gdz.top
Номер 2.80, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2018 - 2026
ISBN: 978-601-331-161-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 8 классе
Раздел 2. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 2.3. Решение прямоугольных треугольников - номер 2.80, страница 71.
App\Models\Task {#1024 // resources/views/models/task/default.blade.php #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1122751 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "71" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik/2-80" "field_display_title" => "2.80" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1029 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #original: array:6 [ "id" => 26 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "номер" "field_cases" => array:6 [ "field_accusative_case" => "номер" "field_creative_case" => "номером" "field_dative_case" => "номеру" "field_genitive_case" => "номера" "field_nominative_case" => "номер" "field_prepositional_case" => "номере" ] "field_short_name" => "№" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1023 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1122381 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1033 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Раздел" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #original: array:7 [ "id" => 30 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Раздел" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_page_check_not_needed" => null "field_short_name" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "52" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1032 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1034 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1036 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1038 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1040 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1044 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1045 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1047 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1049 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1051 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1052 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1053 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1054 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1055 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1056 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1057 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1058 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1059 …2} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1060 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1122381 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#333} "field_page_start" => "52" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1030} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1061} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Branch {#1023} 1 => App\Models\Branch {#1063 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1122384 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "2.3. Решение прямоугольных треугольников" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_page_start" => "67" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1066 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1067 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1069 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1071 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1073 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1077 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1078 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1080 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1082 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1084 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1085 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1086 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1087 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1088 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1089 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1090 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1091 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1092 …2} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1093 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Branch {#1095 #connection: "mysql" #table: "branches" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ "id" => 1122381 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_page_start" => "52" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} ] #original: array:24 [ "id" => 1122381 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника" "field_branch_order" => "2" "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1096 …2} "field_page_start" => "52" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1098 …2} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1127 …2} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1122384 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_display_title" => "2.3. Решение прямоугольных треугольников" "field_branch_order" => null "field_url" => null "field_branch_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1064} "field_page_start" => "67" "field_branch_display" => "0" "field_branch_expanded" => "0" "field_display_branch_in_title" => "1" "field_display_task_interval" => "0" "field_display_branch_page" => "1" "field_branch_title_in_content" => "0" "field_navigation_title" => null "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_branch_cover" => [] "field_branch_covers" => [] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1065} "branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1094} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128 #items: array:4 [ 0 => App\Models\Element {#1129 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:7 [ "id" => 1305183 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1131 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Учебник rus" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0rus-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5006 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Учебник rus" "field_order" => "1" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1132 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text, image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0rus-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1134 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1135 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1136 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>2.80.