Номер 568, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение, Вентана-граф

Год издания: 2023 - 2026

Цвет обложки: оранжевый с графиком

ISBN: 978-5-09-105805-5

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения. Параграф 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Упражнения - номер 568, страница 147. 

App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php
  #connection: "mysql"
  #table: "tasks"
  #primaryKey: "id"
  #keyType: "int"
  +incrementing: true
  #with: []
  #withCount: []
  +preventsLazyLoading: false
  #perPage: 15
  +exists: true
  +wasRecentlyCreated: false
  #escapeWhenCastingToString: false
  #attributes: array:24 [
    "id" => 600300
    "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
    "updated_at" => null
    "field_page_start" => "147"
    "field_page_end" => null
    "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos/568"
    "field_display_title" => "568"
    "field_outside_task" => null
    "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037
      #items: array:1 [
        0 => App\Models\Term {#1036
          #connection: "mysql"
          #table: "terms"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: false
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 26
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "name" => "номер"
            "field_cases" => array:6 [
              "field_accusative_case" => "номер"
              "field_creative_case" => "номером"
              "field_dative_case" => "номеру"
              "field_genitive_case" => "номера"
              "field_nominative_case" => "номер"
              "field_prepositional_case" => "номере"
            ]
            "field_short_name" => "№"
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 26
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "name" => "номер"
            "field_cases" => array:6 [
              "field_accusative_case" => "номер"
              "field_creative_case" => "номером"
              "field_dative_case" => "номеру"
              "field_genitive_case" => "номера"
              "field_nominative_case" => "номер"
              "field_prepositional_case" => "номере"
            ]
            "field_short_name" => "№"
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "field_metatags_title" => null
    "field_metatags_description" => null
    "field_h1" => null
    "field_description_top" => null
    "field_description_bottom" => null
    "field_match" => null
    "breadcrumbs" => []
    "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035
      #items: []
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078
      #items: array:1 [
        0 => App\Models\Branch {#1034
          #connection: "mysql"
          #table: "branches"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:24 [
            "id" => 599548
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Окружность и круг. Геометрические построения"
            "field_branch_order" => "4"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1038
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:7 [ …7]
                  #original: array:7 [ …7]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Book {#1041
                  #connection: "mysql"
                  #table: "books"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:50 [ …50]
                  #original: array:50 [ …50]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
          ]
          #original: array:24 [
            "id" => 599548
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Окружность и круг. Геометрические построения"
            "field_branch_order" => "4"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039}
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040}
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075}
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209
      #items: array:3 [
        0 => App\Models\Branch {#1076
          #connection: "mysql"
          #table: "branches"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:24 [
            "id" => 599548
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Окружность и круг. Геометрические построения"
            "field_branch_order" => "4"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1077
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:7 [ …7]
                  #original: array:7 [ …7]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Book {#1081
                  #connection: "mysql"
                  #table: "books"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:50 [ …50]
                  #original: array:50 [ …50]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
          ]
          #original: array:24 [
            "id" => 599548
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Окружность и круг. Геометрические построения"
            "field_branch_order" => "4"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1079}
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080}
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115}
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        1 => App\Models\Branch {#1116
          #connection: "mysql"
          #table: "branches"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:24 [
            "id" => 599549
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Геометрическое место точек. Окружность и круг"
            "field_branch_order" => "20"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1118
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:7 [ …7]
                  #original: array:7 [ …7]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Book {#1120
                  #connection: "mysql"
                  #table: "books"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:50 [ …50]
                  #original: array:50 [ …50]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Branch {#1155
                  #connection: "mysql"
                  #table: "branches"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: true
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:24 [ …24]
                  #original: array:24 [ …24]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
          ]
          #original: array:24 [
            "id" => 599549
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Геометрическое место точек. Окружность и круг"
            "field_branch_order" => "20"
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117}
            "field_page_start" => "140"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119}
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154}
