gdz.top
Номер 643, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк
Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 643, страница 183.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171832 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "183" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/643" "field_display_title" => "643" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1078 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1083 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171142 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "field_branch_order" => "5" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_page_start" => "149" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1120 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171148 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Геометрическая прогрессия" "field_branch_order" => "10" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1122 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "167" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1124 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1161 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171148 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Геометрическая прогрессия" "field_branch_order" => "10" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_page_start" => "167" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1202 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Дополнительные упражнения к главе 5" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "182" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1205 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1242 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Дополнительные упражнения к главе 5" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_page_start" => "182" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327 #items: array:9 [ 0 => App\Models\Element {#1342 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 179102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1351 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1343 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>643</b>. Верно ли утверждение, что если <i>(aₙ)</i> — арифметическая прогрессия, то: </p> <p> а) последовательность a₂; a₄; … ; a₂ₙ; … является арифметической прогрессией; </p> <p> б) последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; … ; aₙ – 1; … является арифметической прогрессией; </p> <p> в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией; </p> <p> г) последовательность a₁²; a²₂; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией? </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1602" "height" => 537 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/643-1.webp?ts=1734090862" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 179102 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1351} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "text" => "<p> <b>643</b>. Верно ли утверждение, что если <i>(aₙ)</i> — арифметическая прогрессия, то: </p> <p> а) последовательность a₂; a₄; … ; a₂ₙ; … является арифметической прогрессией; </p> <p> б) последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; … ; aₙ – 1; … является арифметической прогрессией; </p> <p> в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией; </p> <p> г) последовательность a₁²; a²₂; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией? </p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1602" "height" => 537 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/643-1.webp?ts=1734090862" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1349 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180079 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1359 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1350 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 1751 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-1.webp?ts=1734092083" ] 1 => array:5 [ "name" => "643-2.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 2346 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-2.webp?ts=1734092083" ] 2 => array:5 [ "name" => "643-3.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 2346 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-3.webp?ts=1734092083" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180079 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1359} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:3 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 1751 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-1.webp?ts=1734092083" ] 1 => array:5 [ "name" => "643-2.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 2346 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-2.webp?ts=1734092083" ] 2 => array:5 [ "name" => "643-3.jpg" "alt" => null "width" => "1731" "height" => 2346 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/643-3.webp?ts=1734092083" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1357 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180812 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1367 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1358 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1645 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-1.webp?ts=1734091886" ] 1 => array:5 [ "name" => "643-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1283 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-2.webp?ts=1734091886" ] 2 => array:5 [ "name" => "643-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1283 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-3.webp?ts=1734091886" ] 3 => array:5 [ "name" => "643-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1247 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-4.webp?ts=1734091886" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180812 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1367} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:4 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1645 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-1.webp?ts=1734091886" ] 1 => array:5 [ "name" => "643-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1283 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-2.webp?ts=1734091886" ] 2 => array:5 [ "name" => "643-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1283 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-3.webp?ts=1734091886" ] 3 => array:5 [ "name" => "643-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 1247 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/643-4.webp?ts=1734091886" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1365 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 181494 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1375 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1366 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "600" "height" => 1127 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/643-1.webp?ts=1734091826" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 181494 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1375} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "600" "height" => 1127 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/643-1.webp?ts=1734091826" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1373 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 182165 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1383 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1374 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "619" "height" => 3616 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/643-1.webp?ts=1734091962" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 182165 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1383} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "619" "height" => 3616 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/643-1.webp?ts=1734091962" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1381 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 182927 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1391 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1382 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "756" "height" => 480 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/5-00/643-1.webp?ts=1734092851" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 182927 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1391} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "756" "height" => 480 