gdz.top
Номер 283, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Многогранники. Параграф 3. Правильные многогранники - номер 283, страница 85.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744698 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-283" "field_display_title" => "283" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744380 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "63" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Term {#1062 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1069 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1073 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1075 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1077 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1083 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744380 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "63" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1129 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744380 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "63" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744380 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "field_page_start" => "63" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1133 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744383 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Правильные многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1134 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "78" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744383 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Правильные многогранники" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_page_start" => "78" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Element {#1109 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 938932 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1106 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>283.</b> В правильном тетраэдре DABC ребро равно <i>а</i>. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани ВDС; б) перпендикулярно к ребру AD. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1529" "height" => 200 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/283-1.webp?ts=1739436519" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 938932 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>283.</b> В правильном тетраэдре DABC ребро равно <i>а</i>. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани ВDС; б) перпендикулярно к ребру AD. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1529" "height" => 200 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/283-1.webp?ts=1739436519" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1122 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 941020 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1125 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" …19 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5484 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/283-1.webp?ts=1739441139" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5442 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/283-2.webp?ts=1739441139" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 941020 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5484 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/283-1.webp?ts=1739441139" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5442 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/283-2.webp?ts=1739441139" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1094 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 940785 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1093 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1360" "height" => 2045 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/283-1.webp?ts=1739436728" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.jpg" "alt" => null "width" => "1360" "height" => 716 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/283-2.webp?ts=1739436728" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 940785 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1360" "height" => 2045 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/283-1.webp?ts=1739436728" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.jpg" "alt" => null "width" => "1360" "height" => 716 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/283-2.webp?ts=1739436728" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1100 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 940737 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1101 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1148" "height" => 1268 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/283-1.webp?ts=1739436506" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.jpg" "alt" => null "width" => "1148" "height" => 468 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/283-2.webp?ts=1739436506" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 940737 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "1148" "height" => 1268 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/283-1.webp?ts=1739436506" ] 1 => array:5 [ "name" => "283-2.jpg" "alt" => null "width" => "1148" "height" => 468 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/4-00/283-2.webp?ts=1739436506" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1043 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 940867 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1041 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "572" "height" => 1458 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/5-00/283-1.webp?ts=1739436538" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 940867 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "283-1.jpg" "alt" => null "width" => "572" "height" => 1458 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/5-00/283-1.webp?ts=1739436538" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1143 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1352011 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1144 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "text" => "<p>Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Центр грани $ABC$ (правильного треугольника) — это точка $O$ пересечения его медиан (высот, биссектрис). Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Тогда $O$ лежит на $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $AO = \frac{2}{3}AM$. Длина медианы (и высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.</p><p><strong>а)</strong> Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна грани $BDC$. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной одной из его граней, является многоугольником, подобным этой грани. В данном случае сечение — это треугольник, подобный правильному треугольнику $BDC$. Следовательно, сечение также является правильным треугольником.</p><p>Это сечение можно рассматривать как результат гомотетии (преобразования подобия) с центром в вершине $A$, которая переводит грань $BDC$ в плоскость сечения. Коэффициент подобия $k$ определяет отношение сторон сечения к сторонам грани $BDC$. Площадь сечения $S_a$ будет связана с площадью грани $S_{BDC}$ соотношением $S_a = k^2 \cdot S_{BDC}$.