gdz.top
Номер 27, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина
Авторы: Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2026
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый в сеточку
ISBN: 978-5-09-097573-5
Популярные ГДЗ в 10 классе
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - номер 27, страница 21.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738499 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-27" "field_display_title" => "27" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738456 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.4. Тетраэдр и параллелепипед" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "19" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "геометрию" "field_creative_case" => "геометрией" "field_dative_case" => "геометрии" "field_genitive_case" => "геометрии" "field_nominative_case" => "геометрия" "field_prepositional_case" => "геометрии" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "десятый" "field_creative_case" => "десятым" "field_dative_case" => "десятому" "field_genitive_case" => "десятого" "field_nominative_case" => "десятый" "field_prepositional_case" => "десятом" ] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4121 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глазков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Александрович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6432 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Юдина" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ирина" "field_patronymic" => "Игоревна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3949 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бутузов" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Валентин" "field_patronymic" => "Фёдорович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1061 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #original: array:10 [ "id" => 6736 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "рабочая тетрадь" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "рабочую тетрадь" "field_creative_case" => "рабочей тетрадью" "field_dative_case" => "рабочей тетради" "field_genitive_case" => "рабочей тетради" "field_nominative_case" => "рабочая тетрадь" "field_prepositional_case" => "рабочей тетради" ] "field_plural_form" => "рабочие тетради" "field_short_name" => "рт" "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "rabochaya tetrad" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #original: array:8 [ "id" => 4728 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "мгу - школе" "field_cases" => null "field_foreign_lang_series" => null "field_transcription_eng" => null "field_translit" => "mgu - shkole" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #original: array:6 [ "id" => 41 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый и углублённый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый и углубленный" "field_creative_case" => "базовым и углубленным" "field_dative_case" => "базовому и углубленному" "field_genitive_case" => "базового и углубленного" "field_nominative_case" => "базовый и углубленный" "field_prepositional_case" => "базовом и углубленном" ] "field_translit" => "bazovyy i uglublennyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1072 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1074 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #original: array:6 [ "id" => 33 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "стереотипное" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "stereotipnoe" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 51 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "коричневый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "коричневый" "field_creative_case" => "коричневым" "field_dative_case" => "коричневому" "field_genitive_case" => "коричневого" "field_nominative_case" => "коричневый" "field_prepositional_case" => "коричневом" ] "field_translit" => "korichnevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 261 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => "4" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => "в сеточку" "field_publication_year" => "2020" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "110" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/geometrija_10/glazkov-rt/" "field_isbn" => "978-5-09-097573-5" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/covers/cover1.webp?ts=1739295144" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738456 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "1.4. Тетраэдр и параллелепипед" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "19" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937108 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1090 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2220 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>27</strong> Точки $M$ и $N$ расположены на гранях $ADB$ и $ADC$ тетраэдра $DABC$. Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.</p><p><strong>Решение.</strong> Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ _______________ и пересекает ребро __________.</p><p>Аналогично прямая $DN$ пересекает _______________.</p><p>_______________ . Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и __________ лежит в __________.</p><p>_______________ . Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую _______________ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка _______________ и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость _______________ в точке __________.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "27-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1310 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/27-1.webp?ts=1739375720" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 937108 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>27</strong> Точки $M$ и $N$ расположены на гранях $ADB$ и $ADC$ тетраэдра $DABC$. Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.</p><p><strong>Решение.</strong> Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ _______________ и пересекает ребро __________.</p><p>Аналогично прямая $DN$ пересекает _______________.</p><p>_______________ . Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и __________ лежит в __________.</p><p>_______________ . Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую _______________ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка _______________ и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость _______________ в точке __________.