = \frac{2}{(0,5x - 1)^2}$.</p><p>Поскольку $(0,5x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ всегда.</p><p>Это означает, что функция возрастает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.</p><p>Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.</p><p>6. <i>Область значений.</i></p><p>Учитывая поведение функции около асимптот ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$) и то, что $y=2$ является горизонтальной асимптотой, область значений функции $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=2$ (горизонтальная).</p><strong>б) $f(x) = |x - 3| - 2$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Раскрытие модуля.</i></p><p>Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:</p><p>$f(x) = \begin{cases} (x-3) - 2 = x-5, & \text{если } x \ge 3 \\ -(x-3) - 2 = -x+3-2 = 1-x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $|x - 3| - 2 = 0 \implies |x - 3| = 2$.</p><p>Отсюда $x-3=2$ или $x-3=-2$.</p><p>Получаем два корня: $x_1=5$ и $x_2=1$.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную (для $x \neq 3$):</p><p>$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$</p><p>При $x < 3$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.</p><p>При $x > 3$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.</p><p>В точке $x=3$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=3$ является точкой минимума.</p><p>Значение функции в точке минимума: $f(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.</p><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Минимальное значение функции равно -2, а ветви графика уходят вверх до бесконечности. Таким образом, область значений $E(f) = [-2; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. Точка минимума $x=3$, $f_{min}=-2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.</p><strong>в) $f(x) = 8x^2 - x^4$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность и нечетность.</i></p><p>Найдем $f(-x) = 8(-x)^2 - (-x)^4 = 8x^2 - x^4 = f(x)$.</p><p>Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $8x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(8 - x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x=0$ (кратности 2), $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную: $f'(x) = 16x - 4x^3 = 4x(4 - x^2) = 4x(2-x)(2+x)$.</p><p>Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(2-x)(2+x) = 0$.</p><p>Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.</p><p>Исследуем знак производной на интервалах:</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точки экстремума:</p><ul><li>$x=-2$ — точка максимума. $f(-2) = 8(-2)^2 - (-2)^4 = 32 - 16 = 16$.</li> <li>$x=0$ — точка минимума. $f(0) = 8(0)^2 - 0^4 = 0$.</li> <li>$x=2$ — точка максимума. $f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 32 - 16 = 16$.</li></ul><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Функция имеет два глобальных максимума в точках $x=\pm2$, равных 16. При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to -\infty$.</p><p>Следовательно, область значений $E(f) = (-\infty; 16]$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $x=\pm2$, $f_{max}=16$. Точка минимума $x=0$, $f_{min}=0$. Область значений: $(-\infty; 16]$.</p><strong>г) $f(x) = |\frac{1}{x} - 1|$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</p><p>2. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $|\frac{1}{x} - 1| = 0 \implies \frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x=1$.</p><p>3. <i>Асимптоты.</i></p><p>Вертикальная асимптота в точке разрыва $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} |\frac{1}{x} - 1| = \infty$.</p><p>Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} |\frac{1}{x} - 1| = |0 - 1| = 1$.</p><p>Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Раскроем модуль, учитывая знак выражения $\frac{1}{x}-1$.</p><ul><li>При $x \in (0; 1)$, $\frac{1}{x} > 1$, поэтому $f(x) = \frac{1}{x} - 1$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, $\frac{1}{x} < 1$, поэтому $f(x) = -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}$. $f'(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$.</p><p>В точке $x=1$ производная не существует, и знак производной меняется с «−» на «+» (справа от 0), значит, это точка минимума.</p><p>$f(1) = |\frac{1}{1}-1| = 0$.</p><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Функция принимает только неотрицательные значения, $f(x) \ge 0$. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$. Точка минимума $x=1$, $f_{min}=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная).</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1341584 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175} "task" => array:2 [ "refs" => "104099" "type" => "task" ] "text" => "<strong>a) $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $0,5x - 1 \neq 0$, откуда $0,5x \neq 1$ и $x \neq 2$.</p><p>Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность и нечетность.</i></p><p>Найдем $f(-x) = 2 - \frac{4}{0,5(-x) - 1} = 2 - \frac{4}{-0,5x - 1} = 2 + \frac{4}{0,5x + 1}$.</p><p>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x) = 0$: $2 - \frac{4}{0,5x - 1} = 0 \implies 2 = \frac{4}{0,5x - 1}$.</p><p>$2(0,5x - 1) = 4 \implies 0,5x - 1 = 2 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.</p><p>Функция пересекает ось Ox в точке $(6; 0)$.</p><p>4. <i>Асимптоты.</i></p><p>Вертикальная асимптота существует в точке разрыва, то есть при $x=2$.</p><p>Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:</p><p>$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{4}{0,5x - 1}) = 2 - 0 = 2$.</p><p>Следовательно, $y=2$ — горизонтальная асимптота.</p><p>5. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - 4(0,5x - 1)^{-1})' = -4(-1)(0,5x-1)^{-2} \cdot 0,5 = \frac{2}{(0,5x - 1)^2}$.</p><p>Поскольку $(0,5x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ всегда.</p><p>Это означает, что функция возрастает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.</p><p>Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.</p><p>6. <i>Область значений.</i></p><p>Учитывая поведение функции около асимптот ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$) и то, что $y=2$ является горизонтальной асимптотой, область значений функции $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=2$ (горизонтальная).</p><strong>б) $f(x) = |x - 3| - 2$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Раскрытие модуля.</i></p><p>Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:</p><p>$f(x) = \begin{cases} (x-3) - 2 = x-5, & \text{если } x \ge 3 \\ -(x-3) - 2 = -x+3-2 = 1-x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $|x - 3| - 2 = 0 \implies |x - 3| = 2$.</p><p>Отсюда $x-3=2$ или $x-3=-2$.</p><p>Получаем два корня: $x_1=5$ и $x_2=1$.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную (для $x \neq 3$):</p><p>$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$</p><p>При $x < 3$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.</p><p>При $x > 3$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.