gdz.top
Номер 767, страница 189 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 7. Метод координат в пространстве. Движения. Параграф 3. Движения, дополнительные задачи - номер 767, страница 189.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 745182 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "189" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-767" "field_display_title" => "767" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 …2} "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1128 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1129 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1168 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1131 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1130 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1135 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1136 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5460 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "11" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "odinadcatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1138 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Term {#1140 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3753 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Атанасян" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Левон" "field_patronymic" => "Сергеевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3753 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Атанасян" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Левон" "field_patronymic" => "Сергеевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1141 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1142 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кадомцев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Сергей" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4518 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кадомцев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Сергей" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1143 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5494 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Позняк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Эдуард" "field_patronymic" => "Генрихович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5494 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Позняк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Эдуард" "field_patronymic" => "Генрихович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Term {#1144 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Киселёва" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Сергеевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6905 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Киселёва" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Сергеевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1147 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1149 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1151 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1155 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #original: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1157 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1159 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ …6] …1 ] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1165 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 36 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1153} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156} "field_publication_number" => "11" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "с ромбами" "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1147" "field_priority" => "12" "field_default_folder" => "/geometrija_10/atanasjan-u23/" "field_isbn" => "978-5-09-103606-0 (2023)" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/covers/cover1.webp?ts=1739363242" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163} "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1164} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744405 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Метод координат в пространстве. Движения" "field_branch_order" => "7" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1168} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1167 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 744410 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Движения, дополнительные задачи" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1169 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "187" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1131} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1170 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 744410 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Движения, дополнительные задачи" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1172} "field_page_start" => "187" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1170} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1110 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 939815 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1107 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2315 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 …2} "field_process_formula" => "wiris" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>767.</b> В правильной четырёхугольной пирамиде <i>MABCD</i> боковое ребро MA, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: </p> <p> а) площадь боковой поверхности пирамиды; </p> <p> б) объём пирамиды; </p> <p> в) угол между противоположными боковыми гранями; </p> <p> г) угол между боковой гранью и плоскостью основания; </p> <p> д) скалярное произведение векторов <span class="long"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>(<span class="arrtoptoleft">MB</span> + <span class="arrtoptoleft">MD</span>) <span class="arrtoptoleft">MK,</span></span> где K — середина ребра AB; </p> <p> е) радиус описанного около пирамиды шара. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.jpg" "alt" => null "width" => "1569" "height" => 591 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/767-1.webp?ts=1739436882" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 939815 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>767.</b> В правильной четырёхугольной пирамиде <i>MABCD</i> боковое ребро MA, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: </p> <p> а) площадь боковой поверхности пирамиды; </p> <p> б) объём пирамиды; </p> <p> в) угол между противоположными боковыми гранями; </p> <p> г) угол между боковой гранью и плоскостью основания; </p> <p> д) скалярное произведение векторов <span class="long"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>(<span class="arrtoptoleft">MB</span> + <span class="arrtoptoleft">MD</span>) <span class="arrtoptoleft">MK,</span></span> где K — середина ребра AB; </p> <p> е) радиус описанного около пирамиды шара. </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.jpg" "alt" => null "width" => "1569" "height" => 591 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/0-00/767-1.webp?ts=1739436882" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1094 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2317 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3021 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-1.webp?ts=1739441669" ] 1 => array:5 [ "name" => "767-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2704 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-2.webp?ts=1739441669" ] 2 => array:5 [ "name" => "767-3.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3624 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-3.webp?ts=1739441669" ] 3 => array:5 [ "name" => "767-4.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2685 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-4.webp?ts=1739441669" ] 4 => array:5 [ "name" => "767-5.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3143 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-5.webp?ts=1739441669" ] 5 => array:5 [ "name" => "767-6.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5154 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-6.webp?ts=1739441669" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3021 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-1.webp?ts=1739441669" ] 1 => array:5 [ "name" => "767-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2704 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-2.webp?ts=1739441669" ] 2 => array:5 [ "name" => "767-3.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3624 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-3.webp?ts=1739441669" ] 3 => array:5 [ "name" => "767-4.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2685 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-4.webp?ts=1739441669" ] 4 => array:5 [ "name" => "767-5.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3143 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-5.webp?ts=1739441669" ] 5 => array:5 [ "name" => "767-6.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 5154 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/2-00/767-6.webp?ts=1739441669" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1101 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 942486 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1102 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2318 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2318 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.jpg" "alt" => null "width" => "1413" "height" => 791 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/767-1.webp?ts=1739437220" ] 1 => array:5 [ "name" => "767-2.jpg" "alt" => null "width" => "1413" "height" => 1419 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/767-2.webp?ts=1739437220" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 942486 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "767-1.jpg" "alt" => null "width" => "1413" "height" => 791 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/767-1.webp?ts=1739437220" ] 1 => array:5 [ "name" => "767-2.jpg" "alt" => null "width" => "1413" "height" => 1419 "path" => "/media/geometrija_10/atanasjan-u23/3-00/767-2.webp?ts=1739437220" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1087 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1352495 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1086 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5120 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 6" "field_order" => "7" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "6-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5120 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 6" "field_order" => "7" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "6-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "text" => "<p>Пусть $MABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$, а вершина $M$ проецируется в центр этого квадрата, точку $O$.</p><p>По условию, боковое ребро $MA = 8$ см, и оно наклонено к плоскости основания под углом $60°$. Угол между ребром $MA$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между самим ребром и его проекцией $AO$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle MAO = 60°$.</p><p>Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90°$).</p><ul><li>Высота пирамиды $H = MO = MA \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.</li> <li>Длина проекции бокового ребра на основание $AO = MA \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.</li></ul><p>Поскольку $O$ — центр квадрата $ABCD$, $AO$ — это половина диагонали $AC$. Диагональ основания $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Диагональ квадрата связана со стороной формулой $AC = a\sqrt{2}$. Отсюда $a\sqrt{2} = 8$, что дает $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.