gdz.top
Номер 300, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 300, страница 154.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104115 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "154" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/300" "field_display_title" => "300" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1067 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1069 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1071 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1104 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 103767 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Производная и её применения" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_page_start" => "97" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103770 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Применения производной к исследованию функции" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_page_start" => "143" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1142 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156345 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1144 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1149 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "text" => "<p>Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).</p><p>.300.— <strong>а)</strong> $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x^2 - x^4$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 1\frac{1}{3}x^3$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = 5x^3 - 3x^5$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 283 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/300-1.webp?ts=1733864887" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156345 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "text" => "<p>Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).</p><p>.300.— <strong>а)</strong> $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x^2 - x^4$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 1\frac{1}{3}x^3$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = 5x^3 - 3x^5$.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1415" "height" => 283 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/300-1.webp?ts=1733864887" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1150 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 156944 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1152 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1155 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.png" "alt" => null "width" => "762" "height" => 1233 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-1.webp?ts=1733865036" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.png" "alt" => null "width" => "750" "height" => 1014 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-2.webp?ts=1733865036" ] 2 => array:5 [ "name" => "300-3.png" "alt" => null "width" => "763" "height" => 1188 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-3.webp?ts=1733865036" ] 3 => array:5 [ "name" => "300-4.png" "alt" => null "width" => "763" "height" => 1079 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-4.webp?ts=1733865036" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 156944 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.png" "alt" => null "width" => "762" "height" => 1233 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-1.webp?ts=1733865036" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.png" "alt" => null "width" => "750" "height" => 1014 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-2.webp?ts=1733865036" ] 2 => array:5 [ "name" => "300-3.png" "alt" => null "width" => "763" "height" => 1188 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-3.webp?ts=1733865036" ] 3 => array:5 [ "name" => "300-4.png" "alt" => null "width" => "763" "height" => 1079 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/300-4.webp?ts=1733865036" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1158 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157608 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1160 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 722 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-1.webp?ts=1733995764" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 594 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-2.webp?ts=1733995764" ] 2 => array:5 [ "name" => "300-3.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 1222 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-3.webp?ts=1733995764" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157608 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 722 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-1.webp?ts=1733995764" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 594 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-2.webp?ts=1733995764" ] 2 => array:5 [ "name" => "300-3.jpg" "alt" => null "width" => "1377" "height" => 1222 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/300-3.webp?ts=1733995764" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1166 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168462 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1168 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 …2} "field_process_formula" => "" …2 ] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 722 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/300-1.webp?ts=1733995743" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 594 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/300-2.webp?ts=1733995743" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168462 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 722 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/300-1.webp?ts=1733995743" ] 1 => array:5 [ "name" => "300-2.jpg" "alt" => null "width" => "1124" "height" => 594 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/300-2.webp?ts=1733995743" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1174 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 167974 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1176 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1438" "height" => 1519 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/300-1.webp?ts=1733992580" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 167974 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "300-1.jpg" "alt" => null "width" => "1438" "height" => 1519 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/300-1.webp?ts=1733992580" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1182 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1341638 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1184 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - \frac{1}{5}(-x)^5 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^5$.</p><p>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \approx 1.36$. Точки $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{5/2}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5)' = x - x^4 = x(1 - x^3)$.</p><p>Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $x(1 - x^3) = 0$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><p>Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:</p><ul><li>При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(0)=0$.</p><p>В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} = 0.3$.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (x - x^4)' = 1 - 4x^3$.</p><p>Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $1 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.63$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, 1/\sqrt[3]{4})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).</li> <li>При $x \in (1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).</li></ul><p>Точка $x = 1/\sqrt[3]{4}$ является точкой перегиба. $f(1/\sqrt[3]{4}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{4^{1/3}})^2 - \frac{1}{5}(\frac{1}{4^{1/3}})^5 = \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}} \approx 0.18$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = -\infty$.</p><p>$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = +\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[0, 1]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(1, 0.3)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/\sqrt[3]{4}]$, выпуклый на $[1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}})$.</p><p><strong>б) $f(x) = 4x^2 - x^4$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.</p><p>Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $4x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(4 - x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2$. Точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2)$.</p><p>Критические точки: $4x(2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-\sqrt{2}, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0, \sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точки $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ — точки локального максимума. $f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 8 - 4 = 4$.</p><p>Точка $x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=0$.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (8x - 4x^3)' = 8 - 12x^2 = 4(2 - 3x^2)$.</p><p>Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $8 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$ и $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li> <li>При $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li></ul><p>Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\sqrt{2/3}) = 4(\frac{2}{3}) - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{3} - \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to \pm\infty} (4x^2 - x^4) = -\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[0, \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}, 0]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$. Точки максимума $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, точка минимума $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -\sqrt{2/3}]$ и $[\sqrt{2/3}, +\infty)$, вогнутый на $[-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3}]$. Точки перегиба $(\pm\sqrt{2/3}, 20/9)$.</p><p><strong>в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 = -f(x)$.</p><p>Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x-1)(x+1)$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \leq 0$, функция убывает (в точке $x=0$ производная равна 0).</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li></ul><p>Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $f(-1) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.</p><p>Точка $x=1$ — точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}$.</p><p>В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (x^4 - x^2)' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$.</p><p>Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li> <li>При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li></ul><p>Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \mp \frac{7}{60\sqrt{2}}$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка максимума $(-1, 2/15)$, точка минимума $(1, -2/15)$. График выпуклый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, вогнутый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \mp \frac{7}{60\sqrt{2}})$.