gdz.top
Номер 295, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 295, страница 151.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104110 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/295" "field_display_title" => "295" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" …4 ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #original: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1073 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "zelyonyy" ] #original: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "zelyonyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "chyornyy" ] #original: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "chyornyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1127 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1128 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156339 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>295.</strong>- Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте график функции:</p><p><strong>а)</strong> $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$; <strong>б)</strong> $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$; <strong>г)</strong> $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x-1}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 361 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/295-1.webp?ts=1733864883" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156339 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096} "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>295.</strong>- Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте график функции:</p><p><strong>а)</strong> $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$; <strong>б)</strong> $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$; <strong>г)</strong> $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x-1}$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 361 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/295-1.webp?ts=1733864883" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1098 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156922 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1095 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.png" "alt" => null "width" => "759" "height" => 1004 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-1.webp?ts=1733865026" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.png" "alt" => null "width" => "741" "height" => 1012 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-2.webp?ts=1733865026" ] 2 => array:5 [ "name" => "295-3.png" "alt" => null "width" => "776" "height" => 922 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-3.webp?ts=1733865026" ] 3 => array:5 [ "name" => "295-4.png" "alt" => null "width" => "755" "height" => 1455 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-4.webp?ts=1733865026" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156922 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.png" "alt" => null "width" => "759" "height" => 1004 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-1.webp?ts=1733865026" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.png" "alt" => null "width" => "741" "height" => 1012 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-2.webp?ts=1733865026" ] 2 => array:5 [ "name" => "295-3.png" "alt" => null "width" => "776" "height" => 922 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-3.webp?ts=1733865026" ] 3 => array:5 [ "name" => "295-4.png" "alt" => null "width" => "755" "height" => 1455 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/295-4.webp?ts=1733865026" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1090 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157581 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1086 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1273 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-1.webp?ts=1733995756" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1431 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-2.webp?ts=1733995756" ] 2 => array:5 [ "name" => "295-3.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 2067 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-3.webp?ts=1733995756" ] 3 => array:5 [ "name" => "295-4.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 997 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-4.webp?ts=1733995756" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157581 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1273 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-1.webp?ts=1733995756" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1431 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-2.webp?ts=1733995756" ] 2 => array:5 [ "name" => "295-3.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 2067 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-3.webp?ts=1733995756" ] 3 => array:5 [ "name" => "295-4.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 997 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/295-4.webp?ts=1733995756" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1034 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1039 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1273 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/295-1.webp?ts=1733995735" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1431 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/295-2.webp?ts=1733995735" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "295-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1273 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/295-1.webp?ts=1733995735" ] 1 => array:5 [ "name" => "295-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 1431 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/295-2.webp?ts=1733995735" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1117 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1341620 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1132 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^4 - 8(-x)^2 = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = f(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Найдем первую производную функции:<br>$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 