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/5-00/643-1.webp?ts=1734092851" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Element {#1389 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 183602 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1400 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1399 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "1347" "height" => 404 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/643-1.webp?ts=1734093020" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 183602 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1400} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.png" "alt" => null "width" => "1347" "height" => 404 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/643-1.webp?ts=1734093020" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 7 => App\Models\Element {#1392 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 184081 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1405 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1393 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1571" "height" => 770 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/643-1.webp?ts=1734093434" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 184081 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1405} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "643-1.jpg" "alt" => null "width" => "1571" "height" => 770 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/643-1.webp?ts=1734093434" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 8 => App\Models\Element {#1402 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1349415 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1406 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "text" => "<p>Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.Общий член прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Проверим утверждения для каждой из предложенных последовательностей.</p><p><strong>а) последовательность $a_2; a_4; \dots; a_{2n}; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим новую последовательность $(b_n)$, где $n$-й член $b_n = a_{2n}$. Чтобы проверить, является ли она арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ и убедиться, что она постоянна.</p><p>$b_{n+1} - b_n = a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n}$.</p><p>Используя формулу общего члена для исходной прогрессии $(a_n)$:</p><p>$a_{2n+2} = a_1 + (2n+2-1)d = a_1 + (2n+1)d$</p><p>$a_{2n} = a_1 + (2n-1)d$</p><p>Вычислим их разность:</p><p>$a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.</p><p>Разность новой последовательности равна $2d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то $2d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; \dots; a_n - 1; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.</p><p>По определению арифметической прогрессии $(a_n)$, разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной.</p><p>Следовательно, последовательность $(a_n - 1)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>в) последовательность $2a_1; 2a_2; \dots; 2a_n; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.</p><p>Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (константа), то разность для новой последовательности равна $2d$, что также является постоянной величиной.</p><p>Следовательно, последовательность $(2a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $2d$.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>г) последовательность $a_1^2; a_2^2; \dots; a_n^2; \dots$ является арифметической прогрессией?</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.</p><p>Используя свойство $a_{n+1} = a_n + d$, получим:</p><p>$p_{n+1} - p_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = (a_n^2 + 2a_nd + d^2) - a_n^2 = 2a_nd + d^2 = d(2a_n + d)$.</p><p>Эта разность зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$). Следовательно, в общем случае она не является постоянной. Разность будет постоянной только если $d=0$ (т.е. исходная последовательность постоянна) или если $a_n$ не зависит от $n$, что опять же означает $d=0$.</p><p>Чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае, достаточно привести контрпример. Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$ и $d=1$.</p><p>Тогда последовательность $(a_n^2)$ будет: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$.</p><p>Найдем разности между ее членами:<br>$p_2 - p_1 = 4 - 1 = 3$<br>$p_3 - p_2 = 9 - 4 = 5$<br>$p_4 - p_3 = 16 - 9 = 7$</p><p>Разности не равны между собой ($3 \neq 5 \neq 7$), значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией.</p><p>Ответ: нет, в общем случае неверно.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1349415 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1418} "task" => array:2 [ "refs" => "171832" "type" => "task" ] "text" => "<p>Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.Общий член прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Проверим утверждения для каждой из предложенных последовательностей.</p><p><strong>а) последовательность $a_2; a_4; \dots; a_{2n}; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим новую последовательность $(b_n)$, где $n$-й член $b_n = a_{2n}$. Чтобы проверить, является ли она арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ и убедиться, что она постоянна.</p><p>$b_{n+1} - b_n = a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n}$.</p><p>Используя формулу общего члена для исходной прогрессии $(a_n)$:</p><p>$a_{2n+2} = a_1 + (2n+2-1)d = a_1 + (2n+1)d$</p><p>$a_{2n} = a_1 + (2n-1)d$</p><p>Вычислим их разность:</p><p>$a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.</p><p>Разность новой последовательности равна $2d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то $2d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; \dots; a_n - 1; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.</p><p>По определению арифметической прогрессии $(a_n)$, разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной.</p><p>Следовательно, последовательность $(a_n - 1)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>в) последовательность $2a_1; 2a_2; \dots; 2a_n; \dots$ является арифметической прогрессией;</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.</p><p>Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (константа), то разность для новой последовательности равна $2d$, что также является постоянной величиной.</p><p>Следовательно, последовательность $(2a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $2d$.</p><p>Ответ: да, верно.</p><p><strong>г) последовательность $a_1^2; a_2^2; \dots; a_n^2; \dots$ является арифметической прогрессией?</strong></p><p>Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Найдем разность между соседними членами:</p><p>$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.</p><p>Используя свойство $a_{n+1} = a_n + d$, получим:</p><p>$p_{n+1} - p_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = (a_n^2 + 2a_nd + d^2) - a_n^2 = 2a_nd + d^2 = d(2a_n + d)$.</p><p>Эта разность зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$). Следовательно, в общем случае она не является постоянной. Разность будет постоянной только если $d=0$ (т.е. исходная последовательность постоянна) или если $a_n$ не зависит от $n$, что опять же означает $d=0$.</p><p>Чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае, достаточно привести контрпример. Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$ и $d=1$.</p><p>Тогда последовательность $(a_n^2)$ будет: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$.</p><p>Найдем разности между ее членами:<br>$p_2 - p_1 = 4 - 1 = 3$<br>$p_3 - p_2 = 9 - 4 = 5$<br>$p_4 - p_3 = 16 - 9 = 7$</p><p>Разности не равны между собой ($3 \neq 5 \neq 7$), значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией.</p><p>Ответ: нет, в общем случае неверно.