gdz.top
Номер 352, страница 185 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов
Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2026
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 352, страница 185.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 104178 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/352" "field_display_title" => "352" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103772 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная и интеграл" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #original: array:12 [ "id" => 4632 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колмогоров" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Андрей" "field_patronymic" => "Николаевич" "field_surname_rp" => "Колмогорова" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3650 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Абрамов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Александр" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4300 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дудницын" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Павлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1073 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "зелёный" "field_creative_case" => "зелёным" "field_dative_case" => "зелёному" "field_genitive_case" => "зелёного" "field_nominative_case" => "зелёный" "field_prepositional_case" => "зелёном" ] "field_translit" => "zelyonyy" ] #original: array:6 [ "id" => 47 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "зелёный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "зелёный" "field_creative_case" => "зелёным" "field_dative_case" => "зелёному" "field_genitive_case" => "зелёного" "field_nominative_case" => "зелёный" "field_prepositional_case" => "зелёном" ] "field_translit" => "zelyonyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "chyornyy" ] #original: array:6 [ "id" => 56 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "чёрный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "chyornyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #original: array:50 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "17" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Алгебра и начала математического анализа" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1202" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_10/kolmogorov/" "field_isbn" => "978-5-09-019513-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/covers/cover1.webp?ts=1733838489" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "915" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Выбирая в качестве онлайн-консультанта <strong>ГДЗ по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов, Дудницын (Просвещение)</strong>, каждый школьник может быть уверен, что справится со всеми учебными задачами текущего года. Помимо идеальной подготовки домашних заданий, подросток сможет самостоятельно осваивать новые темы, выполнять диагностику своих знаний и восполнять в них пробелы, повторять и закреплять изученный материал. При этом ребенку не понадобятся дополнительные консультации педагога. Со всеми вопросами и темами текущего учебного года он справится самостоятельно. </p> <h2> Что готовит школьникам алгебра в 10-11 классах </h2> <p> Алгебру можно назвать лидером среди всех учебных дисциплин по количеству изучаемых тем. В десятом и одиннадцатом классах все усложняется тем, что помимо новых разделов, ребятам предстоит огромная работа по повторению ранее пройденного материала, ведь в конце года всех их ждет сложнейшее испытание - итоговый экзамен по предмету. Но его результат будет зависеть от того, насколько хорошо ребята освоят следующие разделы: </p> <ol> <li>Тригонометрические функции.</li> <li>Производная и её применения.</li> <li>Первообразная и интеграл.</li> <li>Показательная и логарифмическая функции.</li> <li>Действительные числа.</li> <li>Функции. </ol> <p> Материал очень насыщенный и достаточно сложный. При этом недостаточно будет просто вызубрить массу формул и правил. Простое заучивание - это лишь часть работы. Главное научиться применять полученные знания на практике. Именно с этим у большинства ребят возникают проблемы. Работа вместе с <strong>решебником по алгебре за 10-11 классы авторов Колмогорова, Абрамова, Дудницына</strong> позволит преодолеть все препятствия в учебе. Детально расписанная в пособии информация поможет прекрасно понять материал и научиться применять теорию на практике. </p> <h2> Что представляет собой решебник к учебнику Колмогорова (Просвещение) </h2> <p> Верные ответы — это далеко не все, что содержится во вспомогательном пособии. Сборник с готовыми домашними заданиями структурно и по содержанию полностью копирует учебник под редакцией Колмогорова и включает: </p> <ul> <li>тематические параграфы с соответствующими им упражнениями;</li> <li>номера к разделу «Задачи на повторение»;</li> <li>задачи повышенной трудности.</li> </ul> <p> Каждое решение расписано максимально подробно, с выкладками по теории, графиками и выводами. В особо сложных вопросах авторы дают дополнительные комментарии. Материал изложен простым языком, доступным для понимания абсолютно всем старшеклассникам. Электронный формат существенно облегчает работу с пособием, позволяет выбрать удобный ритм для учебы, экономит время и силы ребенка. </p> <h2> Зачем использовать ГДЗ по алгебре </h2> <p> Даже в выпускном классе нельзя опускать руки, если вдруг освоение алгебры не задалось. Еще есть время поправить свои оценки и знания. Главное правильно распределить свое время, найти верного помощника и вернуть интерес к предмету. Решебник позволит все эти элементы совместить воедино для достижения блестящего результата. Предложенное пособие станет тем консультантом, который даст возможность подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание. Это в свою очередь позволит вернуть интерес к предмету и, что немало важно, выкроить ценные часы на отдых. Главное - не прибегать к списыванию готовых решений, ведь простое копирование поможет лишь на время, однако на первой же проверочной в классе обман вскроется. Если обращаться к справочнику для самопроверки и разбора сложных задач, то отличные оценки не заставят себя долго ждать. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 542 "class_subject" => 387 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103772 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная и интеграл" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1123 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103772 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная и интеграл" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103772 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная и интеграл" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1127 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 103773 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1128 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 103773 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Первообразная" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "field_page_start" => "174" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1104 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 156420 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1102 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1101 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 644 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>352.</strong>— График первообразной $F_1$ для функции $f$ проходит через точку $M$, а первообразной $F_2$ — через точку $N$. Какова разность этих первообразных? Какой из графиков $F_1$ и $F_2$ расположен выше, если:</p><p><strong>a)</strong> $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1394" "height" => 524 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/352-1.webp?ts=1733864928" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 156420 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>352.</strong>— График первообразной $F_1$ для функции $f$ проходит через точку $M$, а первообразной $F_2$ — через точку $N$. Какова разность этих первообразных? Какой из графиков $F_1$ и $F_2$ расположен выше, если:</p><p><strong>a)</strong> $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$;</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$;</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$;</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$?</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1394" "height" => 524 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-00/352-1.webp?ts=1733864928" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157132 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1094 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 645 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1384 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/352-1.webp?ts=1733865118" ] 1 => array:5 [ "name" => "352-2.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1588 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/352-2.webp?ts=1733865118" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157132 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1384 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/352-1.webp?ts=1733865118" ] 1 => array:5 [ "name" => "352-2.png" "alt" => null "width" => "766" "height" => 1588 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/1-00/352-2.webp?ts=1733865118" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1086 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 157789 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1085 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 646 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1113" "height" => 603 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/352-1.webp?ts=1733995831" ] 1 => array:5 [ "name" => "352-2.jpg" "alt" => null "width" => "1286" "height" => 402 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/352-2.webp?ts=1733995831" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 157789 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1113" "height" => 603 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/352-1.webp?ts=1733995831" ] 1 => array:5 [ "name" => "352-2.jpg" "alt" => null "width" => "1286" "height" => 402 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/2-00/352-2.webp?ts=1733995831" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1132 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168504 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1133 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1135 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 647 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1113" "height" => 603 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/352-1.webp?ts=1733995799" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168504 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1113" "height" => 603 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/3-00/352-1.webp?ts=1733995799" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1039 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 168006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1114 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 648 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1122 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 648 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1416" "height" => 1119 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/352-1.webp?ts=1733992617" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 168006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "352-1.jpg" "alt" => null "width" => "1416" "height" => 1119 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/4-00/352-1.webp?ts=1733992617" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1140 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1341811 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1141 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1143 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5114 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 5" "field_order" => "6" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "5-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ для $f(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$. Для нахождения $F(x)$ вычислим неопределенный интеграл:$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C$.