8x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 8 \cdot 2x = 2x^3 - 16x$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>Найдем точки, в которых производная равна нулю:<br>$f'(x) = 0 \implies 2x^3 - 16x = 0$<br>$2x(x^2 - 8) = 0$<br>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 2\sqrt{2})$, $(2\sqrt{2}; +\infty)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2\sqrt{2})$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2(-3)^3 - 16(-3) = -54 + 48 = -6 < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-2\sqrt{2}; 0)$, например $x = -1$: $f'(-1) = 2(-1)^3 - 16(-1) = -2 + 16 = 14 > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (0; 2\sqrt{2})$, например $x = 1$: $f'(1) = 2(1)^3 - 16(1) = 2 - 16 = -14 < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (2\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2(3)^3 - 16(3) = 54 - 48 = 6 > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(-2\sqrt{2})^4 - 8(-2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(64) - 8(8) = 32 - 64 = -32$.</li> <li>В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(0) = 0$.</li> <li>В точке $x = 2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})^4 - 8(2\sqrt{2})^2 = -32$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:<br>С осью Oy: $x=0, y=0$. Точка $(0, 0)$.<br>С осью Ox: $y=0 \implies \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \implies \frac{1}{2}x^2(x^2 - 16) = 0$.<br>Точки: $x=0, x=4, x=-4$. Точки пересечения: $(0, 0), (4, 0), (-4, 0)$.<br>График представляет собой W-образную кривую, симметричную относительно оси Oy, с максимумом в точке $(0,0)$ и двумя минимумами в точках $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутках $[-2\sqrt{2}; 0]$ и $[2\sqrt{2}; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2\sqrt{2}]$ и $[0; 2\sqrt{2}]$. Точка максимума: $(0, 0)$. Точки минимума: $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.</p><p><strong>б) $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Знаменатель $1+x^2 > 0$ при любых $x$. Область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = \frac{3(-x)}{1+(-x)^2} = -\frac{3x}{1+x^2} = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Используем правило дифференцирования частного:<br>$f'(x) = \frac{(3x)'(1+x^2) - 3x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{3(1+x^2) - 3x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3+3x^2-6x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{3-3x^2}{(1+x^2)^2}$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>Найдем точки, в которых производная равна нулю:<br>$f'(x) = 0 \implies 3-3x^2 = 0 \implies 1-x^2=0 \implies x^2=1$.<br>Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной зависит от знака числителя $3(1-x^2)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $f'(-2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = \frac{3(1-0)}{(1+0)^2} > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-1) = \frac{3(-1)}{1+(-1)^2} = \frac{-3}{2} = -1.5$.</li> <li>В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(1) = \frac{3(1)}{1+1^2} = \frac{3}{2} = 1.5$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{1+x^2} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.<br>Пересечение с осями: $f(0)=0$. Точка $(0,0)$.<br>График проходит через начало координат, имеет минимум в точке $(-1, -1.5)$ и максимум в точке $(1, 1.5)$, а также асимптотически приближается к оси Ox при $x \to \pm\infty$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума: $(-1, -1.5)$. Точка максимума: $(1, 1.5)$.</p><p><strong>в) $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = 2(-x) - \frac{1}{6}(-x)^3 = -2x + \frac{1}{6}x^3 = -(2x - \frac{1}{6}x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>$f'(x) = (2x - \frac{1}{6}x^3)' = 2 - \frac{1}{6} \cdot 3x^2 = 2 - \frac{1}{2}x^2$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>$f'(x) = 0 \implies 2 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \implies x^2 = 4$.<br>Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной определяется выражением $2 - \frac{1}{2}x^2$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-2; 2)$, например $x = 0$: $f'(0) = 2 > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-2) = 2(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3 = -4 + \frac{8}{6} = -4 + \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$.</li> <li>В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(2) = 2(2) - \frac{1}{6}(2)^3 = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Пересечение с осью Ox: $2x - \frac{1}{6}x^3 = 0 \implies x(2-\frac{1}{6}x^2)=0$.<br>Точки: $x=0$ и $x^2=12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.<br>Точки пересечения: $(0,0)$, $(-2\sqrt{3}, 0)$, $(2\sqrt{3}, 0)$.<br>График — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, с минимумом в $(-2, -8/3)$ и максимумом в $(2, 8/3)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума: $(-2, -8/3)$. Точка максимума: $(2, 8/3)$.</p><p><strong>г) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Знаменатель не может быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.<br>$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.</p><p>2. <i>Преобразование функции и асимптоты.</i></p><p>Выделим целую часть:<br>$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)^2 + 1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x-1}$.<br>Из этого представления видно, что прямая $y=x-1$ является наклонной асимптотой, так как $\frac{1}{x-1} \to 0$ при $x \to \pm\infty$.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Дифференцируем преобразованное выражение:<br>$f'(x) = (x - 1 + \frac{1}{x-1})' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2}$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>$f'(x) = 0 \implies (x-1)^2 - 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 1$.<br>$x-1 = 1 \implies x=2$.<br>$x-1 = -1 \implies x=0$.<br>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной зависит от знака числителя $(x-1)^2-1 = x^2-2x = x(x-2)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; 0)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (0; 1)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (1; 2)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(0) = \frac{0-0+2}{0-1} = -2$.