</p><p>Теперь найдем апофему пирамиды — высоту боковой грани. Пусть $N$ — середина стороны $CD$. Тогда $MN$ — апофема грани $MCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MON$ (угол $\angle MON = 90°$). Катет $ON$ равен половине стороны основания: $ON = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора, гипотенуза $MN$ (апофема $h_a$): $h_a^2 = MN^2 = MO^2 + ON^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 48 + 8 = 56$. $h_a = MN = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ см.</p><p><strong>а) площадь боковой поверхности пирамиды;</strong></p><p>Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Площадь одной такой грани, например $\triangle MCD$, равна: $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{2 \cdot 14} = 4\sqrt{28} = 4\sqrt{4 \cdot 7} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$ см?.</p><p>Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех граней: $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle MCD} = 4 \cdot 8\sqrt{7} = 32\sqrt{7}$ см?.</p><p>Ответ: $32\sqrt{7}$ см?.</p><p><strong>б) объём пирамиды;</strong></p><p>Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см?. Высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см. $V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.</p><p>Ответ: $\frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.</p><p><strong>в) угол между противоположными боковыми гранями;</strong></p><p>Найдем угол между противоположными гранями $MAD$ и $MBC$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными в каждой грани к их линии пересечения. Пусть $K$ — середина $AD$, а $L$ — середина $BC$. Апофемы $MK$ и $ML$ перпендикулярны $AD$ и $BC$ соответственно. Линия пересечения граней проходит через $M$ параллельно $AD$ и $BC$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle KML$ в треугольнике $\triangle MKL$.</p><p>Стороны этого треугольника:</p><ul><li>$MK = ML = h_a = 2\sqrt{14}$ см.</li> <li>$KL$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $KL = a = 4\sqrt{2}$ см.</li></ul><p>Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle MKL$: $KL^2 = MK^2 + ML^2 - 2 \cdot MK \cdot ML \cdot \cos(\angle KML)$. $(4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{14})^2 + (2\sqrt{14})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{14}) \cdot (2\sqrt{14}) \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 56 + 56 - 2 \cdot 56 \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 112 - 112 \cos(\angle KML)$. $112 \cos(\angle KML) = 112 - 32 = 80$. $\cos(\angle KML) = \frac{80}{112} = \frac{16 \cdot 5}{16 \cdot 7} = \frac{5}{7}$. Искомый угол равен $\arccos(\frac{5}{7})$.</p><p>Ответ: $\arccos(\frac{5}{7})$.</p><p><strong>г) угол между боковой гранью и плоскостью основания;</strong></p><p>Угол между боковой гранью (например, $MCD$) и плоскостью основания ($ABCD$) — это двугранный угол при ребре $CD$. Он измеряется углом между апофемой $MN$ и её проекцией на основание $ON$. Таким образом, искомый угол — это $\angle MNO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MON$.</p><p>В $\triangle MON$ имеем:</p><ul><li>Катет $MO = H = 4\sqrt{3}$ см.</li> <li>Катет $ON = \frac{a}{2} = 2\sqrt{2}$ см.</li></ul><p>Найдем тангенс угла $\angle MNO$: $\tan(\angle MNO) = \frac{MO}{ON} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$. Искомый угол равен $\arctan(\sqrt{6})$.</p><p>Ответ: $\arctan(\sqrt{6})$.</p><p><strong>д) скалярное произведение векторов $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$ и $\vec{MK}$, где K — середина ребра AB;</strong></p><p>Сначала упростим векторное выражение $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$. Точка $O$ является центром основания и серединой диагонали $BD$. По правилу параллелограмма (или медианы треугольника $\triangle MBD$) для векторов, исходящих из одной точки, имеем: $\vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}$. Следовательно, $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD}) = \frac{1}{2}(2\vec{MO}) = \vec{MO}$.</p><p>Таким образом, задача сводится к нахождению скалярного произведения $\vec{MO} \cdot \vec{MK}$. По определению, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \cos(\angle OMK)$.</p><p>Рассмотрим треугольник $\triangle MOK$. Так как $K$ — середина $AB$, отрезок $OK$ перпендикулярен высоте $MO$. Значит, $\triangle MOK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOK$. В этом треугольнике $\cos(\angle OMK) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MO}{MK} = \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|}$. Подставим это выражение в формулу скалярного произведения: $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|} = |\vec{MO}|^2$. Длина вектора $\vec{MO}$ равна высоте пирамиды $H = 4\sqrt{3}$. Значит, скалярное произведение равно $|\vec{MO}|^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.</p><p>Ответ: 48.</p><p><strong>е) радиус описанного около пирамиды шара.</strong></p><p>Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на её высоте (оси симметрии). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $M$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle MAC$.</p><p>Найдем длины сторон этого треугольника:</p><ul><li>Боковые ребра $MA = MC = 8$ см (по условию и свойству правильной пирамиды).</li> <li>Диагональ основания $AC = 8$ см (как было найдено ранее).</li></ul><p>Поскольку все три стороны треугольника $\triangle MAC$ равны 8 см, он является равносторонним. Окружность, описанная около $\triangle MAC$, является большим кругом описанного шара, а её радиус $R$ — это и есть радиус шара. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, вычисляется по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. Для $s=8$ см получаем: $R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.