gdz.top
Номер 833, страница 277 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: розовый, голубой
Популярные ГДЗ в 8 классе
Задачи повышенной трудности - номер 833, страница 277.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1049 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #original: array:10 [ "id" => 6471 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алгебра" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "алгебру" "field_creative_case" => "алгеброй" "field_dative_case" => "алгебре" "field_genitive_case" => "алгебры" "field_nominative_case" => "алгебра" "field_prepositional_case" => "алгебре" ] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "algebra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1052 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "восьмой" "field_creative_case" => "восьмым" "field_dative_case" => "восьмому" "field_genitive_case" => "восьмого" "field_nominative_case" => "восьмой" "field_prepositional_case" => "восьмом" ] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1054 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #original: array:6 [ "id" => 5153 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Просвещение" "field_cases" => null "field_translit" => "prosveschenie" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1056 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 4640 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Колягин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Юрий" "field_patronymic" => "Михайлович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1057 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 5935 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Ткачева" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Мария" "field_patronymic" => "Владимировна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1058 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6024 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Федорова" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Надежда" "field_patronymic" => "Евгеньевна" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Term {#1059 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6266 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шабунин" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Михаил" "field_patronymic" => "Иванович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1062 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "учебник" "field_creative_case" => "учебником" "field_dative_case" => "учебнику" "field_genitive_case" => "учебника" "field_nominative_case" => "учебник" "field_prepositional_case" => "учебнике" ] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1064 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #original: array:6 [ "id" => 9 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Россия" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "rossiya" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1066 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #original: array:6 [ "id" => 15 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Москва" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => null "field_creative_case" => null "field_dative_case" => null "field_genitive_case" => null "field_nominative_case" => null "field_prepositional_case" => null ] "field_translit" => "moskva" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1070 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 38 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "базовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "базовый" "field_creative_case" => "базовым" "field_dative_case" => "базовому" "field_genitive_case" => "базового" "field_nominative_case" => "базовый" "field_prepositional_case" => "базовом" ] "field_translit" => "bazovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Term {#1078 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #original: array:6 [ "id" => 53 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "розовый" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "розовый" "field_creative_case" => "розовым" "field_dative_case" => "розовому" "field_genitive_case" => "розового" "field_nominative_case" => "розовый" "field_prepositional_case" => "розовом" ] "field_translit" => "rozovyy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #original: array:6 [ "id" => 52 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "голубой" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "голубой" "field_creative_case" => "голубым" "field_dative_case" => "голубому" "field_genitive_case" => "голубого" "field_nominative_case" => "голубой" "field_prepositional_case" => "голубом" ] "field_translit" => "goluboy" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #original: array:50 [ "id" => 1399 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1050} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1063} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1068} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1072} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебное пособие" "field_allowed" => null "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "1290" "field_priority" => "10" "field_default_folder" => "/algebra_08/kolyagin-u23/" "field_isbn" => null "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/covers/cover1.webp?ts=1734206325" "alt" => "" "width" => "1200" "height" => "1576" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1074} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1075} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1076} "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <p> Есть случаи, когда по каким-либо причинам, ученик не может справиться с домашним заданием по алгебре или недостаточно освоил новую тему. На работу с репетиром решаются не все, да и не у каждого родителя на это есть средства. В таких случаях на помощь приходит <strong>ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Колягина (Просвещение, 2023 г.)</strong> с задачами и решениями. </p> <h2> Кому помогает сборник ответов? </h2> <p> Решебник полностью повторяет все темы, задачи и примеры, которые представлены в учебнике. Это позволяет намного быстрее и проще найти интересующие восьмиклассника решения. Книга будет полезна для: </p> <ul> <li>учеников, которые по причине олимпиад, соревнований или заболеваний, отсутствуют на уроках;</li> <li>подростков, за время урока не смогли освоить новый материал, поэтому затрудняются с выполнением домашнего задания;</li> <li>выпускников, которые готовятся к сдаче ЕГЭ или ОГЭ и им нужно заполнить пробелы в своих знаниях;</li> <li>учеников, которые не уверены в правильности ответа, и хотят проверить, правильно ли они выполнили упражнение;</li> <li>родителей, желающих проверить то, насколько их ребенок верно решил все задачи и примеры в домашнем задании.