gdz.top
Номер 51, страница 93 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн
Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2026
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Олимпиадные задачи - номер 51, страница 93.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319528 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_page_end" => "94" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-51" "field_display_title" => "51" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 5400 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Физика" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "физику" "field_creative_case" => "физикой" "field_dative_case" => "физике" "field_genitive_case" => "физики" "field_nominative_case" => "физика" "field_prepositional_case" => "физике" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "fizika" ] #original: array:10 [ "id" => 6493 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Физика" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "физику" "field_creative_case" => "физикой" "field_dative_case" => "физике" "field_genitive_case" => "физики" "field_nominative_case" => "физика" "field_prepositional_case" => "физике" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "fizika" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1062 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "одиннадцатый" "field_creative_case" => "одиннадцатым" "field_dative_case" => "одиннадцатому" "field_genitive_case" => "одинадцатого" "field_nominative_case" => "одинадцатый" "field_prepositional_case" => "одиннадцатом" ] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #original: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Гельфгат" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Илья" "field_patronymic" => "Маркович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Гельфгат" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Илья" "field_patronymic" => "Маркович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4104 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Генденштейн" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лев" "field_patronymic" => "Элевич" "field_surname_rp" => "Генденштейна" ] #original: array:12 [ "id" => 4104 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Генденштейн" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Лев" "field_patronymic" => "Элевич" "field_surname_rp" => "Генденштейна" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кирик" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Леонид" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4583 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кирик" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Леонид" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1068 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Задачник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "задачник" "field_creative_case" => "задачником" "field_dative_case" => "задачнику" "field_genitive_case" => "задачника" "field_nominative_case" => "задачник" "field_prepositional_case" => "задачнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "zadachnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Задачник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "задачник" "field_creative_case" => "задачником" "field_dative_case" => "задачнику" "field_genitive_case" => "задачника" "field_nominative_case" => "задачник" "field_prepositional_case" => "задачнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "zadachnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1086 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 40 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "профильный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "профильный" "field_creative_case" => "профильным" "field_dative_case" => "профильному" "field_genitive_case" => "профильного" "field_nominative_case" => "профильный" "field_prepositional_case" => "профильном" ] "field_translit" => "profilnyy" ] #original: array:6 [ "id" => 40 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "профильный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "профильный" "field_creative_case" => "профильным" "field_dative_case" => "профильному" "field_genitive_case" => "профильного" "field_nominative_case" => "профильный" "field_prepositional_case" => "профильном" ] "field_translit" => "profilnyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "лупа, парень едет на велосипеде" "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное издание" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "459" "field_priority" => null "field_default_folder" => "/fizika_10/gelfgat-z/" "field_isbn" => "978-5-89237-252-7" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" "alt" => "" "width" => "1566" "height" => "2412" ] ] "field_popular_book" => "0" "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1082 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 46 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "красный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "красный" "field_creative_case" => "красным" "field_dative_case" => "красному" "field_genitive_case" => "красного" "field_nominative_case" => "красный" "field_prepositional_case" => "красном" ] "field_translit" => "krasnyy" ] #original: array:6 [ "id" => 46 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "красный" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "красный" "field_creative_case" => "красным" "field_dative_case" => "красному" "field_genitive_case" => "красного" "field_nominative_case" => "красный" "field_prepositional_case" => "красном" ] "field_translit" => "krasnyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 556 "class_subject" => 