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        2 => App\Models\Branch {#1160
          #connection: "mysql"
          #table: "branches"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:24 [
            "id" => 599551
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Упражнения"
            "field_branch_order" => null
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_page_start" => "144"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Book {#1163
                  #connection: "mysql"
                  #table: "books"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:50 [ …50]
                  #original: array:50 [ …50]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Branch {#1198
                  #connection: "mysql"
                  #table: "branches"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: true
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:24 [ …24]
                  #original: array:24 [ …24]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
          ]
          #original: array:24 [
            "id" => 599551
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_display_title" => "Упражнения"
            "field_branch_order" => null
            "field_url" => null
            "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161}
            "field_page_start" => "144"
            "field_branch_display" => "0"
            "field_branch_expanded" => "0"
            "field_display_branch_in_title" => "1"
            "field_display_task_interval" => "0"
            "field_display_branch_page" => "1"
            "field_branch_title_in_content" => "0"
            "field_navigation_title" => null
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "field_branch_cover" => []
            "field_branch_covers" => []
            "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1162}
            "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197}
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211
      #items: array:11 [
        0 => App\Models\Element {#1228
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:7 [
            "id" => 744660
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1229
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p><strong>568.</strong> В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$. Докажите, что $AE = ED$.</p>"
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "1636"
                "height" => 175
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/0-00/568-1.webp?ts=1738080566"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:7 [
            "id" => 744660
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p><strong>568.</strong> В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$. Докажите, что $AE = ED$.</p>"
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "1636"
                "height" => 175
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/0-00/568-1.webp?ts=1738080566"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        1 => App\Models\Element {#1243
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 749527
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1253
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1244
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "694"
                "height" => 3451
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/2-00/568-1.webp?ts=1738085208"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 749527
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1253}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "694"
                "height" => 3451
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/2-00/568-1.webp?ts=1738085208"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        2 => App\Models\Element {#1251
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 750200
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1252
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "1400"
                "height" => 2154
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/3-00/568-1.webp?ts=1738085920"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 750200
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1261}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "1400"
                "height" => 2154
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/3-00/568-1.webp?ts=1738085920"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        3 => App\Models\Element {#1275
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 752602
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1276
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:2 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 419
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/4-00/568-1.webp?ts=1738089899"
              ]
              1 => array:5 [
                "name" => "568-2.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 127
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/4-00/568-2.webp?ts=1738089899"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 752602
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1285}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:2 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 419
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/4-00/568-1.webp?ts=1738089899"
              ]
              1 => array:5 [
                "name" => "568-2.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 127
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/4-00/568-2.webp?ts=1738089899"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        4 => App\Models\Element {#1259
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 751189
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1260
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "746"
                "height" => 2012
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/5-00/568-1.webp?ts=1738086732"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 751189
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "746"
                "height" => 2012
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/5-00/568-1.webp?ts=1738086732"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        5 => App\Models\Element {#1307
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 1441721
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1308
