gdz.top
Номер 648, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова
Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Системы уравнений. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Упражнения - номер 648, страница 197.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 209824 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "197" "field_page_end" => "198" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/648" "field_display_title" => "648" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208946 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Системы уравнений" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "168" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1035 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1037 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1039 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Term {#1041 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4283 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Дорофеев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Георгий" "field_patronymic" => "Владимирович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1042 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5879 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Суворова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Светлана" "field_patronymic" => "Борисовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1043 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 3941 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Бунимович" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Евгений" "field_patronymic" => "Абрамович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1044 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Кузнецова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Людмила" "field_patronymic" => "Викторовна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Term {#1045 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5198 …11 ] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Term {#1046 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1051 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1068 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 80 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1048} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057} "field_publication_number" => "7" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2019" "field_publication_year_until" => "2022" "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для общеобразовательных организаций" "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1206" "field_priority" => "14" "field_default_folder" => "/algebra_08/dorofeev/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/covers/cover1.webp?ts=1734213765" "alt" => "" "width" => "1919" "height" => "2577" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Почему ученикам нужен решебник? </h2> <p> Многое из того, что изучается в школе, в дальнейшем не пригодится. Так, по крайней мере думают подростки. Однако на практике все получается совершенно по-другому. Поэтому как бы сложен не был предмет (например, алгебра), его необходимо как следует изучить. Чтобы процесс восприятия материала проходил легко и без заминок, следует использовать «<strong>ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Дорофеев, Суворова, Бунимович, Кузнецова, Минаева, Рослова (Просвещение)</strong>». </p> <p> В справочнике нашли отражение следующие темы: <ol> <li>Алгебраическая дробь, ее свойства, действия с ней.</li> <li>Как преобразовать степень?</li> <li>Теорема Пифагора.</li> <li>График зависимости y=√х.</li> <li>Квадратный и кубический корни.</li> <li>Двойные радикалы, и т.д.</li> </ol> <p> В восьмом классе по предмету проходят спаренные уроки, что с одной стороны должно помочь учителю более подробно объяснить каждую тему. Но на деле и этого времени все равно не хватает, так как программа стала еще обширнее. В итоге, как и раньше, ребятам придется многое разбирать самостоятельно и закреплять полученные в классе навыки практическим путем, но уже дома. Такая задача весьма сложна не только для сильно отстающих учеников, но и для отличников, так что дополнительная помощь никогда не помешает. В этом случае на выручку всегда может прийти решебник. </p> <h2> Делать д/з лучше с ГДЗ к учебнику Дорофеева </h2> <p> Количество домашних заданий в этом году значительно возрастает, так что порой ребята проводят над тетрадями не один час. Но даже это не гарантирует, что все упражнения будут сделаны правильно. Поэтому необходимо сразу же проверять написанное, чтобы не схлопотать плохую оценку. Так как самостоятельно подростки такого мониторинга не проводят, то им поможет в этом <strong>сборник ответов по алгебре 8 класс к учебнику Дорофеева</strong>. </p> <p> Благодаря изданию учащиеся смогут: <ol> <li>улучшить качество письменных работ;</li> <li>избавиться от любых недочетов;</li> <li>приобрести хорошую успеваемость;</li> <li>устранять трудности по мере их возникновения.</li> </ol> <p> Систематически занимаясь с решебником, восьмиклассники научатся не только разбираться в самых непростых темах, но и будут активно применять свои навыки на практике. Это позволит им выбиться в отличники и успешно справляться со всеми поставленными учителем задачами. Кроме того, они могут не переживать о результатах многочисленных проверочных работ, так как будут знать весь материал «на зубок». </p> <h2> Как часто можно использовать онлайн-справочник? </h2> <p> В скором времени учащимся предстоит сдавать первые экзамены, после чего многие из них навсегда покинут школьные стены. Из-за этого на первое место встают успеваемость и качество полученных знаний. Родители стараются всячески помочь детям преодолеть все трудности и нередко записывают их к репетитору. Но намного действеннее могут оказаться занятия с <strong>гдз по алгебре за 8 класс Учебник Дорофеев</strong>. </p> <p> Сборник позволит ученикам: <ul> <li>самостоятельно разобрать все проблемные моменты;</li> <li>дополнительно потренироваться перед контрольными;</li> <li>работать в удобном для себя темпе;</li> <li>не зависеть от помощи взрослых.</li> </ul> <p> Опытные методисты, которые составили решебник, предоставили много полезной информации, благодаря чему никакие дополнительные действия для освоения дисциплины не понадобятся. Но, конечно, если подростки хотят добиться хороших результатов, им стоит забыть о списывании. Необходимо тщательно изучать все сведения, проводить анализ задач и уравнений, чтобы понять принцип их выполнения. Освоив это, восьмиклассники не будут испытывать затруднений при переходе к более сложному материалу. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208946 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Системы уравнений" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "168" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1071 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208946 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Системы уравнений" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "168" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208946 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Системы уравнений" "field_branch_order" => "4" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_page_start" => "168" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1075 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "189" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_page_start" => "189" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1079 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208958 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "194" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1083 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 208956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_page_start" => "189" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 208956 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_page_start" => "189" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 208958 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "field_page_start" => "194" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: array:5 [ 0 => App\Models\Element {#1088 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 233559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 729 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>648 ИССЛЕДУЕМ</strong> 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:</p><p><strong>a)</strong> $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases}$</p><p><strong>б)</strong> $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases}$</p><p>Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.</p><p><strong>2)</strong> Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:</p><p><strong>a)</strong> $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases}$</p><p><strong>б)</strong> $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases}$</p><p>Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.</p><p><strong>3)</strong> Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:</p><p><strong>a)</strong> имеющую бесконечно много решений;</p><p><strong>б)</strong> не имеющую решений.</p><p><strong>4)</strong> Существует ли такое значение $a$, при котором система уравнений</p><p>$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$</p><p>имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.jpg" "alt" => null "width" => "1588" "height" => 1192 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/648-1.webp?ts=1734264539" ] 1 => array:5 [ "name" => "648-2.jpg" "alt" => null "width" => "1588" "height" => 388 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/648-2.webp?ts=1734264539" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 233559 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>648 ИССЛЕДУЕМ</strong> 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:</p><p><strong>a)</strong> $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases}$</p><p><strong>б)</strong> $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases}$</p><p>Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.</p><p><strong>2)</strong> Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:</p><p><strong>a)</strong> $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases}$</p><p><strong>б)</strong> $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases}$</p><p>Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.</p><p><strong>3)</strong> Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:</p><p><strong>a)</strong> имеющую бесконечно много решений;</p><p><strong>б)</strong> не имеющую решений.</p><p><strong>4)</strong> Существует ли такое значение $a$, при котором система уравнений</p><p>$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$</p><p>имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.</p>" "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.jpg" "alt" => null "width" => "1588" "height" => 1192 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/648-1.webp?ts=1734264539" ] 1 => array:5 [ "name" => "648-2.jpg" "alt" => null "width" => "1588" "height" => 388 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/0-00/648-2.webp?ts=1734264539" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1096 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 237051 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1098 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 730 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:7 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1927 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-1.webp?ts=1734266129" ] 1 => array:5 [ "name" => "648-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1963 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-2.webp?ts=1734266129" ] 2 => array:5 [ "name" => "648-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2701 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-3.webp?ts=1734266129" ] 3 => array:5 [ "name" => "648-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2678 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-4.webp?ts=1734266129" ] 4 => array:5 [ "name" => "648-5.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2110 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-5.webp?ts=1734266129" ] 5 => array:5 [ "name" => "648-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2108 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-6.webp?ts=1734266129" ] 6 => array:5 [ "name" => "648-7.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2387 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-7.webp?ts=1734266129" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 237051 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:7 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1927 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-1.webp?ts=1734266129" ] 1 => array:5 [ "name" => "648-2.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 1963 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-2.webp?ts=1734266129" ] 2 => array:5 [ "name" => "648-3.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2701 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-3.webp?ts=1734266129" ] 3 => array:5 [ "name" => "648-4.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2678 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-4.webp?ts=1734266129" ] 4 => array:5 [ "name" => "648-5.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2110 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-5.webp?ts=1734266129" ] 5 => array:5 [ "name" => "648-6.