494 ] ] #original: array:50 [ "id" => 5400 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "лупа, парень едет на велосипеде" "field_publication_year" => "2008" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное издание" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "459" "field_priority" => null "field_default_folder" => "/fizika_10/gelfgat-z/" "field_isbn" => "978-5-89237-252-7" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/covers/cover1.webp?ts=1756049816" "alt" => "" "width" => "1566" "height" => "2412" ] ] "field_popular_book" => "0" "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 556 "class_subject" => 494 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1123 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механика" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "field_page_start" => "6" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1127 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319303 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механические колебания и волны" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319303 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механические колебания и волны" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1131 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319304 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "12. Механические колебания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1141 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319303 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механические колебания и волны" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319303 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Механические колебания и волны" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319304 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "12. Механические колебания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Branch {#1135 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319306 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Олимпиадные задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "91" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1150 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319304 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "12. Механические колебания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1141} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319304 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "12. Механические колебания" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319306 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Олимпиадные задачи" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_page_start" => "91" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1104 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1494029 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1103 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5430 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1102 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #original: array:6 [ "id" => 5158 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Илекса" "field_cases" => null "field_translit" => "ileksa" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5430 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "stas" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>О-51.</strong> На гладком столе лежат два грузика массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 300$ г, соединенные легкой пружиной жесткостью $k = 50$ Н/м. Один из грузиков касается стенки (см. рисунок). Грузики связаны нитью длиной $l_0 = 6$ см, при этом пружина сжата на $\Delta l = 2$ см. Опишите движение грузиков после того, как нить пережигают.</p><p><em>Решение.</em> Сразу после пережигания нити правый грузик начнет под действием пружины двигаться вправо, а левый будет прижат к стене до тех пор, пока пружина будет сжата. Когда пружина начнет растягиваться, она оторвет левый грузик от стены и оба грузика будут двигаться по столу, совершая колебания, причем центр масс системы будет двигаться прямолинейно и равномерно.</p><p>Период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} = 0,24$ (с) (см. решение задачи О-50).</p><p>Найдем скорость $v_{\text{цм}}$ движения центра масс. Поскольку в момент отрыва левого грузика от стены пружина не деформирована, из закона сохранения энергии следует, что $k(\Delta l)^2/2 = m_2 v_2^2/2$, где $v_2$ — скорость правого грузика в этот момент. Следовательно, скорость центра масс $v_{\text{цм}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} v_2 = \frac{\Delta l \sqrt{km_2}}{m_1 + m_2} = 0,19$ (м/с).</p><p>Найдем теперь, в каких пределах изменяется длина пружины при колебаниях.</p><p><strong>Максимальное удлинение пружины</strong></p><p>В моменты наибольшего растяжения или сжатия пружины грузики неподвижны относительно центра масс, и кинетическая энергия системы равна $(m_1 + m_2) v_{\text{цм}}^2 / 2$. Из закона сохранения энергии можно найти величину максимального удлинения пружины: $x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 1$ (см).</p><p>Поскольку длина недеформированной пружины равна $l_0 + \Delta l$, при колебаниях длина пружины изменяется от $l_{\text{min}} = l_0 + \Delta l - x = 7$ (см) до $l_{\text{max}} = l_0 + \Delta l + x = 9$ (см). Заметим, что деформация пружины не достигает начального значения $\Delta l$: ведь часть начальной энергии деформированной пружины перешла в кинетическую энергию поступательного движения системы как целого.