</strong> Постройте треугольник из задачи 2.75.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 133 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/0rus-2/80-1.webp?ts=1753776412" ] ] ] #original: array:7 [ "id" => 1305183 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1130} "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "text" => "<p><strong>2.80.</strong> Постройте треугольник из задачи 2.75.</p>" "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "1091" "height" => 133 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/0rus-2/80-1.webp?ts=1753776412" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Element {#1137 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1305536 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1139 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5007 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Учебник kz" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0kz-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5007 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Учебник kz" "field_order" => "2" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1140 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "image" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Автор" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "statement" "field_root_dir" => "0kz-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1142 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1143 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1144 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "1761" "height" => 205 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/0kz-2/80-1.webp?ts=1753776461" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1305536 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1138} "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "1761" "height" => 205 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/0kz-2/80-1.webp?ts=1753776461" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Element {#1145 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1306150 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1147 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5008 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5008 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение" "field_order" => "3" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1148 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "image" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => "0" "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Неизвестный" "field_moderator" => "pasha" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "1-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1150 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1151 …2} "field_process_formula" => "" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1152 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "725" "height" => 202 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/1-2/80-1.webp?ts=1753776518" ] ] ] #original: array:6 [ "id" => 1306150 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1146} "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "img" => array:1 [ 0 => array:5 [ "name" => "80-1.jpg" "alt" => null "width" => "725" "height" => 202 "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/1-2/80-1.webp?ts=1753776518" ] ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 3 => App\Models\Element {#1153 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 1480983 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Edition {#1155 #connection: "mysql" #table: "editions" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 5435 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2 rus" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 …2} "field_content_source" => null ] #original: array:21 [ "id" => 5435 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "title" => "Решение 2 rus" "field_order" => "4" "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1156 …2} "field_content_type" => "free" "field_content_mode" => "text" "field_page_content_mode" => "" "field_content_text_checked" => null "field_page_content_text_checked" => "0" "field_solution_author" => "Gemini 2.5 Pro" "field_moderator" => "tolik" "field_edition_type" => "solution" "field_root_dir" => "2-" "field_responsible" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1158 …2} "field_comment" => null "field_similar_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1159 …2} "field_process_formula" => "katex" "field_edition_group" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1160 …2} "field_content_source" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "text" => "<p>Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трём известным элементам: высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$, и медианам $m_b$ и $m_c$, проведенным из вершин $B$ и $C$ соответственно.