</p><p>Для нахождения коэффициента $k$ рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AD$ и медиану $AM$ грани $ABC$. Эта плоскость $(ADM)$ пересекает грань $BDC$ по ее медиане $DM$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(BDC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ADM)$ будет прямой, параллельной $DM$. Эта прямая проходит через точку $O$, так как $O \in \alpha$ и $O \in (ADM)$, и пересекает ребро $AD$ в некоторой точке $P$.</p><p>В треугольнике $ADM$ проведена прямая $OP$, параллельная стороне $DM$ ($O$ лежит на $AM$, $P$ лежит на $AD$). Из подобия треугольников $\triangle AOP$ и $\triangle AMD$ следует отношение: $k = \frac{AP}{AD} = \frac{AO}{AM}$.</p><p>Так как $O$ — центр грани $ABC$, то $AO = \frac{2}{3}AM$. Подставляя это в отношение, получаем: $k = \frac{\frac{2}{3}AM}{AM} = \frac{2}{3}$.</p><p>Площадь грани $BDC$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{BDC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.</p><p>Теперь можем найти площадь сечения: $S_a = k^2 \cdot S_{BDC} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.</p><p><strong>Ответ:</strong> $\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.</p><p><strong>б)</strong> Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна ребру $AD$. Определим форму сечения. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна ребру $AD$, она отсекает вершину $A$ от остальной части тетраэдра. Следовательно, плоскость пересекает три ребра, выходящие из вершины $A$: $AB$, $AC$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$, $Q$ и $H$ соответственно. Сечением является треугольник $PQH$.</p><p>Найдем положение точки $H$ на ребре $AD$. Высота тетраэдра $DO_D$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, падает в центр $O$ этой грани. Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем $AD=a$, $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высота тетраэдра $DO_D = DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Поскольку $AO^2+DO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} = a^2 = AD^2$, треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.</p><p>Плоскость $\beta$ перпендикулярна $AD$ и проходит через $O$. Ее след в плоскости $(ADO)$ — это прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $AD$. Эта прямая является высотой треугольника $ADO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AD$. Точка $H$ — основание этой высоты. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $AO^2 = AH \cdot AD$. $AH = \frac{AO^2}{AD} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{a} = \frac{\frac{a^2}{3}}{a} = \frac{a}{3}$.</p><p>Теперь найдем положение точек $P$ и $Q$. Точка $P$ лежит на пересечении плоскости $\beta$ и ребра $AB$. Рассмотрим грань $ABD$, которая является правильным треугольником. Секущая плоскость $\beta$ пересекает ее по прямой $PH$, которая перпендикулярна $AD$. В треугольнике $APH$ угол $\angle PAH = \angle DAB = 60^\circ$, а угол $\angle AHP = 90^\circ$. Следовательно: $AP = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/3}{1/2} = \frac{2a}{3}$.</p><p>Аналогично, для точки $Q$ на ребре $AC$ в грани $ACD$ получаем $AQ = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник $PQH$. Найдем длины его сторон. В треугольнике $APQ$ стороны $AP = AQ = \frac{2a}{3}$, а угол $\angle PAQ = 60^\circ$. Значит, $\triangle APQ$ — равносторонний, и $PQ=AP=\frac{2a}{3}$. Но это неверно, так как $\triangle APQ$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k = AP/AB = (2a/3)/a = 2/3$. Значит $PQ = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$.</p><p>Найдем длины боковых сторон $PH$ и $QH$. В треугольнике $APH$ имеем $AP = \frac{2a}{3}$, $AH=\frac{a}{3}$, $\angle PAH = 60^\circ$. По теореме косинусов: $PH^2 = AP^2 + AH^2 - 2 \cdot AP \cdot AH \cdot \cos(60^\circ) = \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = \frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$. $PH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.</p><p>По симметрии $QH = PH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Сечение $PQH$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{2a}{3}$ и боковыми сторонами $PH=QH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $HK$ из вершины $H$ к основанию $PQ$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ — середина $PQ$, $PK = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{3}$. Высота $HK = \sqrt{PH^2 - PK^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2-a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.</p><p>Площадь сечения $S_b$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.</p><p><strong>Ответ:</strong> $\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1352011 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153} "task" => array:2 [ "refs" => "744698" "type" => "task" ] "text" => "<p>Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Центр грани $ABC$ (правильного треугольника) — это точка $O$ пересечения его медиан (высот, биссектрис). Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Тогда $O$ лежит на $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $AO = \frac{2}{3}AM$. Длина медианы (и высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.</p><p><strong>а)</strong> Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна грани $BDC$. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной одной из его граней, является многоугольником, подобным этой грани. В данном случае сечение — это треугольник, подобный правильному треугольнику $BDC$. Следовательно, сечение также является правильным треугольником.</p><p>Это сечение можно рассматривать как результат гомотетии (преобразования подобия) с центром в вершине $A$, которая переводит грань $BDC$ в плоскость сечения. Коэффициент подобия $k$ определяет отношение сторон сечения к сторонам грани $BDC$. Площадь сечения $S_a$ будет связана с площадью грани $S_{BDC}$ соотношением $S_a = k^2 \cdot S_{BDC}$.</p><p>Для нахождения коэффициента $k$ рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AD$ и медиану $AM$ грани $ABC$. Эта плоскость $(ADM)$ пересекает грань $BDC$ по ее медиане $DM$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(BDC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ADM)$ будет прямой, параллельной $DM$. Эта прямая проходит через точку $O$, так как $O \in \alpha$ и $O \in (ADM)$, и пересекает ребро $AD$ в некоторой точке $P$.</p><p>В треугольнике $ADM$ проведена прямая $OP$, параллельная стороне $DM$ ($O$ лежит на $AM$, $P$ лежит на $AD$). Из подобия треугольников $\triangle AOP$ и $\triangle AMD$ следует отношение: $k = \frac{AP}{AD} = \frac{AO}{AM}$.</p><p>Так как $O$ — центр грани $ABC$, то $AO = \frac{2}{3}AM$. Подставляя это в отношение, получаем: $k = \frac{\frac{2}{3}AM}{AM} = \frac{2}{3}$.</p><p>Площадь грани $BDC$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{BDC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.</p><p>Теперь можем найти площадь сечения: $S_a = k^2 \cdot S_{BDC} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.</p><p><strong>Ответ:</strong> $\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.