gdz.top
Номер 18, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина
Авторы: Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый в сеточку
ISBN: 978-5-09-097573-5
Популярные ГДЗ в 10 классе
1.2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми - номер 18, страница 15.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738489 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-18" "field_display_title" => "18" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738454 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "11" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #original: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #original: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #original: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738454 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "11" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937099 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1090 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>18</strong> Дано: $MN \parallel PQ$, $N \in \alpha$, $Q \in \alpha$, $MN = 10$ см, $PQ = 6$ см, $NQ = 4$ см.</p><p>а) Докажите, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $F$.</p><p>б) Найдите отрезок $QF$.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p><strong>а)</strong> Прямые $MN$ и $PQ$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как _________________.</p><p>Прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны, так как в противном случае четырехугольник $MNQP$ был бы ______________, и поэтому выполнялось бы равенство $MN = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$, что противоречит _______________, следовательно, прямая $MP$ пересекает прямую $NQ$ в некоторой точке $F$. Так как $NQ$ — линия пересечения плоскостей _______________, то $F \in \alpha$, и, значит, прямая $MP$ _________________.</p><p><strong>б)</strong> Так как $PQ \parallel MN$, то $\Delta PQF \sim$ _____________. Следовательно,</p><p>$\frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN}$, т. е. $\frac{QF}{QF+4} = \frac{6}{10}$, откуда $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.</p><p>Ответ. <strong>б)</strong> $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "18-1.jpg" "alt" => null "width" => "1710" "height" => 1301 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/18-1.webp?ts=1739375698" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937099 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>18</strong> Дано: $MN \parallel PQ$, $N \in \alpha$, $Q \in \alpha$, $MN = 10$ см, $PQ = 6$ см, $NQ = 4$ см.</p><p>а) Докажите, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $F$.</p><p>б) Найдите отрезок $QF$.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p><strong>а)</strong> Прямые $MN$ и $PQ$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как _________________.</p><p>Прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны, так как в противном случае четырехугольник $MNQP$ был бы ______________, и поэтому выполнялось бы равенство $MN = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$, что противоречит _______________, следовательно, прямая $MP$ пересекает прямую $NQ$ в некоторой точке $F$. Так как $NQ$ — линия пересечения плоскостей _______________, то $F \in \alpha$, и, значит, прямая $MP$ _________________.</p><p><strong>б)</strong> Так как $PQ \parallel MN$, то $\Delta PQF \sim$ _____________. Следовательно,</p><p>$\frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN}$, т. е. $\frac{QF}{QF+4} = \frac{6}{10}$, откуда $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.</p><p>Ответ. <strong>б)</strong> $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "18-1.jpg" "alt" => null "width" => "1710" "height" => 1301 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/18-1.webp?ts=1739375698" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937209 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1098 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "skysmart" ] #original: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "skysmart" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "18-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1235 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/18-1.webp?ts=1739375830" ] 1 => array:5 [ "name" => "18-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1810 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/18-2.webp?ts=1739375830" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937209 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "18-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1235 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/18-1.webp?ts=1739375830" ] 1 => array:5 [ "name" => "18-2.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1810 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/18-2.webp?ts=1739375830" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1106 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) Докажите, что прямая MP пересекает плоскость α в некоторой точке F.</strong></p> <p> Поскольку по условию прямые $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN \parallel PQ$), через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, все четыре точки M, N, P, Q лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $MP$ и $NQ$, проходящие через эти точки, также лежат в плоскости $\beta$. </p> <p> Далее докажем, что прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. Предположим обратное: пусть $MP \parallel NQ$. Так как у четырехугольника $MNQP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ по условию и $MP \parallel NQ$ по нашему предположению), то $MNQP$ — параллелограмм. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон, то есть должно выполняться равенство $MN = PQ$. </p> <p> Однако, согласно условию задачи, $MN = 10$ см, а $PQ = 6$ см. Так как $10 \neq 6$, то $MN \neq PQ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. </p> <p> Поскольку прямые $MP$ и $NQ$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $F$. </p> <p> По условию точки $N$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, прямая $NQ$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. </p> <p> Так как точка $F$ является точкой пересечения прямых $MP$ и $NQ$, она принадлежит прямой $NQ$. А раз прямая $NQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$. </p> <p> Таким образом, мы доказали, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$. </p> <p><strong>Ответ:</strong> Утверждение доказано.</p> <p><strong>б) Найдите отрезок QF.</strong></p> <p> Рассмотрим треугольники $\triangle FQP$ и $\triangle FNM$, которые лежат в плоскости $\beta$. Так как по условию $PQ \parallel MN$, эти треугольники подобны по двум углам: <br>1. $\angle F$ — общий для обоих треугольников. <br>2. $\angle FQP = \angle FNM$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $MN$ и секущей $FN$. </p> <p> Из подобия треугольников ($\triangle FQP \sim \triangle FNM$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN} $ </p> <p> Нам известны длины $PQ = 6$ см, $MN = 10$ см и $NQ = 4$ см. Длина отрезка $NF$ складывается из длин отрезков $NQ$ и $QF$: $NF = NQ + QF = 4 + QF$. </p> <p> Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{6}{10} $ </p> <p> Решим это уравнение. Для начала сократим дробь в правой части: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $. $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{3}{5} $ </p> <p> Применим основное свойство пропорции: $ 5 \cdot QF = 3 \cdot (4 + QF) $ $ 5 \cdot QF = 12 + 3 \cdot QF $ $ 5 \cdot QF - 3 \cdot QF = 12 $ $ 2 \cdot QF = 12 $ $ QF = \frac{12}{2} $ $ QF = 6 $ см. </p> <p><strong>Ответ:</strong> $QF = 6$ см.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>а) Докажите, что прямая MP пересекает плоскость α в некоторой точке F.</strong></p> <p> Поскольку по условию прямые $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN \parallel PQ$), через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, все четыре точки M, N, P, Q лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $MP$ и $NQ$, проходящие через эти точки, также лежат в плоскости $\beta$. </p> <p> Далее докажем, что прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. Предположим обратное: пусть $MP \parallel NQ$. Так как у четырехугольника $MNQP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ по условию и $MP \parallel NQ$ по нашему предположению), то $MNQP$ — параллелограмм. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон, то есть должно выполняться равенство $MN = PQ$. </p> <p> Однако, согласно условию задачи, $MN = 10$ см, а $PQ = 6$ см. Так как $10 \neq 6$, то $MN \neq PQ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. </p> <p> Поскольку прямые $MP$ и $NQ$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $F$. </p> <p> По условию точки $N$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, прямая $NQ$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. </p> <p> Так как точка $F$ является точкой пересечения прямых $MP$ и $NQ$, она принадлежит прямой $NQ$. А раз прямая $NQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$. </p> <p> Таким образом, мы доказали, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$. </p> <p><strong>Ответ:</strong> Утверждение доказано.</p> <p><strong>б) Найдите отрезок QF.</strong></p> <p> Рассмотрим треугольники $\triangle FQP$ и $\triangle FNM$, которые лежат в плоскости $\beta$. Так как по условию $PQ \parallel MN$, эти треугольники подобны по двум углам: <br>1. $\angle F$ — общий для обоих треугольников. <br>2. $\angle FQP = \angle FNM$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $MN$ и секущей $FN$. </p> <p> Из подобия треугольников ($\triangle FQP \sim \triangle FNM$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN} $ </p> <p> Нам известны длины $PQ = 6$ см, $MN = 10$ см и $NQ = 4$ см. Длина отрезка $NF$ складывается из длин отрезков $NQ$ и $QF$: $NF = NQ + QF = 4 + QF$. </p> <p> Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{6}{10} $ </p> <p> Решим это уравнение. Для начала сократим дробь в правой части: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $. $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{3}{5} $ </p> <p> Применим основное свойство пропорции: $ 5 \cdot QF = 3 \cdot (4 + QF) $ $ 5 \cdot QF = 12 + 3 \cdot QF $ $ 5 \cdot QF - 3 \cdot QF = 12 $ $ 2 \cdot QF = 12 $ $ QF = \frac{12}{2} $ $ QF = 6 $ см. </p> <p><strong>Ответ:</strong> $QF = 6$ см.