gdz.top
Номер 359, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: розовый, голубой
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Степень с целым показателем. Параграф 20. Функция у = k/x. Упражнения - номер 359, страница 140.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206915 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/359" "field_display_title" => "359" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Степень с целым показателем" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 29 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Глава" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Главу" "field_creative_case" => "Главой" "field_dative_case" => "Главе" "field_genitive_case" => "Главы" "field_nominative_case" => "Глава" "field_prepositional_case" => "Главе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "115" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1048 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1053 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1055 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1060 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1063 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1065 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1067 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1071 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1080 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #original: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1066} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1070} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Степень с целым показателем" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_page_start" => "115" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1124 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Степень с целым показателем" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1047} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "115" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206212 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Степень с целым показателем" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1125} "field_page_start" => "115" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1126} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1128 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206225 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = k/x" "field_branch_order" => "20" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1129 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #original: array:7 [ "id" => 32 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Параграф" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "Параграф" "field_creative_case" => "Параграфом" "field_dative_case" => "Параграфу" "field_genitive_case" => "Параграфа" "field_nominative_case" => "Параграф" "field_prepositional_case" => "Параграфе" ] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => "§" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "134" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206225 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = k/x" "field_branch_order" => "20" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132} "field_page_start" => "134" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1131} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1133 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206228 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "139" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1143 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206225 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = k/x" "field_branch_order" => "20" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1129} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "134" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206225 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Функция у = k/x" "field_branch_order" => "20" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1145} "field_page_start" => "134" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1147} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206228 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Упражнения" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134} "field_page_start" => "139" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Element {#1098 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 230395 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1095 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1096 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>359.</strong> На миллиметровой бумаге построить график функции:</p><p><strong>1)</strong> $y = \frac{1}{x}$;</p><p><strong>2)</strong> $y = -\frac{1}{x}$;</p><p><strong>3)</strong> $y = -\frac{12}{x}$;</p><p><strong>4)</strong> $y = \frac{12}{x}$.</p><p>Перечислить свойства этой функции.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "359-1.jpg" "alt" => null "width" => "1502" "height" => 319 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/359-1.webp?ts=1734247304" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 230395 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>359.</strong> На миллиметровой бумаге построить график функции:</p><p><strong>1)</strong> $y = \frac{1}{x}$;</p><p><strong>2)</strong> $y = -\frac{1}{x}$;</p><p><strong>3)</strong> $y = -\frac{12}{x}$;</p><p><strong>4)</strong> $y = \frac{12}{x}$.</p><p>Перечислить свойства этой функции.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "359-1.jpg" "alt" => null "width" => "1502" "height" => 319 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/359-1.webp?ts=1734247304" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1091 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 230862 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1090 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 716 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1088 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Пелеванюк" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 716 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 1" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Пелеванюк" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "359-1.jpg" "alt" => null "width" => "1028" "height" => 184 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/1-00/359-1.webp?ts=1734246989" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 230862 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "359-1.jpg" "alt" => null "width" => "1028" "height" => 184 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/1-00/359-1.webp?ts=1734246989" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1043 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1417042 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1041 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1039 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1113} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1120} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1122} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) $y = \frac{1}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=1$. Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.</p><p>Для построения графика на миллиметровой бумаге составим таблицу значений для нескольких точек:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">4</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">-0.25</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.25</td> </tr> </tbody></table><p>Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными кривыми (ветвями), которые симметричны относительно начала координат и приближаются к осям Ox и Oy (асимптотам).</p><p><b>Свойства функции $y = \frac{1}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей у функции нет, так как уравнение $\frac{1}{x}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.</li> <li>Так как $x \neq 0$, график не пересекает ось Oy.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$); горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>2) $y = -\frac{1}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-1$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.