</p><p><strong>г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -f(x)$.</p><p>Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2)$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \geq 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0).</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $f(-1) = -5 + 3 = -2$.</p><p>Точка $x=1$ — точка локального максимума. $f(1) = 5 - 3 = 2$.</p><p>В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.</p><p>Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li> <li>При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li></ul><p>Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \pm \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx \pm 1.24$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[-1, 1]$. Точка минимума $(-1, -2)$, точка максимума $(1, 2)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, выпуклый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm \frac{7\sqrt{2}}{8})$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1341638 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183} "task" => array:2 [ "refs" => "104115" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - \frac{1}{5}(-x)^5 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^5$.</p><p>Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \approx 1.36$. Точки $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{5/2}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5)' = x - x^4 = x(1 - x^3)$.</p><p>Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $x(1 - x^3) = 0$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><p>Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:</p><ul><li>При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(0)=0$.</p><p>В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} = 0.3$.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (x - x^4)' = 1 - 4x^3$.</p><p>Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $1 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.63$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, 1/\sqrt[3]{4})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).</li> <li>При $x \in (1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).</li></ul><p>Точка $x = 1/\sqrt[3]{4}$ является точкой перегиба. $f(1/\sqrt[3]{4}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{4^{1/3}})^2 - \frac{1}{5}(\frac{1}{4^{1/3}})^5 = \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}} \approx 0.18$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = -\infty$.</p><p>$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = +\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[0, 1]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(1, 0.3)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/\sqrt[3]{4}]$, выпуклый на $[1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}})$.</p><p><strong>б) $f(x) = 4x^2 - x^4$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.</p><p>Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $4x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(4 - x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2$. Точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2)$.</p><p>Критические точки: $4x(2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-\sqrt{2}, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (0, \sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точки $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ — точки локального максимума. $f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 8 - 4 = 4$.</p><p>Точка $x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=0$.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (8x - 4x^3)' = 8 - 12x^2 = 4(2 - 3x^2)$.</p><p>Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $8 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$ и $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li> <li>При $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li></ul><p>Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\sqrt{2/3}) = 4(\frac{2}{3}) - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{3} - \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to \pm\infty} (4x^2 - x^4) = -\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[0, \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}, 0]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$. Точки максимума $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, точка минимума $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -\sqrt{2/3}]$ и $[\sqrt{2/3}, +\infty)$, вогнутый на $[-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3}]$. Точки перегиба $(\pm\sqrt{2/3}, 20/9)$.</p><p><strong>в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 = -f(x)$.</p><p>Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x-1)(x+1)$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li> <li>При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \leq 0$, функция убывает (в точке $x=0$ производная равна 0).</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.</li></ul><p>Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $f(-1) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.</p><p>Точка $x=1$ — точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}$.</p><p>В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (x^4 - x^2)' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$.</p><p>Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li> <li>При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li></ul><p>Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \mp \frac{7}{60\sqrt{2}}$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка максимума $(-1, 2/15)$, точка минимума $(1, -2/15)$. График выпуклый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, вогнутый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \mp \frac{7}{60\sqrt{2}})$.</p><p><strong>г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$</strong></p><p>1. <em>Область определения функции.</em></p><p>$D(f) = (-\infty; +\infty)$.</p><p>2. <em>Четность и нечетность.</em></p><p>$f(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -f(x)$.</p><p>Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.</p><p>3. <em>Точки пересечения с осями координат.</em></p><p>С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.</p><p>С осью Ox: $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.</p><p>Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.</p><p>4. <em>Производная и критические точки.</em></p><p>$f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2)$.</p><p>Критические точки: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 1$.</p><p>5. <em>Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.</em></p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li> <li>При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \geq 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0).</li> <li>При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.</li></ul><p>Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $f(-1) = -5 + 3 = -2$.</p><p>Точка $x=1$ — точка локального максимума. $f(1) = 5 - 3 = 2$.</p><p>В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.</p><p>6. <em>Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.</em></p><p>$f''(x) = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.</p><p>Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.</p><ul><li>При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.</li> <li>При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.</li></ul><p>Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \pm \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx \pm 1.24$.</p><p>7. <em>Поведение на бесконечности.</em></p><p>$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.</p><p>На основе полученных данных строим график функции.</p><p>Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[-1, 1]$. Точка минимума $(-1, -2)$, точка максимума $(1, 2)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, выпуклый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm \frac{7\sqrt{2}}{8})$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104116" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104114" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1191 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1193 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1195 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1196 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1198 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1200 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1201 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1202 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1205 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1207 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1209 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1215 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1200} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1221 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1222 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1556 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1226 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863513 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "154" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-154" "field_display_title" => "154" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "154" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1231 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1265 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863514" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863512" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273 #items: array:8 [ 0 => App\Models\Task {#1274 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1427 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1444 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1461 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1478 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1503 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1520 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1537 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863513 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "154" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-154" "field_display_title" => "154" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "154" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1263} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1264} "next" => array:2 [ "refs" => "863514" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863512" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1273} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104115 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "154" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/300" "field_display_title" => "300" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141} "next" => array:2 [ "refs" => "104116" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104114" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1190} "page" => array:2 [ "refs" => "863513" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№300 (с. 154)
Условие. №300 (с. 154)
скриншот условия
Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).