</li> <li>В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(2) = \frac{2^2-2(2)+2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Пересечение с осью Oy: $(0, -2)$.<br>Пересечение с осью Ox: $x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D = 4-8=-4 < 0$, пересечений с осью Ox нет.<br>График состоит из двух ветвей гиперболического типа. Левая ветвь возрастает до максимума в $(0, -2)$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 1^-$. Правая ветвь идет от $+\infty$ при $x \to 1^+$, убывает до минимума в $(2, 2)$ и затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x-1$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; 2]$. Точка максимума: $(0, -2)$. Точка минимума: $(2, 2)$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1341620 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "task" => array:2 [ "refs" => "104110" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^4 - 8(-x)^2 = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = f(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Найдем первую производную функции:<br>$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 8x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 8 \cdot 2x = 2x^3 - 16x$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>Найдем точки, в которых производная равна нулю:<br>$f'(x) = 0 \implies 2x^3 - 16x = 0$<br>$2x(x^2 - 8) = 0$<br>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 2\sqrt{2})$, $(2\sqrt{2}; +\infty)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2\sqrt{2})$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2(-3)^3 - 16(-3) = -54 + 48 = -6 < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-2\sqrt{2}; 0)$, например $x = -1$: $f'(-1) = 2(-1)^3 - 16(-1) = -2 + 16 = 14 > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (0; 2\sqrt{2})$, например $x = 1$: $f'(1) = 2(1)^3 - 16(1) = 2 - 16 = -14 < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (2\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2(3)^3 - 16(3) = 54 - 48 = 6 > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(-2\sqrt{2})^4 - 8(-2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(64) - 8(8) = 32 - 64 = -32$.</li> <li>В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(0) = 0$.</li> <li>В точке $x = 2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})^4 - 8(2\sqrt{2})^2 = -32$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:<br>С осью Oy: $x=0, y=0$. Точка $(0, 0)$.<br>С осью Ox: $y=0 \implies \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \implies \frac{1}{2}x^2(x^2 - 16) = 0$.<br>Точки: $x=0, x=4, x=-4$. Точки пересечения: $(0, 0), (4, 0), (-4, 0)$.<br>График представляет собой W-образную кривую, симметричную относительно оси Oy, с максимумом в точке $(0,0)$ и двумя минимумами в точках $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутках $[-2\sqrt{2}; 0]$ и $[2\sqrt{2}; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2\sqrt{2}]$ и $[0; 2\sqrt{2}]$. Точка максимума: $(0, 0)$. Точки минимума: $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.</p><p><strong>б) $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Знаменатель $1+x^2 > 0$ при любых $x$. Область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = \frac{3(-x)}{1+(-x)^2} = -\frac{3x}{1+x^2} = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Используем правило дифференцирования частного:<br>$f'(x) = \frac{(3x)'(1+x^2) - 3x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{3(1+x^2) - 3x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3+3x^2-6x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{3-3x^2}{(1+x^2)^2}$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>Найдем точки, в которых производная равна нулю:<br>$f'(x) = 0 \implies 3-3x^2 = 0 \implies 1-x^2=0 \implies x^2=1$.<br>Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной зависит от знака числителя $3(1-x^2)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $f'(-2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = \frac{3(1-0)}{(1+0)^2} > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-1) = \frac{3(-1)}{1+(-1)^2} = \frac{-3}{2} = -1.5$.</li> <li>В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(1) = \frac{3(1)}{1+1^2} = \frac{3}{2} = 1.5$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{1+x^2} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.<br>Пересечение с осями: $f(0)=0$. Точка $(0,0)$.<br>График проходит через начало координат, имеет минимум в точке $(-1, -1.5)$ и максимум в точке $(1, 1.5)$, а также асимптотически приближается к оси Ox при $x \to \pm\infty$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума: $(-1, -1.5)$. Точка максимума: $(1, 1.5)$.</p><p><strong>в) $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <i>Четность/нечетность.</i></p><p>$f(-x) = 2(-x) - \frac{1}{6}(-x)^3 = -2x + \frac{1}{6}x^3 = -(2x - \frac{1}{6}x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>$f'(x) = (2x - \frac{1}{6}x^3)' = 2 - \frac{1}{6} \cdot 3x^2 = 2 - \frac{1}{2}x^2$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>$f'(x) = 0 \implies 2 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \implies x^2 = 4$.<br>Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной определяется выражением $2 - \frac{1}{2}x^2$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (-2; 2)$, например $x = 0$: $f'(0) = 2 > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(-2) = 2(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3 = -4 + \frac{8}{6} = -4 + \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$.</li> <li>В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(2) = 2(2) - \frac{1}{6}(2)^3 = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Пересечение с осью Ox: $2x - \frac{1}{6}x^3 = 0 \implies x(2-\frac{1}{6}x^2)=0$.<br>Точки: $x=0$ и $x^2=12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.<br>Точки пересечения: $(0,0)$, $(-2\sqrt{3}, 0)$, $(2\sqrt{3}, 0)$.<br>График — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, с минимумом в $(-2, -8/3)$ и максимумом в $(2, 8/3)$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума: $(-2, -8/3)$. Точка максимума: $(2, 8/3)$.</p><p><strong>г) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$</strong></p><p>1. <i>Область определения.</i></p><p>Знаменатель не может быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.