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "51-1.jpg" "alt" => null "width" => "1375" "height" => 659 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/51-1.webp?ts=1756251219" ] 1 => array:5 [ "name" => "51-2.jpg" "alt" => null "width" => "1362" "height" => 1683 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/51-2.webp?ts=1756251219" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1494029 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "task" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>О-51.</strong> На гладком столе лежат два грузика массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 300$ г, соединенные легкой пружиной жесткостью $k = 50$ Н/м. Один из грузиков касается стенки (см. рисунок). Грузики связаны нитью длиной $l_0 = 6$ см, при этом пружина сжата на $\Delta l = 2$ см. Опишите движение грузиков после того, как нить пережигают.</p><p><em>Решение.</em> Сразу после пережигания нити правый грузик начнет под действием пружины двигаться вправо, а левый будет прижат к стене до тех пор, пока пружина будет сжата. Когда пружина начнет растягиваться, она оторвет левый грузик от стены и оба грузика будут двигаться по столу, совершая колебания, причем центр масс системы будет двигаться прямолинейно и равномерно.</p><p>Период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} = 0,24$ (с) (см. решение задачи О-50).</p><p>Найдем скорость $v_{\text{цм}}$ движения центра масс. Поскольку в момент отрыва левого грузика от стены пружина не деформирована, из закона сохранения энергии следует, что $k(\Delta l)^2/2 = m_2 v_2^2/2$, где $v_2$ — скорость правого грузика в этот момент. Следовательно, скорость центра масс $v_{\text{цм}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} v_2 = \frac{\Delta l \sqrt{km_2}}{m_1 + m_2} = 0,19$ (м/с).</p><p>Найдем теперь, в каких пределах изменяется длина пружины при колебаниях.</p><p><strong>Максимальное удлинение пружины</strong></p><p>В моменты наибольшего растяжения или сжатия пружины грузики неподвижны относительно центра масс, и кинетическая энергия системы равна $(m_1 + m_2) v_{\text{цм}}^2 / 2$. Из закона сохранения энергии можно найти величину максимального удлинения пружины: $x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 1$ (см).</p><p>Поскольку длина недеформированной пружины равна $l_0 + \Delta l$, при колебаниях длина пружины изменяется от $l_{\text{min}} = l_0 + \Delta l - x = 7$ (см) до $l_{\text{max}} = l_0 + \Delta l + x = 9$ (см). Заметим, что деформация пружины не достигает начального значения $\Delta l$: ведь часть начальной энергии деформированной пружины перешла в кинетическую энергию поступательного движения системы как целого.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "51-1.jpg" "alt" => null "width" => "1375" "height" => 659 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/51-1.webp?ts=1756251219" ] 1 => array:5 [ "name" => "51-2.jpg" "alt" => null "width" => "1362" "height" => 1683 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/51-2.webp?ts=1756251219" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1096 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1691586 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1097 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 6138 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1095 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 6138 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>$m_1 = 100$ г</p><p>$m_2 = 300$ г</p><p>$k = 50$ Н/м</p><p>$l_0 = 6$ см</p><p>$\Delta l = 2$ см</p><p><br><em>Перевод в систему СИ:</em></p><p>$m_1 = 0.1$ кг</p><p>$m_2 = 0.3$ кг</p><p>$k = 50$ Н/м</p><p>$l_0 = 0.06$ м</p><p>$\Delta l = 0.02$ м</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Описать движение грузиков после пережигания нити.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Движение системы можно разделить на два этапа.</p><p><strong>Этап 1: Движение до отрыва груза $m_1$ от стенки.</strong></p><p>Изначально пружина сжата, и ее длина равна длине нити $l_0 = 6$ см. Сжатие составляет $\Delta l = 2$ см. Следовательно, длина недеформированной пружины $L_{ест} = l_0 + \Delta l = 6 + 2 = 8$ см.</p><p>После пережигания нити сжатая пружина начнет распрямляться, толкая оба груза. Груз $m_2$ начнет движение вправо. Груз $m_1$ будет прижат силой упругости к стенке и останется неподвижным, пока пружина сжата или имеет естественную длину.</p><p>Груз $m_1$ оторвется от стенки в тот момент, когда пружина достигнет своей естественной длины $L_{ест}$ и начнет растягиваться. В этот момент вся начальная потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ перейдет в кинетическую энергию груза $m_2$ (поскольку $m_1$ еще неподвижен).</p><p>По закону сохранения энергии:</p><p>$\frac{k(\Delta l)^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$</p><p>где $v_2$ – скорость груза $m_2$ в момент отрыва груза $m_1$ от стенки.</p><p>$v_2 = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{50}{0.3}} \approx 0.258$ м/с.</p><p><strong>Этап 2: Движение системы после отрыва груза $m_1$ от стенки.</strong></p><p>После отрыва груза $m_1$ от стенки на систему из двух грузов и пружины не действуют внешние горизонтальные силы (трением пренебрегаем). Поэтому центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно. Скорость центра масс $v_{цм}$ найдем по состоянию системы в момент отрыва:</p><p>$v_{цм} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$</p><p>Так как в этот момент $v_1 = 0$, получаем:</p><p>$v_{цм} = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.3 \cdot 0.258}{0.1 + 0.3} \approx 0.194$ м/с.</p><p>Относительно движущегося центра масс грузы будут совершать гармонические колебания. Период этих колебаний:</p><p>$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$, где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – приведенная масса системы.</p><p>$\mu = \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.1 + 0.3} = 0.075$ кг.