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p>Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.</p><p>В треугольнике проведены биссектрисы $AD$ (угла $\angle BAC$) и $CE$ (угла $\angle BCA$).</p><p>Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $ED$ докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AD$. Для этого необходимо показать, что углы при его основании равны, то есть $\angle DAE = \angle ADE$.</p><p><strong>Шаг 1: Анализ угла $\angle DAE$.</strong></p><p>По определению, биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$. Угол $\angle DAE$ является тем же углом, что и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle DAE = \frac{1}{2} \angle BAC$.</p><p><strong>Шаг 2: Доказательство параллельности $ED$ и $AC$.</strong></p><p>Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.</p><p>Применим это свойство для биссектрисы $CE$ в треугольнике $ABC$:</p><p>$\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}$</p><p>Теперь применим это свойство для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$:</p><p>$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$</p><p>Так как по условию треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, правые части полученных пропорций равны.</p><p>$\frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB}$</p><p>Это означает, что и левые части пропорций также равны:</p><p>$\frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}$</p><p>Перепишем это соотношение в виде $\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{CD}$.</p><p>Согласно теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает от них пропорциональные отрезки, считая от общей вершины, то эта прямая параллельна третьей стороне. В нашем случае прямая $ED$ делит стороны $AB$ и $BC$ пропорционально, следовательно, $ED \parallel AC$.</p><p><strong>Шаг 3: Анализ угла $\angle ADE$.</strong></p><p>Мы доказали, что $ED \parallel AC$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle DAC$.</p><p><strong>Шаг 4: Заключение.</strong></p><p>На основе предыдущих шагов мы получили:</p><p>1. $\angle DAE = \angle DAC$ (по определению биссектрисы).</p><p>2. $\angle ADE = \angle DAC$ (как накрест лежащие углы при $ED \parallel AC$ и секущей $AD$).</p><p>Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle ADE$.</p><p>Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае это стороны $AE$ и $ED$.</p><p>Таким образом, $AE = ED$, что и требовалось доказать.</p><p><strong>Ответ:</strong> Равенство $AE = ED$ доказано.</p>"
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 1441721
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p>Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.</p><p>В треугольнике проведены биссектрисы $AD$ (угла $\angle BAC$) и $CE$ (угла $\angle BCA$).</p><p>Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $ED$ докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AD$. Для этого необходимо показать, что углы при его основании равны, то есть $\angle DAE = \angle ADE$.</p><p><strong>Шаг 1: Анализ угла $\angle DAE$.</strong></p><p>По определению, биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$. Угол $\angle DAE$ является тем же углом, что и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle DAE = \frac{1}{2} \angle BAC$.</p><p><strong>Шаг 2: Доказательство параллельности $ED$ и $AC$.</strong></p><p>Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.</p><p>Применим это свойство для биссектрисы $CE$ в треугольнике $ABC$:</p><p>$\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}$</p><p>Теперь применим это свойство для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$:</p><p>$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$</p><p>Так как по условию треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, правые части полученных пропорций равны.</p><p>$\frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB}$</p><p>Это означает, что и левые части пропорций также равны:</p><p>$\frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}$</p><p>Перепишем это соотношение в виде $\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{CD}$.</p><p>Согласно теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает от них пропорциональные отрезки, считая от общей вершины, то эта прямая параллельна третьей стороне. В нашем случае прямая $ED$ делит стороны $AB$ и $BC$ пропорционально, следовательно, $ED \parallel AC$.</p><p><strong>Шаг 3: Анализ угла $\angle ADE$.</strong></p><p>Мы доказали, что $ED \parallel AC$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle DAC$.</p><p><strong>Шаг 4: Заключение.</strong></p><p>На основе предыдущих шагов мы получили:</p><p>1. $\angle DAE = \angle DAC$ (по определению биссектрисы).</p><p>2. $\angle ADE = \angle DAC$ (как накрест лежащие углы при $ED \parallel AC$ и секущей $AD$).</p><p>Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle ADE$.</p><p>Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае это стороны $AE$ и $ED$.</p><p>Таким образом, $AE = ED$, что и требовалось доказать.</p><p><strong>Ответ:</strong> Равенство $AE = ED$ доказано.</p>"
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        6 => App\Models\Element {#1235
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:7 [
            "id" => 748243
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1236
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p><strong>568.</strong> Точки $F$ и $O$ – центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания $AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.</p><p><strong>Рис. 310</strong></p>"
            "img" => array:2 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "1607"
                "height" => 313
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old0-00/568-1.webp?ts=1738081564"
              ]
              1 => array:5 [
                "name" => "568-2.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "800"
                "height" => 480
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old0-00/568-2.webp?ts=1738081564"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:7 [
            "id" => 748243
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "text" => "<p><strong>568.</strong> Точки $F$ и $O$ – центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания $AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.</p><p><strong>Рис. 310</strong></p>"
            "img" => array:2 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "1607"
                "height" => 313
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old0-00/568-1.webp?ts=1738081564"
              ]
              1 => array:5 [
                "name" => "568-2.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "800"
                "height" => 480
