gdz.top
Номер 275, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк
Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2026
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 275, страница 91.
App\Models\Task {#1030 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171448 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "91" "field_page_end" => "92" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/275" "field_display_title" => "275" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1036 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1034 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171117 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Уравнения и неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1038 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "71" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1041 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171117 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Уравнения и неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1039} "field_page_start" => "71" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Branch {#1078 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171117 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Уравнения и неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1079 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "71" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1083 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171117 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Уравнения и неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "3" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1081} "field_page_start" => "71" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1119} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Branch {#1120 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171123 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1122 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ …7] #original: array:7 [ …7] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1124 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1161 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171123 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Неравенства с одной переменной" "field_branch_order" => "6" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1121} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1123} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Branch {#1202 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 171124 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "16. Решение неравенств второй степени с одной переменной" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1205 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ …50] #original: array:50 [ …50] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1242 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171124 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "16. Решение неравенств второй степени с одной переменной" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203} "field_page_start" => "88" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1204} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1241} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1306 #items: array:9 [ 0 => App\Models\Element {#1322 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 178577 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1323 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "text" => """ <p><strong>275</strong>. <em>(Для работы в парах.)</em> Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:</p><figure><figure class="align-center">\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275.webp?ts=1743952613" alt="Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство" loading="lazy" width="1173" height="286">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure><p>1) Обсудите, при каком условии неравенство <em><span class="long">ax² + bx + c › 0, </span></em>где <em>a, b, c</em> — некоторые числа, верно при любом значении переменной <em>x</em>. Укажите аналогичные условия для неравенства <em><span class="long">ax² + bx + c ‹ 0. </span></em></p><p>2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.</p><p>3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.</p> """ "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "1591" "height" => 371 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275-1.webp?ts=1734090424" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.jpg" "alt" => null "width" => "1491" "height" => 444 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275-2.webp?ts=1734090424" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 178577 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1331} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "text" => """ <p><strong>275</strong>. <em>(Для работы в парах.)</em> Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:</p><figure><figure class="align-center">\n <img src="/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275.webp?ts=1743952613" alt="Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство" loading="lazy" width="1173" height="286">\n </figure>\n <figcaption> </figcaption></figure><p>1) Обсудите, при каком условии неравенство <em><span class="long">ax² + bx + c › 0, </span></em>где <em>a, b, c</em> — некоторые числа, верно при любом значении переменной <em>x</em>. Укажите аналогичные условия для неравенства <em><span class="long">ax² + bx + c ‹ 0. </span></em></p><p>2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.</p><p>3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.</p> """ "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "1591" "height" => 371 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275-1.webp?ts=1734090424" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.jpg" "alt" => null "width" => "1491" "height" => 444 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/0-00/275-2.webp?ts=1734090424" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1329 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 179711 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1330 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "2200" "height" => 3537 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/275-1.webp?ts=1734091230" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.jpg" "alt" => null "width" => "2200" "height" => 3013 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/275-2.webp?ts=1734091230" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 179711 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1339} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "2200" "height" => 3537 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/275-1.webp?ts=1734091230" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.jpg" "alt" => null "width" => "2200" "height" => 3013 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/1-00/275-2.webp?ts=1734091230" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1337 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 180365 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1347 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1338 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3420 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-1.webp?ts=1734091093" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3445 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-2.webp?ts=1734091093" ] 2 => array:5 [ "name" => "275-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3428 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-3.webp?ts=1734091093" ] 3 => array:5 [ "name" => "275-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3493 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-4.webp?ts=1734091093" ] 4 => array:5 [ "name" => "275-5.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3465 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-5.webp?ts=1734091093" ] 5 => array:5 [ "name" => "275-6.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3420 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-6.webp?ts=1734091093" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 180365 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1347} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:6 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3420 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-1.webp?ts=1734091093" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3445 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-2.webp?ts=1734091093" ] 2 => array:5 [ "name" => "275-3.