</p><p>$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.075}{50}} \approx 0.24$ с.</p><p>Найдем амплитуду $x$ колебаний длины пружины. Энергия колебательного движения в системе центра масс сохраняется. В момент отрыва $m_1$ пружина не деформирована, и вся энергия колебаний является кинетической. В моменты максимального растяжения/сжатия эта энергия полностью переходит в потенциальную энергию пружины. Из закона сохранения энергии для колебательного движения:</p><p>$\frac{k x^2}{2} = E_{колеб} = E_{полная} - E_{цм} = \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1+m_2)v_{цм}^2}{2}$</p><p>Подставив $v_{цм}$, получим:</p><p>$\frac{k x^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_2^2$</p><p>Используя $m_2 v_2^2 = k(\Delta l)^2$ из первого этапа, найдем $x$:</p><p>$k x^2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} (k (\Delta l)^2)$</p><p>$x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{0.1+0.3}} = 0.02 \cdot \sqrt{0.25} = 0.01$ м $= 1$ см.</p><p>Колебания длины пружины происходят вокруг ее естественной длины $L_{ест} = 8$ см с амплитудой $x = 1$ см. Таким образом, длина пружины будет меняться в пределах:</p><p>Минимальная длина: $l_{min} = L_{ест} - x = 8 - 1 = 7$ см.</p><p>Максимальная длина: $l_{max} = L_{ест} + x = 8 + 1 = 9$ см.</p><p><strong>Ответ:</strong> После пережигания нити груз $m_2$ начинает двигаться вправо, а груз $m_1$ остается неподвижным у стенки до тех пор, пока пружина не достигнет своей естественной длины (8 см). Затем груз $m_1$ отрывается от стенки, и система из двух грузов и пружины движется вправо как единое целое. Центр масс системы движется равномерно и прямолинейно со скоростью около 0.19 м/с. Одновременно грузы совершают гармонические колебания относительно центра масс с периодом около 0.24 с. В ходе этих колебаний длина пружины периодически изменяется от 7 см до 9 см.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1691586 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "task" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>$m_1 = 100$ г</p><p>$m_2 = 300$ г</p><p>$k = 50$ Н/м</p><p>$l_0 = 6$ см</p><p>$\Delta l = 2$ см</p><p><br><em>Перевод в систему СИ:</em></p><p>$m_1 = 0.1$ кг</p><p>$m_2 = 0.3$ кг</p><p>$k = 50$ Н/м</p><p>$l_0 = 0.06$ м</p><p>$\Delta l = 0.02$ м</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Описать движение грузиков после пережигания нити.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Движение системы можно разделить на два этапа.</p><p><strong>Этап 1: Движение до отрыва груза $m_1$ от стенки.</strong></p><p>Изначально пружина сжата, и ее длина равна длине нити $l_0 = 6$ см. Сжатие составляет $\Delta l = 2$ см. Следовательно, длина недеформированной пружины $L_{ест} = l_0 + \Delta l = 6 + 2 = 8$ см.</p><p>После пережигания нити сжатая пружина начнет распрямляться, толкая оба груза. Груз $m_2$ начнет движение вправо. Груз $m_1$ будет прижат силой упругости к стенке и останется неподвижным, пока пружина сжата или имеет естественную длину.</p><p>Груз $m_1$ оторвется от стенки в тот момент, когда пружина достигнет своей естественной длины $L_{ест}$ и начнет растягиваться. В этот момент вся начальная потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ перейдет в кинетическую энергию груза $m_2$ (поскольку $m_1$ еще неподвижен).</p><p>По закону сохранения энергии:</p><p>$\frac{k(\Delta l)^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$</p><p>где $v_2$ – скорость груза $m_2$ в момент отрыва груза $m_1$ от стенки.</p><p>$v_2 = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{50}{0.3}} \approx 0.258$ м/с.</p><p><strong>Этап 2: Движение системы после отрыва груза $m_1$ от стенки.</strong></p><p>После отрыва груза $m_1$ от стенки на систему из двух грузов и пружины не действуют внешние горизонтальные силы (трением пренебрегаем). Поэтому центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно. Скорость центра масс $v_{цм}$ найдем по состоянию системы в момент отрыва:</p><p>$v_{цм} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$</p><p>Так как в этот момент $v_1 = 0$, получаем:</p><p>$v_{цм} = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.3 \cdot 0.258}{0.1 + 0.3} \approx 0.194$ м/с.</p><p>Относительно движущегося центра масс грузы будут совершать гармонические колебания. Период этих колебаний:</p><p>$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$, где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – приведенная масса системы.</p><p>$\mu = \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.1 + 0.3} = 0.075$ кг.</p><p>$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.075}{50}} \approx 0.24$ с.</p><p>Найдем амплитуду $x$ колебаний длины пружины. Энергия колебательного движения в системе центра масс сохраняется. В момент отрыва $m_1$ пружина не деформирована, и вся энергия колебаний является кинетической. В моменты максимального растяжения/сжатия эта энергия полностью переходит в потенциальную энергию пружины. Из закона сохранения энергии для колебательного движения:</p><p>$\frac{k x^2}{2} = E_{колеб} = E_{полная} - E_{цм} = \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1+m_2)v_{цм}^2}{2}$</p><p>Подставив $v_{цм}$, получим:</p><p>$\frac{k x^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_2^2$</p><p>Используя $m_2 v_2^2 = k(\Delta l)^2$ из первого этапа, найдем $x$:</p><p>$k x^2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} (k (\Delta l)^2)$</p><p>$x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{0.1+0.3}} = 0.02 \cdot \sqrt{0.25} = 0.01$ м $= 1$ см.</p><p>Колебания длины пружины происходят вокруг ее естественной длины $L_{ест} = 8$ см с амплитудой $x = 1$ см. Таким образом, длина пружины будет меняться в пределах:</p><p>Минимальная длина: $l_{min} = L_{ест} - x = 8 - 1 = 7$ см.</p><p>Максимальная длина: $l_{max} = L_{ест} + x = 8 + 1 = 9$ см.