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "171833" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171831" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1440 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1340 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1324 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1338 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1337 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1336 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1333 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1332 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1334 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1330 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1329 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1416 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1417 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1419 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1420 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1421 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1422 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1423 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1424 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1425 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1426 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1427 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1428 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1429 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1430 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1431 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1432 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1433 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1434 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1435 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1436 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1437 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #original: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1326} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1337} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1335} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1328} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1416} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1419} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1421} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1422} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1423} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1425} "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1427} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1429} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1431} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1432} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1433} "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1434} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1445 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1444 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1029921 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "183" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-183" "field_display_title" => "183" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "183" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1446 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1447 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1340} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1448 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1458 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1457 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1029922" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029920" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1857 #items: array:8 [ 0 => App\Models\Task {#1871 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] …16 } 1 => App\Models\Task {#1877 …30} 2 => App\Models\Task {#1886 …30} 3 => App\Models\Task {#1880 …30} 4 => App\Models\Task {#1885 …30} 5 => App\Models\Task {#1945 …30} 6 => App\Models\Task {#1971 …30} 7 => App\Models\Task {#1997 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1029921 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "183" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-183" "field_display_title" => "183" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "183" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1446} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1447} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1448} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1458} "next" => array:2 [ "refs" => "1029922" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029920" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1857} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171832 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "183" "field_page_end" => null "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/643" "field_display_title" => "643" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1325} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1327} "next" => array:2 [ "refs" => "171833" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171831" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1440} "page" => array:2 [ "refs" => "1029921" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№643 (с. 183)
Условие. №643 (с. 183)
скриншот условия
643. Верно ли утверждение, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то:
а) последовательность a₂; a₄; … ; a₂ₙ; … является арифметической прогрессией;
б) последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; … ; aₙ – 1; … является арифметической прогрессией;
в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией;
г) последовательность a₁²; a²₂; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией?
Решение 1. №643 (с. 183)
Решение 2. №643 (с. 183)
Решение 3. №643 (с. 183)
Решение 4. №643 (с. 183)
Решение 5. №643 (с. 183)
Решение 6. №643 (с. 183)
Решение 7. №643 (с. 183)
Решение 8. №643 (с. 183)
Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.Общий член прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Проверим утверждения для каждой из предложенных последовательностей.
а) последовательность $a_2; a_4; \dots; a_{2n}; \dots$ является арифметической прогрессией;
Рассмотрим новую последовательность $(b_n)$, где $n$-й член $b_n = a_{2n}$. Чтобы проверить, является ли она арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ и убедиться, что она постоянна.
$b_{n+1} - b_n = a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n}$.
Используя формулу общего члена для исходной прогрессии $(a_n)$:
$a_{2n+2} = a_1 + (2n+2-1)d = a_1 + (2n+1)d$
$a_{2n} = a_1 + (2n-1)d$
Вычислим их разность:
$a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.
Разность новой последовательности равна $2d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то $2d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да, верно.
б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; \dots; a_n - 1; \dots$ является арифметической прогрессией;
Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Найдем разность между соседними членами:
$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.
По определению арифметической прогрессии $(a_n)$, разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной.
Следовательно, последовательность $(a_n - 1)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.
Ответ: да, верно.
в) последовательность $2a_1; 2a_2; \dots; 2a_n; \dots$ является арифметической прогрессией;
Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Найдем разность между соседними членами:
$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.
Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (константа), то разность для новой последовательности равна $2d$, что также является постоянной величиной.
Следовательно, последовательность $(2a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $2d$.
Ответ: да, верно.
г) последовательность $a_1^2; a_2^2; \dots; a_n^2; \dots$ является арифметической прогрессией?
Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Найдем разность между соседними членами:
$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.
Используя свойство $a_{n+1} = a_n + d$, получим:
$p_{n+1} - p_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = (a_n^2 + 2a_nd + d^2) - a_n^2 = 2a_nd + d^2 = d(2a_n + d)$.
Эта разность зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$). Следовательно, в общем случае она не является постоянной. Разность будет постоянной только если $d=0$ (т.е. исходная последовательность постоянна) или если $a_n$ не зависит от $n$, что опять же означает $d=0$.
Чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае, достаточно привести контрпример. Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$ и $d=1$.
Тогда последовательность $(a_n^2)$ будет: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$.
Найдем разности между ее членами:
$p_2 - p_1 = 4 - 1 = 3$
$p_3 - p_2 = 9 - 4 = 5$
$p_4 - p_3 = 16 - 9 = 7$
Разности не равны между собой ($3 \neq 5 \neq 7$), значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, в общем случае неверно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 643 расположенного на странице 183 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №643 (с. 183), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.