Все первообразные для $f(x)$ имеют такой вид, отличаясь лишь константой $C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_1$ и $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_2$.</p><p>3. Найдем константу $C_1$ для первообразной $F_1$, график которой проходит через точку $M(-1; 1)$. Это означает, что $F_1(-1) = 1$:$F_1(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C_1 = -1 - 1 - 4 + C_1 = -6 + C_1$.Из условия $F_1(-1) = 1$ получаем:$-6 + C_1 = 1 \implies C_1 = 7$.Таким образом, $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$.</p><p>4. Найдем константу $C_2$ для первообразной $F_2$, график которой проходит через точку $N(0; 3)$. Это означает, что $F_2(0) = 3$:$F_2(0) = 0^3 - 0^2 + 4(0) + C_2 = C_2$.Из условия $F_2(0) = 3$ получаем $C_2 = 3$.Таким образом, $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + 3$.</p><p>5. Разность этих первообразных есть постоянная величина:$F_1(x) - F_2(x) = (x^3 - x^2 + 4x + 7) - (x^3 - x^2 + 4x + 3) = 7 - 3 = 4$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 4$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 4; график $F_1$ расположен выше.</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(0; 2)$, то есть $F_1(0) = 2$:$F_1(0) = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C_1 = C_1$.$C_1 = 2$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 3)$, то есть $F_2(1) = 3$:$F_2(1) = 2(1)^2 - 2(1)^3 + 1 + C_2 = 2 - 2 + 1 + C_2 = 1 + C_2$.$1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 2$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - 2x^3 + x + 2) - (2x^2 - 2x^3 + x + 2) = 2 - 2 = 0$.</p><p>6. Так как разность равна нулю, $F_1(x) = F_2(x)$, то есть это одна и та же функция, и их графики совпадают.</p><p>Ответ: разность первообразных равна 0; графики совпадают.</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - x^3) dx = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(2; 1)$, то есть $F_1(2) = 1$:$F_1(2) = 2(2)^2 - \frac{1}{4}(2)^4 + C_1 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_1 = 8 - 4 + C_1 = 4 + C_1$.$4 + C_1 = 1 \implies C_1 = -3$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(-2; 3)$, то есть $F_2(-2) = 3$:$F_2(-2) = 2(-2)^2 - \frac{1}{4}(-2)^4 + C_2 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_2 = 8 - 4 + C_2 = 4 + C_2$.$4 + C_2 = 3 \implies C_2 = -1$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3) - (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1) = -3 - (-1) = -2$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = -2$ отрицательна, то $F_1(x) < F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна -2; график $F_2$ расположен выше.</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$</p><p>1. Сначала раскроем скобки в выражении для $f(x)$:$f(x) = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.Теперь найдём общий вид первообразной:$F(x) = \int (4x^2 + 4x + 1) dx = 4\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_1$ и $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(-3; -1)$, то есть $F_1(-3) = -1$:$F_1(-3) = \frac{4}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + (-3) + C_1 = \frac{4}{3}(-27) + 2(9) - 3 + C_1 = 4(-9) + 18 - 3 + C_1 = -36 + 18 - 3 + C_1 = -21 + C_1$.$-21 + C_1 = -1 \implies C_1 = 20$.Таким образом, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 6\frac{1}{3})$, то есть $F_2(1) = 6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$:$F_2(1) = \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 3 + C_2 = \frac{4+9}{3} + C_2 = \frac{13}{3} + C_2$.$\frac{13}{3} + C_2 = \frac{19}{3} \implies C_2 = \frac{19}{3} - \frac{13}{3} = \frac{6}{3} = 2$.Таким образом, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20) - (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2) = 20 - 2 = 18$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 18$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 18; график $F_1$ расположен выше.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1341811 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150} "task" => array:2 [ "refs" => "104178" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а)</strong> $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ для $f(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$. Для нахождения $F(x)$ вычислим неопределенный интеграл:$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C$.Все первообразные для $f(x)$ имеют такой вид, отличаясь лишь константой $C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_1$ и $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_2$.</p><p>3. Найдем константу $C_1$ для первообразной $F_1$, график которой проходит через точку $M(-1; 1)$. Это означает, что $F_1(-1) = 1$:$F_1(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C_1 = -1 - 1 - 4 + C_1 = -6 + C_1$.Из условия $F_1(-1) = 1$ получаем:$-6 + C_1 = 1 \implies C_1 = 7$.Таким образом, $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$.</p><p>4. Найдем константу $C_2$ для первообразной $F_2$, график которой проходит через точку $N(0; 3)$. Это означает, что $F_2(0) = 3$:$F_2(0) = 0^3 - 0^2 + 4(0) + C_2 = C_2$.Из условия $F_2(0) = 3$ получаем $C_2 = 3$.Таким образом, $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + 3$.</p><p>5. Разность этих первообразных есть постоянная величина:$F_1(x) - F_2(x) = (x^3 - x^2 + 4x + 7) - (x^3 - x^2 + 4x + 3) = 7 - 3 = 4$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 4$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 4; график $F_1$ расположен выше.