</p><p><strong>Ответ:</strong> После пережигания нити груз $m_2$ начинает двигаться вправо, а груз $m_1$ остается неподвижным у стенки до тех пор, пока пружина не достигнет своей естественной длины (8 см). Затем груз $m_1$ отрывается от стенки, и система из двух грузов и пружины движется вправо как единое целое. Центр масс системы движется равномерно и прямолинейно со скоростью около 0.19 м/с. Одновременно грузы совершают гармонические колебания относительно центра масс с периодом около 0.24 с. В ходе этих колебаний длина пружины периодически изменяется от 7 см до 9 см.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319529" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1109 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1341054 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/page-93" "field_display_title" => "93" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "93" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1111 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1519599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "1341054" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "93-1.jpg" "alt" => null "width" => "1634" "height" => 2497 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-1/93-1.webp?ts=1756642318" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1519599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118} "book_page" => array:2 [ "refs" => "1341054" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "93-1.jpg" "alt" => null "width" => "1634" "height" => 2497 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-1/93-1.webp?ts=1756642318" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1341055" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1341053" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Task {#1230 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319527 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "92" "field_page_end" => "93" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-50" "field_display_title" => "50" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} 2 => App\Models\Branch {#1131} 3 => App\Models\Branch {#1135} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1245 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1494028 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-50.</strong> Два грузика массами $m_1$ и $m_2$, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены легкой пружиной. Жесткость пружины $\text{k}$. Каков период $\text{T}$ свободных колебаний системы, если при колебаниях грузики движутся вдоль одной прямой?</p><p>☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$</p><p><strong><em>Решение.</em></strong> Будем рассматривать движение в системе отсчета центра масс. Поскольку при колебаниях все витки пружины деформируются одинаково, неподвижный в этой системе отсчета центр масс «привязан» все время к одной и той же точке пружины (точка С на рисунке).</p><p>Следовательно, эту точку можно рассматривать как закрепленную. Она делит пружину на две части, причем к колебаниям каждой части применима обычная формула периода колебаний пружинного маятника.</p><p>Если полная длина пружины $\text{l}$, то длины этих частей соответственно $l_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l$ и $l_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} l$. Коэффициент жесткости пружины обратно пропорционален ее длине, поэтому $k_1 = k \frac{l}{l_1} = k \frac{m_1 + m_2}{m_2}$, $k_2 = k \frac{l}{l_2} = k \frac{m_1 + m_2}{m_1}$. Период колебаний каждой части пружины $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.</p><p>Естественно, периоды колебаний обеих частей одинаковы: иначе центр масс не мог бы покоиться. Грузики колеблются в противофазе — их скорости в любой момент направлены противоположно друг другу.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "50-1.jpg" "alt" => null "width" => "1396" "height" => 196 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/50-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "50-2.jpg" "alt" => null "width" => "1355" "height" => 1646 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/50-2.webp?ts=1756251198" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1494028 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "task" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>O-50.</strong> Два грузика массами $m_1$ и $m_2$, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены легкой пружиной. Жесткость пружины $\text{k}$. Каков период $\text{T}$ свободных колебаний системы, если при колебаниях грузики движутся вдоль одной прямой?</p><p>☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$</p><p><strong><em>Решение.</em></strong> Будем рассматривать движение в системе отсчета центра масс. Поскольку при колебаниях все витки пружины деформируются одинаково, неподвижный в этой системе отсчета центр масс «привязан» все время к одной и той же точке пружины (точка С на рисунке).</p><p>Следовательно, эту точку можно рассматривать как закрепленную. Она делит пружину на две части, причем к колебаниям каждой части применима обычная формула периода колебаний пружинного маятника.</p><p>Если полная длина пружины $\text{l}$, то длины этих частей соответственно $l_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l$ и $l_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} l$. Коэффициент жесткости пружины обратно пропорционален ее длине, поэтому $k_1 = k \frac{l}{l_1} = k \frac{m_1 + m_2}{m_2}$, $k_2 = k \frac{l}{l_2} = k \frac{m_1 + m_2}{m_1}$. Период колебаний каждой части пружины $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.