</p><p>Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1352495 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "task" => array:2 [ "refs" => "745182" "type" => "task" ] "text" => "<p>Пусть $MABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$, а вершина $M$ проецируется в центр этого квадрата, точку $O$.</p><p>По условию, боковое ребро $MA = 8$ см, и оно наклонено к плоскости основания под углом $60°$. Угол между ребром $MA$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между самим ребром и его проекцией $AO$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle MAO = 60°$.</p><p>Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90°$).</p><ul><li>Высота пирамиды $H = MO = MA \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.</li> <li>Длина проекции бокового ребра на основание $AO = MA \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.</li></ul><p>Поскольку $O$ — центр квадрата $ABCD$, $AO$ — это половина диагонали $AC$. Диагональ основания $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Диагональ квадрата связана со стороной формулой $AC = a\sqrt{2}$. Отсюда $a\sqrt{2} = 8$, что дает $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.</p><p>Теперь найдем апофему пирамиды — высоту боковой грани. Пусть $N$ — середина стороны $CD$. Тогда $MN$ — апофема грани $MCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MON$ (угол $\angle MON = 90°$). Катет $ON$ равен половине стороны основания: $ON = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора, гипотенуза $MN$ (апофема $h_a$): $h_a^2 = MN^2 = MO^2 + ON^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 48 + 8 = 56$. $h_a = MN = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ см.</p><p><strong>а) площадь боковой поверхности пирамиды;</strong></p><p>Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Площадь одной такой грани, например $\triangle MCD$, равна: $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{2 \cdot 14} = 4\sqrt{28} = 4\sqrt{4 \cdot 7} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$ см?.</p><p>Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех граней: $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle MCD} = 4 \cdot 8\sqrt{7} = 32\sqrt{7}$ см?.</p><p>Ответ: $32\sqrt{7}$ см?.</p><p><strong>б) объём пирамиды;</strong></p><p>Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см?. Высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см. $V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.</p><p>Ответ: $\frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.</p><p><strong>в) угол между противоположными боковыми гранями;</strong></p><p>Найдем угол между противоположными гранями $MAD$ и $MBC$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными в каждой грани к их линии пересечения. Пусть $K$ — середина $AD$, а $L$ — середина $BC$. Апофемы $MK$ и $ML$ перпендикулярны $AD$ и $BC$ соответственно. Линия пересечения граней проходит через $M$ параллельно $AD$ и $BC$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle KML$ в треугольнике $\triangle MKL$.</p><p>Стороны этого треугольника:</p><ul><li>$MK = ML = h_a = 2\sqrt{14}$ см.</li> <li>$KL$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $KL = a = 4\sqrt{2}$ см.</li></ul><p>Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle MKL$: $KL^2 = MK^2 + ML^2 - 2 \cdot MK \cdot ML \cdot \cos(\angle KML)$. $(4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{14})^2 + (2\sqrt{14})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{14}) \cdot (2\sqrt{14}) \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 56 + 56 - 2 \cdot 56 \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 112 - 112 \cos(\angle KML)$. $112 \cos(\angle KML) = 112 - 32 = 80$. $\cos(\angle KML) = \frac{80}{112} = \frac{16 \cdot 5}{16 \cdot 7} = \frac{5}{7}$. Искомый угол равен $\arccos(\frac{5}{7})$.</p><p>Ответ: $\arccos(\frac{5}{7})$.</p><p><strong>г) угол между боковой гранью и плоскостью основания;</strong></p><p>Угол между боковой гранью (например, $MCD$) и плоскостью основания ($ABCD$) — это двугранный угол при ребре $CD$. Он измеряется углом между апофемой $MN$ и её проекцией на основание $ON$. Таким образом, искомый угол — это $\angle MNO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MON$.</p><p>В $\triangle MON$ имеем:</p><ul><li>Катет $MO = H = 4\sqrt{3}$ см.</li> <li>Катет $ON = \frac{a}{2} = 2\sqrt{2}$ см.</li></ul><p>Найдем тангенс угла $\angle MNO$: $\tan(\angle MNO) = \frac{MO}{ON} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$. Искомый угол равен $\arctan(\sqrt{6})$.</p><p>Ответ: $\arctan(\sqrt{6})$.</p><p><strong>д) скалярное произведение векторов $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$ и $\vec{MK}$, где K — середина ребра AB;</strong></p><p>Сначала упростим векторное выражение $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$. Точка $O$ является центром основания и серединой диагонали $BD$. По правилу параллелограмма (или медианы треугольника $\triangle MBD$) для векторов, исходящих из одной точки, имеем: $\vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}$. Следовательно, $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD}) = \frac{1}{2}(2\vec{MO}) = \vec{MO}$.</p><p>Таким образом, задача сводится к нахождению скалярного произведения $\vec{MO} \cdot \vec{MK}$. По определению, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \cos(\angle OMK)$.</p><p>Рассмотрим треугольник $\triangle MOK$. Так как $K$ — середина $AB$, отрезок $OK$ перпендикулярен высоте $MO$. Значит, $\triangle MOK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOK$. В этом треугольнике $\cos(\angle OMK) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MO}{MK} = \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|}$. Подставим это выражение в формулу скалярного произведения: $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|} = |\vec{MO}|^2$. Длина вектора $\vec{MO}$ равна высоте пирамиды $H = 4\sqrt{3}$. Значит, скалярное произведение равно $|\vec{MO}|^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.