</p><p><strong>б)</strong> $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(0; 2)$, то есть $F_1(0) = 2$:$F_1(0) = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C_1 = C_1$.$C_1 = 2$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 3)$, то есть $F_2(1) = 3$:$F_2(1) = 2(1)^2 - 2(1)^3 + 1 + C_2 = 2 - 2 + 1 + C_2 = 1 + C_2$.$1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 2$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - 2x^3 + x + 2) - (2x^2 - 2x^3 + x + 2) = 2 - 2 = 0$.</p><p>6. Так как разность равна нулю, $F_1(x) = F_2(x)$, то есть это одна и та же функция, и их графики совпадают.</p><p>Ответ: разность первообразных равна 0; графики совпадают.</p><p><strong>в)</strong> $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$</p><p>1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - x^3) dx = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(2; 1)$, то есть $F_1(2) = 1$:$F_1(2) = 2(2)^2 - \frac{1}{4}(2)^4 + C_1 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_1 = 8 - 4 + C_1 = 4 + C_1$.$4 + C_1 = 1 \implies C_1 = -3$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(-2; 3)$, то есть $F_2(-2) = 3$:$F_2(-2) = 2(-2)^2 - \frac{1}{4}(-2)^4 + C_2 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_2 = 8 - 4 + C_2 = 4 + C_2$.$4 + C_2 = 3 \implies C_2 = -1$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3) - (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1) = -3 - (-1) = -2$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = -2$ отрицательна, то $F_1(x) < F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна -2; график $F_2$ расположен выше.</p><p><strong>г)</strong> $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$</p><p>1. Сначала раскроем скобки в выражении для $f(x)$:$f(x) = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.Теперь найдём общий вид первообразной:$F(x) = \int (4x^2 + 4x + 1) dx = 4\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$.</p><p>2. Пусть $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_1$ и $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_2$.</p><p>3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(-3; -1)$, то есть $F_1(-3) = -1$:$F_1(-3) = \frac{4}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + (-3) + C_1 = \frac{4}{3}(-27) + 2(9) - 3 + C_1 = 4(-9) + 18 - 3 + C_1 = -36 + 18 - 3 + C_1 = -21 + C_1$.$-21 + C_1 = -1 \implies C_1 = 20$.Таким образом, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20$.</p><p>4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 6\frac{1}{3})$, то есть $F_2(1) = 6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$:$F_2(1) = \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 3 + C_2 = \frac{4+9}{3} + C_2 = \frac{13}{3} + C_2$.$\frac{13}{3} + C_2 = \frac{19}{3} \implies C_2 = \frac{19}{3} - \frac{13}{3} = \frac{6}{3} = 2$.Таким образом, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2$.</p><p>5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20) - (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2) = 20 - 2 = 18$.</p><p>6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 18$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.</p><p>Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 18; график $F_1$ расположен выше.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "104179" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104177" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1110 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 863544 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1156 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1037722 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1102} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "863544" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "185-1.jpg" "alt" => null "width" => "1514" "height" => 2441 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-1/185-1.webp?ts=1744132596" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1037722 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158} "book_page" => array:2 [ "refs" => "863544" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "185-1.jpg" "alt" => null "width" => "1514" "height" => 2441 "path" => "/media/algebra_10/kolmogorov/0-1/185-1.webp?ts=1744132596" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "863545" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863543" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Task {#1030} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 863544 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/page-185" "field_display_title" => "185" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "185" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1157} "next" => array:2 [ "refs" => "863545" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "863543" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 104178 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "185" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/algebra/kolmogorov/352" "field_display_title" => "352" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "next" => array:2 [ "refs" => "104179" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "104177" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "page" => array:2 [ "refs" => "863544" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№352 (с. 185)
Условие. №352 (с. 185)
скриншот условия
352.— График первообразной $F_1$ для функции $f$ проходит через точку $M$, а первообразной $F_2$ — через точку $N$. Какова разность этих первообразных? Какой из графиков $F_1$ и $F_2$ расположен выше, если:
a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$;
б) $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$;
в) $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$;
г) $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$?