</p><p>Естественно, периоды колебаний обеих частей одинаковы: иначе центр масс не мог бы покоиться. Грузики колеблются в противофазе — их скорости в любой момент направлены противоположно друг другу.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "50-1.jpg" "alt" => null "width" => "1396" "height" => 196 "path" => "/media/fizika_10/gelfgat-z/0-olimp/50-1.webp?ts=1756251198" ] 1 => array:5 [ "name" => "50-2.jpg" "alt" => null "width" => "1355" …2 ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1247 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1691585 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Массы двух грузов: $m_1$ и $m_2$.</p><p>Жесткость пружины: $k$.</p><p>Грузы находятся на гладкой горизонтальной поверхности.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Период свободных колебаний системы $T$.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Данная задача описывает колебания системы двух тел, связанных пружиной. Для ее решения можно использовать метод приведенной массы или рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с центром масс.</p><p>Рассмотрим движение грузов вдоль горизонтальной оси $x$. Пусть в некоторый момент времени $t$ их координаты равны $x_1$ и $x_2$, а равновесная длина пружины равна $l_0$.</p><p>Сила упругости, действующая на первый груз, равна $F_1 = k(x_2 - x_1 - l_0)$.</p><p>Сила упругости, действующая на второй груз, равна $F_2 = -k(x_2 - x_1 - l_0)$.</p><p>Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения грузов имеют вид:</p><p>$m_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} = k(x_2 - x_1 - l_0)$</p><p>$m_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} = -k(x_2 - x_1 - l_0)$</p><p>Поскольку на систему не действуют внешние горизонтальные силы, ее центр масс либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Колебания происходят относительно центра масс.</p><p>Для нахождения периода колебаний удобно рассмотреть относительное движение грузов. Введем относительную координату $x = x_2 - x_1$, равную длине пружины. Нас интересует, как эта величина изменяется со временем. Найдем ее вторую производную по времени (относительное ускорение):</p><p>$\ddot{x} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1$</p><p>Из уравнений движения выразим ускорения каждого из грузов:</p><p>$\ddot{x}_1 = \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1 - l_0) = \frac{k}{m_1}(x - l_0)$</p><p>$\ddot{x}_2 = -\frac{k}{m_2}(x_2 - x_1 - l_0) = -\frac{k}{m_2}(x - l_0)$</p><p>Подставим эти выражения в формулу для относительного ускорения:</p><p>$\ddot{x} = \left(-\frac{k}{m_2}(x - l_0)\right) - \left(\frac{k}{m_1}(x - l_0)\right) = -k\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(x - l_0)$</p><p>Преобразуем выражение в скобках:</p><p>$\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_2 + m_1}{m_1 m_2}$</p><p>Тогда уравнение для относительной координаты $x$ принимает вид:</p><p>$\ddot{x} = -k\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}(x - l_0)$</p><p>Введем величину $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$, которую называют приведенной массой системы. Уравнение движения можно переписать как:</p><p>$\mu\ddot{x} = -k(x - l_0)$</p><p>Это уравнение описывает гармонические колебания. Оно аналогично уравнению колебаний тела с массой $\mu$, прикрепленного к пружине жесткостью $k$. Стандартный вид уравнения гармонических колебаний: $\ddot{y} = -\omega^2 y$, где $y = x - l_0$ - отклонение от положения равновесия.</p><p>Сравнивая, находим квадрат циклической частоты колебаний $\omega$:</p><p>$\omega^2 = \frac{k}{\mu} = \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}$</p><p>Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.</p><p>Отсюда находим период колебаний системы:</p><p>$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$</p><p><strong>Ответ:</strong> $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1691585 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248} "task" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>Дано:</strong></p><p>Массы двух грузов: $m_1$ и $m_2$.</p><p>Жесткость пружины: $k$.</p><p>Грузы находятся на гладкой горизонтальной поверхности.</p><p><strong>Найти:</strong></p><p>Период свободных колебаний системы $T$.</p><p><strong>Решение:</strong></p><p>Данная задача описывает колебания системы двух тел, связанных пружиной. Для ее решения можно использовать метод приведенной массы или рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с центром масс.</p><p>Рассмотрим движение грузов вдоль горизонтальной оси $x$. Пусть в некоторый момент времени $t$ их координаты равны $x_1$ и $x_2$, а равновесная длина пружины равна $l_0$.</p><p>Сила упругости, действующая на первый груз, равна $F_1 = k(x_2 - x_1 - l_0)$.</p><p>Сила упругости, действующая на второй груз, равна $F_2 = -k(x_2 - x_1 - l_0)$.</p><p>Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения грузов имеют вид:</p><p>$m_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} = k(x_2 - x_1 - l_0)$</p><p>$m_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} = -k(x_2 - x_1 - l_0)$</p><p>Поскольку на систему не действуют внешние горизонтальные силы, ее центр масс либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Колебания происходят относительно центра масс.