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2108 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-6.webp?ts=1734266129" ] 6 => array:5 [ "name" => "648-7.png" "alt" => null "width" => "705" "height" => 2387 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/1-00/648-7.webp?ts=1734266129" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1104 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 235666 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1106 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 731 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1109 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1110 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1111 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.png" "alt" => null "width" => "679" "height" => 718 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/648-1.webp?ts=1734264827" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 235666 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1105} "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.png" "alt" => null "width" => "679" "height" => 718 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/2-00/648-1.webp?ts=1734264827" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1112 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 235835 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1114 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 732 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 3" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "3-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1117 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1118 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.jpg" "alt" => null "width" => "708" "height" => 972 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/648-1.webp?ts=1734264884" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 235835 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "648-1.jpg" "alt" => null "width" => "708" "height" => 972 "path" => "/media/algebra_08/dorofeev/3-00/648-1.webp?ts=1734264884" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1120 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1373816 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1122 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются совпадающие прямые, можно привести каждое уравнение в системе к одинаковому виду. Если уравнения окажутся идентичными, то их графики совпадают, и система имеет бесконечно много решений.</p><p><strong>а)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.</p><p>Разделим первое уравнение на 2: $(2x + 8y) : 2 = 10 : 2$, что дает $x + 4y = 5$.</p><p>Разделим второе уравнение на 5: $(5x + 20y) : 5 = 25 : 5$, что дает $x + 4y = 5$.</p><p>Так как оба уравнения приводятся к виду $x + 4y = 5$, их графики совпадают. Теперь сравним отношения коэффициентов при $x$, $y$ и свободных членов: $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$.</p><p><strong>б)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.</p><p>Разделим первое уравнение на 4: $(4x - 12y) : 4 = 40 : 4$, что дает $x - 3y = 10$.</p><p>Разделим второе уравнение на 5: $(5x - 15y) : 5 = 50 : 5$, что дает $x - 3y = 10$.</p><p>Оба уравнения идентичны, значит, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{4}{5}$, $\frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$, $\frac{40}{50} = \frac{4}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{4}{5} = \frac{-12}{-15} = \frac{40}{50}$.</p><p><strong>Признак:</strong> Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.</p><p><strong>2)</strong> Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются параллельные прямые, можно выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении (привести к виду $y = kx + b$) и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и точки пересечения с осью y $b$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью y различны ($b_1 \neq b_2$).</p><p><strong>а)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$.</p><p>Из первого уравнения: $6y = -3x - 3 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.</p><p>Из второго уравнения: $8y = -4x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.</p><p>Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Теперь сравним отношения коэффициентов: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{-3}{2}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \ne \frac{-3}{2}$.</p><p><strong>б)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$.</p><p>Из первого уравнения: $2y = -6x + 1 \implies y = -3x + \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.</p><p>Из второго уравнения: $3y = -9x + 9 \implies y = -3x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.</p><p>Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{9}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{9}$.</p><p><strong>Признак:</strong> Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$.</p><p><strong>3)</strong> Дано уравнение $5x + y = 8$.</p><p><strong>а)</strong> Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого умножим все члены данного уравнения на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получим: $2(5x + y) = 2 \cdot 8 \implies 10x + 2y = 16$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 16$.</p><p><strong>б)</strong> Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, а свободный член — нет. Умножим левую часть на 2: $2(5x + y) = 10x + 2y$. Правая часть не должна быть равна $8 \cdot 2 = 16$. Возьмем любое другое число, например, 1. Получим: $10x + 2y = 1$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 1$.</p><p><strong>4)</strong> Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.</p><p>Сравним отношения коэффициентов. Для этой системы $a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 18$.</p><p>Найдем отношение коэффициентов при $y$ и отношение свободных членов:</p><p>$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$</p><p>$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$</p><p>Для того чтобы система имела <strong>бесконечно много решений</strong>, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Однако мы видим, что $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (так как $3 \ne \frac{1}{3}$). Следовательно, ни при каком значении $a$ эта система не может иметь бесконечно много решений.</p><p>Для того чтобы система <strong>не имела решений</strong>, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$. Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ уже выполняется. Остается найти $a$, при котором $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.</p><p>$\frac{a}{2} = \frac{3}{1}$</p><p>Отсюда $a = 2 \cdot 3 = 6$.</p><p>Ответ: Значения $a$, при котором система имеет бесконечно много решений, не существует. Система не имеет решений при $a=6$.