</p><strong>Анализ</strong><p>Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $h_a$ — это длина высоты $AH_a$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — это длины медиан $BB'$ и $CC'$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $M$ (центроиде треугольника), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:</p><ul><li>$BM = \frac{2}{3}m_b$</li><li>$CM = \frac{2}{3}m_c$</li></ul><p>Пусть $A'$ — середина стороны $BC$. Точка $M$ лежит на медиане $AA'$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $BC$ составляет одну треть от высоты $h_a$. То есть, если прямая $BC$ лежит на некоторой прямой $l$, то точка $M$ будет расположена на прямой $l_M$, параллельной $l$ и находящейся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от нее.</p><p>Рассмотрим точку $D$, симметричную точке $M$ относительно точки $A'$. Поскольку $A'$ является серединой отрезка $MD$ и серединой отрезка $BC$, четырехугольник $BMCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:</p><ul><li>$CD = BM = \frac{2}{3}m_b$</li><li>$BD = CM = \frac{2}{3}m_c$</li></ul><p>Точка $D$, будучи симметричной $M$ относительно $A'$ на прямой $l$, будет находиться по другую сторону от прямой $l$ и на том же расстоянии, что и $M$, то есть на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$.</p><p>Это наблюдение позволяет нам разработать план построения. Мы можем построить точки $B, C, D$, зная длины сторон $CD$, $BD$ и расположение точек на параллельных прямых. Найдя $B$ и $C$, мы легко найдем их середину $A'$, затем точку $M$, и, наконец, вершину $A$.</p><strong>Построение</strong><ol><li>По данным отрезкам $h_a, m_b, m_c$ строим с помощью циркуля и линейки отрезки длиной $d_M = \frac{1}{3}h_a$, $d_b = \frac{2}{3}m_b$ и $d_c = \frac{2}{3}m_c$. (Для построения трети отрезка используется теорема Фалеса).</li><li>Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $BC$.</li><li>Строим прямую $l_D$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $d_M = \frac{1}{3}h_a$ от нее.</li><li>Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $C$.</li><li>Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d_b = \frac{2}{3}m_b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_D$ обозначаем как $D$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).</li><li>Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d_c = \frac{2}{3}m_c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем как $B$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).</li><li>Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Находим ее середину, точку $A'$.</li><li>Строим точку $M$, которая симметрична точке $D$ относительно точки $A'$. Для этого проводим прямую через $D$ и $A'$ и откладываем на ней за точкой $A'$ отрезок $A'M$, равный $DA'$.</li><li>Проводим луч $A'M$.</li><li>На этом луче от точки $A'$ откладываем отрезок $A'A = 3 \cdot A'M$. Точка $A$ является третьей вершиной искомого треугольника.</li><li>Треугольник $ABC$ построен.</li></ol><strong>Доказательство</strong><p>Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.</p><p><strong>1.</strong> <strong>Высота из вершины A:</strong> По построению, точка $A'$ лежит на прямой $l$. Точка $M$ симметрична $D$ относительно $A'$, а $D$ лежит на прямой $l_D$ на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Следовательно, $M$ лежит на прямой, параллельной $l$, по другую сторону от $l_D$ и на том же расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Точка $A$ строится на луче $A'M$ так, что $A'A=3A'M$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), расстояние от точки $A$ до прямой $l$ будет в 3 раза больше расстояния от $M$ до $l$, то есть $3 \cdot \frac{h_a}{3} = h_a$. Таким образом, высота из $A$ равна $h_a$.</p><p><strong>2.</strong> <strong>Медиана из вершины B:</strong> По построению, $A'$ — середина $BC$, а $M$ лежит на продолжении $A'A$ так, что $AM = 2MA'$. Это означает, что $AA'$ — медиана, а $M$ — центроид треугольника $ABC$. По построению $BMCD$ — параллелограмм, поэтому $BM = CD$. Длина $CD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_b$. Следовательно, $BM = \frac{2}{3}m_b$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.</p><p><strong>3.</strong> <strong>Медиана из вершины C:</strong> Аналогично, в параллелограмме $BMCD$ имеем $CM = BD$. Длина $BD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $CM = \frac{2}{3}m_c$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.</p><p>Все условия задачи выполнены.</p><strong>Исследование</strong><p>Задача имеет решение тогда и только тогда, когда все шаги построения выполнимы.</p><p><strong>1.</strong> Для существования точки $D$ (шаг 5) необходимо, чтобы окружность с центром $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$ пересекала прямую $l_D$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l_D$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_b \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_b \ge h_a$.</p><p><strong>2.</strong> Для существования точки $B$ (шаг 6) необходимо, чтобы окружность с центром $D$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$ пересекала прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_c \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_c \ge h_a$.</p><p>Таким образом, задача имеет решение, если выполнены оба неравенства: $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$.</p><p>Если неравенства строгие ($2m_b > h_a$ и $2m_c > h_a$), то:</p><ul><li>На шаге 5 будет две возможные точки $D$, симметричные относительно перпендикуляра из $C$ к $l_D$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным решениям.</li><li>На шаге 6 будет две возможные точки $B$, $B_1$ и $B_2$, симметричные относительно перпендикуляра из $D$ к $l$. В общем случае, это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам, так как длины стороны $BC$ будут различны: $a = |BC_1|$ и $a' = |BC_2|$. Длины стороны $BC$ можно вычислить по формуле $a = \frac{1}{3}\left|\sqrt{4m_b^2 - h_a^2} \pm \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}\right|$.