</p><p>В точке $x=3$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=3$ является точкой минимума.</p><p>Значение функции в точке минимума: $f(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.</p><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Минимальное значение функции равно -2, а ветви графика уходят вверх до бесконечности. Таким образом, область значений $E(f) = [-2; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. Точка минимума $x=3$, $f_{min}=-2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.</p><strong>в) $f(x) = 8x^2 - x^4$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность и нечетность.</i></p><p>Найдем $f(-x) = 8(-x)^2 - (-x)^4 = 8x^2 - x^4 = f(x)$.</p><p>Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $8x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(8 - x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x=0$ (кратности 2), $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Найдем производную: $f'(x) = 16x - 4x^3 = 4x(4 - x^2) = 4x(2-x)(2+x)$.</p><p>Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(2-x)(2+x) = 0$.</p><p>Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.</p><p>Исследуем знак производной на интервалах:</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точки экстремума:</p><ul><li>$x=-2$ — точка максимума. $f(-2) = 8(-2)^2 - (-2)^4 = 32 - 16 = 16$.</li> <li>$x=0$ — точка минимума. $f(0) = 8(0)^2 - 0^4 = 0$.</li> <li>$x=2$ — точка максимума. $f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 32 - 16 = 16$.</li></ul><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Функция имеет два глобальных максимума в точках $x=\pm2$, равных 16. При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to -\infty$.</p><p>Следовательно, область значений $E(f) = (-\infty; 16]$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $x=\pm2$, $f_{max}=16$. Точка минимума $x=0$, $f_{min}=0$. Область значений: $(-\infty; 16]$.</p><strong>г) $f(x) = |\frac{1}{x} - 1|$</strong><p>Проведем полное исследование данной функции.</p><p>1. <i>Область определения функции.</i></p><p>Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</p><p>2. <i>Нули функции.</i></p><p>Решим уравнение $f(x)=0$: $|\frac{1}{x} - 1| = 0 \implies \frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x=1$.</p><p>3. <i>Асимптоты.</i></p><p>Вертикальная асимптота в точке разрыва $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} |\frac{1}{x} - 1| = \infty$.</p><p>Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} |\frac{1}{x} - 1| = |0 - 1| = 1$.</p><p>Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.</p><p>4. <i>Промежутки монотонности и экстремумы.</i></p><p>Раскроем модуль, учитывая знак выражения $\frac{1}{x}-1$.</p><ul><li>При $x \in (0; 1)$, $\frac{1}{x} > 1$, поэтому $f(x) = \frac{1}{x} - 1$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, $\frac{1}{x} < 1$, поэтому $f(x) = -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}$. $f'(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$.</p><p>В точке $x=1$ производная не существует, и знак производной меняется с «−» на «+» (справа от 0), значит, это точка минимума.</p><p>$f(1) = |\frac{1}{1}-1| = 0$.</p><p>5. <i>Область значений.</i></p><p>Функция принимает только неотрицательные значения, $f(x) \ge 0$. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.</p><p>Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$. Точка минимума $x=1$, $f_{min}=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная).</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104100" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104098" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1183 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1185 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1187 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] …1 ] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1188 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1190 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1192 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1193 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1194 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1197 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1199 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1201 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1207 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1192} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1213 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1214 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1548 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1218 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863505 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "146" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-146" "field_display_title" => "146" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "146" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1223 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1255 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1257 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863506" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863504" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265 #items: array:8 [ 0 => App\Models\Task {#1266 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1427 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1444 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1461 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1476 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1493 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1510 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1529 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863505 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "146" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-146" "field_display_title" => "146" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "146" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1255} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256} "next" => array:2 [ "refs" => "863506" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863504" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104099 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "146" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/284" "field_display_title" => "284" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "next" => array:2 [ "refs" => "104100" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104098" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182} "page" => array:2 [ "refs" => "863505" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№284 (с. 146)
Условие. №284 (с. 146)
скриншот условия
284. a) $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$;
б) $f(x) = |x - 3| - 2$;
в) $f(x) = 8x^2 - x^4$;
г) $f(x) = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$.