</p><p><strong>б)</strong> Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна ребру $AD$. Определим форму сечения. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна ребру $AD$, она отсекает вершину $A$ от остальной части тетраэдра. Следовательно, плоскость пересекает три ребра, выходящие из вершины $A$: $AB$, $AC$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$, $Q$ и $H$ соответственно. Сечением является треугольник $PQH$.</p><p>Найдем положение точки $H$ на ребре $AD$. Высота тетраэдра $DO_D$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, падает в центр $O$ этой грани. Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем $AD=a$, $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высота тетраэдра $DO_D = DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Поскольку $AO^2+DO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} = a^2 = AD^2$, треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.</p><p>Плоскость $\beta$ перпендикулярна $AD$ и проходит через $O$. Ее след в плоскости $(ADO)$ — это прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $AD$. Эта прямая является высотой треугольника $ADO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AD$. Точка $H$ — основание этой высоты. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $AO^2 = AH \cdot AD$. $AH = \frac{AO^2}{AD} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{a} = \frac{\frac{a^2}{3}}{a} = \frac{a}{3}$.</p><p>Теперь найдем положение точек $P$ и $Q$. Точка $P$ лежит на пересечении плоскости $\beta$ и ребра $AB$. Рассмотрим грань $ABD$, которая является правильным треугольником. Секущая плоскость $\beta$ пересекает ее по прямой $PH$, которая перпендикулярна $AD$. В треугольнике $APH$ угол $\angle PAH = \angle DAB = 60^\circ$, а угол $\angle AHP = 90^\circ$. Следовательно: $AP = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/3}{1/2} = \frac{2a}{3}$.</p><p>Аналогично, для точки $Q$ на ребре $AC$ в грани $ACD$ получаем $AQ = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник $PQH$. Найдем длины его сторон. В треугольнике $APQ$ стороны $AP = AQ = \frac{2a}{3}$, а угол $\angle PAQ = 60^\circ$. Значит, $\triangle APQ$ — равносторонний, и $PQ=AP=\frac{2a}{3}$. Но это неверно, так как $\triangle APQ$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k = AP/AB = (2a/3)/a = 2/3$. Значит $PQ = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$.</p><p>Найдем длины боковых сторон $PH$ и $QH$. В треугольнике $APH$ имеем $AP = \frac{2a}{3}$, $AH=\frac{a}{3}$, $\angle PAH = 60^\circ$. По теореме косинусов: $PH^2 = AP^2 + AH^2 - 2 \cdot AP \cdot AH \cdot \cos(60^\circ) = \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = \frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$. $PH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.</p><p>По симметрии $QH = PH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Сечение $PQH$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{2a}{3}$ и боковыми сторонами $PH=QH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $HK$ из вершины $H$ к основанию $PQ$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ — середина $PQ$, $PK = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{3}$. Высота $HK = \sqrt{PH^2 - PK^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2-a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.</p><p>Площадь сечения $S_b$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.</p><p><strong>Ответ:</strong> $\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "744699" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "744697" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1115 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 933867 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-85" "field_display_title" => "85" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "85" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1159 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "933868" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933866" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262 #items: array:18 [ 0 => App\Models\Task {#1286 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1293 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1296 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1295 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1340 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1343 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1342 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1344 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1456 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1455 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1439 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 11 => App\Models\Task {#1384 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 12 => App\Models\Task {#1481 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 13 => App\Models\Task {#1497 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 14 => App\Models\Task {#1513 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 15 => App\Models\Task {#1529 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 16 => App\Models\Task {#1545 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 17 => App\Models\Task {#1561 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 933867 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-85" "field_display_title" => "85" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "85" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160} "next" => array:2 [ "refs" => "933868" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933866" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1262} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744698 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "85" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-283" "field_display_title" => "283" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "next" => array:2 [ "refs" => "744699" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "744697" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "page" => array:2 [ "refs" => "933867" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№283 (с. 85)
Условие. №283 (с. 85)
скриншот условия
283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани ВDС; б) перпендикулярно к ребру AD.
Решение 2. №283 (с. 85)
Решение 3. №283 (с. 85)
Решение 4. №283 (с. 85)
Решение 5. №283 (с. 85)
Решение 6. №283 (с. 85)
Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Центр грани $ABC$ (правильного треугольника) — это точка $O$ пересечения его медиан (высот, биссектрис). Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Тогда $O$ лежит на $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $AO = \frac{2}{3}AM$. Длина медианы (и высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
а) Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна грани $BDC$. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной одной из его граней, является многоугольником, подобным этой грани. В данном случае сечение — это треугольник, подобный правильному треугольнику $BDC$. Следовательно, сечение также является правильным треугольником.