<br>$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.</p><p>2. <i>Преобразование функции и асимптоты.</i></p><p>Выделим целую часть:<br>$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)^2 + 1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x-1}$.<br>Из этого представления видно, что прямая $y=x-1$ является наклонной асимптотой, так как $\frac{1}{x-1} \to 0$ при $x \to \pm\infty$.</p><p>3. <i>Производная.</i></p><p>Дифференцируем преобразованное выражение:<br>$f'(x) = (x - 1 + \frac{1}{x-1})' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2}$.</p><p>4. <i>Критические точки.</i></p><p>$f'(x) = 0 \implies (x-1)^2 - 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 1$.<br>$x-1 = 1 \implies x=2$.<br>$x-1 = -1 \implies x=0$.<br>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.</p><p>5. <i>Промежутки возрастания и убывания.</i></p><p>Знак производной зависит от знака числителя $(x-1)^2-1 = x^2-2x = x(x-2)$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty; 0)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.</li> <li>При $x \in (0; 1)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (1; 2)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.</li> <li>При $x \in (2; +\infty)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.</li></ul><p>6. <i>Точки экстремума.</i></p><ul><li>В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.<br>$y_{max} = f(0) = \frac{0-0+2}{0-1} = -2$.</li> <li>В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.<br>$y_{min} = f(2) = \frac{2^2-2(2)+2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$.</li></ul><p>7. <i>Построение графика.</i></p><p>Пересечение с осью Oy: $(0, -2)$.<br>Пересечение с осью Ox: $x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D = 4-8=-4 < 0$, пересечений с осью Ox нет.<br>График состоит из двух ветвей гиперболического типа. Левая ветвь возрастает до максимума в $(0, -2)$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 1^-$. Правая ветвь идет от $+\infty$ при $x \to 1^+$, убывает до минимума в $(2, 2)$ и затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x-1$.</p><p><strong>Ответ:</strong> Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; 2]$. Точка максимума: $(0, -2)$. Точка минимума: $(2, 2)$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104111" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104109" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1107 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863510 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-151" "field_display_title" => "151" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "151" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1148 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1037688 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #original: array:6 [ "id" => 1037688 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "book_page" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863511" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863509" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Task {#1249 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104108 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/293" "field_display_title" => "293" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1251 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1252 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1253 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 104108 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/293" "field_display_title" => "293" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1251 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1252 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1253 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1265 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1255 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/294" "field_display_title" => "294" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1282 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 104109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/294" "field_display_title" => "294" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1254 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1282 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1257 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104110 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/295" "field_display_title" => "295" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #original: array:24 [ "id" => 104110 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/295" "field_display_title" => "295" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1280 …2} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1279 …2} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1281 …2} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277 …2} "next" => array:2 [ …2] "previous" => array:2 [ …2] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1260 …2} "page" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863510 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-151" "field_display_title" => "151" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "151" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149} "next" => array:2 [ "refs" => "863511" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863509" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104110 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "151" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/295" "field_display_title" => "295" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "next" => array:2 [ "refs" => "104111" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104109" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "page" => array:2 [ "refs" => "863510" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№295 (с. 151)
Условие. №295 (с. 151)
скриншот условия
295.- Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте график функции:
а) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$; б) $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$;
в) $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$; г) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x-1}$.