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old0-00/568-2.webp?ts=1738081564"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        7 => App\Models\Element {#1267
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 751999
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1268
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "694"
                "height" => 3862
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old2-00/568-1.webp?ts=1738089289"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 751999
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1277}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "694"
                "height" => 3862
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old2-00/568-1.webp?ts=1738089289"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        8 => App\Models\Element {#1283
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 753361
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1284
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "1400"
                "height" => 1856
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old3-00/568-1.webp?ts=1738091774"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 753361
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1293}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "1400"
                "height" => 1856
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old3-00/568-1.webp?ts=1738091774"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        9 => App\Models\Element {#1291
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 754291
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1301
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1292
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 626
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old4-00/568-1.webp?ts=1738092744"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 754291
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1301}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.jpg"
                "alt" => null
                "width" => "600"
                "height" => 626
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old4-00/568-1.webp?ts=1738092744"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
        10 => App\Models\Element {#1299
          #connection: "mysql"
          #table: "elements"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:6 [
            "id" => 754898
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Edition {#1300
                  #connection: "mysql"
                  #table: "editions"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:21 [ …21]
                  #original: array:21 [ …21]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "815"
                "height" => 1759
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old5-00/568-1.webp?ts=1738093158"
              ]
            ]
          ]
          #original: array:6 [
            "id" => 754898
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309}
            "task" => array:2 [
              "refs" => "600300"
              "type" => "task"
            ]
            "img" => array:1 [
              0 => array:5 [
                "name" => "568-1.png"
                "alt" => null
                "width" => "815"
                "height" => 1759
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/old5-00/568-1.webp?ts=1738093158"
              ]
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "next" => array:2 [
      "refs" => "600301"
      "type" => "task"
    ]
    "previous" => array:2 [
      "refs" => "600299"
      "type" => "task"
    ]
    "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335
      #items: array:1 [
        0 => App\Models\Book {#1226
          #connection: "mysql"
          #table: "books"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: false
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:50 [
            "id" => 904
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_tree_default_status" => "tasks"
            "field_pages_status" => null
            "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210
              #items: array:2 [
                0 => App\Models\Term {#1208
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:10 [ …10]
                  #original: array:10 [ …10]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
                1 => App\Models\Term {#1225
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:10 [ …10]
                  #original: array:10 [ …10]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1223
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:6 [ …6]
                  #original: array:6 [ …6]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222
              #items: array:2 [
                0 => App\Models\Term {#1221
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:6 [ …6]
                  #original: array:6 [ …6]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
                1 => App\Models\Term {#1220
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:6 [ …6]
                  #original: array:6 [ …6]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219
              #items: array:3 [
                0 => App\Models\Term {#1217
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:12 [ …12]
                  #original: array:12 [ …12]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
                1 => App\Models\Term {#1216
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:12 [ …12]
                  #original: array:12 [ …12]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
                2 => App\Models\Term {#1218
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:12 [ …12]
                  #original: array:12 [ …12]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1215
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:10 [ …10]
                  #original: array:10 [ …10]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1315
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:6 [ …6]
                  #original: array:6 [ …6]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1316
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1318
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:6 [ …6]
                  #original: array:6 [ …6]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1319
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1320
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1321
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1322
              #items: array:2 [
                0 => App\Models\Term {#1323
