gdz.top
Номер 830, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: розовый, голубой
Популярные ГДЗ в 8 классе
Задачи повышенной трудности - номер 830, страница 277.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1062 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1078 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #original: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1086 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 230899 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1088 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>830.</strong> Разложить на множители:</p><p><strong>1)</strong> $x^3 - 6x^2 - x + 30;$</p><p><strong>2)</strong> $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12;$</p><p><strong>3)</strong> $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6;$</p><p><strong>4)</strong> $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "830-1.jpg" "alt" => null "width" => "1628" "height" => 237 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/830-1.webp?ts=1734247599" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 230899 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095} "task" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>830.</strong> Разложить на множители:</p><p><strong>1)</strong> $x^3 - 6x^2 - x + 30;$</p><p><strong>2)</strong> $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12;$</p><p><strong>3)</strong> $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6;$</p><p><strong>4)</strong> $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "830-1.jpg" "alt" => null "width" => "1628" "height" => 237 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/830-1.webp?ts=1734247599" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1093 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1417513 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1094 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1096 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> $x^3 - 6x^2 - x + 30$</p><p>Для разложения на множители многочлена третьей степени найдем один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 30). Делители числа 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.</p><p>Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:</p><p>$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 - 1 + 30 = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$</p><p>$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - (-1) + 30 = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$</p><p>$P(2) = 2^3 - 6(2)^2 - 2 + 30 = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$</p><p>$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$</p><p>Поскольку $P(-2) = 0$, то $x = -2$ является корнем многочлена, а $(x + 2)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x + 2)$ столбиком или сгруппируем слагаемые:</p><p>$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$</p><p>$= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 8x + 15)$</p><p>Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5. Таким образом:</p><p>$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$</p><p>Окончательное разложение исходного многочлена:</p><p>$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$</p><p><strong>2)</strong> $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$</p><p>В данном выражении повторяется часть $x^2 + x$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $t = x^2 + x$.</p><p>Тогда выражение примет вид:</p><p>$(t + 1)(t + 2) - 12$</p><p>Раскроем скобки и упростим:</p><p>$t^2 + 2t + t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10$</p><p>Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2. Таким образом:</p><p>$t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)$</p><p>Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + x$:</p><p>$(x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2)$</p><p>Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.</p><p>Для $x^2 + x + 5$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.</p><p>Для $x^2 + x - 2$: найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом:</p><p>$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$</p><p>Окончательное разложение исходного выражения:</p><p>$(x^2 + x + 5)(x + 2)(x - 1)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 5)$</p><p><strong>3)</strong> $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$</p><p>Для разложения на множители многочлена четвертой степени найдем его целые корни. Они должны быть делителями свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.</p><p>Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$:</p><p>$P(1) = 1^4 - 1^3 - 7(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$</p><p>$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 - (-1) - 7 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$</p><p>Мы нашли два корня: $x=1$ и $x=-1$. Это означает, что многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x + 1)$, а значит, и на их произведение $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление многочлена $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ на $x^2 - 1$ столбиком.</p><p>$(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x^2 - 1) = x^2 - x - 6$</p><p>Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:</p><p>$(x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$</p><p>Теперь разложим на множители каждый из квадратных трехчленов:</p><p>$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов).</p><p>Для $x^2 - x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:</p><p>$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$</p><p>Окончательное разложение исходного многочлена:</p><p>$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$</p><p>Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$</p><p><strong>4)</strong> $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$</p><p>Это выражение является квадратным относительно $(x^2 + 4x + 8)$. Сделаем замену, чтобы упростить его. Пусть $t = x^2 + 4x + 8$.</p><p>Тогда выражение примет вид:</p><p>$t^2 + 3xt + 2x^2$</p><p>Разложим это выражение на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $t$. Мы ищем два одночлена, произведение которых равно $2x^2$, а сумма равна $3x$. Это $2x$ и $x$.</p><p>Таким образом, выражение раскладывается как:</p><p>$(t + 2x)(t + x)$</p><p>Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + 4x + 8$:</p><p>$(x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)$</p><p>Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:</p><p>$(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)$</p><p>Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.</p><p>Для $x^2 + 6x + 8$: найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Таким образом:</p><p>$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$</p><p>Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.</p><p>Окончательное разложение исходного выражения:</p><p>$(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1417513 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103} "task" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> $x^3 - 6x^2 - x + 30$</p><p>Для разложения на множители многочлена третьей степени найдем один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 30). Делители числа 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.</p><p>Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:</p><p>$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 - 1 + 30 = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$</p><p>$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - (-1) + 30 = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$</p><p>$P(2) = 2^3 - 6(2)^2 - 2 + 30 = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$</p><p>$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$</p><p>Поскольку $P(-2) = 0$, то $x = -2$ является корнем многочлена, а $(x + 2)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x + 2)$ столбиком или сгруппируем слагаемые:</p><p>$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$</p><p>$= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 8x + 15)$</p><p>Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5. Таким образом:</p><p>$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$</p><p>Окончательное разложение исходного многочлена:</p><p>$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$</p><p><strong>2)</strong> $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$</p><p>В данном выражении повторяется часть $x^2 + x$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $t = x^2 + x$.