Решение 1. №295 (с. 151)
Решение 2. №295 (с. 151)
Решение 3. №295 (с. 151)
Решение 5. №295 (с. 151)
а) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$
1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^4 - 8(-x)^2 = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = f(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Производная.
Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 8x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 8 \cdot 2x = 2x^3 - 16x$.
4. Критические точки.
Найдем точки, в которых производная равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies 2x^3 - 16x = 0$
$2x(x^2 - 8) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
5. Промежутки возрастания и убывания.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 2\sqrt{2})$, $(2\sqrt{2}; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2\sqrt{2})$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2(-3)^3 - 16(-3) = -54 + 48 = -6 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-2\sqrt{2}; 0)$, например $x = -1$: $f'(-1) = 2(-1)^3 - 16(-1) = -2 + 16 = 14 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0; 2\sqrt{2})$, например $x = 1$: $f'(1) = 2(1)^3 - 16(1) = 2 - 16 = -14 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (2\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2(3)^3 - 16(3) = 54 - 48 = 6 > 0$. Функция возрастает.
6. Точки экстремума.
- В точке $x = -2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(-2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(-2\sqrt{2})^4 - 8(-2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}(64) - 8(8) = 32 - 64 = -32$. - В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(0) = 0$. - В точке $x = 2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})^4 - 8(2\sqrt{2})^2 = -32$.
7. Построение графика.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Oy: $x=0, y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0 \implies \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \implies \frac{1}{2}x^2(x^2 - 16) = 0$.
Точки: $x=0, x=4, x=-4$. Точки пересечения: $(0, 0), (4, 0), (-4, 0)$.
График представляет собой W-образную кривую, симметричную относительно оси Oy, с максимумом в точке $(0,0)$ и двумя минимумами в точках $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.
Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-2\sqrt{2}; 0]$ и $[2\sqrt{2}; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2\sqrt{2}]$ и $[0; 2\sqrt{2}]$. Точка максимума: $(0, 0)$. Точки минимума: $(-2\sqrt{2}, -32)$ и $(2\sqrt{2}, -32)$.
б) $f(x) = \frac{3x}{1+x^2}$
1. Область определения.
Знаменатель $1+x^2 > 0$ при любых $x$. Область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность.
$f(-x) = \frac{3(-x)}{1+(-x)^2} = -\frac{3x}{1+x^2} = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
3. Производная.
Используем правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(3x)'(1+x^2) - 3x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{3(1+x^2) - 3x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3+3x^2-6x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{3-3x^2}{(1+x^2)^2}$.
4. Критические точки.
Найдем точки, в которых производная равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies 3-3x^2 = 0 \implies 1-x^2=0 \implies x^2=1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
5. Промежутки возрастания и убывания.
Знак производной зависит от знака числителя $3(1-x^2)$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $f'(-2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = \frac{3(1-0)}{(1+0)^2} > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} < 0$. Функция убывает.
6. Точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.