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1373816 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "task" => array:2 [ "refs" => "209824" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются совпадающие прямые, можно привести каждое уравнение в системе к одинаковому виду. Если уравнения окажутся идентичными, то их графики совпадают, и система имеет бесконечно много решений.</p><p><strong>а)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.</p><p>Разделим первое уравнение на 2: $(2x + 8y) : 2 = 10 : 2$, что дает $x + 4y = 5$.</p><p>Разделим второе уравнение на 5: $(5x + 20y) : 5 = 25 : 5$, что дает $x + 4y = 5$.</p><p>Так как оба уравнения приводятся к виду $x + 4y = 5$, их графики совпадают. Теперь сравним отношения коэффициентов при $x$, $y$ и свободных членов: $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$.</p><p><strong>б)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.</p><p>Разделим первое уравнение на 4: $(4x - 12y) : 4 = 40 : 4$, что дает $x - 3y = 10$.</p><p>Разделим второе уравнение на 5: $(5x - 15y) : 5 = 50 : 5$, что дает $x - 3y = 10$.</p><p>Оба уравнения идентичны, значит, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{4}{5}$, $\frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$, $\frac{40}{50} = \frac{4}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{4}{5} = \frac{-12}{-15} = \frac{40}{50}$.</p><p><strong>Признак:</strong> Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.</p><p><strong>2)</strong> Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются параллельные прямые, можно выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении (привести к виду $y = kx + b$) и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и точки пересечения с осью y $b$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью y различны ($b_1 \neq b_2$).</p><p><strong>а)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$.</p><p>Из первого уравнения: $6y = -3x - 3 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.</p><p>Из второго уравнения: $8y = -4x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.</p><p>Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Теперь сравним отношения коэффициентов: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{-3}{2}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \ne \frac{-3}{2}$.</p><p><strong>б)</strong> Рассматриваем систему $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$.</p><p>Из первого уравнения: $2y = -6x + 1 \implies y = -3x + \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.</p><p>Из второго уравнения: $3y = -9x + 9 \implies y = -3x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.</p><p>Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{9}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{9}$.</p><p><strong>Признак:</strong> Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$.</p><p><strong>3)</strong> Дано уравнение $5x + y = 8$.</p><p><strong>а)</strong> Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого умножим все члены данного уравнения на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получим: $2(5x + y) = 2 \cdot 8 \implies 10x + 2y = 16$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 16$.</p><p><strong>б)</strong> Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, а свободный член — нет. Умножим левую часть на 2: $2(5x + y) = 10x + 2y$. Правая часть не должна быть равна $8 \cdot 2 = 16$. Возьмем любое другое число, например, 1. Получим: $10x + 2y = 1$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 1$.</p><p><strong>4)</strong> Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.</p><p>Сравним отношения коэффициентов. Для этой системы $a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 18$.</p><p>Найдем отношение коэффициентов при $y$ и отношение свободных членов:</p><p>$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$</p><p>$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$</p><p>Для того чтобы система имела <strong>бесконечно много решений</strong>, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Однако мы видим, что $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (так как $3 \ne \frac{1}{3}$). Следовательно, ни при каком значении $a$ эта система не может иметь бесконечно много решений.</p><p>Для того чтобы система <strong>не имела решений</strong>, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$. Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ уже выполняется. Остается найти $a$, при котором $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.</p><p>$\frac{a}{2} = \frac{3}{1}$</p><p>Отсюда $a = 2 \cdot 3 = 6$.</p><p>Ответ: Значения $a$, при котором система имеет бесконечно много решений, не существует. Система не имеет решений при $a=6$.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "209825" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209823" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1142 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929968 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "197" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-197" "field_display_title" => "197" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "197" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1145 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1191 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929969" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929967" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1738 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Task {#1748 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1938 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1935 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1929 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929968 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "197" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/page-197" "field_display_title" => "197" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "197" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "next" => array:2 [ "refs" => "929969" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929967" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1738} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 209824 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "197" "field_page_end" => "198" "field_url" => "/8-klass/algebra/dorofeev-uchebnik/648" "field_display_title" => "648" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "next" => array:2 [ "refs" => "209825" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "209823" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} "page" => array:2 [ "refs" => "929968" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№648 (с. 197)
Условие. №648 (с. 197)
скриншот условия
648 ИССЛЕДУЕМ 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:
a) $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases}$
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.