Решение 1. №352 (с. 185)
Решение 2. №352 (с. 185)
Решение 3. №352 (с. 185)
Решение 4. №352 (с. 185)
Решение 5. №352 (с. 185)
а) $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ для $f(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$. Для нахождения $F(x)$ вычислим неопределенный интеграл:$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C$.Все первообразные для $f(x)$ имеют такой вид, отличаясь лишь константой $C$.
2. Пусть $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_1$ и $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_2$.
3. Найдем константу $C_1$ для первообразной $F_1$, график которой проходит через точку $M(-1; 1)$. Это означает, что $F_1(-1) = 1$:$F_1(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C_1 = -1 - 1 - 4 + C_1 = -6 + C_1$.Из условия $F_1(-1) = 1$ получаем:$-6 + C_1 = 1 \implies C_1 = 7$.Таким образом, $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$.
4. Найдем константу $C_2$ для первообразной $F_2$, график которой проходит через точку $N(0; 3)$. Это означает, что $F_2(0) = 3$:$F_2(0) = 0^3 - 0^2 + 4(0) + C_2 = C_2$.Из условия $F_2(0) = 3$ получаем $C_2 = 3$.Таким образом, $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + 3$.
5. Разность этих первообразных есть постоянная величина:$F_1(x) - F_2(x) = (x^3 - x^2 + 4x + 7) - (x^3 - x^2 + 4x + 3) = 7 - 3 = 4$.
6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 4$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.
Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 4; график $F_1$ расположен выше.
б) $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C$.
2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_2$.
3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(0; 2)$, то есть $F_1(0) = 2$:$F_1(0) = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C_1 = C_1$.$C_1 = 2$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.
4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 3)$, то есть $F_2(1) = 3$:$F_2(1) = 2(1)^2 - 2(1)^3 + 1 + C_2 = 2 - 2 + 1 + C_2 = 1 + C_2$.$1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 2$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.
5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - 2x^3 + x + 2) - (2x^2 - 2x^3 + x + 2) = 2 - 2 = 0$.
6. Так как разность равна нулю, $F_1(x) = F_2(x)$, то есть это одна и та же функция, и их графики совпадают.
Ответ: разность первообразных равна 0; графики совпадают.
в) $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - x^3) dx = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C$.
2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_2$.
3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(2; 1)$, то есть $F_1(2) = 1$:$F_1(2) = 2(2)^2 - \frac{1}{4}(2)^4 + C_1 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_1 = 8 - 4 + C_1 = 4 + C_1$.$4 + C_1 = 1 \implies C_1 = -3$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3$.
4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(-2; 3)$, то есть $F_2(-2) = 3$:$F_2(-2) = 2(-2)^2 - \frac{1}{4}(-2)^4 + C_2 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_2 = 8 - 4 + C_2 = 4 + C_2$.$4 + C_2 = 3 \implies C_2 = -1$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1$.
5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3) - (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1) = -3 - (-1) = -2$.
6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = -2$ отрицательна, то $F_1(x) < F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.
Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна -2; график $F_2$ расположен выше.
г) $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$
1. Сначала раскроем скобки в выражении для $f(x)$:$f(x) = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.Теперь найдём общий вид первообразной:$F(x) = \int (4x^2 + 4x + 1) dx = 4\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$.
2. Пусть $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_1$ и $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_2$.
3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(-3; -1)$, то есть $F_1(-3) = -1$:$F_1(-3) = \frac{4}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + (-3) + C_1 = \frac{4}{3}(-27) + 2(9) - 3 + C_1 = 4(-9) + 18 - 3 + C_1 = -36 + 18 - 3 + C_1 = -21 + C_1$.$-21 + C_1 = -1 \implies C_1 = 20$.Таким образом, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20$.
4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 6\frac{1}{3})$, то есть $F_2(1) = 6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$:$F_2(1) = \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 3 + C_2 = \frac{4+9}{3} + C_2 = \frac{13}{3} + C_2$.$\frac{13}{3} + C_2 = \frac{19}{3} \implies C_2 = \frac{19}{3} - \frac{13}{3} = \frac{6}{3} = 2$.Таким образом, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2$.
5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20) - (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2) = 20 - 2 = 18$.
6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 18$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.
Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 18; график $F_1$ расположен выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 352 расположенного на странице 185 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №352 (с. 185), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.