$y_{min} = f(-1) = \frac{3(-1)}{1+(-1)^2} = \frac{-3}{2} = -1.5$. - В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
$y_{max} = f(1) = \frac{3(1)}{1+1^2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
7. Построение графика.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{1+x^2} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.
Пересечение с осями: $f(0)=0$. Точка $(0,0)$.
График проходит через начало координат, имеет минимум в точке $(-1, -1.5)$ и максимум в точке $(1, 1.5)$, а также асимптотически приближается к оси Ox при $x \to \pm\infty$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума: $(-1, -1.5)$. Точка максимума: $(1, 1.5)$.
в) $f(x) = 2x - \frac{1}{6}x^3$
1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность.
$f(-x) = 2(-x) - \frac{1}{6}(-x)^3 = -2x + \frac{1}{6}x^3 = -(2x - \frac{1}{6}x^3) = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
3. Производная.
$f'(x) = (2x - \frac{1}{6}x^3)' = 2 - \frac{1}{6} \cdot 3x^2 = 2 - \frac{1}{2}x^2$.
4. Критические точки.
$f'(x) = 0 \implies 2 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \implies x^2 = 4$.
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
5. Промежутки возрастания и убывания.
Знак производной определяется выражением $2 - \frac{1}{2}x^2$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $f'(-3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (-2; 2)$, например $x = 0$: $f'(0) = 2 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 2 - \frac{9}{2} < 0$. Функция убывает.
6. Точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.
$y_{min} = f(-2) = 2(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3 = -4 + \frac{8}{6} = -4 + \frac{4}{3} = -\frac{8}{3}$. - В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
$y_{max} = f(2) = 2(2) - \frac{1}{6}(2)^3 = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
7. Построение графика.
Пересечение с осью Ox: $2x - \frac{1}{6}x^3 = 0 \implies x(2-\frac{1}{6}x^2)=0$.
Точки: $x=0$ и $x^2=12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.
Точки пересечения: $(0,0)$, $(-2\sqrt{3}, 0)$, $(2\sqrt{3}, 0)$.
График — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, с минимумом в $(-2, -8/3)$ и максимумом в $(2, 8/3)$.
Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-2; 2]$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума: $(-2, -8/3)$. Точка максимума: $(2, 8/3)$.
г) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$
1. Область определения.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
2. Преобразование функции и асимптоты.
Выделим целую часть:
$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)^2 + 1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x-1}$.
Из этого представления видно, что прямая $y=x-1$ является наклонной асимптотой, так как $\frac{1}{x-1} \to 0$ при $x \to \pm\infty$.
3. Производная.
Дифференцируем преобразованное выражение:
$f'(x) = (x - 1 + \frac{1}{x-1})' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2}$.
4. Критические точки.
$f'(x) = 0 \implies (x-1)^2 - 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 1$.
$x-1 = 1 \implies x=2$.
$x-1 = -1 \implies x=0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
5. Промежутки возрастания и убывания.
Знак производной зависит от знака числителя $(x-1)^2-1 = x^2-2x = x(x-2)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0; 1)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (1; 2)$, числитель $x(x-2) < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (2; +\infty)$, числитель $x(x-2) > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
6. Точки экстремума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
$y_{max} = f(0) = \frac{0-0+2}{0-1} = -2$. - В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.
$y_{min} = f(2) = \frac{2^2-2(2)+2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$.
7. Построение графика.
Пересечение с осью Oy: $(0, -2)$.
Пересечение с осью Ox: $x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D = 4-8=-4 < 0$, пересечений с осью Ox нет.
График состоит из двух ветвей гиперболического типа. Левая ветвь возрастает до максимума в $(0, -2)$ и уходит на $-\infty$ при $x \to 1^-$. Правая ветвь идет от $+\infty$ при $x \to 1^+$, убывает до минимума в $(2, 2)$ и затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x-1$.
Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $[0; 1)$ и $(1; 2]$. Точка максимума: $(0, -2)$. Точка минимума: $(2, 2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 295 расположенного на странице 151 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №295 (с. 151), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.