2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:
a) $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases}$
Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.
3) Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:
a) имеющую бесконечно много решений;
б) не имеющую решений.
4) Существует ли такое значение $a$, при котором система уравнений
$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$
имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.
Решение 1. №648 (с. 197)
Решение 2. №648 (с. 197)
Решение 3. №648 (с. 197)
Решение 4. №648 (с. 197)
1) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются совпадающие прямые, можно привести каждое уравнение в системе к одинаковому виду. Если уравнения окажутся идентичными, то их графики совпадают, и система имеет бесконечно много решений.
а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на 2: $(2x + 8y) : 2 = 10 : 2$, что дает $x + 4y = 5$.
Разделим второе уравнение на 5: $(5x + 20y) : 5 = 25 : 5$, что дает $x + 4y = 5$.
Так как оба уравнения приводятся к виду $x + 4y = 5$, их графики совпадают. Теперь сравним отношения коэффициентов при $x$, $y$ и свободных членов: $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$.
б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на 4: $(4x - 12y) : 4 = 40 : 4$, что дает $x - 3y = 10$.
Разделим второе уравнение на 5: $(5x - 15y) : 5 = 50 : 5$, что дает $x - 3y = 10$.
Оба уравнения идентичны, значит, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{4}{5}$, $\frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$, $\frac{40}{50} = \frac{4}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{4}{5} = \frac{-12}{-15} = \frac{40}{50}$.
Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
2) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются параллельные прямые, можно выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении (привести к виду $y = kx + b$) и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и точки пересечения с осью y $b$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью y различны ($b_1 \neq b_2$).
а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$.
Из первого уравнения: $6y = -3x - 3 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.
Из второго уравнения: $8y = -4x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Теперь сравним отношения коэффициентов: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{-3}{2}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \ne \frac{-3}{2}$.
б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$.
Из первого уравнения: $2y = -6x + 1 \implies y = -3x + \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.
Из второго уравнения: $3y = -9x + 9 \implies y = -3x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{9}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{9}$.
Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$.
3) Дано уравнение $5x + y = 8$.
а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого умножим все члены данного уравнения на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получим: $2(5x + y) = 2 \cdot 8 \implies 10x + 2y = 16$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 16$.
б) Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, а свободный член — нет. Умножим левую часть на 2: $2(5x + y) = 10x + 2y$. Правая часть не должна быть равна $8 \cdot 2 = 16$. Возьмем любое другое число, например, 1. Получим: $10x + 2y = 1$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 1$.
4) Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.
Сравним отношения коэффициентов. Для этой системы $a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 18$.
Найдем отношение коэффициентов при $y$ и отношение свободных членов:
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Однако мы видим, что $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (так как $3 \ne \frac{1}{3}$). Следовательно, ни при каком значении $a$ эта система не может иметь бесконечно много решений.
Для того чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$. Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ уже выполняется. Остается найти $a$, при котором $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.
$\frac{a}{2} = \frac{3}{1}$
Отсюда $a = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Значения $a$, при котором система имеет бесконечно много решений, не существует. Система не имеет решений при $a=6$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 648 расположенного на странице 197 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №648 (с. 197), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.