Это сечение можно рассматривать как результат гомотетии (преобразования подобия) с центром в вершине $A$, которая переводит грань $BDC$ в плоскость сечения. Коэффициент подобия $k$ определяет отношение сторон сечения к сторонам грани $BDC$. Площадь сечения $S_a$ будет связана с площадью грани $S_{BDC}$ соотношением $S_a = k^2 \cdot S_{BDC}$.
Для нахождения коэффициента $k$ рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AD$ и медиану $AM$ грани $ABC$. Эта плоскость $(ADM)$ пересекает грань $BDC$ по ее медиане $DM$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(BDC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ADM)$ будет прямой, параллельной $DM$. Эта прямая проходит через точку $O$, так как $O \in \alpha$ и $O \in (ADM)$, и пересекает ребро $AD$ в некоторой точке $P$.
В треугольнике $ADM$ проведена прямая $OP$, параллельная стороне $DM$ ($O$ лежит на $AM$, $P$ лежит на $AD$). Из подобия треугольников $\triangle AOP$ и $\triangle AMD$ следует отношение: $k = \frac{AP}{AD} = \frac{AO}{AM}$.
Так как $O$ — центр грани $ABC$, то $AO = \frac{2}{3}AM$. Подставляя это в отношение, получаем: $k = \frac{\frac{2}{3}AM}{AM} = \frac{2}{3}$.
Площадь грани $BDC$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{BDC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Теперь можем найти площадь сечения: $S_a = k^2 \cdot S_{BDC} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.
б) Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна ребру $AD$. Определим форму сечения. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна ребру $AD$, она отсекает вершину $A$ от остальной части тетраэдра. Следовательно, плоскость пересекает три ребра, выходящие из вершины $A$: $AB$, $AC$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$, $Q$ и $H$ соответственно. Сечением является треугольник $PQH$.
Найдем положение точки $H$ на ребре $AD$. Высота тетраэдра $DO_D$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, падает в центр $O$ этой грани. Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем $AD=a$, $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высота тетраэдра $DO_D = DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Поскольку $AO^2+DO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} = a^2 = AD^2$, треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.
Плоскость $\beta$ перпендикулярна $AD$ и проходит через $O$. Ее след в плоскости $(ADO)$ — это прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $AD$. Эта прямая является высотой треугольника $ADO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AD$. Точка $H$ — основание этой высоты. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $AO^2 = AH \cdot AD$. $AH = \frac{AO^2}{AD} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{a} = \frac{\frac{a^2}{3}}{a} = \frac{a}{3}$.
Теперь найдем положение точек $P$ и $Q$. Точка $P$ лежит на пересечении плоскости $\beta$ и ребра $AB$. Рассмотрим грань $ABD$, которая является правильным треугольником. Секущая плоскость $\beta$ пересекает ее по прямой $PH$, которая перпендикулярна $AD$. В треугольнике $APH$ угол $\angle PAH = \angle DAB = 60^\circ$, а угол $\angle AHP = 90^\circ$. Следовательно: $AP = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/3}{1/2} = \frac{2a}{3}$.
Аналогично, для точки $Q$ на ребре $AC$ в грани $ACD$ получаем $AQ = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник $PQH$. Найдем длины его сторон. В треугольнике $APQ$ стороны $AP = AQ = \frac{2a}{3}$, а угол $\angle PAQ = 60^\circ$. Значит, $\triangle APQ$ — равносторонний, и $PQ=AP=\frac{2a}{3}$. Но это неверно, так как $\triangle APQ$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k = AP/AB = (2a/3)/a = 2/3$. Значит $PQ = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$.
Найдем длины боковых сторон $PH$ и $QH$. В треугольнике $APH$ имеем $AP = \frac{2a}{3}$, $AH=\frac{a}{3}$, $\angle PAH = 60^\circ$. По теореме косинусов: $PH^2 = AP^2 + AH^2 - 2 \cdot AP \cdot AH \cdot \cos(60^\circ) = \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = \frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$. $PH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
По симметрии $QH = PH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Сечение $PQH$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{2a}{3}$ и боковыми сторонами $PH=QH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $HK$ из вершины $H$ к основанию $PQ$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ — середина $PQ$, $PK = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{3}$. Высота $HK = \sqrt{PH^2 - PK^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2-a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Площадь сечения $S_b$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 283 расположенного на странице 85 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №283 (с. 85), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.