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "27-1.jpg" "alt" => null "width" => "1646" "height" => 1310 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-00/27-1.webp?ts=1739375720" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1095 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1096 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1098 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null …4 ] "field_translit" => "skysmart" ] #original: array:6 [ "id" => 6696 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Skysmart" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "skysmart" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2221 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "27-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1448 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/27-1.webp?ts=1739375853" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 937218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "27-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 1448 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/1-00/27-1.webp?ts=1739375853" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1103 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434292 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1104 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1106 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #original: array:6 [ "id" => 7012 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Gemini 2.5 Pro" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "gemini 2.5 pro" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5337 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "text" => "<p>Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ лежит в плоскости $ADB$ и пересекает ребро $AB$ в точке $K$.</p><p>Аналогично прямая $DN$ пересекает ребро $AC$ в точке $F$.</p><p>Рассмотрим плоскость $DMN$. Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и прямая $FK$ лежит в плоскости $DMN$.</p><p>Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую $FK$ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка $T$ лежит в плоскости $ABC$, и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $T$.</p><p><strong>Ответ:</strong> искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ — это точка $T$. Для её построения необходимо:<br>1. Провести прямую $DM$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $K$.<br>2. Провести прямую $DN$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $F$.<br>3. Провести прямую $FK$.<br>4. Точка пересечения прямых $MN$ и $FK$ и будет искомой точкой $T$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434292 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "text" => "<p>Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ лежит в плоскости $ADB$ и пересекает ребро $AB$ в точке $K$.</p><p>Аналогично прямая $DN$ пересекает ребро $AC$ в точке $F$.</p><p>Рассмотрим плоскость $DMN$. Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и прямая $FK$ лежит в плоскости $DMN$.</p><p>Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую $FK$ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка $T$ лежит в плоскости $ABC$, и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $T$.</p><p><strong>Ответ:</strong> искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ — это точка $T$. Для её построения необходимо:<br>1. Провести прямую $DM$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $K$.<br>2. Провести прямую $DN$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $F$.<br>3. Провести прямую $FK$.<br>4. Точка пересечения прямых $MN$ и $FK$ и будет искомой точкой $T$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738500" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738498" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1040 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971668 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-21" "field_display_title" => "21" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "21" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1122 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1147784 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1089} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "21-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/21-1.webp?ts=1745219733" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1147784 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1124} "book_page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "21-1.jpg" "alt" => null "width" => "1945" "height" => 2794 "path" => "/media/geometrija_10/glazkov-rt/0-1/21-1.webp?ts=1745219733" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971669" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971667" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Task {#1198 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738498 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "20" "field_page_end" => "21" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-26" "field_display_title" => "26" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1214 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937107 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>26</strong> В тетраэдре $SABC$ точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$, а точка $T$ — на продолжении ребра $BC$. Постройте:</p><p>а) точку пересечения прямых $MK$ и $SC$;</p><p>б) точку пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$.</p><p><strong>Р е ш е н и е.</strong></p><p><strong>а)</strong> Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки ___________, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________. И так, _________ — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.</p><p><strong>б)</strong> Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки ___________. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка _________ $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке __________.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #original: array:7 [ "id" => 937107 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>26</strong> В тетраэдре $SABC$ точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$, а точка $T$ — на продолжении ребра $BC$. Постройте:</p><p>а) точку пересечения прямых $MK$ и $SC$;</p><p>б) точку пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$.