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738490" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1040 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971662 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-15" "field_display_title" => "15" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "15" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1122 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1147778 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "15-1.jpg" "alt" => null "width" => "1954" "height" => 2800 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/15-1.webp?ts=1745219733" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1147778 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "book_page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "15-1.jpg" "alt" => null "width" => "1954" "height" => 2800 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/15-1.webp?ts=1745219733" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971663" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971661" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Task {#1197 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738488 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-17" "field_display_title" => "17" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1213 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937098 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>17.</strong> В пространственном четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$ (задача 47 учебника).</p><p><strong>Доказательство.</strong> Середины отрезков $BC, AD$ и $AC$ обозначим буквами $M, N$ и $P$. Так как отрезок $MP$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$, и поэтому угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу $\angle PMN$.</p><p>Кроме того, $PM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично отрезок $PN$ — средняя линия $\triangle ACD$, и поэтому $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.</p><p>Так как $AB = CD$, то $PM = PN$, т. е. треугольник $PMN$ — равнобедренный. Следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$, а это означает, что угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $CD$ и $MN$, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "17-1.jpg" "alt" => null "width" => "1710" "height" => 1228 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/17-1.webp?ts=1739375698" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937098 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214} "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>17.</strong> В пространственном четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$ (задача 47 учебника).</p><p><strong>Доказательство.</strong> Середины отрезков $BC, AD$ и $AC$ обозначим буквами $M, N$ и $P$. Так как отрезок $MP$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$, и поэтому угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу $\angle PMN$.</p><p>Кроме того, $PM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично отрезок $PN$ — средняя линия $\triangle ACD$, и поэтому $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.</p><p>Так как $AB = CD$, то $PM = PN$, т. е. треугольник $PMN$ — равнобедренный. Следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$, а это означает, что угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $CD$ и $MN$, что и требовалось доказать.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "17-1.jpg" "alt" => null "width" => "1710" "height" => 1228 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/17-1.webp?ts=1739375698" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1215 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937208 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "17-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3046 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/17-1.webp?ts=1739375830" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937208 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216} "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "17-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 3046 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/17-1.webp?ts=1739375830" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1217 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434282 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104} ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "text" => "<p> В данном доказательстве необходимо заполнить пропуски, используя свойства средней линии треугольника и определение угла между скрещивающимися прямыми. </p> <p> Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $BC$, а $P$ — середина $AC$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$. </p> <p> Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина $AD$, а $P$ — середина $AC$, то $PN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$. </p> <p> Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. </p> <ul> <li> Угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $MP$ и прямой $MN$, то есть $\angle PMN$. </li> <li> Угол между прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $PN$ и прямой $MN$, то есть $\angle PNM$. </li> </ul> <p> По условию задачи $AB = CD$. Так как $MP = \frac{1}{2}AB$ и $PN = \frac{1}{2}CD$, то из равенства $AB = CD$ следует, что $MP = PN$. </p> <p> Треугольник $PMN$, в котором две стороны равны ($MP = PN$), является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$. </p> <p> Так как $\angle PMN$ равен углу между $AB$ и $MN$, а $\angle PNM$ равен углу между $CD$ и $MN$, то из равенства этих углов следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$. </p> <p> Заполним пропуски в тексте доказательства: </p> <p> Так как отрезок MP — средняя <strong>линия треугольника ABC</strong>, то $MP \parallel$ <strong>AB</strong>, и поэтому угол между прямыми AB и MN равен углу <strong>PMN</strong>. Кроме того, $PM = \frac{1}{2}$ <strong>AB</strong>. Аналогично отрезок PN — <strong>средняя линия треугольника ADC</strong>, и поэтому $PN \parallel$ <strong>CD</strong> и $PN = \frac{1}{2}CD$, а угол между прямыми CD и MN равен <strong>углу PNM</strong>. </p> <p> Так как $AB = CD$, то $PM = $ <strong>PN</strong>, т. е. треугольник PMN — <strong>равнобедренный</strong>. Следовательно, $\angle$<strong>PMN</strong> = $\angle$<strong>PNM</strong>, а это означает, что угол между прямыми AB и MN равен углу между прямыми <strong>CD и MN</strong>, что и требовалось доказать. </p> <p> <strong>Ответ:</strong> Пропуски в доказательстве заполнены выше. Доказательство основано на свойствах средней линии треугольника, из которых следует, что построенный треугольник PMN является равнобедренным ($PM=PN$), а углы $\angle PMN$ и $\angle PNM$ равны искомым углам между прямыми AB и MN и прямыми CD и MN соответственно. </p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434282 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "task" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "text" => "<p> В данном доказательстве необходимо заполнить пропуски, используя свойства средней линии треугольника и определение угла между скрещивающимися прямыми. </p> <p> Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $BC$, а $P$ — середина $AC$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$. </p> <p> Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина $AD$, а $P$ — середина $AC$, то $PN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$. </p> <p> Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. </p> <ul> <li> Угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $MP$ и прямой $MN$, то есть $\angle PMN$. </li> <li> Угол между прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $PN$ и прямой $MN$, то есть $\angle PNM$. </li> </ul> <p> По условию задачи $AB = CD$. Так как $MP = \frac{1}{2}AB$ и $PN = \frac{1}{2}CD$, то из равенства $AB = CD$ следует, что $MP = PN$. </p> <p> Треугольник $PMN$, в котором две стороны равны ($MP = PN$), является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$. </p> <p> Так как $\angle PMN$ равен углу между $AB$ и $MN$, а $\angle PNM$ равен углу между $CD$ и $MN$, то из равенства этих углов следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$. </p> <p> Заполним пропуски в тексте доказательства: </p> <p> Так как отрезок MP — средняя <strong>линия треугольника ABC</strong>, то $MP \parallel$ <strong>AB</strong>, и поэтому угол между прямыми AB и MN равен углу <strong>PMN</strong>. Кроме того, $PM = \frac{1}{2}$ <strong>AB</strong>. Аналогично отрезок PN — <strong>средняя линия треугольника ADC</strong>, и поэтому $PN \parallel$ <strong>CD</strong> и $PN = \frac{1}{2}CD$, а угол между прямыми CD и MN равен <strong>углу PNM</strong>. </p> <p> Так как $AB = CD$, то $PM = $ <strong>PN</strong>, т. е. треугольник PMN — <strong>равнобедренный</strong>. Следовательно, $\angle$<strong>PMN</strong> = $\angle$<strong>PNM</strong>, а это означает, что угол между прямыми AB и MN равен углу между прямыми <strong>CD и MN</strong>, что и требовалось доказать. </p> <p> <strong>Ответ:</strong> Пропуски в доказательстве заполнены выше. Доказательство основано на свойствах средней линии треугольника, из которых следует, что построенный треугольник PMN является равнобедренным ($PM=PN$), а углы $\angle PMN$ и $\angle PNM$ равны искомым углам между прямыми AB и MN и прямыми CD и MN соответственно. </p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738487" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738488 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-17" "field_display_title" => "17" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "next" => array:2 [ "refs" => "738489" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738487" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1203 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738489 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-18" "field_display_title" => "18" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088} 1 => App\Models\Element {#1095} 2 => App\Models\Element {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738490" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738489 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-18" "field_display_title" => "18" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "next" => array:2 [ "refs" => "738490" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971662 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-15" "field_display_title" => "15" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "15" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "next" => array:2 [ "refs" => "971663" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971661" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738489 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "15" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-18" "field_display_title" => "18" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "next" => array:2 [ "refs" => "738490" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738488" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "page" => array:2 [ "refs" => "971662" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№18 (с. 15)
Условие. №18 (с. 15)
скриншот условия
18 Дано: $MN \parallel PQ$, $N \in \alpha$, $Q \in \alpha$, $MN = 10$ см, $PQ = 6$ см, $NQ = 4$ см.