</p><p>Ответ: 48.</p><p><strong>е) радиус описанного около пирамиды шара.</strong></p><p>Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на её высоте (оси симметрии). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $M$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle MAC$.</p><p>Найдем длины сторон этого треугольника:</p><ul><li>Боковые ребра $MA = MC = 8$ см (по условию и свойству правильной пирамиды).</li> <li>Диагональ основания $AC = 8$ см (как было найдено ранее).</li></ul><p>Поскольку все три стороны треугольника $\triangle MAC$ равны 8 см, он является равносторонним. Окружность, описанная около $\triangle MAC$, является большим кругом описанного шара, а её радиус $R$ — это и есть радиус шара. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, вычисляется по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. Для $s=8$ см получаем: $R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.</p><p>Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "745183" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "745181" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1131} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1115 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 933971 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "189" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-189" "field_display_title" => "189" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "189" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1131} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1178 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "933972" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933970" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1300 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Task {#1312 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1319 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1323 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1339 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1355 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 933971 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "189" "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/page-189" "field_display_title" => "189" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "189" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179} "next" => array:2 [ "refs" => "933972" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "933970" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1300} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 745182 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "189" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/atanasjan-uchebnik/00-767" "field_display_title" => "767" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "next" => array:2 [ "refs" => "745183" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "745181" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "page" => array:2 [ "refs" => "933971" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№767 (с. 189)
Условие. №767 (с. 189)
скриншот условия
767. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD боковое ребро MA, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите:
а) площадь боковой поверхности пирамиды;
б) объём пирамиды;
в) угол между противоположными боковыми гранями;
г) угол между боковой гранью и плоскостью основания;
д) скалярное произведение векторов 12(MB + MD) MK, где K — середина ребра AB;
е) радиус описанного около пирамиды шара.
Решение 2. №767 (с. 189)
Решение 3. №767 (с. 189)
Решение 6. №767 (с. 189)
Пусть $MABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$, а вершина $M$ проецируется в центр этого квадрата, точку $O$.
По условию, боковое ребро $MA = 8$ см, и оно наклонено к плоскости основания под углом $60°$. Угол между ребром $MA$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между самим ребром и его проекцией $AO$ на эту плоскость. Таким образом, $\angle MAO = 60°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90°$).
- Высота пирамиды $H = MO = MA \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
- Длина проекции бокового ребра на основание $AO = MA \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Поскольку $O$ — центр квадрата $ABCD$, $AO$ — это половина диагонали $AC$. Диагональ основания $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Диагональ квадрата связана со стороной формулой $AC = a\sqrt{2}$. Отсюда $a\sqrt{2} = 8$, что дает $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем апофему пирамиды — высоту боковой грани. Пусть $N$ — середина стороны $CD$. Тогда $MN$ — апофема грани $MCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MON$ (угол $\angle MON = 90°$). Катет $ON$ равен половине стороны основания: $ON = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора, гипотенуза $MN$ (апофема $h_a$): $h_a^2 = MN^2 = MO^2 + ON^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 48 + 8 = 56$. $h_a = MN = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ см.
а) площадь боковой поверхности пирамиды;
Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Площадь одной такой грани, например $\triangle MCD$, равна: $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. $S_{\triangle MCD} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{2 \cdot 14} = 4\sqrt{28} = 4\sqrt{4 \cdot 7} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$ см?.
Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех граней: $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle MCD} = 4 \cdot 8\sqrt{7} = 32\sqrt{7}$ см?.
Ответ: $32\sqrt{7}$ см?.
б) объём пирамиды;
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см?. Высота пирамиды $H = 4\sqrt{3}$ см. $V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.
Ответ: $\frac{128\sqrt{3}}{3}$ см?.