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3428 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-3.webp?ts=1734091093" ] 3 => array:5 [ "name" => "275-4.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3493 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-4.webp?ts=1734091093" ] 4 => array:5 [ "name" => "275-5.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3465 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-5.webp?ts=1734091093" ] 5 => array:5 [ "name" => "275-6.png" "alt" => null "width" => "700" "height" => 3420 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/2-00/275-6.webp?ts=1734091093" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1345 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 181177 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1355 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1346 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 998 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/275-1.webp?ts=1734091394" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 1077 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/275-2.webp?ts=1734091394" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 181177 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1355} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:2 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 998 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/275-1.webp?ts=1734091394" ] 1 => array:5 [ "name" => "275-2.png" "alt" => null "width" => "650" "height" => 1077 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/3-00/275-2.webp?ts=1734091394" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 4 => App\Models\Element {#1353 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 181848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1363 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1354 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "658" "height" => 2264 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/275-1.webp?ts=1734091619" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 181848 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1363} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "658" "height" => 2264 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/4-00/275-1.webp?ts=1734091619" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 5 => App\Models\Element {#1361 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 182618 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1371 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1362 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "855" "height" => 852 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/5-00/275-1.webp?ts=1734092505" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 182618 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1371} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "855" "height" => 852 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/5-00/275-1.webp?ts=1734092505" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 6 => App\Models\Element {#1369 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 183285 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1379 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1370 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "1340" "height" => 1941 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/275-1.webp?ts=1734092669" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 183285 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1379} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.png" "alt" => null "width" => "1340" "height" => 1941 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/6-00/275-1.webp?ts=1734092669" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 7 => App\Models\Element {#1377 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 183764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1387 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1378 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "1126" "height" => 1087 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/275-1.webp?ts=1734093148" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 183764 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1387} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "275-1.jpg" "alt" => null "width" => "1126" "height" => 1087 "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/7-00/275-1.webp?ts=1734093148" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 8 => App\Models\Element {#1385 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1348710 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1395 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1386 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ …21] #original: array:21 [ …21] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong></p><p>Рассмотрим квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$. Левая часть неравенства является квадратичным трехчленом, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Знак этого выражения при всех значениях переменной $x$ зависит от двух факторов: знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс).</p><p><b>Условия для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$:</b></p><p>Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:</p><ol><li>Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.</li> <li>Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.</li></ol><p>Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ условия: $a > 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.</p><p>Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \ge 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a > 0$ и $D \le 0$.</p><p><b>Условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:</b></p><p>Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться ниже оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:</p><ol><li>Ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.</li> <li>Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.</li></ol><p>Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ условия: $a < 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.</p><p>Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a < 0$ и $D \le 0$.</p><p>Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.</p><p><strong>а)</strong> Докажем, что $7x^2 - 10x + 7 > 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 10x + 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -10$, $c = 7$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью Ox: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$.</p><p>Поскольку $D = -96 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.</p><p>Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $7x^2 - 10x + 7$ всегда положительно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>б)</strong> Докажем, что $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ при любом $y$.</p><p>Рассмотрим функцию $f(y) = -6y^2 + 11y - 10$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 11$, $c = -10$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -6 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$.</p><p>Поскольку $D = -119 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Oy (в данном случае ось переменной $y$).</p><p>Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось, вся парабола расположена ниже оси. Это означает, что значение выражения $-6y^2 + 11y - 10$ всегда отрицательно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>в)</strong> Докажем, что $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Можно заметить, что это формула квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.</p><p>Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 12x + 9$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине) и расположена выше нее. Следовательно, $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ для всех $x$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>г)</strong> Докажем, что $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ при любом $x$.</p><p>Выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$ является полным квадратом разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$.</p><p>Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox и расположена выше нее. Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ для всех $x$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>д)</strong> Докажем, что $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ при любом $y$.</p><p>Вынесем минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.</p><p>Таким образом, исходное выражение равно $-(3y - 1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет меньше или равно нулю.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $f(y) = -9y^2 + 6y - 1$. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз. $D = 6^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Oy в своей вершине и расположена ниже нее. Следовательно, $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ для всех $y$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>е)</strong> Докажем, что $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -5$, $b = 8$, $c = -5$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.</p><p>Поскольку $D = -36 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.</p><p>Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-5x^2 + 8x - 5$ всегда отрицательно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1348710 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1395} "task" => array:2 [ "refs" => "171448" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>1)</strong></p><p>Рассмотрим квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$. Левая часть неравенства является квадратичным трехчленом, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Знак этого выражения при всех значениях переменной $x$ зависит от двух факторов: знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс).</p><p><b>Условия для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$:</b></p><p>Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:</p><ol><li>Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.</li> <li>Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.</li></ol><p>Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ условия: $a > 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.</p><p>Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \ge 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a > 0$ и $D \le 0$.</p><p><b>Условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:</b></p><p>Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться ниже оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:</p><ol><li>Ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.</li> <li>Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.</li></ol><p>Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ условия: $a < 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.</p><p>Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a < 0$ и $D \le 0$.</p><p>Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.</p><p><strong>а)</strong> Докажем, что $7x^2 - 10x + 7 > 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 10x + 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -10$, $c = 7$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.</p><p>2. Найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью Ox: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$.</p><p>Поскольку $D = -96 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.</p><p>Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $7x^2 - 10x + 7$ всегда положительно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>б)</strong> Докажем, что $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ при любом $y$.</p><p>Рассмотрим функцию $f(y) = -6y^2 + 11y - 10$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 11$, $c = -10$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -6 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$.</p><p>Поскольку $D = -119 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Oy (в данном случае ось переменной $y$).</p><p>Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось, вся парабола расположена ниже оси. Это означает, что значение выражения $-6y^2 + 11y - 10$ всегда отрицательно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>в)</strong> Докажем, что $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Можно заметить, что это формула квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.</p><p>Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 12x + 9$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине) и расположена выше нее. Следовательно, $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ для всех $x$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>г)</strong> Докажем, что $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ при любом $x$.</p><p>Выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$ является полным квадратом разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$.</p><p>Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox и расположена выше нее. Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ для всех $x$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>д)</strong> Докажем, что $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ при любом $y$.</p><p>Вынесем минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.</p><p>Таким образом, исходное выражение равно $-(3y - 1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет меньше или равно нулю.</p><p><em>Альтернативное решение через дискриминант:</em> Рассмотрим функцию $f(y) = -9y^2 + 6y - 1$. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз. $D = 6^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Oy в своей вершине и расположена ниже нее. Следовательно, $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ для всех $y$.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p><p><strong>е)</strong> Докажем, что $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ при любом $x$.</p><p>Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -5$, $b = 8$, $c = -5$.</p><p>1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.</p><p>2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.</p><p>Поскольку $D = -36 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.</p><p>Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-5x^2 + 8x - 5$ всегда отрицательно.</p><p>Ответ: Неравенство доказано.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "171449" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171447" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1401 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1320 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1297 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1299 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1304 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1303 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1302 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1300 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Term {#1301 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1290 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1291 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Term {#1288 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1296 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1295 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1294 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1292 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1293 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1305 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1319 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1318 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1316 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1313 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ …10] #original: array:10 [ …10] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1312 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1314 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1308 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ …12] #original: array:12 [ …12] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1393 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1394 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1396 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Term {#1397 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Term {#1398 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #original: array:50 [ "id" => 10 