Решение 1. №284 (с. 146)
Решение 2. №284 (с. 146)
Решение 3. №284 (с. 146)
Решение 5. №284 (с. 146)
a) $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$
Проведем полное исследование данной функции.
1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $0,5x - 1 \neq 0$, откуда $0,5x \neq 1$ и $x \neq 2$.
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
Найдем $f(-x) = 2 - \frac{4}{0,5(-x) - 1} = 2 - \frac{4}{-0,5x - 1} = 2 + \frac{4}{0,5x + 1}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Нули функции.
Решим уравнение $f(x) = 0$: $2 - \frac{4}{0,5x - 1} = 0 \implies 2 = \frac{4}{0,5x - 1}$.
$2(0,5x - 1) = 4 \implies 0,5x - 1 = 2 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.
Функция пересекает ось Ox в точке $(6; 0)$.
4. Асимптоты.
Вертикальная асимптота существует в точке разрыва, то есть при $x=2$.
Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{4}{0,5x - 1}) = 2 - 0 = 2$.
Следовательно, $y=2$ — горизонтальная асимптота.
5. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - 4(0,5x - 1)^{-1})' = -4(-1)(0,5x-1)^{-2} \cdot 0,5 = \frac{2}{(0,5x - 1)^2}$.
Поскольку $(0,5x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ всегда.
Это означает, что функция возрастает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.
6. Область значений.
Учитывая поведение функции около асимптот ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$) и то, что $y=2$ является горизонтальной асимптотой, область значений функции $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=2$ (горизонтальная).
б) $f(x) = |x - 3| - 2$Проведем полное исследование данной функции.
1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Раскрытие модуля.
Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:
$f(x) = \begin{cases} (x-3) - 2 = x-5, & \text{если } x \ge 3 \\ -(x-3) - 2 = -x+3-2 = 1-x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
3. Нули функции.
Решим уравнение $f(x)=0$: $|x - 3| - 2 = 0 \implies |x - 3| = 2$.
Отсюда $x-3=2$ или $x-3=-2$.
Получаем два корня: $x_1=5$ и $x_2=1$.
4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем производную (для $x \neq 3$):
$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
При $x < 3$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.
При $x > 3$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.
В точке $x=3$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=3$ является точкой минимума.
Значение функции в точке минимума: $f(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.
5. Область значений.
Минимальное значение функции равно -2, а ветви графика уходят вверх до бесконечности. Таким образом, область значений $E(f) = [-2; +\infty)$.
Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. Точка минимума $x=3$, $f_{min}=-2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.
в) $f(x) = 8x^2 - x^4$Проведем полное исследование данной функции.
1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
Найдем $f(-x) = 8(-x)^2 - (-x)^4 = 8x^2 - x^4 = f(x)$.
Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Нули функции.
Решим уравнение $f(x)=0$: $8x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(8 - x^2) = 0$.
Корни: $x=0$ (кратности 2), $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$.
4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем производную: $f'(x) = 16x - 4x^3 = 4x(4 - x^2) = 4x(2-x)(2+x)$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(2-x)(2+x) = 0$.
Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точки экстремума:
- $x=-2$ — точка максимума. $f(-2) = 8(-2)^2 - (-2)^4 = 32 - 16 = 16$.
- $x=0$ — точка минимума. $f(0) = 8(0)^2 - 0^4 = 0$.
- $x=2$ — точка максимума. $f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 32 - 16 = 16$.
5. Область значений.
Функция имеет два глобальных максимума в точках $x=\pm2$, равных 16. При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to -\infty$.
Следовательно, область значений $E(f) = (-\infty; 16]$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $x=\pm2$, $f_{max}=16$. Точка минимума $x=0$, $f_{min}=0$. Область значений: $(-\infty; 16]$.
г) $f(x) = |\frac{1}{x} - 1|$Проведем полное исследование данной функции.
1. Область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Нули функции.
Решим уравнение $f(x)=0$: $|\frac{1}{x} - 1| = 0 \implies \frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x=1$.
3. Асимптоты.
Вертикальная асимптота в точке разрыва $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} |\frac{1}{x} - 1| = \infty$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} |\frac{1}{x} - 1| = |0 - 1| = 1$.
Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.
4. Промежутки монотонности и экстремумы.
Раскроем модуль, учитывая знак выражения $\frac{1}{x}-1$.
- При $x \in (0; 1)$, $\frac{1}{x} > 1$, поэтому $f(x) = \frac{1}{x} - 1$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, $\frac{1}{x} < 1$, поэтому $f(x) = -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}$. $f'(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция возрастает.
Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$.
В точке $x=1$ производная не существует, и знак производной меняется с «−» на «+» (справа от 0), значит, это точка минимума.
$f(1) = |\frac{1}{1}-1| = 0$.
5. Область значений.
Функция принимает только неотрицательные значения, $f(x) \ge 0$. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$. Точка минимума $x=1$, $f_{min}=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 284 расположенного на странице 146 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №284 (с. 146), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.