</p><p><strong>Р е ш е н и е.</strong></p><p><strong>а)</strong> Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки ___________, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________. И так, _________ — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.</p><p><strong>б)</strong> Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки ___________. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке _________, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка _________ $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке __________.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1216 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:2 [ …2] ] #original: array:6 [ "id" => 937217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1218 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434291 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>а)</strong></p> <p>Для построения точки пересечения прямых $MK$ и $SC$ необходимо выполнить следующие действия:</p> <p>1. Заметим, что обе прямые, $MK$ и $SC$, лежат в одной плоскости $(SBC)$. Это следует из того, что точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $SBC$. Прямая $SC$ также является ребром этой грани.</p> <p>2. Так как прямые $MK$ и $SC$ лежат в одной плоскости и, судя по рисунку, не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.</p> <p>3. Для нахождения этой точки необходимо построить прямые, проходящие через точки $M, K$ и $S, C$, и найти их точку пересечения. Обозначим эту точку буквой $P$. Точка $P$ является искомой.</p> <p><i>Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:</i></p> <p>Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки <b>M и K лежат на её ребрах $SB$ и $BC$ соответственно</b>, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке <b>P</b>. Итак, <b>P</b> — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.</p> <p>Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $SC$, лежащих в плоскости $(SBC)$.</p> <p><strong>б)</strong></p> <p>Для построения точки пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$ воспользуемся методом вспомогательной секущей плоскости:</p> <p>1. Проведём через прямую $TM$ вспомогательную плоскость. Точка $T$ лежит на продолжении ребра $BC$, а точка $M$ — на ребре $SB$. Прямые $BC$ и $SB$ определяют плоскость $(SBC)$. Следовательно, прямая $TM$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.</p> <p>2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(SBC)$ и данной плоскости $(ASC)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $C$, значит, они пересекаются по прямой $SC$.</p> <p>3. Точка пересечения исходной прямой $TM$ и данной плоскости $(ASC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся, то есть на прямой $SC$.</p> <p>4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $TM$ и $SC$. Построим прямую $TM$ и найдём её точку пересечения с прямой $SC$. Обозначим эту точку буквой $F$.</p> <p><i>Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:</i></p> <p>Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки <b>T и M лежат на прямых $BC$ и $SB$, принадлежащих этой плоскости</b>. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке <b>F</b>, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка <b>F</b> $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке <b>F</b>.</p> <p>Ответ: Искомая точка $F$ является точкой пересечения прямой $TM$ с прямой $SC$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434291 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>а)</strong></p> <p>Для построения точки пересечения прямых $MK$ и $SC$ необходимо выполнить следующие действия:</p> <p>1. Заметим, что обе прямые, $MK$ и $SC$, лежат в одной плоскости $(SBC)$. Это следует из того, что точки $M$ и $K$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $SBC$. Прямая $SC$ также является ребром этой грани.</p> <p>2. Так как прямые $MK$ и $SC$ лежат в одной плоскости и, судя по рисунку, не параллельны, они должны пересечься в некоторой точке.</p> <p>3. Для нахождения этой точки необходимо построить прямые, проходящие через точки $M, K$ и $S, C$, и найти их точку пересечения. Обозначим эту точку буквой $P$. Точка $P$ является искомой.</p> <p><i>Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:</i></p> <p>Прямая $MK$ лежит в плоскости $SBC$, так как точки <b>M и K лежат на её ребрах $SB$ и $BC$ соответственно</b>, причем на рисунке прямые $MK$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $MK$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке <b>P</b>. Итак, <b>P</b> — точка пересечения прямых $MK$ и $SC$.</p> <p>Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $SC$, лежащих в плоскости $(SBC)$.</p> <p><strong>б)</strong></p> <p>Для построения точки пересечения прямой $TM$ и плоскости $ASC$ воспользуемся методом вспомогательной секущей плоскости:</p> <p>1. Проведём через прямую $TM$ вспомогательную плоскость. Точка $T$ лежит на продолжении ребра $BC$, а точка $M$ — на ребре $SB$. Прямые $BC$ и $SB$ определяют плоскость $(SBC)$. Следовательно, прямая $TM$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.</p> <p>2. Найдём линию пересечения вспомогательной плоскости $(SBC)$ и данной плоскости $(ASC)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $C$, значит, они пересекаются по прямой $SC$.</p> <p>3. Точка пересечения исходной прямой $TM$ и данной плоскости $(ASC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся, то есть на прямой $SC$.</p> <p>4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямых $TM$ и $SC$. Построим прямую $TM$ и найдём её точку пересечения с прямой $SC$. Обозначим эту точку буквой $F$.</p> <p><i>Ниже представлен текст из задания с заполненными пропусками:</i></p> <p>Прямая $TM$ лежит в плоскости $BSC$, так как точки <b>T и M лежат на прямых $BC$ и $SB$, принадлежащих этой плоскости</b>. На рисунке прямые $TM$ и $SC$ не параллельны, поэтому прямая $TM$ пересекает прямую $SC$ в некоторой точке <b>F</b>, а так как прямая $SC$ лежит в плоскости $ASC$, то и точка <b>F</b> $\in ASC$. Следовательно, прямая $TM$ пересекает плоскость $ASC$ в точке <b>F</b>.