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1298} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1299} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1303} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1300} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1296} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1295} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1292} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1307} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1319} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1318} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1317} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1315} "field_publication_number" => "16" "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1312} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1310} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2023" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => null "field_allowed" => "Допущено Министерством просвещения Российской Федерации" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "934" "field_priority" => "2" "field_default_folder" => "/algebra_09/makarychev-2023/" "field_isbn" => "978-5-09-112135-3" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/algebra_09/makarychev-2023/covers/cover1.webp?ts=1734038732" "alt" => "" "width" => "680" "height" => "1065" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1311} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1309} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1393} "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1394} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => "<!--Текст в низу страницы--> <h2> Учебный процесс с решебником Ключниковой </h2> <p> Изучение алгебры всегда связано с различными недопониманиями. Довольно часто у ребят не хватает времени, чтобы детально проработать каждый параграф. Теорию они проходят в спешке, так как основное внимание сосредоточено в основном на практических заданиях, которые учителя задают на дом в больших количествах. ГДЗ «<strong>Алгебра Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс (Просвещение, 2023г.)</strong>» позволит школьникам сбалансировать учебный процесс, не упуская ни одной мелочи. </p> <p> Многие ученики испытывают проблемы с пониманием таких аспектов: </p> <ol> <li>Действия над действительными числами.</li> <li>Погрешность и точность приближения?</li> <li>Свойства чётности и нечётности функций.</li> <li>Целое уравнение и его корни.</li> <li>Решение неравенств методом интервалов.</li> <li>Уравнение с двумя переменными и его график.</li> </ol> <p> Современные учебники часто снабжены недостаточно развернутой теорией, что мешает учащимся еще раз пробежаться по материалу, если они пропустили урок или не поняли объяснения преподавателя. Поэтому иногда подростки приступают к решению задач так до конца и не разобравшись в параграфах. Неудивительно, что потом в их работах обнаруживается много ошибок. Благодаря решебнику можно избежать любых недочетов при выполнении номеров. </p> <h2> Почему работать с решебником нужно правильно? </h2> <p> Школьники всегда делятся на две категории. Первые, даже с большим скрипом, но находят решения и ответы самостоятельно, а вот вторые постоянно списывают домашние задания и ничего толком в дисциплине не понимают. Но используя <strong>решебник по алгебре за 9 класс к учебнику Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И. (Просвещение)</strong> все ребята получают возможность полноценно разобраться в программе этого курса. </p> <p> Неправильное взаимодействие с пособием может привести к следующим последствиям: </p> <ol> <li>материал не будет освоен полностью;</li> <li>постоянные ошибки приведут к снижению успеваемости;</li> <li>отсутствие понимания даже элементарных уравнений;</li> <li>проваленные экзамены.</li> </ol> <p> Соблазн просто списать нужное упражнение несомненно очень велик. Но не стоит забывать о том, что тогда не удастся полностью понять суть изучаемой темы, а это непременно аукнется довольно быстро плохими оценками. Поэтому всегда стоит применять решебник строго по назначению - для самопроверки и работы над ошибками. </p> <h2> Хорошая подготовка д/з с ГДЗ к учебнику Макарычева </h2> <p> Любой учебный процесс - дело непредсказуемое. Даже отличники не застрахованы от получения двоек. Поэтому школьникам не только стоит быть предельно внимательными, но и систематически проверять себя по <strong>готовым решениям к учебнику Макарычева за 9 класс</strong>, написанными в соответствии с ФГОС. Сделать это очень просто, так как пособие находится в онлайн-доступе, и открыть его можно с любого гаджета, подключенного к Интернету. Тренировки со справочником не отнимают много времени, так как авторы снабдили его подробными решениями, верными ответами и многочисленными наглядными примерами, которые легко понять и запомнить. </p> <p> Онлайн-издание пригодится учащимся для многого: </p> <ul> <li>сверки д/з;</li> <li>подготовки к тестированиям;</li> <li>разбора проблематичных параграфов;</li> <li>проработки различных упущений, и т.д.</li> </ul> <p> Некоторые учителя сами советуют своим подопечным использовать решебник, так как прекрасно понимают, что иначе дети просто не справятся с программой. Конечно, есть и еще один вариант - занятия с репетитором. Но в наше время сложно найти преподавателя, который бы смог не только найти общий язык с учеником, но и доступно излагал материал. Кроме того, дополнительные уроки тоже отнимают уйму времени, а именно его у подростков и так мало. Поэтому ГДЗ - лучший вариант быстро освоить предмет и получить качественные навыки. </p>" "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 380 "subject" => 542 "class_subject" => 386 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#2252 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#333 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1029829 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "91" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-91" "field_display_title" => "91" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "91" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1023 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1399 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false …25 } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1436 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Element {#1438 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1029830" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029828" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1446 #items: array:11 [ 0 => App\Models\Task {#1447 …30} 1 => App\Models\Task {#1730 …30} 2 => App\Models\Task {#1755 …30} 3 => App\Models\Task {#1780 …30} 4 => App\Models\Task {#1805 …30} 5 => App\Models\Task {#1830 …30} 6 => App\Models\Task {#1855 …30} 7 => App\Models\Task {#1934 …30} 8 => App\Models\Task {#2013 …30} 9 => App\Models\Task {#2092 …30} 10 => App\Models\Task {#2171 …30} ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1029829 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "91" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/page-91" "field_display_title" => "91" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "91" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1023} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1436} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1437} "next" => array:2 [ "refs" => "1029830" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1029828" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1446} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 171448 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "91" "field_page_end" => "92" "field_url" => "/9-klass/algebra/makarychev-fgos/275" "field_display_title" => "275" "field_outside_task" => "0" "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1037} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1035} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1289} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1306} "next" => array:2 [ "refs" => "171449" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "171447" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1401} "page" => array:2 [ "refs" => "1029829" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№275 (с. 91)
Условие. №275 (с. 91)
скриншот условия
275. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
1) Обсудите, при каком условии неравенство ax² + bx + c › 0, где a, b, c — некоторые числа, верно при любом значении переменной x. Укажите аналогичные условия для неравенства ax² + bx + c ‹ 0.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенств, и исправьте ошибки, если они допущены.