</li></ul><p>Если хотя бы в одном из условий достигается равенство, то соответствующая окружность касается прямой, и число решений уменьшается. Если хотя бы одно из условий не выполнено, задача не имеет решений.</p><p><strong>Ответ:</strong> Алгоритм построения треугольника и анализ условий существования решения представлены выше. Задача имеет решение, если выполняются условия $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$. В общем случае, при выполнении строгих неравенств, задача имеет два неконгруэнтных решения.</p>" ] #original: array:6 [ "id" => 1480983 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1154} "task" => array:2 [ "refs" => "1122751" "type" => "task" ] "text" => "<p>Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трём известным элементам: высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$, и медианам $m_b$ и $m_c$, проведенным из вершин $B$ и $C$ соответственно.</p><strong>Анализ</strong><p>Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $h_a$ — это длина высоты $AH_a$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — это длины медиан $BB'$ и $CC'$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $M$ (центроиде треугольника), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:</p><ul><li>$BM = \frac{2}{3}m_b$</li><li>$CM = \frac{2}{3}m_c$</li></ul><p>Пусть $A'$ — середина стороны $BC$. Точка $M$ лежит на медиане $AA'$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $BC$ составляет одну треть от высоты $h_a$. То есть, если прямая $BC$ лежит на некоторой прямой $l$, то точка $M$ будет расположена на прямой $l_M$, параллельной $l$ и находящейся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от нее.</p><p>Рассмотрим точку $D$, симметричную точке $M$ относительно точки $A'$. Поскольку $A'$ является серединой отрезка $MD$ и серединой отрезка $BC$, четырехугольник $BMCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:</p><ul><li>$CD = BM = \frac{2}{3}m_b$</li><li>$BD = CM = \frac{2}{3}m_c$</li></ul><p>Точка $D$, будучи симметричной $M$ относительно $A'$ на прямой $l$, будет находиться по другую сторону от прямой $l$ и на том же расстоянии, что и $M$, то есть на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$.</p><p>Это наблюдение позволяет нам разработать план построения. Мы можем построить точки $B, C, D$, зная длины сторон $CD$, $BD$ и расположение точек на параллельных прямых. Найдя $B$ и $C$, мы легко найдем их середину $A'$, затем точку $M$, и, наконец, вершину $A$.</p><strong>Построение</strong><ol><li>По данным отрезкам $h_a, m_b, m_c$ строим с помощью циркуля и линейки отрезки длиной $d_M = \frac{1}{3}h_a$, $d_b = \frac{2}{3}m_b$ и $d_c = \frac{2}{3}m_c$. (Для построения трети отрезка используется теорема Фалеса).</li><li>Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $BC$.</li><li>Строим прямую $l_D$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $d_M = \frac{1}{3}h_a$ от нее.</li><li>Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $C$.</li><li>Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d_b = \frac{2}{3}m_b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_D$ обозначаем как $D$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).</li><li>Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d_c = \frac{2}{3}m_c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем как $B$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).</li><li>Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Находим ее середину, точку $A'$.</li><li>Строим точку $M$, которая симметрична точке $D$ относительно точки $A'$. Для этого проводим прямую через $D$ и $A'$ и откладываем на ней за точкой $A'$ отрезок $A'M$, равный $DA'$.</li><li>Проводим луч $A'M$.</li><li>На этом луче от точки $A'$ откладываем отрезок $A'A = 3 \cdot A'M$. Точка $A$ является третьей вершиной искомого треугольника.</li><li>Треугольник $ABC$ построен.</li></ol><strong>Доказательство</strong><p>Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.</p><p><strong>1.</strong> <strong>Высота из вершины A:</strong> По построению, точка $A'$ лежит на прямой $l$. Точка $M$ симметрична $D$ относительно $A'$, а $D$ лежит на прямой $l_D$ на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Следовательно, $M$ лежит на прямой, параллельной $l$, по другую сторону от $l_D$ и на том же расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Точка $A$ строится на луче $A'M$ так, что $A'A=3A'M$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), расстояние от точки $A$ до прямой $l$ будет в 3 раза больше расстояния от $M$ до $l$, то есть $3 \cdot \frac{h_a}{3} = h_a$. Таким образом, высота из $A$ равна $h_a$.</p><p><strong>2.</strong> <strong>Медиана из вершины B:</strong> По построению, $A'$ — середина $BC$, а $M$ лежит на продолжении $A'A$ так, что $AM = 2MA'$. Это означает, что $AA'$ — медиана, а $M$ — центроид треугольника $ABC$. По построению $BMCD$ — параллелограмм, поэтому $BM = CD$. Длина $CD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_b$. Следовательно, $BM = \frac{2}{3}m_b$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.</p><p><strong>3.</strong> <strong>Медиана из вершины C:</strong> Аналогично, в параллелограмме $BMCD$ имеем $CM = BD$. Длина $BD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $CM = \frac{2}{3}m_c$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.</p><p>Все условия задачи выполнены.</p><strong>Исследование</strong><p>Задача имеет решение тогда и только тогда, когда все шаги построения выполнимы.</p><p><strong>1.</strong> Для существования точки $D$ (шаг 5) необходимо, чтобы окружность с центром $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$ пересекала прямую $l_D$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l_D$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_b \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_b \ge h_a$.