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:10 [ …10]
                  #original: array:10 [ …10]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
                1 => App\Models\Term {#1324
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                  +wasRecentlyCreated: false
                  #escapeWhenCastingToString: false
                  #attributes: array:10 [ …10]
                  #original: array:10 [ …10]
                  #changes: []
                  #casts: []
                  #classCastCache: []
                  #attributeCastCache: []
                  #dateFormat: null
                  #appends: []
                  #dispatchesEvents: []
                  #observables: []
                  #relations: []
                  #touches: []
                  +timestamps: true
                  +usesUniqueIds: false
                  #hidden: []
                  #visible: []
                  #fillable: []
                  #guarded: array:1 [ …1]
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_publication_number" => null
            "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1327
                  #connection: "mysql"
                  #table: "terms"
                  #primaryKey: "id"
                  #keyType: "int"
                  +incrementing: false
                  #with: []
                  #withCount: []
                  +preventsLazyLoading: false
                  #perPage: 15
                  +exists: true
                   …20
                }
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_under_the_edition_degree" => null
            "field_cover_description" => "с графиком"
            "field_publication_year" => "2023"
            "field_publication_year_until" => null
            "field_part" => ""
            "field_part_writing" => ""
            "field_second_foreign_language" => null
            "field_for_whom" => "Учебное пособие"
            "field_allowed" => null
            "field_reserve_field" => null
            "field_link_to_source" => null
            "field_tasks_count" => "1017"
            "field_priority" => "6"
            "field_default_folder" => "/geometrija_07/merzlyak-u23/"
            "field_isbn" => "978-5-09-105805-5"
            "field_cover" => array:1 [
              0 => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/covers/cover1.webp?ts=1738008352"
            ]
            "field_cover_alts" => array:1 [
              0 => ""
            ]
            "field_covers" => array:1 [
              0 => array:4 [
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/covers/cover1.webp?ts=1738008352"
                "alt" => ""
                "width" => "2277"
                "height" => "3035"
              ]
            ]
            "field_popular_book" => null
            "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1330
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos"
            "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Term {#1332 …30}
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2>Нужно ли изучать геометрию? </h2> <p> В седьмом классе учебные нагрузки возрастут. В расписании школьников появится такой предмет как геометрия. Поначалу новая наука вызывает искренний интерес, но уже через некоторое время ребята начинают испытывать трудности при ее освоении. Многие пытаются мотивировать нежелание делать уроки высказываниями вроде: «Да зачем она нужна?», «В жизни такое точно не пригодится», и т.д. Тем не менее оценки по предмету самым прямым образом влияют на общую успеваемость. С помощью «<strong>ГДЗ по Геометрии 7 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир (Вентана-Граф)</strong>» можно разобраться в аспектах дисциплины и осознать ее смысл. </p> <p> Давайте рассмотрим, какие качества позволяет развить геометрия у учеников: <ol> <li>Логическое, образное мышление.</li> <li>Пространственное представление.</li> <li>Интуитивную и символическую умственную деятельность.</li> <li>Фантазию.</li> <li>Умение анализировать.</li> <li>Грамотную речь.</li> </ol> <p> Основное, что требуется от учащихся на уроках - внимательность. Иначе будет трудно понять, каким образом знание теорем поможет справиться с выполнением задач. Геометрия - наука сугубо практическая, поэтому учителя показывают наглядные примеры во время занятий. Но иногда у подростков все равно остаются вопросы, ответить на которые зачастую некому. Решебник позволит полноценно освоить новую тему и приобрести важные навыки. </p> <h2> Почему ученики выбирают ГДЗ к учебнику Мерзляка? </h2> <p> Учебники подчас содержат очень мало полезных сведений. Возникает ощущение, что авторы этих пособий сосредоточены только на написании разнообразных задач. Поэтому основную информацию по теории школьники получают от преподавателя. Но всегда могут возникнуть непредвиденные ситуации, например, ребенок заболел или не понял объяснения, даже просто отвлекся. Необходимо тщательно разобрать все упущенное, чтобы не потеряться потом в водовороте новых данных. Отличным помощником в этом деле станет <strong>сборник ответов по геометрии к учебнику Мерзляка за 7 класс</strong>. </p> <p> Подростки все чаще отдают предпочтение этому сборнику, так как: <ol> <li>в нем все понятно изложено;</li> <li>с его помощью выполнение домашних заданий отнимает всего несколько минут;</li> <li>можно исправить недочеты, до того как учитель увидит тетрадь;</li> <li>есть понятные наглядные примеры и подробные ответы, позволяющие сразу разобраться в сути вопроса.</li> </ol> <p> Заниматься с решебником можно в любое удобное время, так что учащиеся сами строят график работы, не зависят при этом от внешних условий. При этом есть постоянная возможность повторить ранее пройденные параграфы, что позволит хорошо подготовиться к контрольным и освежить память. Некоторые ребята заглядывают в пособие прямо на перемене, чем обеспечивают себе твердую пятерку на уроке. </p> <h2> Действительно ли онлайн-решебник помогает? </h2> <p> Многие взрослые беспокоятся, правда ли <strong>онлайн ответы по геометрии 7 класс к учебнику Мерзляка А. Г. (Вентана-Граф)</strong>» могут помочь детям или это просто очередная шпаргалка, которой они пользуются, лишь бы не учиться? Все зависит от подхода самих школьников. Естественно, есть ребята, которые начинают списывать с электронного пособия готовые решения. Правда, пользы это приносит мало, ведь учитель после первой же контрольной заметит, что ученик ничего не знает. </p> <p> Большинство же подростков: <ul> <li>изучают теорию в учебнике (если, конечно, она присутствует);</li> <li>самостоятельно выполняют домашнее задание;</li> <li>сверяют получившиеся ответы с теми, что даны в решебнике;</li> <li>у кого есть ошибки проводят их разбор и анализ.</li> </ul> <p> Учащиеся, которые подходят к использованию справочника ответственно, быстро добиваются хороших результатов, выбиваются в отличники и всегда уверены в том, что справятся с любыми поставленными задачами. </p>"