.300.— а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$;
б) $f(x) = 4x^2 - x^4$;
в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 1\frac{1}{3}x^3$;
г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$.
Решение 1. №300 (с. 154)
Решение 2. №300 (с. 154)
Решение 3. №300 (с. 154)
Решение 4. №300 (с. 154)
Решение 5. №300 (с. 154)
а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$
1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - \frac{1}{5}(-x)^5 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^5$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \approx 1.36$. Точки $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{5/2}, 0)$.
4. Производная и критические точки.
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5)' = x - x^4 = x(1 - x^3)$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $x(1 - x^3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(0)=0$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} = 0.3$.
6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.
$f''(x) = (x - x^4)' = 1 - 4x^3$.
Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $1 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.63$.
- При $x \in (-\infty, 1/\sqrt[3]{4})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x \in (1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точка $x = 1/\sqrt[3]{4}$ является точкой перегиба. $f(1/\sqrt[3]{4}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{4^{1/3}})^2 - \frac{1}{5}(\frac{1}{4^{1/3}})^5 = \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}} \approx 0.18$.
7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = +\infty$.
На основе полученных данных строим график функции.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[0, 1]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(1, 0.3)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/\sqrt[3]{4}]$, выпуклый на $[1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}})$.
б) $f(x) = 4x^2 - x^4$
1. Область определения функции.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.
Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0$, $4x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(4 - x^2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2$. Точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.
4. Производная и критические точки.
$f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2)$.
Критические точки: $4x(2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.
5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
- При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-\sqrt{2}, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, \sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точки $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ — точки локального максимума. $f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 8 - 4 = 4$.
Точка $x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=0$.
6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.
$f''(x) = (8x - 4x^3)' = 8 - 12x^2 = 4(2 - 3x^2)$.
Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $8 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.
- При $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$ и $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
- При $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\sqrt{2/3}) = 4(\frac{2}{3}) - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{3} - \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$.
7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to \pm\infty} (4x^2 - x^4) = -\infty$.
На основе полученных данных строим график функции.
Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[0, \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}, 0]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$. Точки максимума $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, точка минимума $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -\sqrt{2/3}]$ и $[\sqrt{2/3}, +\infty)$, вогнутый на $[-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3}]$. Точки перегиба $(\pm\sqrt{2/3}, 20/9)$.
в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$
1. Область определения функции.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 = -f(x)$.
Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.
4. Производная и критические точки.
$f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x-1)(x+1)$.
Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.
5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
- При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \leq 0$, функция убывает (в точке $x=0$ производная равна 0).
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $f(-1) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.
Точка $x=1$ — точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}$.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.
6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.
$f''(x) = (x^4 - x^2)' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$.
Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
- При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \mp \frac{7}{60\sqrt{2}}$.
7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
На основе полученных данных строим график функции.
Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка максимума $(-1, 2/15)$, точка минимума $(1, -2/15)$. График выпуклый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, вогнутый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \mp \frac{7}{60\sqrt{2}})$.
г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$
1. Область определения функции.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность.
$f(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -f(x)$.
Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.
4. Производная и критические точки.
$f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2)$.
Критические точки: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 1$.
5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
- При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \geq 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0).
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $f(-1) = -5 + 3 = -2$.
Точка $x=1$ — точка локального максимума. $f(1) = 5 - 3 = 2$.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.
6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.
$f''(x) = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.
Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
- При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \pm \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx \pm 1.24$.
7. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
На основе полученных данных строим график функции.
Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[-1, 1]$. Точка минимума $(-1, -2)$, точка максимума $(1, 2)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, выпуклый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm \frac{7\sqrt{2}}{8})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 300 расположенного на странице 154 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №300 (с. 154), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.