</p><p><strong>2.</strong> Для существования точки $B$ (шаг 6) необходимо, чтобы окружность с центром $D$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$ пересекала прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_c \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_c \ge h_a$.</p><p>Таким образом, задача имеет решение, если выполнены оба неравенства: $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$.</p><p>Если неравенства строгие ($2m_b > h_a$ и $2m_c > h_a$), то:</p><ul><li>На шаге 5 будет две возможные точки $D$, симметричные относительно перпендикуляра из $C$ к $l_D$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным решениям.</li><li>На шаге 6 будет две возможные точки $B$, $B_1$ и $B_2$, симметричные относительно перпендикуляра из $D$ к $l$. В общем случае, это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам, так как длины стороны $BC$ будут различны: $a = |BC_1|$ и $a' = |BC_2|$. Длины стороны $BC$ можно вычислить по формуле $a = \frac{1}{3}\left|\sqrt{4m_b^2 - h_a^2} \pm \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}\right|$.</li></ul><p>Если хотя бы в одном из условий достигается равенство, то соответствующая окружность касается прямой, и число решений уменьшается. Если хотя бы одно из условий не выполнено, задача не имеет решений.</p><p><strong>Ответ:</strong> Алгоритм построения треугольника и анализ условий существования решения представлены выше. Задача имеет решение, если выполняются условия $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$. В общем случае, при выполнении строгих неравенств, задача имеет два неконгруэнтных решения.</p>" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1122752" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1122750" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1162 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1164 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #original: array:10 [ "id" => 6477 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Геометрия" "field_abbreviated_name" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_foreign_lang_name" => null "field_short_name" => null "field_subject_type" => "technical_subject" "field_translit" => "geometrija" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1166 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #original: array:6 [ "id" => 5457 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "8" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "vosmoj" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1168 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6991 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Атамұра" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "atamu'ra" ] #original: array:6 [ "id" => 6991 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Атамұра" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "atamu'ra" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169 #items: array:3 [ 0 => App\Models\Term {#1170 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6992 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шыныбеков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Абдухали" "field_patronymic" => "Насырович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6992 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шыныбеков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Абдухали" "field_patronymic" => "Насырович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 1 => App\Models\Term {#1171 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 6993 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шыныбеков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Данияр" "field_patronymic" => "Абдухалиевич" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 6993 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Шыныбеков" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Данияр" "field_patronymic" => "Абдухалиевич" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } 2 => App\Models\Term {#1172 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:12 [ "id" => 7001 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Жумабаев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ринат" "field_patronymic" => "Нурланович" "field_surname_rp" => null ] #original: array:12 [ "id" => 7001 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Жумабаев" "field_bio" => null "field_degree_rp" => null "field_foreign_lang_name" => null "field_foreign_lang_patronymic" => null "field_foreign_lang_surname" => null "field_name" => "Ринат" "field_patronymic" => "Нурланович" "field_surname_rp" => null ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1175 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #original: array:10 [ "id" => 6671 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Учебник" "field_book_type_foreign" => null "field_cases" => array:6 [ …6] "field_plural_form" => null "field_short_name" => null "field_short_name_foreign" => null "field_translit" => "uchebnik" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1177 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "kazakhstan" ] #original: array:6 [ "id" => 6994 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Казахстан" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "kazakhstan" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1178 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Term {#1179 #connection: "mysql" #table: "terms" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "almaty" ] #original: array:6 [ "id" => 6995 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "name" => "Алматы" "field_cases" => array:6 [ …6] "field_translit" => "almaty" ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/covers/cover1.webp?ts=1753258124" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/covers/cover1.webp?ts=1753258124" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 