</p> <p>Ответ: Искомая точка $F$ является точкой пересечения прямой $TM$ с прямой $SC$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738497" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971667" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738498 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "20" "field_page_end" => "21" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-26" "field_display_title" => "26" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "next" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738497" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "page" => array:2 [ "refs" => "971667" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1204 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738499 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-27" "field_display_title" => "27" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1088} 1 => App\Models\Element {#1095} 2 => App\Models\Element {#1103} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738500" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738498" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738499 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-27" "field_display_title" => "27" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1208} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} "next" => array:2 [ "refs" => "738500" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738498" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1207 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 738500 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => "22" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-28" "field_display_title" => "28" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1235 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 937109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>28</strong> Точки $A$ и $B$ расположены на гранях $SMN$ и $SNP$ тетраэдра $SMNP$. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p>Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ _______ и пересекает _______.</p><p>. Аналогично прямая $NB$ _______.</p><p>Итак, точки _______ лежат в плоскости _______</p><p>$ANB$, а потому и _______ лежит в _______ этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и _______ $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую _______ в некоторой точке _______ , и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка _______ , а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость _______ в точке _______.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #original: array:7 [ "id" => 937109 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p><strong>28</strong> Точки $A$ и $B$ расположены на гранях $SMN$ и $SNP$ тетраэдра $SMNP$. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$.</p><p><strong>Решение.</strong></p><p>Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ _______ и пересекает _______.</p><p>. Аналогично прямая $NB$ _______.</p><p>Итак, точки _______ лежат в плоскости _______</p><p>$ANB$, а потому и _______ лежит в _______ этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и _______ $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую _______ в некоторой точке _______ , и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка _______ , а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость _______ в точке _______.</p>" "img" => array:2 [ …2] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1237 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 937219 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #original: array:6 [ "id" => 937219 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 …2} "task" => array:2 [ …2] "img" => array:1 [ …1] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1239 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1434293 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p> <strong>Решение.</strong> </p> <p> Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую $AB$ и еще одну точку, не лежащую на этой прямой. Удобно выбрать точку $N$, так как она лежит в одной грани с точкой $A$ и в другой — с точкой $B$. Таким образом, мы будем работать со вспомогательной плоскостью $ANB$. </p> <p> Алгоритм построения искомой точки: </p> <ol> <li> Строим вспомогательную плоскость, проходящую через точки $A, B$ и $N$. Обозначим её $(ANB)$. </li> <li> Находим линию пересечения вспомогательной плоскости $(ANB)$ с заданной плоскостью $(SMP)$. Для этого нужно найти две общие точки этих плоскостей. <ul> <li> Точка $A$ лежит в грани $SMN$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Следовательно, прямая $NA$ лежит в плоскости $(SMN)$. Продлим прямую $NA$ до пересечения с ребром $SM$ тетраэдра. Обозначим точку пересечения $F = NA \cap SM$. Так как точка $F$ лежит на прямой $SM$, она принадлежит плоскости $(SMP)$. Так как $F$ лежит на прямой $NA$, она принадлежит вспомогательной плоскости $(ANB)$. Значит, $F$ — первая общая точка. </li> <li> Аналогично, точка $B$ лежит в грани $SNP$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Прямая $NB$ лежит в плоскости $(SNP)$. Продлим прямую $NB$ до пересечения с ребром $SP$. Обозначим точку пересечения $K = NB \cap SP$. Точка $K$ лежит на прямой $SP$, значит, принадлежит плоскости $(SMP)$. Точка $K$ лежит на прямой $NB$, значит, принадлежит плоскости $(ANB)$. Следовательно, $K$ — вторая общая точка. </li> </ul> </li> <li> Прямая $FK$ является линией пересечения плоскостей $(ANB)$ и $(SMP)$. </li> <li> Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(SMP)$ — это точка пересечения прямой $AB$ с линией пересечения плоскостей $FK$. Это следует из того, что обе прямые ($AB$ и $FK$) лежат во вспомогательной плоскости $(ANB)$. Обозначим эту точку $X = AB \cap FK$. </li> </ol> <p> Заполним пропуски в тексте решения, представленном в задаче, в соответствии с описанным алгоритмом. В качестве имени для новой точки пересечения будем использовать букву $X$. </p> <p> Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ пересекает <strong>прямую $SM$ в точке $F$</strong>. Аналогично прямая $NB$ <strong>пересекает прямую $SP$ в точке $K$</strong>. </p> <p> Итак, точки <strong>$F$ и $K$</strong> лежат в плоскости $ANB$, а потому и <strong>прямая $FK$</strong> лежит в этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую <strong>$FK$</strong> в некоторой точке <strong>$X$</strong>, и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка <strong>$X$</strong> лежит в этой плоскости, а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость <strong>$SMP$</strong> в точке <strong>$X$</strong>. </p> <p> Ответ: Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ — это точка $X$, полученная в результате пересечения прямых $AB$ и $FK$, где $F$ — точка пересечения прямой $NA$ с прямой $SM$, а $K$ — точка пересечения прямой $NB$ с прямой $SP$. </p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1434293 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 …2} "task" => array:2 [ …2] "text" => "<p> <strong>Решение.