</p><p>Для нахождения периода колебаний удобно рассмотреть относительное движение грузов. Введем относительную координату $x = x_2 - x_1$, равную длине пружины. Нас интересует, как эта величина изменяется со временем. Найдем ее вторую производную по времени (относительное ускорение):</p><p>$\ddot{x} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1$</p><p>Из уравнений движения выразим ускорения каждого из грузов:</p><p>$\ddot{x}_1 = \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1 - l_0) = \frac{k}{m_1}(x - l_0)$</p><p>$\ddot{x}_2 = -\frac{k}{m_2}(x_2 - x_1 - l_0) = -\frac{k}{m_2}(x - l_0)$</p><p>Подставим эти выражения в формулу для относительного ускорения:</p><p>$\ddot{x} = \left(-\frac{k}{m_2}(x - l_0)\right) - \left(\frac{k}{m_1}(x - l_0)\right) = -k\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(x - l_0)$</p><p>Преобразуем выражение в скобках:</p><p>$\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_2 + m_1}{m_1 m_2}$</p><p>Тогда уравнение для относительной координаты $x$ принимает вид:</p><p>$\ddot{x} = -k\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}(x - l_0)$</p><p>Введем величину $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$, которую называют приведенной массой системы. Уравнение движения можно переписать как:</p><p>$\mu\ddot{x} = -k(x - l_0)$</p><p>Это уравнение описывает гармонические колебания. Оно аналогично уравнению колебаний тела с массой $\mu$, прикрепленного к пружине жесткостью $k$. Стандартный вид уравнения гармонических колебаний: $\ddot{y} = -\omega^2 y$, где $y = x - l_0$ - отклонение от положения равновесия.</p><p>Сравнивая, находим квадрат циклической частоты колебаний $\omega$:</p><p>$\omega^2 = \frac{k}{\mu} = \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}$</p><p>Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.</p><p>Отсюда находим период колебаний системы:</p><p>$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$</p><p><strong>Ответ:</strong> $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319526" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1341053" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1319527 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "92" "field_page_end" => "93" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-50" "field_display_title" => "50" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1233} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "next" => array:2 [ "refs" => "1319528" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319526" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "page" => array:2 [ "refs" => "1341053" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1237 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1319528 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_page_end" => "94" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-51" "field_display_title" => "51" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Branch {#1123} 1 => App\Models\Branch {#1127} 2 => App\Models\Branch {#1131} 3 => App\Models\Branch {#1135} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1104} 1 => App\Models\Element {#1096} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1319529" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1056} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "1341054" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 1319528 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_page_end" => "94" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-51" "field_display_title" => "51" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} "next" => array:2 [ "refs" => "1319529" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239} "page" => array:2 [ "refs" => "1341054" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1341054 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/page-93" "field_display_title" => "93" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "93" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "next" => array:2 [ "refs" => "1341055" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1341053" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1319528 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "93" "field_page_end" => "94" "field_url" => "/10-klass/fizika/gelfgat-zadachnik/olimp-51" "field_display_title" => "51" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "next" => array:2 [ "refs" => "1319529" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1319527" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "page" => array:2 [ "refs" => "1341054" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№51 (с. 93)
Условие. №51 (с. 93)
скриншот условия
О-51. На гладком столе лежат два грузика массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 300$ г, соединенные легкой пружиной жесткостью $k = 50$ Н/м. Один из грузиков касается стенки (см. рисунок). Грузики связаны нитью длиной $l_0 = 6$ см, при этом пружина сжата на $\Delta l = 2$ см. Опишите движение грузиков после того, как нить пережигают.
Решение. Сразу после пережигания нити правый грузик начнет под действием пружины двигаться вправо, а левый будет прижат к стене до тех пор, пока пружина будет сжата. Когда пружина начнет растягиваться, она оторвет левый грузик от стены и оба грузика будут двигаться по столу, совершая колебания, причем центр масс системы будет двигаться прямолинейно и равномерно.
Период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} = 0,24$ (с) (см. решение задачи О-50).
Найдем скорость $v_{\text{цм}}$ движения центра масс. Поскольку в момент отрыва левого грузика от стены пружина не деформирована, из закона сохранения энергии следует, что $k(\Delta l)^2/2 = m_2 v_2^2/2$, где $v_2$ — скорость правого грузика в этот момент. Следовательно, скорость центра масс $v_{\text{цм}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} v_2 = \frac{\Delta l \sqrt{km_2}}{m_1 + m_2} = 0,19$ (м/с).
Найдем теперь, в каких пределах изменяется длина пружины при колебаниях.
Максимальное удлинение пружины
В моменты наибольшего растяжения или сжатия пружины грузики неподвижны относительно центра масс, и кинетическая энергия системы равна $(m_1 + m_2) v_{\text{цм}}^2 / 2$. Из закона сохранения энергии можно найти величину максимального удлинения пружины: $x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 1$ (см).