543 "class_subject" => 390 ] ] #original: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1163} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1165} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1167} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1169} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1173} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1174} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1176} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1178} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1180} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1181} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1182} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1183} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1184} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1185} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ 0 => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/covers/cover1.webp?ts=1753258124" ] "field_cover_alts" => array:1 [ 0 => "" ] "field_covers" => array:1 [ 0 => array:4 [ "path" => "/media/geometrija_08/Shynybekov-u17/covers/cover1.webp?ts=1753258124" "alt" => "" "width" => "1632" "height" => "2472" ] ] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1186} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1187} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1188} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1189} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ "class" => 379 "subject" => 543 "class_subject" => 390 ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "page" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1715 #items: array:1 [ 0 => App\Models\BookPage {#1193 #connection: "mysql" #table: "book_pages" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:21 [ "id" => 1114273 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "71" "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik/page-71" "field_display_title" => "71" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "71" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196 #items: array:1 [ 0 => App\Models\Book {#1198 #connection: "mysql" #table: "books" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: false #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null "field_tasks_count" => "538" "field_priority" => "6" "field_default_folder" => "/geometrija_08/Shynybekov-u17/" "field_isbn" => "978-601-331-161-6" "field_cover" => array:1 [ …1] "field_cover_alts" => array:1 [ …1] "field_covers" => array:1 [ …1] "field_popular_book" => null "field_recommended_books" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1222 …2} "field_new_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1223 …2} "field_old_book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1224 …2} "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik" "field_cover_color" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1225 …2} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "breadcrumbs" => array:3 [ …3] ] #original: array:50 [ "id" => 2592 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_tree_default_status" => "tasks" "field_pages_status" => null "field_subject" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1199 …2} "field_class" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1201 …2} "field_publisher" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1203 …2} "field_author" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1205 …2} "field_author_foreign" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1209 …2} "field_book_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1210 …2} "field_country" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1212 …2} "field_city" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1214 …2} "field_series" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1216 …2} "field_umk" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1217 …2} "field_level_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1218 …2} "field_standart_of_education" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1219 …2} "field_publication_number" => null "field_publication_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1220 …2} "field_under_the_edition" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1221 …2} "field_under_the_edition_degree" => null "field_cover_description" => null "field_publication_year" => "2018" "field_publication_year_until" => null "field_part" => "" "field_part_writing" => "" "field_second_foreign_language" => null "field_for_whom" => "Учебник для 8 класса общеобразовательных школ" "field_allowed" => "Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан" "field_reserve_field" => null "field_link_to_source" => null …19 ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226 #items: [] #escapeWhenCastingToString: false } "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227 #items: array:2 [ 0 => App\Models\Element {#1228 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Element {#1236 #connection: "mysql" #table: "elements" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:6 [ …6] #original: array:6 [ …6] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } "next" => array:2 [ "refs" => "1114274" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1114272" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244 #items: array:12 [ 0 => App\Models\Task {#1245 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 1 => App\Models\Task {#1416 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 2 => App\Models\Task {#1455 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 3 => App\Models\Task {#1494 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 4 => App\Models\Task {#1533 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 5 => App\Models\Task {#1572 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 6 => App\Models\Task {#1599 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 7 => App\Models\Task {#1614 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 8 => App\Models\Task {#1629 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 9 => App\Models\Task {#1668 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 10 => App\Models\Task {#1683 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } 11 => App\Models\Task {#1698 #connection: "mysql" #table: "tasks" #primaryKey: "id" #keyType: "int" +incrementing: true #with: [] #withCount: [] +preventsLazyLoading: false #perPage: 15 +exists: true +wasRecentlyCreated: false #escapeWhenCastingToString: false #attributes: array:24 [ …24] #original: array:24 [ …24] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ …1] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:21 [ "id" => 1114273 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "71" "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik/page-71" "field_display_title" => "71" "field_folder" => "1" "field_image_name" => "71" "field_branch_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1197} "field_weight" => "0" "field_book_parent" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1196} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1226} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1227} "next" => array:2 [ "refs" => "1114274" "type" => "book_page" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1114272" "type" => "book_page" ] "tasks" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1244} ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] } ] #escapeWhenCastingToString: false } ] #original: array:24 [ "id" => 1122751 "created_at" => "2026-04-10 13:58:26" "updated_at" => null "field_page_start" => "71" "field_page_end" => null "field_url" => "/8-klass/geometrija/shynybekov-uchebnik/2-80" "field_display_title" => "2.80" "field_outside_task" => null "field_task_type" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#331} "field_metatags_title" => null "field_metatags_description" => null "field_h1" => null "field_description_top" => null "field_description_bottom" => null "field_match" => null "breadcrumbs" => [] "edition_groups" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1026} "top_parent_branch" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#342} "parent_branches" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1062} "content" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1128} "next" => array:2 [ "refs" => "1122752" "type" => "task" ] "previous" => array:2 [ "refs" => "1122750" "type" => "task" ] "book" => Illuminate\Database\Eloquent\Collection {#1161} "page" => array:2 [ "refs" => "1114273" "type" => "book_page" ] ] #changes: [] #casts: [] #classCastCache: [] #attributeCastCache: [] #dateFormat: null #appends: [] #dispatchesEvents: [] #observables: [] #relations: [] #touches: [] +timestamps: true +usesUniqueIds: false #hidden: [] #visible: [] #fillable: [] #guarded: array:1 [ 0 => "*" ] }
№2.80 (с. 71)
Учебник rus. №2.80 (с. 71)
скриншот условия
2.80. Постройте треугольник из задачи 2.75.
Учебник kz. №2.80 (с. 71)
Решение. №2.80 (с. 71)
Решение 2 rus. №2.80 (с. 71)
Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трём известным элементам: высоте $h_a$, проведенной из вершины $A$, и медианам $m_b$ и $m_c$, проведенным из вершин $B$ и $C$ соответственно.
АнализПредположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $h_a$ — это длина высоты $AH_a$, опущенной из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — это длины медиан $BB'$ и $CC'$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $M$ (центроиде треугольника), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:
- $BM = \frac{2}{3}m_b$
- $CM = \frac{2}{3}m_c$
Пусть $A'$ — середина стороны $BC$. Точка $M$ лежит на медиане $AA'$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $BC$ составляет одну треть от высоты $h_a$. То есть, если прямая $BC$ лежит на некоторой прямой $l$, то точка $M$ будет расположена на прямой $l_M$, параллельной $l$ и находящейся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от нее.
Рассмотрим точку $D$, симметричную точке $M$ относительно точки $A'$. Поскольку $A'$ является серединой отрезка $MD$ и серединой отрезка $BC$, четырехугольник $BMCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно:
- $CD = BM = \frac{2}{3}m_b$
- $BD = CM = \frac{2}{3}m_c$
Точка $D$, будучи симметричной $M$ относительно $A'$ на прямой $l$, будет находиться по другую сторону от прямой $l$ и на том же расстоянии, что и $M$, то есть на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$.
Это наблюдение позволяет нам разработать план построения. Мы можем построить точки $B, C, D$, зная длины сторон $CD$, $BD$ и расположение точек на параллельных прямых. Найдя $B$ и $C$, мы легко найдем их середину $A'$, затем точку $M$, и, наконец, вершину $A$.
Построение- По данным отрезкам $h_a, m_b, m_c$ строим с помощью циркуля и линейки отрезки длиной $d_M = \frac{1}{3}h_a$, $d_b = \frac{2}{3}m_b$ и $d_c = \frac{2}{3}m_c$. (Для построения трети отрезка используется теорема Фалеса).
- Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $BC$.
- Строим прямую $l_D$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $d_M = \frac{1}{3}h_a$ от нее.
- Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $C$.
- Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d_b = \frac{2}{3}m_b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_D$ обозначаем как $D$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
- Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d_c = \frac{2}{3}m_c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем как $B$. (Если пересечения нет, задача не имеет решения).
- Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Находим ее середину, точку $A'$.