</strong> </p> <p> Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую $AB$ и еще одну точку, не лежащую на этой прямой. Удобно выбрать точку $N$, так как она лежит в одной грани с точкой $A$ и в другой — с точкой $B$. Таким образом, мы будем работать со вспомогательной плоскостью $ANB$. </p> <p> Алгоритм построения искомой точки: </p> <ol> <li> Строим вспомогательную плоскость, проходящую через точки $A, B$ и $N$. Обозначим её $(ANB)$. </li> <li> Находим линию пересечения вспомогательной плоскости $(ANB)$ с заданной плоскостью $(SMP)$. Для этого нужно найти две общие точки этих плоскостей. <ul> <li> Точка $A$ лежит в грани $SMN$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Следовательно, прямая $NA$ лежит в плоскости $(SMN)$. Продлим прямую $NA$ до пересечения с ребром $SM$ тетраэдра. Обозначим точку пересечения $F = NA \cap SM$. Так как точка $F$ лежит на прямой $SM$, она принадлежит плоскости $(SMP)$. Так как $F$ лежит на прямой $NA$, она принадлежит вспомогательной плоскости $(ANB)$. Значит, $F$ — первая общая точка. </li> <li> Аналогично, точка $B$ лежит в грани $SNP$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Прямая $NB$ лежит в плоскости $(SNP)$. Продлим прямую $NB$ до пересечения с ребром $SP$. Обозначим точку пересечения $K = NB \cap SP$. Точка $K$ лежит на прямой $SP$, значит, принадлежит плоскости $(SMP)$. Точка $K$ лежит на прямой $NB$, значит, принадлежит плоскости $(ANB)$. Следовательно, $K$ — вторая общая точка. </li> </ul> </li> <li> Прямая $FK$ является линией пересечения плоскостей $(ANB)$ и $(SMP)$. </li> <li> Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(SMP)$ — это точка пересечения прямой $AB$ с линией пересечения плоскостей $FK$. Это следует из того, что обе прямые ($AB$ и $FK$) лежат во вспомогательной плоскости $(ANB)$. Обозначим эту точку $X = AB \cap FK$. </li> </ol> <p> Заполним пропуски в тексте решения, представленном в задаче, в соответствии с описанным алгоритмом. В качестве имени для новой точки пересечения будем использовать букву $X$. </p> <p> Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ пересекает <strong>прямую $SM$ в точке $F$</strong>. Аналогично прямая $NB$ <strong>пересекает прямую $SP$ в точке $K$</strong>. </p> <p> Итак, точки <strong>$F$ и $K$</strong> лежат в плоскости $ANB$, а потому и <strong>прямая $FK$</strong> лежит в этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую <strong>$FK$</strong> в некоторой точке <strong>$X$</strong>, и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка <strong>$X$</strong> лежит в этой плоскости, а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость <strong>$SMP$</strong> в точке <strong>$X$</strong>. </p> <p> Ответ: Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ — это точка $X$, полученная в результате пересечения прямых $AB$ и $FK$, где $F$ — точка пересечения прямой $NA$ с прямой $SM$, а $K$ — точка пересечения прямой $NB$ с прямой $SP$. </p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "738501" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 738500 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => "22" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-28" "field_display_title" => "28" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "next" => array:2 [ "refs" => "738501" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738499" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971668 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/page-21" "field_display_title" => "21" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "21" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "next" => array:2 [ "refs" => "971669" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971667" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 738499 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "21" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/glazkov-tetrad/00-27" "field_display_title" => "27" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042} "next" => array:2 [ "refs" => "738500" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "738498" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "page" => array:2 [ "refs" => "971668" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№27 (с. 21)
Условие. №27 (с. 21)
скриншот условия
27 Точки $M$ и $N$ расположены на гранях $ADB$ и $ADC$ тетраэдра $DABC$. Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.
Решение. Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ _______________ и пересекает ребро __________.
Аналогично прямая $DN$ пересекает _______________.
_______________ . Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и __________ лежит в __________.
_______________ . Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую _______________ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка _______________ и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость _______________ в точке __________.
Решение. №27 (с. 21)
Решение 2. №27 (с. 21)
Поскольку точки $D$ и $M$ лежат в плоскости $ADB$, то прямая $DM$ лежит в плоскости $ADB$ и пересекает ребро $AB$ в точке $K$.
Аналогично прямая $DN$ пересекает ребро $AC$ в точке $F$.
Рассмотрим плоскость $DMN$. Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $DMN$, а потому и прямая $FK$ лежит в плоскости $DMN$.
Так как на рисунке прямая $MN$ не параллельна прямой $FK$, то прямая $MN$ пересекает прямую $FK$ в некоторой точке $T$. Прямая $FK$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому точка $T$ лежит в плоскости $ABC$, и, значит, прямая $MN$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $T$.
Ответ: искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ — это точка $T$. Для её построения необходимо:
1. Провести прямую $DM$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $K$.
2. Провести прямую $DN$ до пересечения с прямой $AC$ в точке $F$.
3. Провести прямую $FK$.
4. Точка пересечения прямых $MN$ и $FK$ и будет искомой точкой $T$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 27 расположенного на странице 21 к рабочей тетради серии мгу - школе 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №27 (с. 21), авторов: Глазков (Юрий Александрович), Юдина (Ирина Игоревна), Бутузов (Валентин Фёдорович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.