</p><p>Тогда выражение примет вид:</p><p>$(t + 1)(t + 2) - 12$</p><p>Раскроем скобки и упростим:</p><p>$t^2 + 2t + t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10$</p><p>Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2. Таким образом:</p><p>$t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)$</p><p>Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + x$:</p><p>$(x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2)$</p><p>Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.</p><p>Для $x^2 + x + 5$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.</p><p>Для $x^2 + x - 2$: найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом:</p><p>$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$</p><p>Окончательное разложение исходного выражения:</p><p>$(x^2 + x + 5)(x + 2)(x - 1)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 5)$</p><p><strong>3)</strong> $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$</p><p>Для разложения на множители многочлена четвертой степени найдем его целые корни. Они должны быть делителями свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.</p><p>Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$:</p><p>$P(1) = 1^4 - 1^3 - 7(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$</p><p>$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 - (-1) - 7 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$</p><p>Мы нашли два корня: $x=1$ и $x=-1$. Это означает, что многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x + 1)$, а значит, и на их произведение $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление многочлена $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ на $x^2 - 1$ столбиком.</p><p>$(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x^2 - 1) = x^2 - x - 6$</p><p>Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:</p><p>$(x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$</p><p>Теперь разложим на множители каждый из квадратных трехчленов:</p><p>$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов).</p><p>Для $x^2 - x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:</p><p>$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$</p><p>Окончательное разложение исходного многочлена:</p><p>$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$</p><p>Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$</p><p><strong>4)</strong> $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$</p><p>Это выражение является квадратным относительно $(x^2 + 4x + 8)$. Сделаем замену, чтобы упростить его. Пусть $t = x^2 + 4x + 8$.</p><p>Тогда выражение примет вид:</p><p>$t^2 + 3xt + 2x^2$</p><p>Разложим это выражение на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $t$. Мы ищем два одночлена, произведение которых равно $2x^2$, а сумма равна $3x$. Это $2x$ и $x$.</p><p>Таким образом, выражение раскладывается как:</p><p>$(t + 2x)(t + x)$</p><p>Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + 4x + 8$:</p><p>$(x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)$</p><p>Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:</p><p>$(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)$</p><p>Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.</p><p>Для $x^2 + 6x + 8$: найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Таким образом:</p><p>$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$</p><p>Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.</p><p>Окончательное разложение исходного выражения:</p><p>$(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$</p><p>Ответ: $(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1081 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929743 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-277" "field_display_title" => "277" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "277" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1113 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1104135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "277-1.jpg" "alt" => null "width" => "1730" "height" => 2502 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/277-1.webp?ts=1744701216" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1104135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "book_page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "277-1.jpg" "alt" => null "width" => "1730" "height" => 2502 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/277-1.webp?ts=1744701216" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929744" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929742" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Task {#1183 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1086} 1 => App\Models\Element {#1093} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1190 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207595 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/831" "field_display_title" => "831" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1205 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1207 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207595 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/831" "field_display_title" => "831" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} "next" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1202} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1197 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207596 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/832" "field_display_title" => "832" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1217 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1219 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207596 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/832" "field_display_title" => "832" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1200} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1198} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199} "next" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Task {#1209 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1229 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1231 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1211} "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Task {#1221 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207598 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/834" "field_display_title" => "834" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1241 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] …3 } 1 => App\Models\Element {#1243 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207599" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207598 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/834" "field_display_title" => "834" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1213} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223} "next" => array:2 [ "refs" => "207599" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Task {#1233 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/835" "field_display_title" => "835" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1253 …30} 1 => App\Models\Element {#1255 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/835" "field_display_title" => "835" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929743 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-277" "field_display_title" => "277" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "277" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "next" => array:2 [ "refs" => "929744" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929742" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№830 (с. 277)
Условие. №830 (с. 277)
скриншот условия
830. Разложить на множители:
1) $x^3 - 6x^2 - x + 30;$
2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12;$
3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6;$
4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2.$
Решение 4. №830 (с. 277)
1) $x^3 - 6x^2 - x + 30$
Для разложения на множители многочлена третьей степени найдем один из его корней. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 30). Делители числа 30: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.
Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$:
$P(1) = 1^3 - 6(1)^2 - 1 + 30 = 1 - 6 - 1 + 30 = 24 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 - (-1) + 30 = -1 - 6 + 1 + 30 = 24 \neq 0$
$P(2) = 2^3 - 6(2)^2 - 2 + 30 = 8 - 24 - 2 + 30 = 12 \neq 0$
$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - (-2) + 30 = -8 - 24 + 2 + 30 = 0$
Поскольку $P(-2) = 0$, то $x = -2$ является корнем многочлена, а $(x + 2)$ — одним из его множителей. Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на $(x + 2)$ столбиком или сгруппируем слагаемые:
$x^3 - 6x^2 - x + 30 = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 15x + 30$
$= x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 8x + 15)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Найдем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна -8. Это числа -3 и -5. Таким образом:
$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$
Окончательное разложение исходного многочлена:
$(x + 2)(x - 3)(x - 5)$
Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x - 5)$
2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12$
В данном выражении повторяется часть $x^2 + x$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $t = x^2 + x$.
Тогда выражение примет вид:
$(t + 1)(t + 2) - 12$
Раскроем скобки и упростим:
$t^2 + 2t + t + 2 - 12 = t^2 + 3t - 10$
Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -10, а сумма равна 3. Это числа 5 и -2. Таким образом:
$t^2 + 3t - 10 = (t + 5)(t - 2)$
Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + x$:
$(x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2)$
Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.
Для $x^2 + x + 5$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
Для $x^2 + x - 2$: найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом:
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
Окончательное разложение исходного выражения:
$(x^2 + x + 5)(x + 2)(x - 1)$
Ответ: $(x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 5)$
3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$
Для разложения на множители многочлена четвертой степени найдем его целые корни. Они должны быть делителями свободного члена (числа 6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим некоторые из них, подставляя в многочлен $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$:
$P(1) = 1^4 - 1^3 - 7(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$
$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 6 = 1 - (-1) - 7 - 1 + 6 = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$
Мы нашли два корня: $x=1$ и $x=-1$. Это означает, что многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x + 1)$, а значит, и на их произведение $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление многочлена $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ на $x^2 - 1$ столбиком.
$(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6) : (x^2 - 1) = x^2 - x - 6$
Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде:
$(x^2 - 1)(x^2 - x - 6)$
Теперь разложим на множители каждый из квадратных трехчленов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (как разность квадратов).
Для $x^2 - x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2. Таким образом:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
Окончательное разложение исходного многочлена:
$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)$
4) $(x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2$
Это выражение является квадратным относительно $(x^2 + 4x + 8)$. Сделаем замену, чтобы упростить его. Пусть $t = x^2 + 4x + 8$.
Тогда выражение примет вид:
$t^2 + 3xt + 2x^2$
Разложим это выражение на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $t$. Мы ищем два одночлена, произведение которых равно $2x^2$, а сумма равна $3x$. Это $2x$ и $x$.
Таким образом, выражение раскладывается как:
$(t + 2x)(t + x)$
Теперь выполним обратную замену $t = x^2 + 4x + 8$:
$(x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)$
Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:
$(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)$
Проверим, можно ли разложить на множители полученные квадратные трехчлены.
Для $x^2 + 6x + 8$: найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Таким образом:
$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
Для $x^2 + 5x + 8$: дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
Окончательное разложение исходного выражения:
$(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$
Ответ: $(x + 2)(x + 4)(x^2 + 5x + 8)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 830 расположенного на странице 277 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №830 (с. 277), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.