</li> </ul> <p> Как ни странно, решебниками, порой, пользуются и учителя при проверке классных или домашних работ, когда нет времени на проверку расчетов или последовательности действий в том или ином задании. Есть случаи, когда педагоги используют их, как пособие, при подготовке к уроку. </p> <h2> Польза готовых решений по учебнику Колягина </h2> <p> Использовать помощник при решении домашних заданий нужно правильно, не злоупотребляя информацией в нем. Работа с пособием должна быть направлена на помощь в учебе, а не систематическое списывание готовых решений с него. Такая методика может привести к тому, что ученик не сможет разобраться в пропущенной теме или заполнить пробелы в знаниях, а это в дальнейшем приведет к еще большим проблемам. В старших классах все темы в алгебре связаны между собой и если будет упущена одна, начнется недопонимание и в других. </p> <p> <strong>«ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, С.А. Федорова, М.И. Шабунин (ФГОС)»</strong> представляет вспомогательные и учебные материалы, которые предусмотрены на улучшение знаний ученика в школьной программе. Все больше педагогов и родителей соглашаются с тем, что пособие помогает: </p> <ol> <li>грамотно оформлять решения различных примеров и задач;</li> <li>получить навыки самопроверки и самоконтроля;</li> <li>выполнять домашнюю работу быстрее в условиях, когда время на выполнение решений ограничено;</li> <li>найти решение для сложных задач, при решении которых возникают трудности с поиском правильного решения и его грамотным оформлением;</li> <li>сверить полученный ответ с решебником, чтобы вовремя выявить ошибки, разобраться в них и оформить верный ответ.</li> </ol> <p> Помимо готового решения, к каждому готовому решению дается подробное объяснение, что особенно актуально для тех, кто не разбирается в материале или вообще пропустил урок. Дополнительная информация позволяет ученику углубиться в суть задачи и понять смысл каждого арифметического действия. Такой решебник очень полезен, если школьник неправильно решил задачу и хочет разобраться в допущенной ошибке, чтобы исключить ее повторение в будущем. Для ряда заданий есть несколько вариантов решений с пояснениями к каждому отдельно. Обычно это примеры или задачи, которые требуют нестандартного решения, которые отмечены «звездочкой». Иными словами, все упражнения расписаны максимально подробно, поэтому они будут понятны даже ученику, который по каким-либо отсутствовал на уроке. </p> <p> Пособие полностью соответствует новому стандарту ФГОС, по которому написан учебник. В ряде случаев оно помогает сэкономить время и силы школьника на поиск нужной информации. Использование готовых решений при выполнении домашних работ поможет повысить успеваемость и подтянуть свои знания по предмету. При этом ученику перед использованием ГДЗ рекомендуется повторить, теорию и правила, чтобы понимать о чем идет речь в решениях. </p> <h2> Почему ГДЗ по алгебре 8 класс так полезен? </h2> <p> Это пособие, которому можно доверять. Изначально оно успело зарекомендовать себя в печатном варианте, так как учебник используется в программе восьмиклассников уже давно. Онлайн версия помогает намного быстрее найти ответ с подробным решением намного быстрее. При этом она доступна в любое время, даже если школьник находится далеко от дома. Он может в любое время обратиться за помощью к электронной версии, так как современный гаджет с доступом в интернет есть у каждого ученика. </p> <p> ГДЗ составлен опытными методистами, которые имеют многолетний опыт в преподавании алгебры. Перед публикацией пособие проверено на соответствие учебнику по ФГОС, чтобы исключить некачественный контент. Решебник помог уже нескольким тысячам учеников, педагогов и родителей, что подтверждено многочисленными положительными отзывами. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 542 "class_subject" => 385 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 206301 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Задачи повышенной трудности" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047} "field_page_start" => "273" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1086 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 230902 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1088 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 715 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Условие" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>833.</strong> Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:</p><p><strong>1)</strong> $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1);$</p><p><strong>2)</strong> $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab;$</p><p><strong>3)</strong> $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1;$</p><p><strong>4)</strong> $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$</p><p><strong>5)</strong> $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3;$</p><p><strong>6)</strong> $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "833-1.jpg" "alt" => null "width" => "1628" "height" => 347 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/833-1.webp?ts=1734247599" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 230902 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1095} "task" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>833.</strong> Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:</p><p><strong>1)</strong> $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1);$</p><p><strong>2)</strong> $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab;$</p><p><strong>3)</strong> $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1;$</p><p><strong>4)</strong> $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$</p><p><strong>5)</strong> $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3;$</p><p><strong>6)</strong> $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2.$</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "833-1.jpg" "alt" => null "width" => "1628" "height" => 347 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-00/833-1.webp?ts=1734247599" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1093 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1417516 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1094 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1096 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5309 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 4" "field_order" => "5" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1097} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "vadim" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "4-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1099} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1100} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$.