- Строим точку $M$, которая симметрична точке $D$ относительно точки $A'$. Для этого проводим прямую через $D$ и $A'$ и откладываем на ней за точкой $A'$ отрезок $A'M$, равный $DA'$.
- Проводим луч $A'M$.
- На этом луче от точки $A'$ откладываем отрезок $A'A = 3 \cdot A'M$. Точка $A$ является третьей вершиной искомого треугольника.
- Треугольник $ABC$ построен.
Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.
1. Высота из вершины A: По построению, точка $A'$ лежит на прямой $l$. Точка $M$ симметрична $D$ относительно $A'$, а $D$ лежит на прямой $l_D$ на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Следовательно, $M$ лежит на прямой, параллельной $l$, по другую сторону от $l_D$ и на том же расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от $l$. Точка $A$ строится на луче $A'M$ так, что $A'A=3A'M$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), расстояние от точки $A$ до прямой $l$ будет в 3 раза больше расстояния от $M$ до $l$, то есть $3 \cdot \frac{h_a}{3} = h_a$. Таким образом, высота из $A$ равна $h_a$.
2. Медиана из вершины B: По построению, $A'$ — середина $BC$, а $M$ лежит на продолжении $A'A$ так, что $AM = 2MA'$. Это означает, что $AA'$ — медиана, а $M$ — центроид треугольника $ABC$. По построению $BMCD$ — параллелограмм, поэтому $BM = CD$. Длина $CD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_b$. Следовательно, $BM = \frac{2}{3}m_b$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.
3. Медиана из вершины C: Аналогично, в параллелограмме $BMCD$ имеем $CM = BD$. Длина $BD$ была построена равной $\frac{2}{3}m_c$. Следовательно, $CM = \frac{2}{3}m_c$. Поскольку $M$ — центроид, полная длина медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CM = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.
Все условия задачи выполнены.
ИсследованиеЗадача имеет решение тогда и только тогда, когда все шаги построения выполнимы.
1. Для существования точки $D$ (шаг 5) необходимо, чтобы окружность с центром $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$ пересекала прямую $l_D$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l_D$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_b \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_b \ge h_a$.
2. Для существования точки $B$ (шаг 6) необходимо, чтобы окружность с центром $D$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$ пересекала прямую $l$. Расстояние от точки $D$ до прямой $l$ равно $\frac{h_a}{3}$. Следовательно, должно выполняться условие: $\frac{2}{3}m_c \ge \frac{h_a}{3}$, что эквивалентно $2m_c \ge h_a$.
Таким образом, задача имеет решение, если выполнены оба неравенства: $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$.
Если неравенства строгие ($2m_b > h_a$ и $2m_c > h_a$), то:
- На шаге 5 будет две возможные точки $D$, симметричные относительно перпендикуляра из $C$ к $l_D$. Выбор любой из них приводит к конгруэнтным решениям.
- На шаге 6 будет две возможные точки $B$, $B_1$ и $B_2$, симметричные относительно перпендикуляра из $D$ к $l$. В общем случае, это приводит к двум неконгруэнтным треугольникам, так как длины стороны $BC$ будут различны: $a = |BC_1|$ и $a' = |BC_2|$. Длины стороны $BC$ можно вычислить по формуле $a = \frac{1}{3}\left|\sqrt{4m_b^2 - h_a^2} \pm \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}\right|$.
Если хотя бы в одном из условий достигается равенство, то соответствующая окружность касается прямой, и число решений уменьшается. Если хотя бы одно из условий не выполнено, задача не имеет решений.
Ответ: Алгоритм построения треугольника и анализ условий существования решения представлены выше. Задача имеет решение, если выполняются условия $2m_b \ge h_a$ и $2m_c \ge h_a$. В общем случае, при выполнении строгих неравенств, задача имеет два неконгруэнтных решения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 8 класс, для упражнения номер 2.80 расположенного на странице 71 к учебнику 2018 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №2.80 (с. 71), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.