Решение 1. №275 (с. 91)
Решение 2. №275 (с. 91)
Решение 3. №275 (с. 91)
Решение 4. №275 (с. 91)
Решение 5. №275 (с. 91)
Решение 6. №275 (с. 91)
Решение 7. №275 (с. 91)
Решение 8. №275 (с. 91)
1)
Рассмотрим квадратичное неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$. Левая часть неравенства является квадратичным трехчленом, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола. Знак этого выражения при всех значениях переменной $x$ зависит от двух факторов: знака старшего коэффициента $a$ (который определяет направление ветвей параболы) и значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ (который определяет количество точек пересечения параболы с осью абсцисс).
Условия для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$:
Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться выше оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:
- Ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает $a > 0$.
- Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.
Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ условия: $a > 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.
Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \ge 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a > 0$ и $D \le 0$.
Условия для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$:
Чтобы неравенство было верным для любого значения $x$, график функции $y = ax^2 + bx + c$ должен полностью находиться ниже оси Ox. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:
- Ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает $a < 0$.
- Парабола не должна пересекать ось Ox, то есть у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней. Это означает, что дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.
Таким образом, для строгого неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ условия: $a < 0$ и $D = b^2 - 4ac < 0$.
Для нестрогого неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ парабола может касаться оси Ox, поэтому условие для дискриминанта смягчается: $D \le 0$. Условия: $a < 0$ и $D \le 0$.
Ответ: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x$, если $a > 0$ и $D < 0$. Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ верно при любом $x$, если $a < 0$ и $D < 0$.
а) Докажем, что $7x^2 - 10x + 7 > 0$ при любом $x$.
Рассмотрим функцию $y = 7x^2 - 10x + 7$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -10$, $c = 7$.
1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью Ox: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 100 - 196 = -96$.
Поскольку $D = -96 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $7x^2 - 10x + 7$ всегда положительно.
Ответ: Неравенство доказано.
б) Докажем, что $-6y^2 + 11y - 10 < 0$ при любом $y$.
Рассмотрим функцию $f(y) = -6y^2 + 11y - 10$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -6$, $b = 11$, $c = -10$.
1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -6 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119$.
Поскольку $D = -119 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Oy (в данном случае ось переменной $y$).
Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось, вся парабола расположена ниже оси. Это означает, что значение выражения $-6y^2 + 11y - 10$ всегда отрицательно.
Ответ: Неравенство доказано.
в) Докажем, что $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ при любом $x$.
Рассмотрим выражение $4x^2 + 12x + 9$. Можно заметить, что это формула квадрата суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = 4x^2 + 12x + 9$. Коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине) и расположена выше нее. Следовательно, $4x^2 + 12x + 9 \ge 0$ для всех $x$.
Ответ: Неравенство доказано.
г) Докажем, что $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ при любом $x$.
Выражение $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$ является полным квадратом разности: $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 = (\frac{1}{2}x)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 8 + 8^2 = (\frac{1}{2}x - 8)^2$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(\frac{1}{2}x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}x^2 - 8x + 64$. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. $D = (-8)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Ox и расположена выше нее. Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 - 8x + 64 \ge 0$ для всех $x$.
Ответ: Неравенство доказано.
д) Докажем, что $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ при любом $y$.
Вынесем минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(3y - 1)^2$. Поскольку $(3y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y$, то выражение $-(3y - 1)^2$ всегда будет меньше или равно нулю.
Альтернативное решение через дискриминант: Рассмотрим функцию $f(y) = -9y^2 + 6y - 1$. Коэффициент $a = -9 < 0$, ветви параболы направлены вниз. $D = 6^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-1) = 36 - 36 = 0$. Так как $D=0$, парабола касается оси Oy в своей вершине и расположена ниже нее. Следовательно, $-9y^2 + 6y - 1 \le 0$ для всех $y$.
Ответ: Неравенство доказано.
е) Докажем, что $-5x^2 + 8x - 5 < 0$ при любом $x$.
Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 8x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициенты: $a = -5$, $b = 8$, $c = -5$.
1. Определим направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 64 - 100 = -36$.
Поскольку $D = -36 < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.
Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это означает, что значение выражения $-5x^2 + 8x - 5$ всегда отрицательно.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 275 расположенного на странице 91 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №275 (с. 91), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.