а) Докажите, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $F$.
б) Найдите отрезок $QF$.
Решение.
а) Прямые $MN$ и $PQ$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как _________________.
Прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны, так как в противном случае четырехугольник $MNQP$ был бы ______________, и поэтому выполнялось бы равенство $MN = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$, что противоречит _______________, следовательно, прямая $MP$ пересекает прямую $NQ$ в некоторой точке $F$. Так как $NQ$ — линия пересечения плоскостей _______________, то $F \in \alpha$, и, значит, прямая $MP$ _________________.
б) Так как $PQ \parallel MN$, то $\Delta PQF \sim$ _____________. Следовательно,
$\frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN}$, т. е. $\frac{QF}{QF+4} = \frac{6}{10}$, откуда $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.
Ответ. б) $QF = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$ см.
Решение. №18 (с. 15)
Решение 2. №18 (с. 15)
а) Докажите, что прямая MP пересекает плоскость α в некоторой точке F.
Поскольку по условию прямые $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN \parallel PQ$), через них можно провести единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Таким образом, все четыре точки M, N, P, Q лежат в этой плоскости $\beta$. Следовательно, прямые $MP$ и $NQ$, проходящие через эти точки, также лежат в плоскости $\beta$.
Далее докажем, что прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны. Предположим обратное: пусть $MP \parallel NQ$. Так как у четырехугольника $MNQP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel PQ$ по условию и $MP \parallel NQ$ по нашему предположению), то $MNQP$ — параллелограмм. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон, то есть должно выполняться равенство $MN = PQ$.
Однако, согласно условию задачи, $MN = 10$ см, а $PQ = 6$ см. Так как $10 \neq 6$, то $MN \neq PQ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение было неверным, и прямые $MP$ и $NQ$ не параллельны.
Поскольку прямые $MP$ и $NQ$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Обозначим эту точку $F$.
По условию точки $N$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Значит, прямая $NQ$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.
Так как точка $F$ является точкой пересечения прямых $MP$ и $NQ$, она принадлежит прямой $NQ$. А раз прямая $NQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $F$ принадлежит плоскости $\alpha$.
Таким образом, мы доказали, что прямая $MP$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $F$.
Ответ: Утверждение доказано.
б) Найдите отрезок QF.
Рассмотрим треугольники $\triangle FQP$ и $\triangle FNM$, которые лежат в плоскости $\beta$. Так как по условию $PQ \parallel MN$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle F$ — общий для обоих треугольников.
2. $\angle FQP = \angle FNM$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $MN$ и секущей $FN$.
Из подобия треугольников ($\triangle FQP \sim \triangle FNM$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{QF}{NF} = \frac{PQ}{MN} $
Нам известны длины $PQ = 6$ см, $MN = 10$ см и $NQ = 4$ см. Длина отрезка $NF$ складывается из длин отрезков $NQ$ и $QF$: $NF = NQ + QF = 4 + QF$.
Подставим все известные значения в пропорцию: $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{6}{10} $
Решим это уравнение. Для начала сократим дробь в правой части: $ \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $. $ \frac{QF}{4 + QF} = \frac{3}{5} $
Применим основное свойство пропорции: $ 5 \cdot QF = 3 \cdot (4 + QF) $ $ 5 \cdot QF = 12 + 3 \cdot QF $ $ 5 \cdot QF - 3 \cdot QF = 12 $ $ 2 \cdot QF = 12 $ $ QF = \frac{12}{2} $ $ QF = 6 $ см.
Ответ: $QF = 6$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 15 к рабочей тетради серии мгу - школе 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №18 (с. 15), авторов: Глазков (Юрий Александрович), Юдина (Ирина Игоревна), Бутузов (Валентин Фёдорович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.