            "breadcrumbs" => array:3 [
              "class" => 378
              "subject" => 543
              "class_subject" => 389
            ]
          ]
          #original: array:50 [
            "id" => 904
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_tree_default_status" => "tasks"
            "field_pages_status" => null
            "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210}
            "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224}
            "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222}
            "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219}
            "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214}
            "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212}
            "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213}
            "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1316}
            "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1319}
            "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1320}
            "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1321}
            "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1322}
            "field_publication_number" => null
            "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325}
            "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326}
            "field_under_the_edition_degree" => null
            "field_cover_description" => "с графиком"
            "field_publication_year" => "2023"
            "field_publication_year_until" => null
            "field_part" => ""
            "field_part_writing" => ""
            "field_second_foreign_language" => null
            "field_for_whom" => "Учебное пособие"
            "field_allowed" => null
            "field_reserve_field" => null
            "field_link_to_source" => null
            "field_tasks_count" => "1017"
            "field_priority" => "6"
            "field_default_folder" => "/geometrija_07/merzlyak-u23/"
            "field_isbn" => "978-5-09-105805-5"
            "field_cover" => array:1 [
              0 => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/covers/cover1.webp?ts=1738008352"
            ]
            "field_cover_alts" => array:1 [
              0 => ""
            ]
            "field_covers" => array:1 [
              0 => array:4 [
                "path" => "/media/geometrija_07/merzlyak-u23/covers/cover1.webp?ts=1738008352"
                "alt" => ""
                "width" => "2277"
                "height" => "3035"
              ]
            ]
            "field_popular_book" => null
            "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328}
            "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1329}
            "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1330}
            "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos"
            "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331}
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2>Нужно ли изучать геометрию? </h2> <p> В седьмом классе учебные нагрузки возрастут. В расписании школьников появится такой предмет как геометрия. Поначалу новая наука вызывает искренний интерес, но уже через некоторое время ребята начинают испытывать трудности при ее освоении. Многие пытаются мотивировать нежелание делать уроки высказываниями вроде: «Да зачем она нужна?», «В жизни такое точно не пригодится», и т.д. Тем не менее оценки по предмету самым прямым образом влияют на общую успеваемость. С помощью «<strong>ГДЗ по Геометрии 7 класс Учебник Мерзляк, Полонский, Якир (Вентана-Граф)</strong>» можно разобраться в аспектах дисциплины и осознать ее смысл. </p> <p> Давайте рассмотрим, какие качества позволяет развить геометрия у учеников: <ol> <li>Логическое, образное мышление.</li> <li>Пространственное представление.</li> <li>Интуитивную и символическую умственную деятельность.</li> <li>Фантазию.</li> <li>Умение анализировать.</li> <li>Грамотную речь.</li> </ol> <p> Основное, что требуется от учащихся на уроках - внимательность. Иначе будет трудно понять, каким образом знание теорем поможет справиться с выполнением задач. Геометрия - наука сугубо практическая, поэтому учителя показывают наглядные примеры во время занятий. Но иногда у подростков все равно остаются вопросы, ответить на которые зачастую некому. Решебник позволит полноценно освоить новую тему и приобрести важные навыки. </p> <h2> Почему ученики выбирают ГДЗ к учебнику Мерзляка? </h2> <p> Учебники подчас содержат очень мало полезных сведений. Возникает ощущение, что авторы этих пособий сосредоточены только на написании разнообразных задач. Поэтому основную информацию по теории школьники получают от преподавателя. Но всегда могут возникнуть непредвиденные ситуации, например, ребенок заболел или не понял объяснения, даже просто отвлекся. Необходимо тщательно разобрать все упущенное, чтобы не потеряться потом в водовороте новых данных. Отличным помощником в этом деле станет <strong>сборник ответов по геометрии к учебнику Мерзляка за 7 класс</strong>. </p> <p> Подростки все чаще отдают предпочтение этому сборнику, так как: <ol> <li>в нем все понятно изложено;</li> <li>с его помощью выполнение домашних заданий отнимает всего несколько минут;</li> <li>можно исправить недочеты, до того как учитель увидит тетрадь;</li> <li>есть понятные наглядные примеры и подробные ответы, позволяющие сразу разобраться в сути вопроса.</li> </ol> <p> Заниматься с решебником можно в любое удобное время, так что учащиеся сами строят график работы, не зависят при этом от внешних условий. При этом есть постоянная возможность повторить ранее пройденные параграфы, что позволит хорошо подготовиться к контрольным и освежить память. Некоторые ребята заглядывают в пособие прямо на перемене, чем обеспечивают себе твердую пятерку на уроке. </p> <h2> Действительно ли онлайн-решебник помогает? </h2> <p> Многие взрослые беспокоятся, правда ли <strong>онлайн ответы по геометрии 7 класс к учебнику Мерзляка А. Г. (Вентана-Граф)</strong>» могут помочь детям или это просто очередная шпаргалка, которой они пользуются, лишь бы не учиться? Все зависит от подхода самих школьников. Естественно, есть ребята, которые начинают списывать с электронного пособия готовые решения. Правда, пользы это приносит мало, ведь учитель после первой же контрольной заметит, что ученик ничего не знает. </p> <p> Большинство же подростков: <ul> <li>изучают теорию в учебнике (если, конечно, она присутствует);</li> <li>самостоятельно выполняют домашнее задание;</li> <li>сверяют получившиеся ответы с теми, что даны в решебнике;</li> <li>у кого есть ошибки проводят их разбор и анализ.</li> </ul> <p> Учащиеся, которые подходят к использованию справочника ответственно, быстро добиваются хороших результатов, выбиваются в отличники и всегда уверены в том, что справятся с любыми поставленными задачами. </p>"