</p><p>Перенесем все члены неравенства в левую часть и раскроем скобки:</p><p>$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:</p><p>$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$</p><p>Это выражение можно записать в виде суммы квадратов:</p><p>$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$</p><p>Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любых чисел $a$ и $b$.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>2)</strong> Докажем неравенство $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab$.</p><p>Перенесем член $2ab$ в левую часть:</p><p>$2a^2 - 2ab + 5b^2 \ge 0$</p><p>Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:</p><p>$2(a^2 - ab) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2((a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{2b^2}{4} + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{9}{2}b^2 \ge 0$</p><p>Полученное выражение является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое $2(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ как квадрат, умноженный на положительное число. Второе слагаемое $\frac{9}{2}b^2 \ge 0$ также как квадрат, умноженный на положительное число. Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна. Значит, неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>3)</strong> Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1$.</p><p>Перенесем все члены в левую часть:</p><p>$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \ge 0$</p><p>Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):</p><p>$2a^2 + 2b^2 - 2ab - 2a - 2b + 2 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:</p><p>$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$</p><p>Это выражение можно записать как сумму трех квадратов:</p><p>$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$</p><p>Каждое из слагаемых в левой части неотрицательно, так как является квадратом действительного числа. Их сумма также неотрицательна. Неравенство справедливо.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>4)</strong> Докажем неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.</p><p>Выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$:</p><p>$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 \ge 0$</p><p>$(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \ge 0$</p><p>$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$</p><p>Левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Их сумма всегда неотрицательна. Неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>5)</strong> Докажем неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$.</p><p>Перенесем все члены в левую часть:</p><p>$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:</p><p>$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \ge 0$</p><p>$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$</p><p>Вынесем общий множитель $(a-b)$:</p><p>$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$</p><p>Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:</p><p>$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$</p><p>$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$</p><p>Рассмотрим множители в левой части. Первый множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Второй множитель $a^2 + ab + b^2 \ge 0$, что было доказано в пункте 4. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно. Таким образом, неравенство верно.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>6)</strong> Докажем неравенство $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2$.</p><p>Раскроем скобки в обеих частях неравенства.</p><p>Левая часть: $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6$.</p><p>Правая часть: $(a^3 + b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.</p><p>Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:</p><p>$a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6 \ge a^6 + 2a^3b^3 + b^6$</p><p>Вычтем из обеих частей $a^6 + b^6$:</p><p>$a^2b^4 + a^4b^2 \ge 2a^3b^3$</p><p>Перенесем все в левую часть:</p><p>$a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 \ge 0$</p><p>Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:</p><p>$a^2b^2(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$</p><p>Выражение в скобках является полным квадратом разности:</p><p>$a^2b^2(a - b)^2 \ge 0$</p><p>Левая часть представляет собой произведение двух множителей: $a^2b^2 = (ab)^2 \ge 0$ и $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1417516 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1103} "task" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong> Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$.</p><p>Перенесем все члены неравенства в левую часть и раскроем скобки:</p><p>$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:</p><p>$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$</p><p>Это выражение можно записать в виде суммы квадратов:</p><p>$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$</p><p>Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любых чисел $a$ и $b$.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>2)</strong> Докажем неравенство $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab$.</p><p>Перенесем член $2ab$ в левую часть:</p><p>$2a^2 - 2ab + 5b^2 \ge 0$</p><p>Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:</p><p>$2(a^2 - ab) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2((a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{2b^2}{4} + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 \ge 0$</p><p>$2(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{9}{2}b^2 \ge 0$</p><p>Полученное выражение является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое $2(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ как квадрат, умноженный на положительное число. Второе слагаемое $\frac{9}{2}b^2 \ge 0$ также как квадрат, умноженный на положительное число. Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна. Значит, неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>3)</strong> Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1$.</p><p>Перенесем все члены в левую часть:</p><p>$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \ge 0$</p><p>Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):</p><p>$2a^2 + 2b^2 - 2ab - 2a - 2b + 2 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:</p><p>$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$</p><p>Это выражение можно записать как сумму трех квадратов:</p><p>$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$</p><p>Каждое из слагаемых в левой части неотрицательно, так как является квадратом действительного числа. Их сумма также неотрицательна. Неравенство справедливо.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>4)</strong> Докажем неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.