</p><p>Составим таблицу значений:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">4</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">0.25</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">-0.25</td> </tr> </tbody></table><p>Построив точки и соединив их, получим гиперболу. Этот график можно также получить, отразив график функции $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox или оси Oy.</p><p><b>Свойства функции $y = -\frac{1}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -(-\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей у функции нет. График не пересекает ось Ox.</li> <li>График не пересекает ось Oy.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy); горизонтальная $y=0$ (ось Ox).</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>3) $y = -\frac{12}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. По сравнению с $y = -\frac{1}{x}$, график "растянут" от начала координат в 12 раз.</p><p>Составим таблицу значений, выбирая в качестве $x$ делители числа 12 для удобства вычислений:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-12</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">12</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> </tr> </tbody></table><p>Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут дальше от осей координат, чем у графика $y=-\frac{1}{x}$.</p><p><b>Свойства функции $y = -\frac{12}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{12}{-x} = \frac{12}{x} = -(-\frac{12}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей нет.</li> <li>График не пересекает оси координат.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>4) $y = \frac{12}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.</p><p>Составим таблицу значений, используя делители числа 12:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-12</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">12</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">1</td> </tr> </tbody></table><p>Построим график по точкам. График симметричен графику $y = -\frac{12}{x}$ относительно осей координат.</p><p><b>Свойства функции $y = \frac{12}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{12}{-x} = - \frac{12}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей нет. График не пересекает оси координат.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1417042 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} "task" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1) $y = \frac{1}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=1$. Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.</p><p>Для построения графика на миллиметровой бумаге составим таблицу значений для нескольких точек:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">4</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">-0.25</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.25</td> </tr> </tbody></table><p>Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными кривыми (ветвями), которые симметричны относительно начала координат и приближаются к осям Ox и Oy (асимптотам).</p><p><b>Свойства функции $y = \frac{1}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей у функции нет, так как уравнение $\frac{1}{x}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.</li> <li>Так как $x \neq 0$, график не пересекает ось Oy.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$); горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>2) $y = -\frac{1}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-1$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.</p><p>Составим таблицу значений:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">4</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">0.25</td> <td style="padding: 5px;">0.5</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-0.5</td> <td style="padding: 5px;">-0.25</td> </tr> </tbody></table><p>Построив точки и соединив их, получим гиперболу. Этот график можно также получить, отразив график функции $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox или оси Oy.</p><p><b>Свойства функции $y = -\frac{1}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -(-\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей у функции нет. График не пересекает ось Ox.</li> <li>График не пересекает ось Oy.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy); горизонтальная $y=0$ (ось Ox).</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>3) $y = -\frac{12}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. По сравнению с $y = -\frac{1}{x}$, график "растянут" от начала координат в 12 раз.</p><p>Составим таблицу значений, выбирая в качестве $x$ делители числа 12 для удобства вычислений:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-12</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">12</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">1</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> </tr> </tbody></table><p>Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут дальше от осей координат, чем у графика $y=-\frac{1}{x}$.</p><p><b>Свойства функции $y = -\frac{12}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{12}{-x} = \frac{12}{x} = -(-\frac{12}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей нет.</li> <li>График не пересекает оси координат.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p><hr><p><strong>4) $y = \frac{12}{x}$</strong></p><p>Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.</p><p>Составим таблицу значений, используя делители числа 12:</p><table border="1" style="border-collapse: collapse; margin: 1em 0; text-align: center;"> <tbody><tr> <td style="padding: 5px;">$x$</td> <td style="padding: 5px;">-12</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">12</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px;">$y$</td> <td style="padding: 5px;">-1</td> <td style="padding: 5px;">-2</td> <td style="padding: 5px;">-3</td> <td style="padding: 5px;">-4</td> <td style="padding: 5px;">-6</td> <td style="padding: 5px;">6</td> <td style="padding: 5px;">4</td> <td style="padding: 5px;">3</td> <td style="padding: 5px;">2</td> <td style="padding: 5px;">1</td> </tr> </tbody></table><p>Построим график по точкам. График симметричен графику $y = -\frac{12}{x}$ относительно осей координат.</p><p><b>Свойства функции $y = \frac{12}{x}$:</b></p><ul><li>Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.</li> <li>Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{12}{-x} = - \frac{12}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.</li> <li>Нулей нет. График не пересекает оси координат.</li> <li>Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.</li> <li>Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.</li> <li>Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.</li></ul><p>Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Основные свойства перечислены выше.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "206916" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206914" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1042 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1109 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929606 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-140" "field_display_title" => "140" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "140" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1049} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1117 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1103998 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1095} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "140-1.jpg" "alt" => null "width" => "1720" "height" => 2501 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/140-1.webp?ts=1744701123" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1103998 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136} "book_page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "140-1.jpg" "alt" => null "width" => "1720" "height" => 2501 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/140-1.webp?ts=1744701123" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929607" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929605" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Task {#1234 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206914 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/358" "field_display_title" => "358" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1124} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1124} …2 ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:3 [ …3] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206913" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 206914 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/358" "field_display_title" => "358" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1237} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} "next" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206913" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1247} "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1240 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206915 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/359" "field_display_title" => "359" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244 #items: array:3 [ …3] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242 #items: array:3 [ …3] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "206916" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206914" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 206915 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/359" "field_display_title" => "359" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1239} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1246} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1248} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1242} "next" => array:2 [ "refs" => "206916" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206914" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1245} "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1243 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206916 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/360" "field_display_title" => "360" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259 #items: array:3 [ …3] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269 #items: array:3 [ …3] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "206917" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276 #items: array:1 [ …1] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 206916 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/360" "field_display_title" => "360" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1256} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1257} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1258} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1259} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1269} "next" => array:2 [ "refs" => "206917" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206915" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1276} "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929606 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-140" "field_display_title" => "140" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "140" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1106} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1108} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1137} "next" => array:2 [ "refs" => "929607" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929605" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206915 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "140" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/359" "field_display_title" => "359" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1107} "next" => array:2 [ "refs" => "206916" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "206914" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "page" => array:2 [ "refs" => "929606" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№359 (с. 140)
Условие. №359 (с. 140)
скриншот условия
359. На миллиметровой бумаге построить график функции:
1) $y = \frac{1}{x}$;
2) $y = -\frac{1}{x}$;
3) $y = -\frac{12}{x}$;
4) $y = \frac{12}{x}$.
Перечислить свойства этой функции.
Решение 1. №359 (с. 140)
Решение 4. №359 (с. 140)
1) $y = \frac{1}{x}$
Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=1$. Графиком функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Для построения графика на миллиметровой бумаге составим таблицу значений для нескольких точек:
| $x$ | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
| $y$ | -0.25 | -0.5 | -1 | -2 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их двумя плавными кривыми (ветвями), которые симметричны относительно начала координат и приближаются к осям Ox и Oy (асимптотам).
Свойства функции $y = \frac{1}{x}$:
- Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нулей у функции нет, так как уравнение $\frac{1}{x}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
- Так как $x \neq 0$, график не пересекает ось Oy.
- Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
- Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$); горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат. Основные свойства перечислены выше.
2) $y = -\frac{1}{x}$
Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-1$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-1 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
Составим таблицу значений:
| $x$ | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
| $y$ | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | -2 | -1 | -0.5 | -0.25 |
Построив точки и соединив их, получим гиперболу. Этот график можно также получить, отразив график функции $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox или оси Oy.
Свойства функции $y = -\frac{1}{x}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x} = -(-\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нулей у функции нет. График не пересекает ось Ox.
- График не пересекает ось Oy.
- Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy); горизонтальная $y=0$ (ось Ox).
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.
3) $y = -\frac{12}{x}$
Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=-12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=-12 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. По сравнению с $y = -\frac{1}{x}$, график "растянут" от начала координат в 12 раз.
Составим таблицу значений, выбирая в качестве $x$ делители числа 12 для удобства вычислений:
| $x$ | -12 | -6 | -4 | -3 | -2 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| $y$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | -6 | -4 | -3 | -2 | -1 |
Построим график по точкам. Ветви гиперболы будут дальше от осей координат, чем у графика $y=-\frac{1}{x}$.
Свойства функции $y = -\frac{12}{x}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{12}{-x} = \frac{12}{x} = -(-\frac{12}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нулей нет.
- График не пересекает оси координат.
- Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Основные свойства перечислены выше.
4) $y = \frac{12}{x}$
Это функция обратной пропорциональности с коэффициентом $k=12$. Графиком является гипербола. Поскольку $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Составим таблицу значений, используя делители числа 12:
| $x$ | -12 | -6 | -4 | -3 | -2 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| $y$ | -1 | -2 | -3 | -4 | -6 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Построим график по точкам. График симметричен графику $y = -\frac{12}{x}$ относительно осей координат.
Свойства функции $y = \frac{12}{x}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{12}{-x} = - \frac{12}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Нулей нет. График не пересекает оси координат.
- Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
- Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III четвертях. Основные свойства перечислены выше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 359 расположенного на странице 140 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №359 (с. 140), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.