            "breadcrumbs" => array:3 [
              "class" => 378
              "subject" => 543
              "class_subject" => 389
            ]
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
    "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1340
      #items: array:1 [
        0 => App\Models\BookPage {#1339
          #connection: "mysql"
          #table: "book_pages"
          #primaryKey: "id"
          #keyType: "int"
          +incrementing: true
          #with: []
          #withCount: []
          +preventsLazyLoading: false
          #perPage: 15
          +exists: true
          +wasRecentlyCreated: false
          #escapeWhenCastingToString: false
          #attributes: array:21 [
            "id" => 964971
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_page_start" => "147"
            "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos/page-147"
            "field_display_title" => "147"
            "field_folder" => "1"
            "field_image_name" => "147"
            "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_weight" => "0"
            "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1342
              #items: array:1 [
                0 => App\Models\Book {#1226}
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1343
              #items: []
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1345
              #items: array:2 [
                0 => App\Models\Element {#1354 …30}
                1 => App\Models\Element {#1356 …30}
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
            "next" => array:2 [
              "refs" => "964972"
              "type" => "book_page"
            ]
            "previous" => array:2 [
              "refs" => "964970"
              "type" => "book_page"
            ]
            "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1651
              #items: array:11 [
                0 => App\Models\Task {#1669 …30}
                1 => App\Models\Task {#1675 …30}
                2 => App\Models\Task {#1686 …30}
                3 => App\Models\Task {#1716 …30}
                4 => App\Models\Task {#1746 …30}
                5 => App\Models\Task {#1776 …30}
                6 => App\Models\Task {#1806 …30}
                7 => App\Models\Task {#1835 …30}
                8 => App\Models\Task {#1684 …30}
                9 => App\Models\Task {#1873 …30}
                10 => App\Models\Task {#1903 …30}
              ]
              #escapeWhenCastingToString: false
            }
          ]
          #original: array:21 [
            "id" => 964971
            "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
            "updated_at" => null
            "field_page_start" => "147"
            "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos/page-147"
            "field_display_title" => "147"
            "field_folder" => "1"
            "field_image_name" => "147"
            "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1341}
            "field_weight" => "0"
            "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1342}
            "field_metatags_title" => null
            "field_metatags_description" => null
            "field_h1" => null
            "field_description_top" => null
            "field_description_bottom" => null
            "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1343}
            "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1345}
            "next" => array:2 [
              "refs" => "964972"
              "type" => "book_page"
            ]
            "previous" => array:2 [
              "refs" => "964970"
              "type" => "book_page"
            ]
            "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1651}
          ]
          #changes: []
          #casts: []
          #classCastCache: []
          #attributeCastCache: []
          #dateFormat: null
          #appends: []
          #dispatchesEvents: []
          #observables: []
          #relations: []
          #touches: []
          +timestamps: true
          +usesUniqueIds: false
          #hidden: []
          #visible: []
          #fillable: []
          #guarded: array:1 [
            0 => "*"
          ]
        }
      ]
      #escapeWhenCastingToString: false
    }
  ]
  #original: array:24 [
    "id" => 600300
    "created_at" => "2026-04-10 13:58:26"
    "updated_at" => null
    "field_page_start" => "147"
    "field_page_end" => null
    "field_url" => "/7-klass/geometrija/merzlyak-fgos/568"
    "field_display_title" => "568"
    "field_outside_task" => null
    "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037}
    "field_metatags_title" => null
    "field_metatags_description" => null
    "field_h1" => null
    "field_description_top" => null
    "field_description_bottom" => null
    "field_match" => null
    "breadcrumbs" => []
    "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035}
    "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078}
    "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209}
    "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211}
    "next" => array:2 [
      "refs" => "600301"
      "type" => "task"
    ]
    "previous" => array:2 [
      "refs" => "600299"
      "type" => "task"
    ]
    "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335}
    "page" => array:2 [
      "refs" => "964971"
      "type" => "book_page"
    ]
  ]
  #changes: []
  #casts: []
  #classCastCache: []
  #attributeCastCache: []
  #dateFormat: null
  #appends: []
  #dispatchesEvents: []
  #observables: []
  #relations: []
  #touches: []
  +timestamps: true
  +usesUniqueIds: false
  #hidden: []
  #visible: []
  #fillable: []
  #guarded: array:1 [
    0 => "*"
  ]
}
Вернуться к содержанию
№568 (с. 147)
Просмотр Редак-ть Редак-ть (переопр)
Условие 2023. №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция
скриншот условия
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Условие 2023

568. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$. Докажите, что $AE = ED$.

Решение 2 (2023). №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Решение 2 (2023)
Решение 3 (2023). №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Решение 3 (2023)
Решение 4 (2023). №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Решение 4 (2023)
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Решение 4 (2023) (продолжение 2)
Решение 5 (2023). №568 (с. 147)
Решение 6 (2023). №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

В треугольнике проведены биссектрисы $AD$ (угла $\angle BAC$) и $CE$ (угла $\angle BCA$).

Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $ED$ докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AD$. Для этого необходимо показать, что углы при его основании равны, то есть $\angle DAE = \angle ADE$.

Шаг 1: Анализ угла $\angle DAE$.

По определению, биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$. Угол $\angle DAE$ является тем же углом, что и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle DAE = \frac{1}{2} \angle BAC$.

Шаг 2: Доказательство параллельности $ED$ и $AC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Применим это свойство для биссектрисы $CE$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}$

Теперь применим это свойство для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$

Так как по условию треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, правые части полученных пропорций равны.

$\frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB}$

Это означает, что и левые части пропорций также равны:

$\frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}$

Перепишем это соотношение в виде $\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{CD}$.

Согласно теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает от них пропорциональные отрезки, считая от общей вершины, то эта прямая параллельна третьей стороне. В нашем случае прямая $ED$ делит стороны $AB$ и $BC$ пропорционально, следовательно, $ED \parallel AC$.

Шаг 3: Анализ угла $\angle ADE$.

Мы доказали, что $ED \parallel AC$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle DAC$.

Шаг 4: Заключение.

На основе предыдущих шагов мы получили:

1. $\angle DAE = \angle DAC$ (по определению биссектрисы).

2. $\angle ADE = \angle DAC$ (как накрест лежащие углы при $ED \parallel AC$ и секущей $AD$).

Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle ADE$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае это стороны $AE$ и $ED$.

Таким образом, $AE = ED$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = ED$ доказано.

Условие (2015-2022). №568 (с. 147)
Редак-ть Редакция
скриншот условия
Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Условие (2015-2022) Геометрия, 7 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, оранжевого цвета, страница 147, номер 568, Условие (2015-2022) (продолжение 2)

568. Точки $F$ и $O$ – центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания $AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Рис. 310

Решение 2 (2015-2022). №568 (с. 147)
Решение 3 (2015-2022). №568 (с. 147)
Решение 4 (2015-2022). №568 (с. 147)
Решение 5 (2015-2022). №568 (с. 147)

Другие задания:

561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 1 2 3 Полный список заданий

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7 класс, для упражнения номер 568 расположенного на странице 147 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №568 (с. 147), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (новый, красный) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.