Поскольку длина недеформированной пружины равна $l_0 + \Delta l$, при колебаниях длина пружины изменяется от $l_{\text{min}} = l_0 + \Delta l - x = 7$ (см) до $l_{\text{max}} = l_0 + \Delta l + x = 9$ (см). Заметим, что деформация пружины не достигает начального значения $\Delta l$: ведь часть начальной энергии деформированной пружины перешла в кинетическую энергию поступательного движения системы как целого.
Решение. №51 (с. 93)
Дано:
$m_1 = 100$ г
$m_2 = 300$ г
$k = 50$ Н/м
$l_0 = 6$ см
$\Delta l = 2$ см
Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0.1$ кг
$m_2 = 0.3$ кг
$k = 50$ Н/м
$l_0 = 0.06$ м
$\Delta l = 0.02$ м
Найти:
Описать движение грузиков после пережигания нити.
Решение:
Движение системы можно разделить на два этапа.
Этап 1: Движение до отрыва груза $m_1$ от стенки.
Изначально пружина сжата, и ее длина равна длине нити $l_0 = 6$ см. Сжатие составляет $\Delta l = 2$ см. Следовательно, длина недеформированной пружины $L_{ест} = l_0 + \Delta l = 6 + 2 = 8$ см.
После пережигания нити сжатая пружина начнет распрямляться, толкая оба груза. Груз $m_2$ начнет движение вправо. Груз $m_1$ будет прижат силой упругости к стенке и останется неподвижным, пока пружина сжата или имеет естественную длину.
Груз $m_1$ оторвется от стенки в тот момент, когда пружина достигнет своей естественной длины $L_{ест}$ и начнет растягиваться. В этот момент вся начальная потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ перейдет в кинетическую энергию груза $m_2$ (поскольку $m_1$ еще неподвижен).
По закону сохранения энергии:
$\frac{k(\Delta l)^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$
где $v_2$ – скорость груза $m_2$ в момент отрыва груза $m_1$ от стенки.
$v_2 = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{50}{0.3}} \approx 0.258$ м/с.
Этап 2: Движение системы после отрыва груза $m_1$ от стенки.
После отрыва груза $m_1$ от стенки на систему из двух грузов и пружины не действуют внешние горизонтальные силы (трением пренебрегаем). Поэтому центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно. Скорость центра масс $v_{цм}$ найдем по состоянию системы в момент отрыва:
$v_{цм} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
Так как в этот момент $v_1 = 0$, получаем:
$v_{цм} = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.3 \cdot 0.258}{0.1 + 0.3} \approx 0.194$ м/с.
Относительно движущегося центра масс грузы будут совершать гармонические колебания. Период этих колебаний:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$, где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – приведенная масса системы.
$\mu = \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.1 + 0.3} = 0.075$ кг.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.075}{50}} \approx 0.24$ с.
Найдем амплитуду $x$ колебаний длины пружины. Энергия колебательного движения в системе центра масс сохраняется. В момент отрыва $m_1$ пружина не деформирована, и вся энергия колебаний является кинетической. В моменты максимального растяжения/сжатия эта энергия полностью переходит в потенциальную энергию пружины. Из закона сохранения энергии для колебательного движения:
$\frac{k x^2}{2} = E_{колеб} = E_{полная} - E_{цм} = \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1+m_2)v_{цм}^2}{2}$
Подставив $v_{цм}$, получим:
$\frac{k x^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_2^2$
Используя $m_2 v_2^2 = k(\Delta l)^2$ из первого этапа, найдем $x$:
$k x^2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} (k (\Delta l)^2)$
$x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{0.1+0.3}} = 0.02 \cdot \sqrt{0.25} = 0.01$ м $= 1$ см.
Колебания длины пружины происходят вокруг ее естественной длины $L_{ест} = 8$ см с амплитудой $x = 1$ см. Таким образом, длина пружины будет меняться в пределах:
Минимальная длина: $l_{min} = L_{ест} - x = 8 - 1 = 7$ см.
Максимальная длина: $l_{max} = L_{ест} + x = 8 + 1 = 9$ см.
Ответ: После пережигания нити груз $m_2$ начинает двигаться вправо, а груз $m_1$ остается неподвижным у стенки до тех пор, пока пружина не достигнет своей естественной длины (8 см). Затем груз $m_1$ отрывается от стенки, и система из двух грузов и пружины движется вправо как единое целое. Центр масс системы движется равномерно и прямолинейно со скоростью около 0.19 м/с. Одновременно грузы совершают гармонические колебания относительно центра масс с периодом около 0.24 с. В ходе этих колебаний длина пружины периодически изменяется от 7 см до 9 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 51 расположенного на странице 93 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №51 (с. 93), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.