</p><p>Выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$:</p><p>$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 \ge 0$</p><p>$(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \ge 0$</p><p>$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$</p><p>Левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Их сумма всегда неотрицательна. Неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>5)</strong> Докажем неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$.</p><p>Перенесем все члены в левую часть:</p><p>$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$</p><p>Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:</p><p>$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \ge 0$</p><p>$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$</p><p>Вынесем общий множитель $(a-b)$:</p><p>$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$</p><p>Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:</p><p>$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$</p><p>$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$</p><p>Рассмотрим множители в левой части. Первый множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Второй множитель $a^2 + ab + b^2 \ge 0$, что было доказано в пункте 4. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно. Таким образом, неравенство верно.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p><p><strong>6)</strong> Докажем неравенство $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2$.</p><p>Раскроем скобки в обеих частях неравенства.</p><p>Левая часть: $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6$.</p><p>Правая часть: $(a^3 + b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.</p><p>Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:</p><p>$a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6 \ge a^6 + 2a^3b^3 + b^6$</p><p>Вычтем из обеих частей $a^6 + b^6$:</p><p>$a^2b^4 + a^4b^2 \ge 2a^3b^3$</p><p>Перенесем все в левую часть:</p><p>$a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 \ge 0$</p><p>Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:</p><p>$a^2b^2(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$</p><p>Выражение в скобках является полным квадратом разности:</p><p>$a^2b^2(a - b)^2 \ge 0$</p><p>Левая часть представляет собой произведение двух множителей: $a^2b^2 = (ab)^2 \ge 0$ и $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Неравенство доказано.</p><p>Ответ: Что и требовалось доказать.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1043 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1081 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 929743 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-277" "field_display_title" => "277" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "277" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1113 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1104135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1087} ] #escapeWhenCastingToString: false } "book_page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "277-1.jpg" "alt" => null "width" => "1730" "height" => 2502 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/277-1.webp?ts=1744701216" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1104135 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1115} "book_page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "277-1.jpg" "alt" => null "width" => "1730" "height" => 2502 "path" => "/media/algebra_08/kolyagin-u23/0-1/277-1.webp?ts=1744701216" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "929744" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929742" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171 #items: array:6 [ 0 => App\Models\Task {#1183 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1198 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1200 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207594 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/830" "field_display_title" => "830" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "next" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207593" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1195} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Task {#1190 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207595 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/831" "field_display_title" => "831" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1210 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1212 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207595 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/831" "field_display_title" => "831" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1193} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1191} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1192} "next" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207594" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1207} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Task {#1202 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207596 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/832" "field_display_title" => "832" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1222 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1224 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207596 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/832" "field_display_title" => "832" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1194} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "next" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207595" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Task {#1214 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1086} 1 => App\Models\Element {#1093} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1206} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1215} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218} "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Task {#1226 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207598 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/834" "field_display_title" => "834" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1241 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] …3 } 1 => App\Models\Element {#1243 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "207599" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207598 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/834" "field_display_title" => "834" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1228} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1229} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1230} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1232} "next" => array:2 [ "refs" => "207599" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207597" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1238} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Task {#1233 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 207599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/835" "field_display_title" => "835" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036} ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1045} ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1253 …30} 1 => App\Models\Element {#1255 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1048} ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #original: array:24 [ "id" => 207599 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/835" "field_display_title" => "835" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1231} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1240} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1236} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1234} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1235} "next" => array:2 [ "refs" => null "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1250} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 929743 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/page-277" "field_display_title" => "277" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "277" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1101} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1102} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1104} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1114} "next" => array:2 [ "refs" => "929744" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "929742" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1171} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 207597 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "277" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/algebra/kolyagin-fgos/833" "field_display_title" => "833" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1046} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034} "next" => array:2 [ "refs" => "207598" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "207596" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1083} "page" => array:2 [ "refs" => "929743" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№833 (с. 277)
Условие. №833 (с. 277)
скриншот условия
833. Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:
1) $a^2 + b^2 \ge 2(a+b-1);$
2) $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab;$
3) $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1;$
4) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$
5) $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3;$
6) $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2.$
Решение 4. №833 (с. 277)
1) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge 2(a + b - 1)$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть и раскроем скобки:
$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$
Это выражение можно записать в виде суммы квадратов:
$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$
Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то $(a - 1)^2 \ge 0$ и $(b - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любых чисел $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
2) Докажем неравенство $2a^2 + 5b^2 \ge 2ab$.
Перенесем член $2ab$ в левую часть:
$2a^2 - 2ab + 5b^2 \ge 0$
Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:
$2(a^2 - ab) + 5b^2 \ge 0$
$2(a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 \ge 0$
$2((a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 \ge 0$
$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{2b^2}{4} + 5b^2 \ge 0$
$2(a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 \ge 0$
$2(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{9}{2}b^2 \ge 0$
Полученное выражение является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое $2(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ как квадрат, умноженный на положительное число. Второе слагаемое $\frac{9}{2}b^2 \ge 0$ также как квадрат, умноженный на положительное число. Сумма неотрицательных слагаемых неотрицательна. Значит, неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
3) Докажем неравенство $a^2 + b^2 \ge ab + a + b - 1$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 + b^2 - ab - a - b + 1 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):
$2a^2 + 2b^2 - 2ab - 2a - 2b + 2 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$
Это выражение можно записать как сумму трех квадратов:
$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$
Каждое из слагаемых в левой части неотрицательно, так как является квадратом действительного числа. Их сумма также неотрицательна. Неравенство справедливо.
Ответ: Что и требовалось доказать.
4) Докажем неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.
Выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$:
$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 \ge 0$
$(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 \ge 0$
$(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$
Левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Их сумма всегда неотрицательна. Неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
5) Докажем неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) \ge 0$
$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(a-b)$:
$(a - b)(a^3 - b^3) \ge 0$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0$
$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$
Рассмотрим множители в левой части. Первый множитель $(a-b)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Второй множитель $a^2 + ab + b^2 \ge 0$, что было доказано в пункте 4. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно. Таким образом, неравенство верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.
6) Докажем неравенство $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \ge (a^3 + b^3)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6$.
Правая часть: $(a^3 + b^3)^2 = (a^3)^2 + 2a^3b^3 + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.
Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство:
$a^6 + a^2b^4 + a^4b^2 + b^6 \ge a^6 + 2a^3b^3 + b^6$
Вычтем из обеих частей $a^6 + b^6$:
$a^2b^4 + a^4b^2 \ge 2a^3b^3$
Перенесем все в левую часть:
$a^4b^2 - 2a^3b^3 + a^2b^4 \ge 0$
Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:
$a^2b^2(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности:
$a^2b^2(a - b)^2 \ge 0$
Левая часть представляет собой произведение двух множителей: $a^2b^2 = (ab)^2 \ge 0$ и $(a - b)^2 \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Неравенство доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 833 расположенного на странице 277 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №833 (с. 277), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.