в) угол между противоположными боковыми гранями;
Найдем угол между противоположными гранями $MAD$ и $MBC$. Этот двугранный угол измеряется линейным углом, который образуется перпендикулярами, проведенными в каждой грани к их линии пересечения. Пусть $K$ — середина $AD$, а $L$ — середина $BC$. Апофемы $MK$ и $ML$ перпендикулярны $AD$ и $BC$ соответственно. Линия пересечения граней проходит через $M$ параллельно $AD$ и $BC$. Следовательно, искомый угол — это угол $\angle KML$ в треугольнике $\triangle MKL$.
Стороны этого треугольника:
- $MK = ML = h_a = 2\sqrt{14}$ см.
- $KL$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $KL = a = 4\sqrt{2}$ см.
Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle MKL$: $KL^2 = MK^2 + ML^2 - 2 \cdot MK \cdot ML \cdot \cos(\angle KML)$. $(4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{14})^2 + (2\sqrt{14})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{14}) \cdot (2\sqrt{14}) \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 56 + 56 - 2 \cdot 56 \cdot \cos(\angle KML)$. $32 = 112 - 112 \cos(\angle KML)$. $112 \cos(\angle KML) = 112 - 32 = 80$. $\cos(\angle KML) = \frac{80}{112} = \frac{16 \cdot 5}{16 \cdot 7} = \frac{5}{7}$. Искомый угол равен $\arccos(\frac{5}{7})$.
Ответ: $\arccos(\frac{5}{7})$.
г) угол между боковой гранью и плоскостью основания;
Угол между боковой гранью (например, $MCD$) и плоскостью основания ($ABCD$) — это двугранный угол при ребре $CD$. Он измеряется углом между апофемой $MN$ и её проекцией на основание $ON$. Таким образом, искомый угол — это $\angle MNO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MON$.
В $\triangle MON$ имеем:
- Катет $MO = H = 4\sqrt{3}$ см.
- Катет $ON = \frac{a}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Найдем тангенс угла $\angle MNO$: $\tan(\angle MNO) = \frac{MO}{ON} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$. Искомый угол равен $\arctan(\sqrt{6})$.
Ответ: $\arctan(\sqrt{6})$.
д) скалярное произведение векторов $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$ и $\vec{MK}$, где K — середина ребра AB;
Сначала упростим векторное выражение $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD})$. Точка $O$ является центром основания и серединой диагонали $BD$. По правилу параллелограмма (или медианы треугольника $\triangle MBD$) для векторов, исходящих из одной точки, имеем: $\vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}$. Следовательно, $\frac{1}{2}(\vec{MB} + \vec{MD}) = \frac{1}{2}(2\vec{MO}) = \vec{MO}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению скалярного произведения $\vec{MO} \cdot \vec{MK}$. По определению, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \cos(\angle OMK)$.
Рассмотрим треугольник $\triangle MOK$. Так как $K$ — середина $AB$, отрезок $OK$ перпендикулярен высоте $MO$. Значит, $\triangle MOK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOK$. В этом треугольнике $\cos(\angle OMK) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MO}{MK} = \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|}$. Подставим это выражение в формулу скалярного произведения: $\vec{MO} \cdot \vec{MK} = |\vec{MO}| \cdot |\vec{MK}| \cdot \frac{|\vec{MO}|}{|\vec{MK}|} = |\vec{MO}|^2$. Длина вектора $\vec{MO}$ равна высоте пирамиды $H = 4\sqrt{3}$. Значит, скалярное произведение равно $|\vec{MO}|^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48.
е) радиус описанного около пирамиды шара.
Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на её высоте (оси симметрии). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $M$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle MAC$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
- Боковые ребра $MA = MC = 8$ см (по условию и свойству правильной пирамиды).
- Диагональ основания $AC = 8$ см (как было найдено ранее).
Поскольку все три стороны треугольника $\triangle MAC$ равны 8 см, он является равносторонним. Окружность, описанная около $\triangle MAC$, является большим кругом описанного шара, а её радиус $R$ — это и есть радиус шара. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, вычисляется по формуле $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. Для $s=8$ см получаем: $R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 767 расположенного на странице 189 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №767 (с. 189), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.