gdz.top
Номер 12, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: оранжевый
ISBN: 978-5-360-07142-6
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 17. Параллелепипед. Упражнения - номер 12, страница 161.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 733372 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "161" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/17-12" "field_display_title" => "12" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732721 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "147" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1035 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #original: array:6 [ "id" => 5459 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "10" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "desjatyj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1039 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1040 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5174 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Вентана-граф" "field_cases" => null "field_translit" => "ventana-graf" ] #original: array:6 [ "id" => 5174 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Вентана-граф" "field_cases" => null "field_translit" => "ventana-graf" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5164 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мерзляк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Аркадий" "field_patronymic" => "Григорьевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5164 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Мерзляк" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Аркадий" "field_patronymic" => "Григорьевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Номировский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дмитрий" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5370 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Номировский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Дмитрий" "field_patronymic" => "Анатольевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5506 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Полонский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Виталий" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5506 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Полонский" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Виталий" "field_patronymic" => "Борисович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6445 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Якир" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Семёнович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6445 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Якир" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Семёнович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1050 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #original: array:10 [ "id" => 6706 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "ФГОС (старый)" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_color" => null "field_end_year" => "2022" "field_start_year" => "2019" "field_translit" => "fgos-old" "field_type" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #original: array:6 [ "id" => 50 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "оранжевый" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "oranzhevyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1041} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => "Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия" "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "833" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_10/merzljak/" "field_isbn" => "978-5-360-07142-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/covers/cover1.webp?ts=1739294218" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1661" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> <strong>ГДЗ по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский, Полонский</strong> неоднократно поможет выпускникам на протяжении всего учебного года. Доступно изложенный материал позволит на отлично справиться не только с текущими практическими заданиями, но и подготовиться к контрольным работам и даже к итоговому экзамену по математике, ведь он предполагает и ряд вопросов по дисциплине. Каждый подросток найдет на страницах издания важную именно для него информацию. И если отличники, заглядывая в пособие, смогут выполнять самопроверку, то отстающие от программы ребята наверстают упущенное и существенно поправят свои оценки. </p> <h2> Особенности геометрии в 10 классе </h2> <p> В десятом классе все мысли учеников связаны с экзаменами. Они станут логичным итогом всей школьной жизни ребят. Готовиться к этому испытанию они начинают заблаговременно, порой пуская на самотек текущие занятия. Это не самое лучшее решение, ведь таким образом можно испортить свой аттестат. Поэтому подросткам придется работать одинаково результативно по всем направлениям. Что касается геометрии, то в течение года совместно с педагогом десятиклассники разберут целый ряд сложных тем: </p> <ol> <li>Параллельность в пространстве.</li> <li>Перпендикулярность в пространстве.</li> <li>Многогранники.</li> <li>Пирамида.</li> <li>Перпендикуляр и наклонная.</li> <li>Преобразования фигур в пространстве. Параллельное проектирование.</li> </ol> <p> Перечень далеко не полный. Но даже из него становится понятно, что без дополнительной помощи ребятам не обойтись. Чтобы выполнение заданий из учебника не растягивалось на часы, было максимально комфортным и плодотворным, следует в качестве вспомогательного пособия использовать решебник. Авторы постарались максимально развернуто изложить весь материал, чтобы он был одинаково доступен и понятен всем без исключения ребятам. Вдумчиво поработав над каждым номером, можно понять логику применения теоретических аспектов на практике. </p> <h2> Что представляет собой ГДЗ по геометрии </h2> <p> <strong>Решебник по геометрии за 10 класс Мерзляка (Вентана-граф)</strong> - отличный вспомогательный справочник. Главным его достоинством стал электронный формат, адаптированный даже для мобильных устройств. Свободный круглосуточный доступ дает возможность обращаться к изданию в любое время в удобном месте. Простой интерфейс и понятная навигация существенно облегчают поиск нужного задания. Всего в пару кликов перед глазами пользователя предстанет необходимая информация. </p> <p> ГДЗ представляет собой онлайн-страницу с четкой структурой, куда вошли: </p> <ul> <li>тематические параграфы, разбитые на разделы;</li> <li>контрольные вопросы к каждой главе;</li> <li>дополнительные задачи по всем темам;</li> <li>номера для подготовки к ЕГЭ и задания с практическим содержанием.</li> </ul> <p> Каждое решение детально проработано. Помимо верного ответа, авторы старались давать исчерпывающие комментарии относительно тех теорем и аксиом, которые были применены. Тем самым, вдумчиво ознакомившись с предложенным материалом, школьник поймёт логику рассуждений, запомнит её и сумеет активно использовать в аналогичных случаях в классе. </p> <h2> Решебник к учебнику Мерзляка — помощник не только детям </h2> <p> Даже в десятом классе ребятам, несмотря на их самостоятельность, периодически требуется помощь взрослых. Родителей темы современной школьной программы зачастую ставят в тупик. Оно и понятно, ведь за ежедневными проблемами мамы и папы давно забыли вопросы из курса геометрии. При этом, выпадать из учебного процесса своих детей никак нельзя. Нужно вовремя реагировать на все возникающие проблемы, чтобы они не привели к глобальному непониманию материала. Поэтому решебник станет для родителей незаменимым подспорьем. Он позволит им лучше ориентироваться в тематике, быстрее освежать в памяти собственные знания и, в результате, эффективнее помогать своему ребёнку. И всё это без лишних нервов, огромных затрат времени и сил. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 381 "subject" => 543 "class_subject" => 392 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732721 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "147" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1068 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Параллелепипед" "field_branch_order" => "17" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "157" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1073 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732721 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_page_start" => "147" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 732721 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Многогранники" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 …2} "field_page_start" => "147" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Параллелепипед" "field_branch_order" => "17" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_page_start" => "157" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1111 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732727 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1115 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 732725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Параллелепипед" "field_branch_order" => "17" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 …2} "field_page_start" => "157" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 732725 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Параллелепипед" "field_branch_order" => "17" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1116 …2} "field_page_start" => "157" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 732727 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1112} "field_page_start" => "160" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1120 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 931815 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1122 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2217 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>17.12.</strong> Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом $ \alpha $ и меньшей диагональю $ d $. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "12-1.png" "alt" => null "width" => "507" "height" => 108 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-17/12-1.webp?ts=1739301619" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 931815 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>17.12.</strong> Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом $ \alpha $ и меньшей диагональю $ d $. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "12-1.png" "alt" => null "width" => "507" "height" => 108 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/0-17/12-1.webp?ts=1739301619" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1128 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 932648 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1130 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 2218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 2218 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "margarita" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1133 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "12-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2827 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-17/12-1.webp?ts=1739302494" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 932648 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1129} "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "12-1.png" "alt" => null "width" => "694" "height" => 2827 "path" => "/media/geometrija_10/merzljak/1-17/12-1.webp?ts=1739302494" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1136 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1445684 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1138 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5367 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5367 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1139 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1141 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "text" => "<p>Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Основанием является ромб со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, задача сводится к нахождению стороны ромба $a$ и высоты параллелепипеда $h$.</p><p><strong>1. Найдем сторону основания (ромба)</strong></p><p>Пусть сторона ромба равна $a$. По условию, в ромбе есть острый угол $\alpha$ и меньшая диагональ $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и его меньшей диагональю ($d$). Угол между сторонами $a$ равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:</p><p>$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$</p><p>Воспользуемся формулой половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:</p><p>$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Извлекая квадратный корень, получаем:</p><p>$d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Отсюда выразим сторону ромба $a$:</p><p>$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$</p><p><strong>2. Найдем высоту параллелепипеда</strong></p><p>Высота прямого параллелепипеда $h$ равна его боковому ребру. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, которую мы обозначим $D$. Высота $h$, большая диагональ ромба $D$ и большая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике имеем:</p><p>$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$, откуда $h = D \tan(\beta)$.</p><p>Теперь найдем длину большей диагонали ромба $D$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:</p><p>$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2$</p><p>Выразим отсюда $D^2$:</p><p>$D^2 = 4a^2 - d^2$</p><p>Подставим найденное ранее выражение для $a$:</p><p>$D^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - d^2 = \frac{4d^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2$</p><p>$D^2 = d^2\left(\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = d^2\frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\cot^2(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Следовательно, большая диагональ ромба равна:</p><p>$D = d \cot(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:</p><p>$h = D \tan(\beta) = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$</p><p><strong>3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда</strong></p><p>Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:</p><p>$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$</p><p>Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:</p><p>$S_{бок} = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$</p><p>Упростим выражение, используя то, что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:</p><p>$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$</p><p>Ответ: $S_{бок} = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1445684 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "task" => array:2 [ "refs" => "733372" "type" => "task" ] "text" => "<p>Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Основанием является ромб со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, задача сводится к нахождению стороны ромба $a$ и высоты параллелепипеда $h$.</p><p><strong>1. Найдем сторону основания (ромба)</strong></p><p>Пусть сторона ромба равна $a$. По условию, в ромбе есть острый угол $\alpha$ и меньшая диагональ $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и его меньшей диагональю ($d$). Угол между сторонами $a$ равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:</p><p>$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$</p><p>Воспользуемся формулой половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:</p><p>$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Извлекая квадратный корень, получаем:</p><p>$d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Отсюда выразим сторону ромба $a$:</p><p>$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$</p><p><strong>2. Найдем высоту параллелепипеда</strong></p><p>Высота прямого параллелепипеда $h$ равна его боковому ребру. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, которую мы обозначим $D$. Высота $h$, большая диагональ ромба $D$ и большая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике имеем:</p><p>$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$, откуда $h = D \tan(\beta)$.</p><p>Теперь найдем длину большей диагонали ромба $D$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:</p><p>$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2$</p><p>Выразим отсюда $D^2$:</p><p>$D^2 = 4a^2 - d^2$</p><p>Подставим найденное ранее выражение для $a$:</p><p>$D^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - d^2 = \frac{4d^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2$</p><p>$D^2 = d^2\left(\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = d^2\frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\cot^2(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Следовательно, большая диагональ ромба равна:</p><p>$D = d \cot(\frac{\alpha}{2})$</p><p>Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:</p><p>$h = D \tan(\beta) = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$</p><p><strong>3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда</strong></p><p>Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:</p><p>$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$</p><p>Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:</p><p>$S_{бок} = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$</p><p>Упростим выражение, используя то, что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:</p><p>$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$</p><p>Ответ: $S_{бок} = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "733373" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "733371" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1147 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 971599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "161" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-161" "field_display_title" => "161" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "161" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1153 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1851 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1166 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1175 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1177 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1179 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2017" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" …24 ] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1188 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "971600" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971598" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:13 [ 0 => App\Models\Task {#1197 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1279 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1292 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1305 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1318 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1331 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1344 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1357 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1370 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1383 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1396 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 11 => App\Models\Task {#1409 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 12 => App\Models\Task {#1422 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 971599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "161" "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/page-161" "field_display_title" => "161" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "161" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "next" => array:2 [ "refs" => "971600" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "971598" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 733372 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "161" "field_page_end" => null "field_url" => "/10-klass/geometrija/merzlyak-uchebnik/17-12" "field_display_title" => "12" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "next" => array:2 [ "refs" => "733373" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "733371" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "page" => array:2 [ "refs" => "971599" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№12 (с. 161)
Условие. №12 (с. 161)
скриншот условия
17.12. Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом $ \alpha $ и меньшей диагональю $ d $. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение 1. №12 (с. 161)
Решение 3. №12 (с. 161)
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Основанием является ромб со стороной $a$, поэтому его периметр $P_{осн} = 4a$. Таким образом, задача сводится к нахождению стороны ромба $a$ и высоты параллелепипеда $h$.
1. Найдем сторону основания (ромба)
Пусть сторона ромба равна $a$. По условию, в ромбе есть острый угол $\alpha$ и меньшая диагональ $d$. Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и его меньшей диагональю ($d$). Угол между сторонами $a$ равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:
$d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$
Воспользуемся формулой половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:
$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, получаем:
$d = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$
Отсюда выразим сторону ромба $a$:
$a = \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$
2. Найдем высоту параллелепипеда
Высота прямого параллелепипеда $h$ равна его боковому ребру. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этой диагонали на основание является большая диагональ ромба, которую мы обозначим $D$. Высота $h$, большая диагональ ромба $D$ и большая диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике имеем:
$\tan(\beta) = \frac{h}{D}$, откуда $h = D \tan(\beta)$.
Теперь найдем длину большей диагонали ромба $D$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, имеем:
$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{D}{2})^2$
Выразим отсюда $D^2$:
$D^2 = 4a^2 - d^2$
Подставим найденное ранее выражение для $a$:
$D^2 = 4\left(\frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - d^2 = \frac{4d^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2 = \frac{d^2}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - d^2$
$D^2 = d^2\left(\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 1\right) = d^2\frac{1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = d^2\cot^2(\frac{\alpha}{2})$
Следовательно, большая диагональ ромба равна:
$D = d \cot(\frac{\alpha}{2})$
Теперь можем найти высоту параллелепипеда $h$:
$h = D \tan(\beta) = d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$
3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда
Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4ah$
Подставим найденные выражения для $a$ и $h$:
$S_{бок} = 4 \cdot \frac{d}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$
Упростим выражение, используя то, что $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$:
$S_{бок} = \frac{2d}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot d \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: $S_{бок} = \frac{2d^2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 161 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12 (с. 161), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.